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1º BIMESTRE | 2025 
PROFESSOR
Língua Portuguesa 
e Matemática
Revisa 3ª Série - Língua Portuguesa e Matemática - 1º Bimestre/2025
38
Revisa Goiás
COMPREENDENDO O MATERIAL PEDAGÓGICO – Ensino Médio
Caro(a) professor(a), o REVISA GOIÁS 2025 continua objetivando a recomposição e desenvolvimento das apren-
dizagens essenciais previstas nas habilidades do Documento Curricular para Goiás – Etapa Ensino Médio (DC-GOEM). 
No que diz respeito ao componente Matemática no Ensino Médio, o material apresenta atividades organizadas obe-
decendo a progressão do conhecimento no sentido vertical (de um ano para outro) nas habilidades de recomposição e 
horizontal (dentro do mesmo ano que o estudante está cursando) nas habilidades previstas no DC-GOEM ao mesmo 
tempo que conversam com os descritores das avaliações externas como o Sistema de Avaliação da Educação Básica 
(Saeb) garantindo o desenvolvimento integral dos processos cognitivos para o avanço nas próximas etapas.
O REVISA GOIÁS 2025 foi estruturado em três grupos de habilidades (atividades), dispostos em três cores, para 
indicar o nível de gradação entre as habilidades desenvolvidas em cada grupo. Nesse sentido, são considerados os 
conhecimentos essenciais do(a) estudante (habilidades basilares de anos anteriores), bem como as diversas estratégias 
e ferramentas necessárias para o avanço do processo de aprendizagem de cada um. Desse modo:
• utilizou-se a cor amarela, para indicar os descritores e habilidades que opor-
tunizam o desenvolvimento das habilidades de nível “Abaixo do básico / Básico”.
• utilizou-se a cor azul para indicar as atividades que possibilitam que o(a) es-
tudante desenvolvam e aprimorem habilidades de nível “Básico / Proficiente”.
• utilizou-se a cor rosa para indicar as atividades que proporcionem o desen-
volvimento e potencialização de habilidades de nível “Proficiente / Avançado”.
GRUPO DE ATIVIDADES 1 1
GRUPO DE ATIVIDADES 2 2
GRUPO DE ATIVIDADES 3 3
Obs: Entendemos que, quando o(a) estudante desenvolve habilidades de nível avançado, ele(a) já está apto para desenvolver as habili-
dades presentes no corte temporal do ano que se encontra e que foram priorizadas na elaboração deste material.
Busca recapitular conhecimentos basilares referente as habilidades que 
estão em níveis abaixo do básico.
Busca avançar nos conhecimentos basilares que estão em nível abaixo do 
básico fazendo a transição para o nível básico.
Busca ampliar os conhecimentos que estão no nível básico fazendo a 
transição para o nível proficiente.
Busca estruturar, sistematicamente, as habilidades que foram ampliadas, 
de maneira a contemplar o nível de gradação dentro de cada grupo.
Vamos avançar?
Vamos Sistematizar?
o que precisamos 
saber?
Vamos ampliar?
Vale ressaltar que, o REVISA GOIÁS 2025, continua priorizando, em cada corte temporal, pelo menos uma unidade 
temática e, a partir dela, estruturando atividades que contribuirão para o desenvolvimento de habilidades essenciais, 
objetivando que os(as) estudantes alcancem o nível Proficiente / Avançado. 
Nesse sentido, dentro de cada tópico supracitado, temos o momento:
Com itens estruturados, de acordo com as habilidades, de cada corte 
temporal, prescritas no DCGO-Ampliado que se desmembram nos des-
critores da matriz SAEB a serem avaliados nesta etapa de ensino. 
Obs: Caso considere necessário, fique à vontade para inserir atividades que contribuam com a recomposição da aprendizagem do(a) 
estudante e que possibilitarão, também, seu avanço nesse processo. 
Nessa perspectiva, seguimos com esta importante ação na rede Estadual de Educação de Goiás, cientes da ne-
cessidade de um ensino Matemático que oportunize o desenvolvimento das habilidades curriculares para continuar 
avançando em proficiência, com foco no(a) estudante como sujeito desse processo. 
Desejamos a todos um excelente trabalho! 
Equipe de Matemática do Núcleo de Recursos Didáticos / NUREDI / Secretaria de Estado da Educação de Goiás (SEDUC-GO)
MATEMÁTICA
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Objetos de conhecimento
Habilidades de recomposição
1° grupo
DCGO - 
Ampliado
• (EF06MA13-A) Identificar as frações que podem ou não ser escritas na forma de fração centesimal, por-
centagem, utilizando a equivalência entre frações e/ou estratégias pessoais. 
• (EF06MA13-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com base na 
ideia de proporcionalidade, sem fazer uso da regra de três, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e 
calculadora, em contextos de educação financeira, entre outros.
• (EF07MA02-A) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que 
lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando a proporcionalidade em contextos diversos. 
• (EF07MA02-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que 
lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no 
contexto de educação financeira, entre outros.
• (EF08MA04-B) Resolver e elaborar problemas, envolvendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de 
tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
• (EF09MA05-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de 
aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente, com o uso de 
tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.
• (EF07MA17-A) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade 
direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, para calcular a quantidade de um produto ao valor 
a pagar, alterar as quantidades de ingredientes de receitas, ampliar ou reduzir escala em mapas, entre outros.
• (EF08MA13) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam grandezas diretamente ou in-
versamente proporcionais, por meio de estratégias variadas.
• (EF09MA08-A) Reconhecer o uso das regras de três simples e compostas em situações problema que en-
volvam relações de proporcionalidade direta ou inversa entre duas ou mais grandezas. 
• (EF09MA08-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalida-
de direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes proporcionais e taxa de 
variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas
2º grupo
DCGO - 
Ampliado
• (EF06MA31-A) Classificar as variáveis presentes em uma pesquisa estatística em quantitativa ou qualitativa.
• (EF06MA31-B) Conhecer as variáveis e determinar suas respectivas frequências.
• (EF06MA31-C) Identificar os elementos constitutivos em diferentes tipos de gráfico: título, eixos, legendas, fon-
tes e datas.
• (EF06MA32-A) Ler, interpretar e resolver situações que envolvam dados de pesquisas sobre contextos ambien-
tais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em dife-
rentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o objetivo de sintetizar conclusões.
• (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa referente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer uso 
de planilhas eletrônicas para registro, representação e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos de 
gráficos e texto.
• (EF07MA35-A) Analisar situações cotidianas diversas em que dois conjuntos de dados diferentes com mesma 
média aritmética apresentam conclusões qualitativas distintas.
• (EF07MA35-B) Apresentar a diferença do uso da média estatística aritmética em relação ao uso da média esta-
tística ponderada como indicador da tendência de uma pesquisa.
• (EF07MA35-C) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da 
tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados 
estatísticos.teremos: 
Subtraindo do maior valor o menor, temos:
11 000 – 7500 = 3500
Professor(a), para o segundo grupo de habilidades, é es-
perado que os(as) estudantes tenham desenvolvido as 
habilidades essenciais dos grupos “Abaixo do Básico” e 
“Básico”, pois o objetivo é que eles(as) progridam para o 
desenvolvimento das habilidades do grupo “Proficiente” e 
sigam ampliando cada vez mais seus conhecimentos.
Desta maneira, estima-se que, para este segundo grupo 
de atividades, os(as) estudantes sejam capazes de desen-
volver as seguintes habilidades:
• (EF06MA31-A) Classificar as variáveis presentes em 
uma pesquisa estatística em quantitativa ou qualitativa.
• (EF06MA31-B) Conhecer as variáveis e determinar 
suas respectivas frequências.
• (EF06MA31-C) Identificar os elementos constitutivos 
em diferentes tipos de gráfico: título, eixos, legendas, fon-
tes e datas.
• (EF06MA32-A) Ler, interpretar e resolver situações 
que envolvam dados de pesquisas sobre contextos am-
bientais, sustentabilidade, trânsito, consumo responsável, 
entre outros, apresentadas pela mídia em tabelas e em di-
ferentes tipos de gráficos e redigir textos escritos com o 
objetivo de sintetizar conclusões.
• (EF06MA33) Planejar e coletar dados de pesquisa re-
ferente a práticas sociais escolhidas pelos alunos e fazer 
uso de planilhas eletrônicas para registro, representação 
e interpretação das informações, em tabelas, vários tipos 
de gráficos e texto.
• (EF07MA35-A) Analisar situações cotidianas diversas 
em que dois conjuntos de dados diferentes com mesma 
média aritmética apresentam conclusões qualitativas dis-
tintas.
• (EF07MA35-B) Apresentar a diferença do uso da mé-
dia estatística aritmética em relação ao uso da média es-
tatística ponderada como indicador da tendência de uma 
pesquisa.
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o que precisamos 
saber?
POPULAÇÃO E AMOSTRA
Ao conjunto de elementos portadores de, pelo menos, 
uma característica em comum denomina-se POPULA-
ÇÃO estatística ou universo estatístico. Exemplo: Con-
junto formado pelos eleitores de uma cidade.
• (EF07MA35-C) Compreender, em contextos signifi ca-
tivos, o signifi cado de média estatística como indicador 
da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e rela-
cioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de 
dados estatísticos.
• (EF08MA24) Classifi car as frequências de uma variável 
contínua de uma pesquisa em classes, de modo que re-
sumam os dados de maneira adequada para a tomada de 
decisões.
• (EF08MA25-A) Estabelecer média aritmética, moda e 
mediana como medidas de tendência central de uma pes-
quisa estatística.
• (EF08MA25-B) Obter os valores de medidas de ten-
dência central de uma pesquisa estatística: média aritmé-
tica, moda e mediana.
• (EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos 
de gráfi cos para representar um conjunto de dados de 
uma pesquisa.
• (EF08MA26-A) Reconhecer que a seleção da amostra 
na pesquisa pode ser feita de diferentes maneiras: amos-
tra casual simples, sistemática e estratifi cada.
Buscando o desenvolvimento pleno das habilidades no 1° 
corte temporal da 3ª série:
• (GO-EMMAT202A) Defi nir os elementos básicos para 
a realização de uma pesquisa (objetivos, questionário, va-
riáveis, população, entre outros), analisando as os assun-
tos e/ou temas de interesse para planejar e executar uma 
pesquisa amostral.
• (GO-EMMAT202B) Planejar e executar, a partir de ne-
cessidades específi cas do cotidiano, uma pesquisa amos-
tral, usando dados coletados diretamente ou em dife-
rentes fontes (jornais, revistas, mídias eletrônicas, entre 
outros) para comunicar os resultados.
• (GO-EMMAT102A) Compreender as organizações de 
quadros, tabelas, gráfi cos e amostras de pesquisas esta-
tísticas, identifi cando em relatórios divulgados por dife-
rentes meios de comunicação, seus elementos, caracte-
rísticas, padrões, entre outros para interpretar situações 
em diversos contextos.
• (GO-EMMAT102B) Interpretar situações em diversos 
contextos apresentadas grafi camente por meio de qua-
dros, tabelas, gráfi cos e amostras de pesquisas estatísti-
cas, identifi cando, quando for o caso, inadequações que 
possam induzir a erros de interpretação (escalas e amos-
tras não apropriadas, entre outros) para analisar informa-
ções como recurso para a construção de argumentos.
• (GO-EMMAT102C) Analisar informações expressas em 
quadros, tabelas, gráfi cos e amostras de pesquisas esta-
tísticas como recurso para a construção de argumentos, 
utilizando procedimentos matemáticos para interpretar si-
tuações em diversos contextos (das Ciências da Natureza e 
Humanas ou tecnológicas) divulgados por diferentes meios.
• (GO-EMMAT316A) Interpretar dados e informações 
representados de diferentes formas, analisando o contex-
to, para calcular as medidas de tendências central (moda, 
média e mediana) e de dispersão (amplitude, variância e 
desvio-padrão).
• (GOEMMAT316B) Calcular as medidas de tendências 
central (moda, média e mediana) e de dispersão (amplitude, 
variância e desvio-padrão), utilizando procedimentos mate-
máticos para resolver problemas em diferentes contextos.
• (GO-EMMAT316C) Resolver e elaborar problemas, em 
diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpreta-
ção das medidas de tendência central (média, moda, me-
diana) e de dispersão (amplitude, variância e desvio-pa-
drão), utilizando procedimentos matemáticos para avaliar 
propostas de intervenção na realidade.
• (GO-EMMAT406A) Compreender os conceitos e as es-
truturas das representações gráfi cas, identifi cando seus 
elementos (título, eixos, legendas, rótulos, linhas etc.) 
para construir e interpretar quadros, tabelas e gráfi cos 
de frequências.
• (GO-EMMAT406B) Construir quadros, tabelas e gráfi -
cos de frequências analisando dados obtidos em pesqui-
sas por amostras estatísticas (incluindo ou não o uso de 
softwares) que inter-relacionam estatísticas, geometria e 
álgebra para apresentar compilações, sínteses etc., refe-
rentes a resultados de pesquisas para a população.
• (GO-EMMAT406C) Interpretar dados de natureza 
científi ca e social apresentadas em quadros, tabelas e 
gráfi cos, identifi cando elementos e informações relevan-
tes para avaliar propostas de intervenção na realidade.
• (GO-EMMAT407A) Interpretar dados e informações 
estatísticas divulgadas em textos diversos por meio de 
quadros, tabelas, diagramas, gráfi cos (histograma, bo-
xplot, de ramos e folhas, entre outros), analisando os 
conceitos envolvidos (população e amostra, frequências 
absoluta e relativa, entre outros) para reconhecer o uso 
estatístico mais adequado.
E dos descritores da Matriz Saeb: 
3ª 
série
D34 – Resolver problema envolvendo informa-
ções apresentadas em tabelas e/ou gráfi cos.
D35 – Associar informações apresentadas em 
listas e/ou tabelas simples aos gráfi cos que as re-
presentam e vice-versa.
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Se todos podem ser pesquisados, realiza-se o CENSO. 
Se a população é um conjunto formado por muitos ele-
mentos, torna-se inviável analisá-la por inteiro, quer seja 
fator tempo ou pelo custo. Nesse caso, deve-se trabalhar 
com uma parte da população, denominada AMOSTRA. 
Por exemplo, para conhecer algumas características do 
sangue, não é preciso tirar todo o sangue do corpo, mas 
apenas uma amostra. É fundamental que as amostras se-
jam representativas, pois as conclusões dessas amostras 
serão também da população (Inferência Estatística).
Para a seleção de uma amostra há técnicas denomi-
nadas amostragem. Mediante uma destas técnicas é pos-
sível garantir o acaso na escolha e assegurar à amostra a 
representatividade da população.
Amostragem: Para realizar um estudo por amostra-
gem, a amostra deve ser representativa da população es-
tudada. Para isso, existem técnicas adequadas para cada 
tipo de situação.Algumas dessas técnicas são as seguintes:
Amostragem aleatória simples: o processo mais ele-
mentar e frequentemente utilizado. Pode ser realizado 
numerando-se os elementos da população de 1 a n e sor-
teando-se, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, 
x números dessa sequência, que formarão a amostra.
Amostragem estratificada (Proporcional estrati-
ficada): quando a população possui características que 
permitem a criação de subconjuntos, é utilizada a amos-
tragem estratificada. Como a população se divide em 
subconjuntos, convém que o sorteio dos elementos leve 
em consideração tais divisões, para que os elementos da 
amostra sejam proporcionais ao número de elementos 
desses subconjuntos. Por exemplo, se em uma população 
de 200 estudantes, há 120 meninos e 80 meninas, uma 
amostra representativa de 20%, dessa população seriam 
24 meninos e 16 meninas.
Amostragem sistemática: é utilizada em populações 
que possuem os elementos ordenados. Nesta técnica, 
a seleção dos elementos que comporão a amostra pode 
ser feita por um sistema criado pelo pesquisador, ou seja, 
escolhe-se cada elemento de ordem n. Por exemplo, o 5º 
elemento, o 10º elemento, o 15º elemento e assim por 
diante.
Amostragem de conveniência: os elementos são es-
colhidos por conveniência ou por facilidade. Um exemplo 
deste tipo de amostragem é o caso em que os estudantes 
de uma escola são convidados a responder a um questio-
nário.
Amostragem intencional: um grupo de elementos é 
escolhido intencionalmente para compor a amostra. O 
pesquisador se dirige intencionalmente a grupos de ele-
mentos dos quais deseja saber a opinião. Um exemplo é 
uma pesquisa sobre preferência por marcas de chuteiras 
e o pesquisador entrevista jogadores de futebol. 
Amostragem acidental: as amostras são formadas 
por aqueles elementos que vão aparecendo. Este método 
é utilizado, geralmente, em pesquisas de opinião, em que 
os entrevistados são acidentalmente escolhidos.
 Quer saber mais sobre as aplicações da 
Estatística?
Acesse o QR Code e assista o documentá-
rio do Youtube: The Joy Of Stats (O Prazer 
da Estatistica) | Hans Rosling, 2010.
ATIVIDADES
Professor(a), nas atividades propostas, a seguir, buscamos 
evidenciar a significativa importância da amostragem. Ela 
se destaca pela sua capacidade de extrair informações re-
presentativas de uma população por meio de uma seleção 
cuidadosa de uma parte representativa. Essas habilidades 
são essenciais em uma variedade de contextos, incluindo:
Representatividade: A habilidade de selecionar uma 
amostra que reflita fielmente as características e variabi-
lidades da população alvo, garantindo que as conclusões 
derivadas sejam confiáveis e aplicáveis;
Eficiência: Capacidade de realizar estudos e pesquisas de 
forma mais rápida, econômica e prática, otimizando re-
cursos e tempo ao evitar a necessidade de coletar dados 
de toda a população;
Precisão: Habilidade em aplicar métodos estatísticos 
adequados para garantir que as estimativas obtidas a par-
tir da amostra sejam precisas e confiáveis, com intervalos 
de confiança calculados corretamente;
Generalização dos resultados: A aptidão para extrapo-
lar os resultados da amostra para a população de origem, 
desde que a amostragem seja feita de maneira aleatória 
e representativa, permitindo conclusões relevantes e ge-
neralizáveis.
Em resumo, é crucial exemplificar aos estudantes que a 
proficiência em amostragem é fundamental para garantir 
a confiabilidade dos dados e a formulação de conclusões 
sólidas em diversos contextos, abrangendo desde a pes-
quisa acadêmica até a tomada de decisões estratégicas 
em várias áreas.
1. Bruno quer realizar uma pesquisa para saber se a comi-
da que ele serve em seu restaurante está dentro de uma 
faixa segura de temperaturas. Ele aleatoriamente selecio-
na 100 pratos servidos durante um dia e mede a tempera-
tura antes de servir ao cliente. Identifique a população e 
amostra nessa pesquisa
Sugestão de solução:
A população são todos os pratos que Bruno serve.
A amostra são os 100 pratos selecionados.
2. Para cada uma das seguintes situações diga qual o tipo 
de amostragem utilizada.
a) Em uma escola, o diretor deseja conhecer a opinião dos 
estudantes e professores sobre um tema para a mostra 
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3. Em uma população de 180 estudantes, há 120 meninos 
e 60 meninas. Extraia uma amostra representativa, de 
10%, dessa população.
cultural a ser votado. Para compor a amostra foram sor-
teados aleatoriamente 10% dos alunos matriculados e 
10% dos professores. 
Amostragem .
b) Um professor de educação física de uma escola dividiu 
10 times em dois grupos. Para o primeiro grupo ele sele-
ciona aleatoriamente 5 times e considera os outros 5 para 
o segundo grupo. 
Amostragem .
c) Uma lista numerada contém 200 nomes, numerados de 
1 a 200. Iniciando-se do 10º nome, uma amostra foi com-
posta considerando sorteados os nomes referentes aos 
números 20, 30, 40, 50 e assim sucessivamente até que 
fossem escolhidos 20 nomes. 
Amostragem .
d) Em uma pesquisa sobre preferência por determina-
da cor de esmalte de unhas, o pesquisador entrevista as 
clientes de um salão de beleza. 
Amostragem .
e) Em uma pesquisa sobre o grau de satisfação, os clientes 
são entrevistados na saída de um shopping. 
Amostragem .
Sugestão de solução:
a) aleatória estratificada.
b) de conveniência.
c) sistemática.
d) intencional.
e) acidental.
Professor(a), antes de resolver a atividade 3, pergunte 
aos estudantes se uma amostra contendo 9 meninos e 9 
meninas seria representativa para a população sugerida, 
nesta atividade. Peça que justifiquem suas respostas, ge-
rando um debate entre eles(as).
Sugestão de solução:
Vamos avançar?
VARIÁVEL
Variável é a característica de interesse que é medida 
em cada elemento da amostra ou população. As variáveis 
podem ter valores numéricos ou não numéricos e são 
classificadas da seguinte forma:
Variáveis Quantitativas: são as características que 
podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, 
apresentam valores numéricos que fazem sentido. Se di-
videm em dois grupos: discretas ou contínuas.
• Variáveis quantitativas discretas: características 
mensuráveis que podem assumir apenas um número fini-
to ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem 
sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de 
contagens. Exemplo: número de estudantes.
• Variáveis quantitativas contínuas: características 
mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua 
(na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. 
Usualmente devem ser medidas através de algum instru-
mento. Exemplo: estatura de uma pessoa (balança).
Variáveis Qualitativas (ou categóricas): são as carac-
terísticas que não possuem valores quantitativos, mas, ao 
contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, re-
presentam uma classificação dos indivíduos. Se dividem 
em dois grupos: nominais ou ordinais.
• Variáveis qualitativas nominais: não existe ordena-
ção dentre as categorias. Exemplo: cor dos olhos.
• Variáveis ordinais: existe uma ordenação entre as 
categorias. Exemplo: escolaridade. 
Observação: nem sempre uma variável representada 
por números é quantitativa. Exemplo: número do telefone.
ATIVIDADES
4. Exemplifique cada tipo de variável, a seguir:
a) Quantitativa discreta.
b) Quantitativa contínua.
c) Qualitativa nominal.
d) Qualitativa ordinal.
Sugestão de solução:
a) Número de filhos em uma família, quantidade de carros 
em um estacionamento, número de estudantes em uma 
sala de aula.
b) Altura de uma pessoa (pode variar em um intervalo 
contínuo), peso de um objeto, temperatura ambiente.
c) Cor dos olhos (por exemplo, azul, castanho, verde), gê-
nero (masculino, feminino, outros), estado civil (solteiro, 
casado, divorciado).
d) Classificação de satisfação do cliente (por exemplo, 
muito insatisfeito, insatisfeito, neutro,satisfeito, muito 
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5. Classifique as variáveis, a seguir:
a) A cor dos cabelos dos estudantes de uma escola.
b) O número de filhos dos casais residentes em uma cidade.
c) Os pontos obtidos em cada jogada em um torneio de 
dardos.
d) O número de peças produzidas por hora.
e) A escolaridade dos funcionários de uma empresa.
f) A precipitação pluviométrica, durante um ano, medida 
por uma estação meteorológica.
Vamos ampliar?
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Para se organizar conjuntos de dados, é conveniente 
resumi-los em uma tabela, através do agrupamento dos 
dados em classes quando necessário) e suas respectivas 
frequências. Frequência o número de vezes que aparece 
na amostra (ou na população) cada possível resultado da 
variável.
Quando os dados são discretos com valores repeti-
dos, a simples identificação deles com as respectivas fre-
quências, pode ser um procedimento adequado, que se dá 
o nome de distribuição de frequências sem intervalos de 
classes. 
Quando os dados são contínuos, pode acontecer que 
poucos, ou até nenhum deles, apresente frequência. Nes-
tes casos, o procedimento começa pela definição de clas-
ses. Classes de frequência, ou simplesmente, classes são 
intervalos de variação da variável. Nesses casos a distri-
buição de frequências é feita com intervalos de classe.
Para cada classe, em uma distribuição de frequência, 
os limites de classe inferior e superior indicam os valores 
compreendidos pela classe. As classes são representadas 
por i, sendo i = 1, 2, 3, ..., k (onde k é o número total de clas-
ses da distribuição). 
Limites de classes são os extremos de cada classe. O 
menor número é o limite inferior da classe e o maior nú-
mero, o limite superior da classe. 
Amplitude de um intervalo de classe, ou simplesmen-
te, intervalo de classe é a medida do intervalo que define 
a classe.
satisfeito), nível de escolaridade (primário, secundário, 
graduação, pós-graduação), classificação socioeconômica 
(baixa renda, média renda, alta renda).
Sugestão de solução:
a) Qualitativo Nominal.
b) Quantitativo Discreta.
c) Quantitativa Discreta.
d) Quantitativa Discreta.
e) Qualitativo Ordinal.
f) Quantitativa Contínua.
Amplitude total da distribuição (AT) é a diferença entre 
o limite superior da última classe (limite superior máximo) e 
o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo).
Amplitude amostral (AA) é a diferença entre o valor 
máximo e o valor mínimo da amostra.
Ponto médio de uma classe é o ponto que divide o in-
tervalo de classe em duas partes iguais. 
Tabelas de frequência sem intervalos de classes
Considere a seguinte situação: Professora Marta rea-
liza uma pesquisa nas salas do 3° ano do Ensino Médio do 
Colégio Estadual Bons Estudos, com o objetivo de saber 
a altura aproximada, em cm, dos alunos do turno noturno 
no ano de 2021.
Para cada altura contamos o número de ocorrências. 
Esse número obtido é chamado de frequência absoluta 
(fa) que será representado na tabela, conforme a seguir:
Fonte: Fictício – Secretaria do Colégio
Frequência absoluta acu-
mulada (Fac): cujos valores são 
obtidos adicionando a cada 
frequência absoluta os valores 
das frequências anteriores.
Frequência relativa (fi): é 
a razão entre a frequência ab-
soluta e o número total de tor-
cedores. Em geral é escrita em 
porcentagem.
Observando a frequência acumulada (Fac) podemos 
fazer algumas observações:
• 6 alunos têm até 155cm de altura;
• 20 alunos têm até 161 cm de altura; 
• 10 alunos têm menos de 159 cm de altura; 
• 16 alunos têm altura maior que 172 cm.
Observando a frequência relativa (fi) podemos fazer 
algumas observações:
• 16,67% dos alunos têm 163 cm de altura;
• 11,67% dos alunos têm 161 cm de altura.
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Tabelas de frequência com intervalos de classes
Considere a seguinte situação:
Notas obtidas por quarenta alunos em certa escola
Vamos construir o rol da tabela anterior para facilitar 
a representação na forma tabular.
Observamos no rol que existem 17 notas diferentes, a 
tabela construída conforme aprendemos na aula anterior 
ficaria assim representada.
Vamos agora encontrar uma forma da nossa tabela fi-
car um pouco menor, para isso agruparemos as notas. 
Os dados contínuos devem ser apresentados na for-
ma de intervalos. Também em caso de grandes amostras 
de dados discretos, conforme tabela anterior a distribui-
ção por intervalo é recomendada.
Cada um dos intervalos, formados a partir do agrupa-
mento é chamado de classe.
O número de classes em uma tabela pode ser obtido 
por vários métodos.
Uma regra simples diz que as tabelas de distribuição 
de frequências devem ter de 5 a 16 classes, pois abaixo de 
5 está se perdendo informação preciosa diluída nas clas-
ses e acima de 16 o nível de detalhamento torna-se exage-
rado e pouco eficaz. 
Para os intervalos de classe, usaremos o símbolo:
Como a menor ocorrência (menor nota) é 1 e a maior 
é 10, vamos agrupá-los começando de 1 e com uma am-
plitude 1.
1⊢2 2⊢3 3⊢4 4⊢5 5⊢6 6⊢7 7⊢8 8⊢9 9⊢10 10⊢11
Quando optamos pela amplitude 1 a tabela fica assim 
definida.
Agora vamos trabalhar com a amplitude 2. Como a 
menor ocorrência (menor nota) é 1 e a maior é 10, vamos 
agrupá-los começando de 1 e com uma amplitude 2. Des-
sa forma, os intervalos são:
1 ⊢ 3 3 ⊢ 5 5 ⊢ 7 7 ⊢ 9 9 ⊢ 11
Assim, a nova tabela, com uma amplitude 2 é:
Podemos observar que quando aumentamos a ampli-
tude, a tabela fica menor.
Outras informações que podemos extrair da tabela:
• Limite de classe: São os valores extremos da classe 
(anterior e posterior).
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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
A frequência absoluta corresponde à quantidade de 
ocorrências observadas e frequência relativa equivale 
aos valores, geralmente expressos em porcentagem, que 
indicam a comparação entre a frequência absoluta e o to-
tal pesquisado. Podemos agrupar essas ocorrências em 
tabelas, chamadas de tabela de frequências, que mostram 
a relação entre a variável e a quantidade de vezes de cada 
ocorrência (frequência).
 Gráfico Histograma
Utilizamos um histograma para representar uma dis-
tribuição de frequências cuja variável tem seus valores 
agrupados em intervalos.
O histograma é um gráfico formado por retângulos 
justapostos cujas bases são construídas sobre o eixo das 
coordenadas do plano cartesiano, considerando o primei-
ro quadrante.
Exemplo:
A professora Silvia estava selecionando os atletas que 
disputariam os Jogos Estudantis. Observe as idades ano-
tadas.
Observe os dados obtidos, na seguinte tabela de fre-
quência:
Com os dados da distribuição de frequência, ela cons-
truiu o seguinte histograma:
 Gráfico de Barras
Na visualização de uma ou mais categorias de dados, 
o gráfico de barra se torna uma importante ferramenta. 
Esse gráfico permite que você visualize melhor a diferen-
ça entre os pontos de dados de cada categoria. As barras 
podem aparecer na vertical ou na horizontal, quando 
também são chamadas de colunas. 
Os gráficos de colunas ou barras são os mais simples, 
tanto para a construção quanto para leitura e interpreta-
ção. Permitem uma comparação rápida dos valores apre-
sentados. 
A decisão entre colunas ou barras é mais estética, con-
tudo, o gráfico de barra é mais utilizado quando os valores 
da variável estudada são palavras e, escritas na horizon-
tal, tornam a leitura mais fácil.
 Gráfico de Colunas
Na visualização de uma ou mais categorias de dados, 
os gráficos de colunas se tornam uma importante ferra-
menta. Esses gráficos permitem que você expresse visu-
almente a diferença entre os pontos dos dados de cada 
categoria. As colunas podem aparecer na verticalou na 
horizontal, quando também são chamadas de barras.
 Gráficos de Segmentos (linhas)
Esse tipo de gráfico é especialmente útil quando se 
quer representar uma variável contínua, cujos valores po-
dem diminuir ou aumentar no decorrer do tempo.
Nesta situação, na classe (1⊢3) o número 1 é o limite 
anterior do intervalo de classe e, o número 3, é o limite 
posterior do intervalo de classe.
• Amplitude total da distribuição (At): É o intervalo 
entre o limite posterior (lp) da última classe e o limite an-
terior (la) da primeira classe.
Nesta situação, o valor de lp da última classe é 11 e o 
valor de la, da primeira classe é 1. Logo,
At = lp–la → At = 11–1 → At = 10
 Gráficos de Setores
O gráfico em setores, também chamado de gráfico 
circular ou gráfico de pizza, é construído a partir da di-
visão de um círculo em setores circulares cujos ângulos 
centrais, são diretamente proporcionais à frequência de 
cada variável.
Exemplo:
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ATIVIDADES
6. O quadro apresenta a média, em física, de 30 alunos do 
1º ano de um Colégio. Veja, a seguir:
Responda:
a) Construa uma tabela com frequência absoluta, frequ-
ência absoluta acumulada e frequência relativa.
b) Quantos alunos obtiveram média 6,0?
c) Quantos alunos obtiveram média menor que 6,0?
d) Quantos alunos obtiveram média superior a 6,0?
e) Qual o índice de alunos que obtiveram média maior que 7,0?
7. Observe o gráfico que a Agência de Turismo - GR apre-
senta uma pesquisa do meio de transporte para uma via-
gem turística.
Responda:
a) Que tipo de gráfico é esse?
b) A que assunto se refere?
c) Segundo os dados da pesquisa, qual é o meio de trans-
porte preferido para uma viagem turística?
d) Determine as medidas aproximadas dos ângulos cen-
trais dos setores correspondentes às porcentagens.
Professor(a), nas atividades 6 a 10, o objetivo é que os(as) 
estudantes desenvolvam a habilidade de resolver pro-
blemas que envolvem gráficos e tabelas (D34 – Resolver 
problema envolvendo informações apresentadas em ta-
belas e/ou gráficos e D35 – Associar informações apre-
sentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que 
as representam e vice-versa, da matriz SAEB da 3ª Série).
Serão implementadas abordagens práticas e interativas, 
que incluirá atividades de análise de dados, interpretação 
de gráficos e elaboração de conclusões com base nas in-
formações apresentadas. Incentive-os(as) a trabalharem 
em equipe, discutindo suas descobertas e comparando 
diferentes estratégias para resolver o problema propos-
to. Para isso, indique algumas etapas do processo de reso-
lução, como por exemplo, construção de tabela em ordem 
crescente/decrescente.
Sugestão de solução:
a)
b) 4 c) 16 d) 10 e) 16,67%
8. O gráfico, a seguir, representa o percentual de cresci-
mento do número de funcionários de algumas empresas, 
elaborada pelo Instituto de Pesquisa Ficção.
Sugestão de solução:
a) Gráficos de setores.
b) A quantidade de pessoas que tem os meios de transpor-
te ferroviário, rodoviário e aéreo como seus preferidos.
c) Rodoviário.
d) Sabendo que uma circunferência possuí 360°, aplicare-
mos a regra de três para realizar os cálculos.
Rodoviário:
Assim, o ângulo central referente ao setor Rodoviário é de 
226,8°.
Ferroviário:
Assim, o ângulo central referente ao setor Ferroviário é 
de 46,8°.
Aéreo:
Assim, o ângulo central referente ao setor Aéreo é de 
86,4°.
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Agora, responda:
a) Que tipo de gráfico é esse?
b) Que empresa teve o maior crescimento, em porcenta-
gem, no número de funcionários em 2021?
c) Se a empresa Pardal tinha 1000 funcionários, em 2020, 
quantos funcionários passou a ter em 2021?
d) Que empresa teve o menor crescimento, em porcenta-
gem, no número de funcionários em 2020?
e) Se a empresa Arara ficou com 1339 funcionários, em 
2021, quantos tinha em 2020?
Sugestão de solução:
a) Gráfico de barra horizontal.
b) Empresa pardal.
c) 1000 ∙ 1,1 = 1100
d) Empresa arara.
e) Aplicando a regra de três, temos
Assim, a empresa Arara, tinha 1300 funcionários em 
2020.
9. Observe os histogramas que representa o agrupamen-
to da altura (em cm) dos estudantes da 3ª A: 
Responda:
a) Qual a quantidade de estudantes mais altos? Represen-
te esse índice em porcentagem.
b) Qual intervalo possui a maior quantidade de estudan-
tes? Represente esse índice em porcentagem.
c) Qual a quantidade de estudantes mais baixos? Repre-
sente esse índice em porcentagem.
Sugestão de solução:
a) São 4 estudantes mais altos e corresponde a 10% 
b) O intervalo é [160, 170[ e corresponde a 30%. 
c) São 6 estudantes mais baixos e corresponde a 15%.
Professor(a), na atividade 11, o objetivo é que os(as) es-
tudantes desenvolvam a habilidade de ler e interpretar 
um histograma. Reforce com os estudantes que o título, a 
frequência e a classe são elementos essenciais em um his-
tograma, pois esta, é uma representação gráfi ca de dados 
que mostra a distribuição de frequência de um conjunto 
de valores. 
Nesse sentido, o suporte apresentado nesta atividade 
está com título, classes e frequências em “aberto”, dando 
a oportunidade de você, professor(a), relembrar os(as) es-
tudantes que o título fornece contexto, a frequência reve-
la a distribuição dos dados e as classes agrupam os dados 
de uma maneira que facilite a interpretação visual. Juntos, 
esses elementos ajudam a comunicar efetivamente infor-
mações sobre os dados representados no histograma.
Professor(a), assim como as atividades desse tópico 
(Vamos ampliar?) visam o desenvolvimento, por parte 
do(a) estudante, dos descritores D34 e D35 da matriz 
SAEB da 3ª série: Resolver problema envolvendo infor-
mações apresentadas em tabelas e/ou gráfi cos e asso-
ciar informações apresentadas em listas e/ou tabelas 
simples aos gráfi cos que as representam e vice-versa, a 
seguir, estão itens que avaliam se eles(as) desenvolve-
ram a habilidade relacionada a estes descritores. 
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar as ha-
bilidades de resolver problema envolvendo informações 
apresentadas em tabelas e/ou gráfi cos e associar infor-
mações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos 
gráfi cos que as representam e vice-versa. Fique atento a 
sua resolução, marque apenas uma alternativa e verifi que 
a solução.
REVISITANDO A MATRIZ
Item 1: (ENEM 2022) No período de 2005 a 2013, o valor 
de venda dos imóveis em uma cidade apresentou alta, o 
que resultou no aumento dos aluguéis. Os gráficos apre-
sentam a evolução desses valores, para um mesmo imó-
vel, no mercado imobiliário dessa cidade.
A rentabilidade do aluguel de um imóvel é calculada pela 
razão entre o valor mensal de aluguel e o valor de merca-
do desse imóvel.
Com base nos dados fornecidos, em que ano a renta-
bilidade do aluguel foi maior?
(A) 2005 (D) 2011
(B) 2007 (E) 2013
(C) 2009
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Item 2: Uma padaria, fabrica seus quitutes de acordo com 
a demanda de vendas. 
A tabela, a seguir, mostra o consumo, por quilograma, em 
uma semana de vendas.
O gráfico que melhor representa a demanda de vendas, 
dessa semana, é
(A) 
(B)
(C)
(D)
(E)
Vamos Sistematizar?
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
A estatística visa organizar dados coletados em pes-
quisas com o intuito de condensá-los de forma prática 
para uma melhor visualização do produto por parte de 
pesquisadores e sociedade. Para isso, existem ferramen-
tas matemáticas que são utilizadas a fim de otimizar análi-
ses exploratórias de conjuntos de dados. 
Dentre estas ferramentas podemos trabalhar com 
medidas de tendência central (valores que trazem infor-
mações de dados estatísticos – populacionais ou amos-
trais) cuja intenção é resumir e organizar informaçõesestatísticas obtidas em pesquisas.
São consideradas medidas de tendência central a mé-
dia aritmética, a mediana e a moda. Vejamos:
 Média Aritmética
É considerada o ponto de equilíbrio de uma sucessão 
de dados. Surge do resultado da divisão do somatório dos 
números dados pela quantidade de números somados.
Sejam x1, x2
, x3, …, xn os n valores obtidos de uma ob-
Gabarito: B
Sugestão de solução:
O cálculo da rentabilidade do aluguel é a razão entre o 
valor mensal do aluguel, e o valor de mercado do imóvel:
Denotando a rentabilidade de r, o valor mensal do aluguel 
de Va e valor de mercado do imóvel de Vi. 
Para cada ano, temos:
Com base nos resultados apresentados, o ano de maior 
rentabilidade foi o ano de 2007.
Gabarito: E
Sugestão de solução:
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Ou seja,
Observe que para se determinar a média aritmética 
dos números (4, 6, 24, 30 e 46) será necessário proceder 
da seguinte forma:
Logo, a média aritmética dos números é 22.
 Média Ponderada
A média ponderada ou média aritmética ponderada, é 
muito usada quando se torna necessário valorizar, dar peso 
a um ou mais valores que entram no cálculo da média.
Consideremos uma coleção formada por n números: 
x1, x2
, … xn de forma que cada um esteja sujeito a um peso, 
respectivamente, indicado por: p
1
, p
2
, …, p
n
. A média arit-
mética ponderada desses n números é a soma dos produ-
tos de cada valor pelos respectivos pesos, dividida pela 
soma dos pesos, isto é:
Observação: “peso” é sinônimo de “ponderação”.
Exemplo:
Usando os dados da tabela a seguir, calcule a média 
das idades dos 36 estudantes de uma turma.
Como temos vários estudantes com a mesma idade, 
usaremos o cálculo da média ponderada. 
 Moda
Quando falamos em moda logo vem em nossa mente 
algo que está em “moda”, algo que a maioria das pessoas 
usam. Em matemática Moda é o valor que aparece com 
maior frequência em um conjunto de dados.
Exemplos:
1) Seja o conjunto P = (5, 3, 4, 7, 3, 6, 8).
O número que aparece com maior frequência é o 3. 
Assim, a moda desse conjunto é 3.
2) Seja o conjunto Q = (1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 3). 
Neste caso não tem moda pois, não existe um valor 
mais frequente.
servação qualquer. Então, a média aritmética destes valo-
res será definida como:
A moda em um conjunto pode assumir 4 classificações.
• Amodal, quando não existe moda. (1,2,4,5,7,8).
• Unimodal, quando a moda é única. (3,6,8,5,3,4,7), 
moda =3.
• Bimodal, quando há duas modas. (2,3,5,2,7,5,1), moda 
= 2 e 5.
• Multimodal, quando há mais de duas modas. 
(1,2,5,7,1,7,2,3,4,8), moda =1,2 e 7.
 Mediana
Mediana é uma medida de tendência central que tem 
a característica de dividir um conjunto ao meio. Isto é, 
a mediana de um conjunto o separa em duas partes de 
modo que 50% dos valores sejam menores que ela e 50% 
dos valores sejam maiores que ela, ou seja, em um conjun-
to onde seus elementos estão dispostos em ordem cres-
cente ou decrescente. 
No cálculo da mediana temos dois casos a considerar:
1° caso: Quando o número de dados for ímpar, orde-
nados em ordem crescente ou decrescente, o dado que 
ocupa a posição central, é a mediana procurada.
Exemplo:
Calcule a mediana dos seguintes dados: 7, 4, 3, 7, 7, 6, 
3, 3, 2, 8, 2. Os números colocados em ordem, no caso, 
crescente: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 8. A mediana ocupa a 6ª 
posição, ou seja, 4.
2° caso: Quando o número de dados for par, a media-
na será a média aritmética dos dois valores centrais, em 
ordem (crescente e decrescente).
Exemplo: 
Calcule a mediana dos seguintes dados: 1, 3, 5, 7, 9, 10.
Uma regra fácil para encontrar os valores centrais é 
 onde n indica a quantidade de dados.
Calculando as posições centrais onde n=6.
posição posiçãoposição posição
Os números que estão na 3ª e 4ª posição são 5 e 7, res-
pectivamente. Assim, a mediana é
Quer saber mais sobre média, moda e mediana?
Acesse o QR Code e assista o vídeo do Youtube: Aula 
17 – Gobem 2024 – Matemática – Estatística
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ATIVIDADES
10. Veja a seguir as notas obtidas por um aluno em oito 
disciplinas do ensino fundamental, no quarto bimestre do 
ano letivo:
8,5; 6,0; 4,0; 3,9; 4,0; 6,2; 8,0; 5,2
Calcule a média aritmética desses valores.
O controle de qualidade de uma indústria forneceu o seguin-
te número de peças defeituosas (por lote de 100 unidades).
Determine a mediana do número de peças defeituosas.
Professor(a), nas atividades 10 a 14, o objetivo é que os(as) 
estudantes desenvolvam a habilidade de ler, interpretar e 
resolver problemas relacionados à média, mediana e moda. 
É importante destacar que, enquanto a média aritmética é 
calculada apenas com dados numéricos, a moda e a mediana 
podem ser determinadas para qualquer tipo de variável.
Ao explorar esses conceitos, os(as) estudantes não ape-
nas compreenderão como calcular essas medidas, mas 
também entenderão sua aplicabilidade em diferentes 
contextos e tipos de dados.
Sugestão de solução:
11. Encontre a moda dos seguintes conjuntos de valores.
a) 5; 6; 9; 11; 9; 3; 4; 9.
b) 1; 2; 4; 6,9; 11; 20.
Sugestão de solução:
a) Valor modal é aquela que mais se repete: 5 – 6 – 9 – 11 
– 9 – 3 – 4 – 9. 
Moda=9
b) Amodal, pois não tem nenhum número que se repete.
12. Sejam os números 7, 10, 13, 5, 17, 15, 8 e 11 oito nú-
meros de uma lista de onze números inteiros. O maior va-
lor possível para a mediana dos onze números da lista é
Sugestão de solução:
Para encontrar o maior valor possível para a mediana dos 
onze números da lista, podemos considerar a seguinte 
abordagem:
Colocamos os oito números dados em ordem crescente: 
5, 7, 8, 10, 11, 13, 15, 17.
Precisamos adicionar três números à lista para completar 
onze números.
A mediana será o número do meio da lista ordenada, ou 
seja, o sexto número.
Agora, para maximizar a mediana, devemos adicionar os 
três maiores números disponíveis. Os três números dados 
que ainda não foram incluídos na lista são 16, 18 e 20.
Portanto, a lista completa com onze números será: 5, 7, 8, 
10, 11, 13, 15, 16, 17, 18, 20.
A mediana será o sexto número da lista, que é 13.
Portanto, o maior valor possível para a mediana dos onze 
números da lista é 13.
13. As idades dos atletas olímpicos de dois países são:
Agora responda:
a) Qual a idade que mais se repete em cada país (moda)?
b) Qual a idade mediana de cada país?
c) Qual a idade que mais se repete juntando todos os atle-
tas (moda)?
d) Qual a idade mediana juntando os atletas do país “A” e 
do país “B”?
Sugestão de solução:
a) País A – moda = 16 anos.
País B – moda multimodal = 17 anos, 18 anos e 19 anos.
b) Colocando as idades do país A em ordem crescente, temos
15; 15; 16; 16; 16; 16; 17; 17; 18; 18; 19
A mediana do país A, é 16 anos.
Colocando as idades do país B em ordem crescente, temos
15; 16; 17; 17; 17; 18; 18; 18; 19; 19; 19
A mediana do País B, é 18 anos.
c) Moda multimodal = 16 anos, 17 anos e 18 anos.
d) Mediana = 17 anos.
14. O quadro, a seguir, representa a nota de 50 estudan-
tes em certa disciplina.
Observando os dados determine:
a) A nota mediana.
b) A nota modal.
Sugestão de solução:
a) A mediana é o valor que divide a distribuição em duas 
partes iguais. Como temos 50 alunos, a mediana será o 
valor que está na posição central quando os dados estão 
ordenados.
Ordenando as notas em ordem crescente:
2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 
[6,6], 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10
Ou seja,
Como temos um total de 50 alunos, a mediana é média 
das notas nas posições 25° e 26°. Assim,
Portanto, a nota mediana é 6.
b) A nota modal é a nota que ocorre com mais frequência. 
Observando a tabela, vemos que a nota 6 tem a maior fre-
quência (13 alunos). Portanto, a nota modal é 6.
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70
De olho no Enem!
15. (ENEM 2010) O quadro seguinte mostra o desempe-
nho de um time de futebol no último campeonato. A co-
luna da esquerda mostra o número de gols marcados e a 
coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou 
aquele número de gols.
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a 
moda dessa distribuição, então
(A) X = Yos dados, é possível determinar 
imediatamente a moda: basta fixar o valor da variável de 
maior frequência.
Na distribuição da Tabela 1, à frequência máxima 
corresponde o valor (12) da variável. Logo, Mo = (3) . 
Com Intervalos de Classes
A classe que apresenta a maior frequência é denomi-
nada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a 
moda, neste caso, é o valor dominante que está compre-
endido entre os limites da classe modal.
O método mais simples para o cálculo da moda consis-
te em tomar o ponto médio da classe modal.
Damos a esse valor a denominação de moda bruta. 
Então, temos,
Onde, 
l* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal.
Assim, para a distribuição da Tabela 2, temos que a 
classe modal é i = , l* = e L* = . 
Logo, 
 Mediana (Md )
Sem Intervalos de Classes
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acu-
mulada imediatamente superior à metade da soma das 
frequências. A mediana será aquele valor da variável que 
corresponde a tal frequência acumulada.
Tomemos a distribuição relativa à Tabela 1, completan-
do-a com a coluna correspondente à frequência acumulada:
Sendo:
a menor frequência acumulada que supera esse valor é 
, que corresponde ao valor da variável, sendo 
este o valor mediano. Logo:
Md = . 
Nota: No caso de existir uma frequência acumulada 
(Fi), tal que: , a mediana será dada por:
Isto é, mediana será a média aritmética entre o valor 
da variável correspondente a essa frequência acumulada.
Exemplo:
Com Intervalos de Classes
Neste caso, o problema consiste em determinar o 
ponto do intervalo em que está compreendida a mediana.
Para tanto, executamos os seguintes passos:
1º) Determinamos as frequências acumuladas.
2º) Calculamos 
Temos:
Logo,
(≅2,29)
(3) (158) (162)
(18) (2)
(2)
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73
3º) Marcamos a classe correspondente a frequência 
acumul da imediatamente superior à (classe media-
na) e, em seguida, empregamos a fórmula:
Onde,
l* é o limite inferior da classe mediana;
Fant é a frequência acumulada da classe anterior à clas-
se mediana;
f* é a frequência simples da classe mediana;
h* é a amplitude do intervalo da classe mediana.
Assim, considerando a distribuição da Tabela 2, temos:
Assim, 
Logo, a classe mediana é a de ordem ___ (3). Então:
(158), _____(13), ____(11) e 
____(4).
Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:
Nota: No caso de existir uma frequência acumulada 
exatamente igual a , a mediana será o limite superior 
da classe correspondente.
ATIVIDADES
20. Observe a tabela contendo os dados da amostra de 
uma pesquisa, com goianos, sobre o consumo de sal diário 
(em gramas).
Determine o consumo médio, o consumo modal e o 
consumo mediano, dessa amostra.
Professor(a), nas atividades 20 e 21, o objetivo é que 
os(as) estudantes desenvolvam a habilidade de ler, inter-
pretar e resolver problemas relacionados à média, moda 
e mediana a partir das tabelas de frequência, quer con-
tenham ou não intervalos de classe. Ao trabalharem com 
as tabelas de frequência, os(as) estudantes serão capa-
citados a extrair informações relevantes e a calcular as 
medidas adequadas para descrever o conjunto de dados 
apresentado. Isso não apenas fortalece sua compreensão 
dos conceitos estatísticos, mas também os prepara para 
aplicar essas habilidades em situações práticas e variadas.
Sugestão de solução:
Média:
Moda:
Uma vez agrupados os dados, basta fixar o valor da variá-
vel de maior frequência, neste caso 11. 
Mediana:
Colocando os dados em ordem crescente, temos:
6, 8, 9, 11, [11], 11, 12, 14, 18
Assim, o mediano neste caso é 11.
Portanto, nessa amostra, consumo médio é, aproximada-
mente, de 11,11 g, o consumo modal é 11 g e o consumo 
mediano é 11 g.
21. A tabela, a seguir, indica a idade de uma amostra de 
pacientes com hipertensão arterial:
Determine a idade média, a idade modal e a idade mediana.
Sugestão de solução:
Média:
Moda: A moda é a idade que ocorre com maior frequência.
Neste caso, a faixa etária com a maior frequência é a de 
40 ⊢ 50 anos, com 13 pacientes.
Portanto, a idade modal é de 40 a 50 anos.
Mediana: A mediana é a idade que divide a distribuição em 
duas partes iguais, com metade dos pacientes mais jovens 
do que essa idade e a outra metade mais velha.
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Primeiro, vamos determinar a posição da mediana. Como 
temos um total de 40 pacientes, a posição da mediana é
Como a posição da mediana é um número fracionário, ela 
estará entre o 20º e o 21º paciente. Portanto, a mediana 
será a média das idades do 20º e 21º pacientes.
Observando a tabela, sabemos que os pacientes de 40 ⊢ 
50 anos ocupam as primeiras 25 posições (2 + 10 + 13). 
Portanto, os pacientes do 20º ao 21º estão na faixa etária 
de 40 ⊢ 50 anos.
Agora, calculando a mediana, temos:
Dessa forma, a mediana é de 45 anos.
Portanto, a Idade média é 46,75 anos, a Idade modal é 40 
a 50 anos e a Idade mediana é 45 anos.
O Excel é uma ferramenta que pode ser usada em aulas 
de estatística para ensinar conceitos e realizar cálculos, 
como média, moda, mediana, desvio-padrão e variância. 
O Excel também pode ser usado para criar gráficos e ta-
belas, que ajudam a identificar tendências, variabilidade e 
valores extremos.
GRUPO DE ATIVIDADES 3 3
Professor(a), para o terceiro grupo de habilidades, é espe-
rado que os(as) estudantes tenham desenvolvido as habi-
lidades essenciais dos grupos “Abaixo do Básico”, “Básico” e 
“Profi ciente”, pois o objetivo é que eles(as) progridam para 
o desenvolvimento das habilidades do grupo “Avançado” 
e sigam ampliando cada vez mais seus conhecimentos.
Desta maneira, estima-se que, para este terceiro grupo 
de atividades, os(as) estudantes sejam capazes de desen-
volver as seguintes habilidades:
• (GO-EMMAT202D) Interpretar medidas de tendência 
central e de dispersão (amplitude e desvio-padrão), utili-
zando ou não recursos tecnológicos, para avaliar propos-
tas de intervenção na realidade.
• (GOEMMAT316B) Calcular as medidas de tendências 
central (moda, média e mediana) e de dispersão (amplitu-
de, variância e desvio-padrão), utilizando procedimentos 
matemáticos para resolver problemas em diferentes con-
textos.
• (GO-EMMAT316C) Resolver e elaborar problemas, em 
diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpreta-
ção das medidas de tendência central (média, moda, me-
diana) e de dispersão (amplitude, variância e desvio-pa-
drão), utilizando procedimentos matemáticos para avaliar 
propostas de intervenção na realidade.
Buscando o desenvolvimento pleno das habilidades no 1° 
corte temporal da 3ª série:
• (GO-EMMAT202C) Comunicar os resultados da pes-
quisa amostral, utilizando relatórios, quadros, tabelas e 
gráfi cos para interpretar medidas de tendência central e 
de dispersão (amplitude e desvio-padrão).
• (GO-EMMAT202D) Interpretar medidas de tendência 
central e de dispersão (amplitude e desvio-padrão), utili-
zando ou não recursos tecnológicos, para avaliar propos-
tas de intervenção na realidade.
• (GO-EMMAT316A) Interpretar dados e informações 
representados de diferentes formas, analisando o contex-
to, para calcular as medidas de tendências central (moda, 
média e mediana) e de dispersão (amplitude, variância e 
desvio-padrão).
• (GOEMMAT316B) Calcular as medidas de tendências 
central (moda, média e mediana) e de dispersão (amplitude, 
variância e desvio-padrão), utilizando procedimentos mate-
máticos para resolver problemas em diferentes contextos.
• (GO-EMMAT316C) Resolver e elaborar problemas, em 
diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpreta-
ção das medidas de tendência central (média, moda, me-
diana) e de dispersão (amplitude, variância e desvio-pa-
drão), utilizando procedimentos matemáticos para avaliar 
propostas de intervenção na realidade.
• (GO-EMMAT407B)Interpretar e comparar conjuntos 
de dados estatísticos por meio de gráfi cos, analisando di-
ferentes diagramas para determinar resultados efi cientes.
o que precisamos 
saber?
MEDIDA DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão indicam se os valores estão 
relativamente próximos um dos outros ou separados 
em torno de uma medida de posição: a média.
Consideraremos quatro medidas de dispersão: Des-
vio médio, Variância, Desvio-padrão e Coeficiente de Va-
riação.
Desvio Médio (DM)
O Desvio médio analisa a média dos desvios em torno 
da média.
1ª Situação: Dados não agrupados.
Sejam os elementos x1, x2, x3, …, xn de uma amostra, ou 
seja, “n” valores da variável x, com média igual a .
Assim, o Desvio médio da variável aleatória de x é,
Onde n é o número de elementos do conjunto.
Exemplo:
Suponha o conjunto de tempo de serviço, em anos, de 
cinco funcionários sejam: 3, 7, 8, 10 e 11.
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Determine o Desvio médio deste conjunto de dados.
Resolução:
Encontrando o valor da média ( ):
Então, o Desvio médio é
Em outras palavras, o tempo de serviço, em média, deste 
grupo de funcionários se desvia em 2,24 anos em torno dos 
7,8 anos de tempo médio de serviço.
2ª Situação: Dados agrupados em uma distribuição de 
frequência por valores simples.
Quando os dados estiverem agrupados numa dis-
tribuição de freqüência usaremos o desvio médio dos 
valores x1, x2
, x3, …, xn, ponderados pelas respectivas fre-
qüências absolutas: F1, F2, F3, …, Fn, como no cálculo da 
média aritmética. Assim:
Exemplo:
Em um determinado dia, foi registrado o número de 
veículos negociados por uma amostra de 10 vendedores 
de uma agência de automóveis como mostra a tabela, a 
seguir. 
Observe que e o cálculo do Desvio médio 
será:
Portanto, a quantidade de veículos negociada de cada 
vendedor, em média, possuiu uma “distância” de 0,68 em 
torno dos 2,6 veículos comercializados por vendedor.
3ª Situação: Dados agrupados em uma distribuição de 
frequência por classes.
Quando os dados estiverem agrupados numa dis-
tribuição de frequência usaremos o Desvio Médio dos 
pontos médios x1, x2, x3, …, xn de cada classe, ponderados 
pelas respectivas frequências absolutas: F1, F2, F3, …, Fn. 
Desta forma, o cálculo do Desvio médio passa a ser igual 
ao da 2ª situação. Assim,
Exemplo:
A tabela, a seguir, representa os escores obtidos por 
um grupo de 58 alunos matriculados em uma determina-
da disciplina.
Observe que . Dessa forma, o cálculo do 
Desvio médio será:
Portanto, em média, a nota de cada aluno deste grupo 
teve um distanciamento de 10,29 pontos em torno do de-
sempenho médio deste grupo de alunos, que foi de 62,24 
pontos nesta disciplina.
 Variância e Desvio-padrão
A variância de um conjunto de dados é a média dos 
quadrados dos desvios dos valores a contar da média. A 
fórmula da variância poderá ser calculada de duas formas:
♦ AMOSTRAL, representada por: s².
♦ POPULACIONAL, representada letra grega (delta): σ2.
1ª Situação: Dados não agrupados.
Considere que x1; x2; …; xn são os n elementos de uma 
amostra e que é a média aritmética desses elementos. 
O cálculo da variância amostral é dado por:
Mas, quisermos calcular a variância populacional, 
consideraremos todos os elementos da população e, não 
apenas de uma amostra, então é a média aritmética de 
todos os elementos. Nesse caso, o cálculo possui uma pe-
quena diferença. Observe:
Exemplo:
Suponha o conjunto de tempo de serviço de cinco 
funcionários: 3, 7, 8, 10 e 11. Determine o Desvio-padrão 
deste conjunto de dados. 
Resolução:
Como x̅ = 7,8, então 
Desta forma, encontramos então uma variância para 
o tempo de serviço de 9,7 anos. Para eliminarmos o qua-
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drado da unidade de medida, extraímos a raiz quadrada 
do resultado da variância, que chegamos a uma terceira 
medida de dispersão, chamada de DESVIO-PADRÃO:
• AMOSTRAL, representada por 
• POPULACIONAL, representada letra grega 
Assim, 
Portanto, o Desvio-padrão, deste exemplo, foi de 3,11 
anos. Ou seja, se calcularmos um intervalo utilizando um 
Desvio-padrão em torno da média, encontraremos a con-
centração da maioria dos dados.
ATIVIDADES
1. O dono de uma lanchonete mantém um controle das 
vendas dos diversos tipos de salgados. Observado os va-
lores de vendas diárias de salgados do tipo coxinhas, du-
rante um período de 7 dias, obteve os seguintes dados:
Calcule, nesses 7 dias: 
a) a média ( x̅ ). b) o desvio-padrão (s).
2. Observe a tabela, a seguir.
Qual é o Desvio Médio, aproximadamente, para o conjun-
to desses dados?
Professor(a), na atividade 1, o objetivo é que os(as) estu-
dantes desenvolvam as habilidades resolver, associar e 
calcular problemas que envolvam dados e informações 
estatísticas apresentadas em diversos textos, por meio 
de quadros e tabelas. Eles(as) serão incentivados a ana-
lisar os conceitos essenciais, tais como média, Desvio-pa-
drão, dispersão, Desvio Médio e variância, com o propó-
sito de identificar a aplicação estatística mais apropriada 
em cada caso.
Sugestão de solução:
a) 
b) 
a) 
b) 
Sugestão de solução:
Com os dados do enunciado, a média será igual a:
Utilizando esta média, teremos os ,, como
2 · |5 – 8,0625| = 2 · |–3,0625| = 6,125
3 · |7 – 8,0625| = 3 · |–1,0625| = 3,1875
5 · |8 – 8,0625| = 5 · |–0,0625| = 0,3125
4 · |9 – 8,0625| = 4 · |0,9375| = 3,75
2 · |11 – 8,0625| = 2 · |2,9375| = 5,875
Assim,
Assim, o desvio médio é
De olho no Enem!
Professor(a), as questões 3 a 4 são do Exame Nacional do 
Ensino Médio (ENEM) e objetivam a sistematização das 
habilidades desenvolvidas até este momento. É importan-
te ter em mente que, essa questão exercita as habilidades
• H24 (Utilizar informações expressas em gráficos ou ta-
belas para fazer inferências);
• H25 (Resolver problema com dados apresentados em 
tabelas ou gráficos);
• H26 (Analisar informações expressas em gráficos ou ta-
belas como recurso para a construção de argumentos).
Relacionadas a competência de área 6 do ENEM: resolver 
problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
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3. (ENEM 2016) O procedimento de perda rápida de 
“peso” é comum entre os atletas dos esportes de comba-
te. Para participar de um torneio, quatro atletas da cate-
goria até 66 kg, Peso-Pena, foram submetidos a dietas ba-
lanceadas e atividades físicas. Realizaram três “pesagens” 
antes do início do torneio. Pelo regulamento do torneio, a 
primeira luta deverá ocorrer entre o atleta mais regular e 
o menos regular quanto aos “pesos”. As informações com 
base nas pesagens dos atletas estão no quadro.
Após as três “pesagens”, os organizadores do torneio in-
formaram aos atletas quais deles se enfrentariam na pri-
meira luta.
A primeira luta foi entre os atletas
(A) I e III. (B) I e IV. (C) II e III. (D) II e IV. (E) III e IV.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
A primeira luta deve ocorrer entre o atleta mais regular e 
o menos regular quanto aos pesos, ou seja, entre o atleta 
de menor desvio-padrão e o de maior desvio-padrão, res-
pectivamente. Assim, essa luta será entre os atletas II e III.
4. (ENEM 2010) Marco e Paulo foram classificados em um 
concurso. Para classificação no concurso o candidato de-
veria obter média aritmética na pontuação igual ou supe-
rior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria 
em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir 
são apresentados os pontos obtidos nas provas de Ma-
temática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a 
mediana e o desvio-padrão dos dois candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais 
bem classificado no concurso, é
(A) Marco, pois a média ea mediana são iguais.
(B) Marco, pois obteve menor desvio-padrão.
(C) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 
em português.
(D) Paulo, pois obteve maior mediana.
(E) Paulo, pois obteve maior desvio-padrão.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
As médias de Marco e Paulo são iguais, porém Marcos 
possui o menor desvio-padrão, o que significa dizer que 
suas notas nas provas estão mais próximas da média do 
que as notas de Paulo.
Assim, as notas obtidas por Marco no concurso são mais 
regulares, logo Marco foi o melhor classificado.
REVISITANDO A MATRIZ
Trabalhando a Matriz Saeb da 3ª Série como Recompo-
sição da Aprendizagem
A Matriz de Referência do Saeb para a 3ª série do 
Ensino Médio delineia as habilidades e competências 
fundamentais que os estudantes devem dominar ao con-
cluírem essa etapa da educação básica. Ao utilizá-la como 
ferramenta de recomposição da aprendizagem, é possível 
identificar de forma precisa as lacunas de conhecimento 
dos estudantes e, a partir desse diagnóstico, planejar in-
tervenções pedagógicas personalizadas e eficazes.
Para realizar esse diagnóstico preciso, foram empre-
gadas diversas estratégias, tais como: avaliações diagnós-
ticas, avaliações formativas, os resultados do SAEGO e a 
análise da trajetória dos estudantes ao longo do ensino 
médio. Com base nesses dados, foi elaborado um apên-
dice contendo atividades e itens estratégicos, visando 
desenvolver as habilidades específicas em que os estu-
dantes apresentaram maiores dificuldades.
Essa abordagem estratégica contribui significativa-
mente para a preparação dos estudantes para o Enem, um 
dos principais objetivos da 3ª série do Ensino Médio. Ao 
direcionar o trabalho pedagógico para o desenvolvimento 
das habilidades essenciais, garante-se que os estudantes 
estejam mais bem preparados, não apenas para as avalia-
ções, mas também para os desafios que encontrarão na 
vida acadêmica e profissional.
É importante ressaltar que a recomposição da apren-
dizagem deve ser um processo contínuo e flexível, adap-
tando-se às necessidades individuais de cada estudante e 
às características de cada turma.
Objetos de conhecimento
• Tabelas e gráficos; 
• Função do 1º grau;
• Função do 2º grau;
• Porcentagem; 
• Planificações e vistas; 
• Relação de Euler;
• P.A. e P.G;
• Reta numérica;
• Regra de três;
• Variação proporcional direta e inversa;
• Sistemas e matrizes;
• Polinômios.
Matriz SAEB 3ª Série
D34 – Resolver problema envolvendo informações 
apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
D35 – Associar informações apresentadas em listas e/
ou tabelas simples aos gráficos que as representam e 
vice-versa.
D18 – Reconhecer expressão algébrica que representa 
uma função a partir de uma tabela.
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Caro(a) estudante, finalizando este material, vamos 
resolver questões / itens para revisitar alguns descrito-
res com o objetivo de refletir sobre quais habilidades 
matemáticas já conhecemos e dominamos de modo efi-
ciente. Vamos lá?
Item 1. Maria comprou um carro à vista e ganhou um 
desconto de 15% sobre o valor original que era igual a 
R$ 60 000. 
Assinale a opção que corresponde ao valor que Maria pa-
gou pelo carro.
(A) R$ 9 000. (B) R$ 45 000.
(C) R$ 51 000. (D) RS 60 000.
(E) R$ 400 000.
Item 2. Renato quer investir seu 13° salário, no valor de 
R$ 4 000 e, para isso, pesquisa o rendimento e o impos-
to a ser pago em dois tipos de investimentos: poupança 
e CDB (certificado de depósito bancário). As informações 
obtidas por ele estão resumidas no quadro a seguir:
D16
Item 3. Ana aplicou R$ 750 na poupança e recebeu no pe-
ríodo de um mês R$ 3,75 de juros. Sua irmã Joana aplicou 
R$ 3 200, nessas mesmas condições. 
Nesta aplicação, Joana recebeu de juros um total de 
(A) R$ 0,50. (B) R$ 0,88. (C) R$ 16.
(D) R$ 32. (E) R$ 87,90.
Para Renato, ao final de um ano, a aplicação mais vanta-
josa é
(A) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 4 151,60.
D21 – Identificar o gráfico que representa uma situa-
ção descrita em um texto.
D16 – Resolver problema que envolva porcentagem.
D03 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos re-
dondos com suas planificações ou vistas.
D04 – Identificar a relação entre o número de vértices, fa-
ces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.
D22 – Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a 
fórmula do termo geral.
D14 – Identificar a localização de números reais na reta 
numérica.
D15 – Resolver problema que envolva variação propor-
cional, direta ou inversa, entre grandezas.
D31 – Determinar a solução de um sistema linear asso-
ciando-o à uma matriz.
D26 – Relacionar as raízes de um polinômio com sua 
decomposição em fatores do 1º grau.
D16 – Resolver problema que envolva porcentagem.
Gabarito: C
Gabarito: E 
(B) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 4 015,16.
(C) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 4 018,56.
(D) o CDB, pois excede em R$ 3,40 o rendimento da 
poupança.
(E) a poupança, pois excede em R$ 7,80 o rendimento 
do CDB.
Sugestão de solução:
Sendo o desconto de 15%, temos
Valor final =60 000 ∙( 1–15%)
Valor final = 60 000 ∙ (1–0,15)
Valor final = 60 000 ∙ (0,85)
Valor final = 51 000
Assim, Maria pagou R$ 51 000, pelo carro.
Sugestão de solução:
Calculando o rendimento anual de cada investimento, sob 
o valor de R$ 4000, temos
Determinando o imposto de renda sobre o lucro de cada 
investimento, obtemos
Assim, após um ano, o montante de cada investimento 
será de
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Determinamos a porcentagem de juros de R$ 3,75 (lucro) 
sob o valor de R$ 750 (capital inicial), temos
Logo, o juros desta poupança é de 0,5% ao mês.
Assim, esta taxa de juros, sobre o capital de R$ 3200, te-
mos
3200 ∙ 0,5% = 3200 ∙ 0,005=16
Portanto, Joana recebeu de juros um total de R$ 16.
Assim, opção correta é que o montante resultante da 
poupança excede em R$ 8,69 o rendimento do CDB.
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Item 4. Observe a charge a seguir. 
Em seu último reajuste a gasolina aumentou de R$ 4,19 
para R$ 4,49. Dessa forma o percentual de reajuste foi 
(A) inferior a 3,5%.
(B) entre 3,5% e 4,5%.
(C) entre 4,5% e 5,5%.
(D) entre 5,5 % e 6,5%.
(E) superior a 6,5%.
Item 5. Michele fazia uma dieta na qual ingeria, por dia, 
500 gramas de carboidrato. Quando foi à nutricionista 
pela primeira vez, ela precisou reduzir 200 gramas na in-
gestão de carboidrato, passando a ingerir, diariamente, 
300 gramas de carboidrato. Depois de um mês, quan-
do retornou à nutricionista, mais uma vez foi reduzida a 
quantidade de carboidrato que Michele deveria ingerir, 
passando para 240 gramas diárias.
Quais foram os percentuais da primeira e da segunda re-
dução na ingestão de carboidratos, respectivamente, da 
dieta de Michele?
(A) 2,5% e 5%. (B) 40% e 12%.
(C) 40% e 20%. (D) 40% e 52%.
(E) 200% e 60%.
Gabarito: E
Sugestão de solução:
Fazendo a razão entre R$ 4,49 e R$ 4,19, temos
Assim, o aumento foi de 7,16%, aproximadamente, ou 
seja, superior a 6,5%
Gabarito: C 
Sugestão de solução:
Calculando as razões de 300 sobre 500 e de 240 sobre 
300, temos
Assim, as reduções percentuais da primeira e da segunda, 
foram de 40% e 20%, respectivamente.
D03 – Relacionar diferentes poliedros ou corpos redon-
dos com suas planificações ou vistas.
Item 1. Observe o sólido representado abaixo.
A vista superior desse sólido está representada em
(A) (B)
(D)
(C)
(E)
Gabarito: E
Sugestão de solução:
É possível observar que este sólido pode é visto como a 
junção de duas pirâmides de base quadrada. Logo, cada 
aresta das faces laterais, se encontram em um ponto em 
comum, no topo da pirâmide. Desta forma, a vista supe-
rior desse sólido é 
Item 2. Observe abaixo as planificações de algumas figu-
ras tridimensionais.
Qual dessas planificaçõesrepresenta um cone?
(A) I. (B) II. (C) III. (D) IV. (E) V.
Gabarito: A
Sugestão de solução:
O cone é um sólido que, quando planificado, é formado 
por um círculo e uma espécie de “setor circular”. Logo sua 
planificação é 
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Item 3. Observe o sólido geométrico apresentado na fi-
gura abaixo.
(A) (B)
A vista superior desse sólido está representada em
(C)
(D) (E)
Item 4. Observe o sólido geométrico apresentado na fi-
gura abaixo.
Uma planificação da superfície desse sólido está repre-
sentada em
(A)
(A)
(C)
(C)
(E)
(E)
(B)
(B)
(D)
(D)
Item 5. Observe o sólido geométrico a seguir:
Assinale a opção que apresenta a vista lateral esquerda, 
do observador, desse sólido geométrico.
1. Nomeie os elementos destacados em cada poliedro a 
seguir.
Gabarito: A
Sugestão de solução:
A vista superior da figura, que se assemelha a um degrau, 
temos
Gabarito: E
Sugestão de solução:
Note-se que o sólido é uma pirâmide de base pentagonal. 
Além disso, possui suas faces laterais no formato triangu-
lar. Logo, sua figura planificada é
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Ao observar este sólido, pela vista à esquerda, observa-
mos um tipo de “L” com a parte superior repartida, ou seja
D04 – Identificar a relação entre o número de vértices, 
faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.
Sugestão de solução:
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2. Complete o quadro a seguir com o número de faces, 
vértices e arestas.
3. Para cada um dos poliedros da atividade anterior faça 
a seguinte operação algébrica: V + F – A, onde V é o nú-
mero de vértices, F é o número de faces e A é o número 
de arestas.
4. Utilize a relação de Euler para resolver as alternativas 
a seguir.
a) Qual poliedro tem 4 vértices e 6 arestas?
b) Qual poliedro tem 30 arestas e 12 vértices?
c) Um poliedro convexo tem 3 faces formadas por triân-
gulos e outras por pentágonos. Qual o número de fa-
ces desse poliedro? Considere que o número de ares-
tas é o quádruplo do número de faces pentagonais.
Sugestão de solução:
Sugestão de solução:
Tetraedro: 4+4–6=2 
Pentaedro: 5+5–8=2 
Hexaedro: 8+6–12=2 
Heptaedro: 7+7–12=2 
Octaedro: 6+8–12=2 
Dodecaedro: 20+12–30=2
Icosaedro: 12+20–30=2 
Sugestão de solução:
a) V + F = A + 2 
4 + F = 6 + 2 
4 + F = 8 
F = 8 – 4 = 4 
O poliedro é o Tetraedro
b) V + F = A + 2 
12 + F = 30 + 2 
12 + F = 32 
F = 32 – 12 = 20 
O poliedro é o Icosaedro
c) Pentágonos = 5 arestas
Triângulos = 3 arestas
Faces= 3 triângulos + x ∙ pentágonos
Arestas= 4 ∙ x
Para determinar o número de arestas do poliedro soma-
mos todas as faces e dividimos por 2:
Depois, igualamos as duas expressões que representam o 
número de arestas:
O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangula-
res, totalizando 6 faces.
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Item 1. Lucas comprou o carro de um amigo por meio de 
um financiamento em 16 meses. Ele fez um acordo com 
seu amigo de que no primeiro mês pagaria R$ 500,00 e 
a cada mês seguinte acrescentaria R$ 40,00 no valor da 
prestação paga no mês anterior.
Qual será o valor da última prestação que Lucas deve pa-
gar para seu amigo?
(A) R$ 500,00. (B) R$ 540,00.
(C) R$ 640,00. (D) R$ 1 100,00.
(E) R$ 7 540,00.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Utilizando a fórmula do termo geral da sequência, cujo ra-
zão é 40, obtemos, no 16° termo, 
an = a1 + (n–1) ∙ r
a16 = 500 + (16–1) ∙ 40
a16 = 500 + (15) ∙ 40
a16 = 500 + 600
a16 = 1100
Assim, Lucas deve pagar o valor de R$ 1100,00 na última 
prestação.
Item 2. Paula decidiu guardar dinheiro fazendo depósitos 
em uma poupança todos os meses durante seis meses. O 
primeiro desses depósitos será de R$ 20,00, no mês se-
guinte, ela fará um depósito de R$ 40,00, no terceiro de 
R$ 60,00 e assim por diante, aumentando sempre uma 
mesma quantia a cada mês.
Seguindo esse planejamento, o valor total, em reais, depo-
sitado por Paula ao final desses 6 meses será
(A) R$ 50,00. (B) R$ 120,00.
(C) R$ 420,00. (D) R$ 1 280,00.
(E) R$ 1 400,00.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Note que, a cada mês o aumento será de R$ 20,00, veja-
mos o aumento ao passar dos meses:
1º mês: R$ 20,00
2º mês: R$ 40,00
Item 1. O professor Carlos entregou um sólido geomé-
trico a um estudante com os olhos vendados. Através do 
tato, o estudante percebeu que esse sólido geométrico 
possui 12 arestas e 8 vértices. 
Qual é o número de faces desse poliedro?
(A) 12 (B) 8 (C) 6 (D) 4 (E) 2
Gabarito: C
V + F = A + 2 
8 + F = 12 + 2 
8 + F = 14 
F = 14 – 8 = 6 faces.
D22 – Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a 
fórmula do termo geral.
3º mês: R$ 60,00
4º mês: R$ 80,00
5º mês: R$ 100,00
6º mês: R$ 120,00
Ao somar todos os valores, temos
20 + 40 + 60 + 80 + 100 + 120 = 420
Assim, ao final dos 6 meses, o total depositado será no va-
lor de R$ 420,00.
Item 3. Paula pretende dar uma entrada na compra de um 
carro e, para isso, organizou um planejamento financeiro 
que irá executar durante um ano completo. De acordo 
com esse planejamento, ela vai fazer um depósito inicial 
de 4 reais em uma poupança e, nos 5 meses posteriores, 
irá depositar sempre 2 reais a mais do que o valor depo-
sitado no mês anterior. A partir do 7º mês desse planeja-
mento, os depósitos de Paula vão corresponder ao dobro 
do valor depositado no mês anterior até chegar ao 12º 
mês, completando assim esse planejamento.
Qual será o valor, em reais, do último depósito de Paula 
segundo esse planejamento financeiro?
(A) 26 reais. (B) 28 reais.
(C) 180 reais. (D) 896 reais.
(E) 8 192 reais.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
A cada mês o aumento será de R$ 2,00, vejamos o aumen-
to ao passar dos 6 primeiros meses:
1º mês: R$ 4,00
2º mês: R$ 6,00
3º mês: R$ 8,00
4º mês: R$ 10,00
5º mês: R$ 12,00
6º mês: R$ 14,00
Agora, a partir do 7º mês, os depósitos serão o dobro do 
valor do mês anterior, teremos assim 
7º mês: R$ 28,00
8º mês: R$ 56,00
9º mês: R$ 112,00
10º mês: R$ 224,00
11º mês: R$ 448,00
12º mês: R$ 896,00
Logo, o valor do último depósito de Paula será de R$ 896,00 
reais.
Item 4. Sandro está se preparando para participar de uma 
maratona e, para isso, pretende realizar treinamentos se-
manais. Ao longo da primeira semana, ele pretende correr 
3 km e, ao longo da segunda semana, pretende correr 6 
km, seguindo assim um padrão, dobrando a distância per-
corrida em cada semana até a data da corrida que aconte-
cerá após a sexta semana de treinamento.
Quantos quilômetros Sandro deverá correr na quinta se-
mana de treinamento, seguindo esse planejamento?
(A) 11 km. (B) 15 km. (C) 32 km.
(D) 48 km. (E) 96 km.
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Gabarito: D
Sugestão de solução:
Utilizando a fórmula do termo geral da sequência geomé-
trica, temos
a1 = 3
n = 5
q = 2
Assim, na quinta semana, obtemos
an = a1 ∙ q5–1
a6 = 3 ∙ 2(5–1) = 3 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 48
Assim, Sandro deverá correr 48 km na quinta semana de 
treinamento.
Item 5. Para fazer um desenho, Taís utilizou uma técnica 
que consiste em fazer traços para formar triângulos que 
são dispostos um ao lado do outro, como mostra a ima-
gem abaixo.
 
A cada passo desse desenho, Taís completou apenas um 
triângulo utilizando o lado do triângulo anterior, sempre 
seguindo esse sentido horizontal até ter um total de 42 
triângulos em seu desenho.
Quantos traços Taís desenhou, ao todo, para obter esses 
42 triângulos?
(A) 42. (B) 82. (C) 85. (D) 126. (E) 246.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Observe que o primeiro• (EF08MA24) Classificar as frequências de uma variável contínua de uma pesquisa em classes, de modo que re-
sumam os dados de maneira adequada para a tomada de decisões.
• (EF08MA25-A) Estabelecer média aritmética, moda e mediana como medidas de tendência central de uma pes-
quisa estatística.
• (EF08MA25-B) Obter os valores de medidas de tendência central de uma pesquisa estatística: média aritmética, 
moda e mediana.
• (EF08MA23) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma 
pesquisa.
• (EF08MA26-A) Reconhecer que a seleção da amostra na pesquisa pode ser feita de diferentes maneiras: amos-
tra casual simples, sistemática e estratificada.
• Razão e proporção.
• Porcentagens: cálculo de índices, taxas e coeficientes.
• Estatística: pesquisa e organização de dados.
• Conceitos iniciais de Estatística Descritiva. 
• Medidas de tendência central (média aritmética, moda e mediana).
• Gráficos estatísticos: histogramas e polígonos de frequência.
• Medidas de dispersão: amplitude amostral, desvio-padrão e coe-
ficiente de variação.
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3º grupo
DC-GO-
EM
• (GO-EMMAT202D) Interpretar medidas de tendência central e de dispersão (amplitude e desvio-padrão), utili-
zando ou não recursos tecnológicos, para avaliar propostas de intervenção na realidade.
• (GOEMMAT316B) Calcular as medidas de tendências central (moda, média e mediana) e de dispersão (ampli-
tude, variância e desvio-padrão), utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas em diferentes 
contextos.
• (GO-EMMAT316C) Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpre-
tação das medidas de tendência central (média, moda, mediana) e de dispersão (amplitude, variância e desvio-pa-
drão), utilizando procedimentos matemáticos para avaliar propostas de intervenção na realidade.
Habilidades DC-GOEM (1° corte – 3ª série)
• (GO-EMMAT104A) Efetuar cálculo de porcentagem (acréscimos, descontos, taxas, entre outros), utilizando procedimentos 
matemáticos para compreender conceitos, evidências, taxas, índices e seus usos e intencionalidades nas atividades cotidianas 
divulgados por diferentes meios.
• (GO-EMMAT202A) Definir os elementos básicos para a realização de uma pesquisa (objetivos, questionário, variáveis, po-
pulação, entre outros), analisando as os assuntos e/ou temas de interesse para planejar e executar uma pesquisa amostral.
• (GO-EMMAT202B) Planejar e executar, a partir de necessidades específicas do cotidiano, uma pesquisa amostral, usando 
dados coletados diretamente ou em diferentes fontes (jornais, revistas, mídias eletrônicas, entre outros) para comunicar os 
resultados.
• (GO-EMMAT202C) Comunicar os resultados da pesquisa amostral, utilizando relatórios, quadros, tabelas e gráficos para 
interpretar medidas de tendência central e de dispersão (amplitude e desvio-padrão).
• (GO-EMMAT202D) Interpretar medidas de tendência central e de dispersão (amplitude e desvio-padrão), utilizando ou não 
recursos tecnológicos, para avaliar propostas de intervenção na realidade.
• (GO-EMMAT102A) Compreender as organizações de quadros, tabelas, gráficos e amostras de pesquisas estatísticas, iden-
tificando em relatórios divulgados por diferentes meios de comunicação, seus elementos, características, padrões, entre ou-
tros para interpretar situações em diversos contextos.
• (GO-EMMAT102B) Interpretar situações em diversos contextos apresentadas graficamente por meio de quadros, tabelas, 
gráficos e amostras de pesquisas estatísticas, identificando, quando for o caso, inadequações que possam induzir a erros de 
interpretação (escalas e amostras não apropriadas, entre outros) para analisar informações como recurso para a construção 
de argumentos.
• (GO-EMMAT102C) Analisar informações expressas em quadros, tabelas, gráficos e amostras de pesquisas estatísticas 
como recurso para a construção de argumentos, utilizando procedimentos matemáticos para interpretar situações em diver-
sos contextos (das Ciências da Natureza e Humanas ou tecnológicas) divulgados por diferentes meios.
• (GO-EMMAT316A) Interpretar dados e informações representados de diferentes formas, analisando o contexto, para cal-
cular as medidas de tendências central (moda, média e mediana) e de dispersão (amplitude, variância e desvio-padrão).
• (GOEMMAT316B) Calcular as medidas de tendências central (moda, média e mediana) e de dispersão (amplitude, variância 
e desvio-padrão), utilizando procedimentos matemáticos para resolver problemas em diferentes contextos.
• (GO-EMMAT316C) Resolver e elaborar problemas, em diferentes contextos, que envolvem cálculo e interpretação das me-
didas de tendência central (média, moda, mediana) e de dispersão (amplitude, variância e desvio-padrão), utilizando procedi-
mentos matemáticos para avaliar propostas de intervenção na realidade.
• (GO-EMMAT406A) Compreender os conceitos e as estruturas das representações gráficas, identificando seus elementos 
(título, eixos, legendas, rótulos, linhas etc.) para construir e interpretar quadros, tabelas e gráficos de frequências.
• (GO-EMMAT406B) Construir quadros, tabelas e gráficos de frequências analisando dados obtidos em pesquisas por amos-
tras estatísticas (incluindo ou não o uso de softwares) que inter-relacionam estatísticas, geometria e álgebra para apresentar 
compilações, sínteses etc., referentes a resultados de pesquisas para a população.
• (GO-EMMAT406C) Interpretar dados de natureza científica e social apresentadas em quadros, tabelas e gráficos, identifi-
cando elementos e informações relevantes para avaliar propostas de intervenção na realidade.
• (GO-EMMAT407A) Interpretar dados e informações estatísticas divulgadas em textos diversos por meio de quadros, tabe-
las, diagramas, gráficos (histograma, boxplot, de ramos e folhas, entre outros), analisando os conceitos envolvidos (população e 
amostra, frequências absoluta e relativa, entre outros) para reconhecer o uso estatístico mais adequado.
• (GO-EMMAT407B) Interpretar e comparar conjuntos de dados estatísticos por meio de gráficos, analisando diferentes dia-
gramas para determinar resultados eficientes.
Unidade 
Temática Matriz SAEB
9° ano • D21 – Reconhecer as diferentes representações de um número racional.
3ª série
• D15 – Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
• D16 – Resolver problema que envolva porcentagem.
• D34 – Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.
• D35 – Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as represen-
tam e vice-versa.
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GRUPO DE ATIVIDADES 1 1
Partindo do pressuposto que alguns estudantes ainda 
não desenvolveram habilidades elementares, ou seja, 
aquelas do grupo “Abaixo do básico” presentes nos anos 
anteriores (progressão vertical), o objetivo nesse grupo 
de habilidades é que eles(as) desenvolvam essas habilida-
des, de modo que avancem para o grupo “Básico” e sigam 
ampliando cada vez mais os seus conhecimentos.
Desta maneira, estima-se que, para este primeiro grupo 
de atividades, os(as) estudantes sejam capazes de desen-
volver as seguintes habilidades:
• (EF06MA13-A) Identifi car as frações que podem ou 
não ser escritas na forma de fração centesimal, porcenta-
gem, utilizando a equivalência entre frações e/ou estraté-
gias pessoais. 
• (EF06MA13-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas que envolvam porcentagens, com base na ideia 
de proporcionalidade, sem fazer uso da regra de três, utili-
zando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, 
em contextos de educação fi nanceira, entre outros.
• (EF07MA02-A) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas que envolvam porcentagens, como os que li-
dam comtermo (a1) possui 3 traços e 1 tri-
ângulo, o segundo termo possui 5 traços e 2 triângulos, o 
terceiro termo possui 7 e 3 triângulos e, assim, por diante. 
Dessa forma, temos uma progressão aritmética, de razão 
2. Assim, ao desenhar 42 triângulos, estamos na posição 
42 (n), logo
an = a_1 + (n–1) ∙ r
a42 = 3 + (42–1) ∙ 2
a42 = 3 + (41) ∙ 2
a42 = 3 + 82
a42 = 85
Logo, Taís desenhou 85 traços, para obter 42 triângulos.
D14 – Identificar a localização de números reais na reta 
numérica.
Item 1. Observe a reta numérica a seguir. 
Nessa reta, o ponto correspondente ao inteiro –10 
(A) é o ponto I.
(B) está entre os pontos I e J.
(C) está entre os pontos N e O.
(D) é o ponto O.
(E) é o ponto G.
Gabarito: B
Sugestão de solução: 
Perceba que as subdivisões foram feitas respeitando 4 
unidades. Dessa forma, tem-se que: 
Item 2. Observe a reta real a seguir:
 
O número racional está representado na reta real 
pela letra
(A) U. (B) V. (C) W. (D) X. (E) Y.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Note que, na reta representada cada inteiro foi dividido 
em 10 partes (decimal), assim, ao representar em um 
número decimal, temos
Assim, na reta a letra X representa esse número.
Item 3. O professor João de matemática representou ge-
ometricamente os números reais 0,x,y e 1 na reta numé-
rica a seguir.
 
Considerando que x é equidistante a 0 e y, então o número 
x · y está localizado
(A) à direita de .
(B) entre 0 e x.
(C) entre x e y. 
(D) entre y e 1.
(E) à esquerda de 0.
Gabarito: B
Sugestão de solução
y = 0,5 e x = 0,25, então tem-se que:
x · y = 0,25 ∙ 0,5 = 0,125
Item 4. Observe a reta numérica a seguir:
Assinale a alternativa que corresponde aos valores de P, Q 
e R respectivamente:
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
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84
Item 5. Considere os seguintes números reais:
P= ; Q = ; R= ; e S=
Assinale a alternativa que corresponde à ordem correta 
desses números na reta real.
Item 1. Mariana é divulgadora de conteúdos sobre ciên-
cias e está preparando uma série de vídeos sobre densi-
dade volumétrica. No primeiro vídeo, ela inicia sua aula 
explicando que a densidade volumétrica é a razão entre 
a massa de um objeto, que pode ser medida em gramas, 
pelo seu volume, que pode ser medido em centímetros 
cúbicos. Ao final do vídeo, ela propõe uma atividade em 
que é necessário calcular a massa de uma certa quantida-
Gabarito A
Solução:
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Representando as frações (Q e S) na forma decimal, temos
Agora, comparando os radicais (P e R), temos
Logo, a ordem destes números, na reta numérica é
D15 – Resolver problema que envolva variação propor-
cional, direta ou inversa, entre grandezas.
de de alumínio, cujo volume é 15 cm3 e sua densidade é 
2,7 g/cm³.
Qual é a massa, em gramas, dessa quantidade de alumínio 
da atividade proposta por Mariana?
(A) 2,7 g. (B) 5,5 g. (C) 17,7 g.
(D) 30,7 g. (E) 40,5 g.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Sendo a densidade (d) uma razão entre a massa (m) e o vo-
lume (v), obtemos a fórmula
Assim, como este objeto possui o volume de 15 cm³ e den-
sidade de 2,7 g/cm³, temos
Logo, a massa de alumínio desta atividade é de 40,5 g.
Item 2. Júlia viaja duas vezes ao mês para a cidade vizi-
nha à que ela mora. Para acompanhar o rendimento de 
sua viagem, ela calcula a velocidade média, que é dada 
pela razão entre a distância percorrida e o tempo gasto 
na viagem. Em um certo mês, Júlia fez a primeira viagem 
com uma velocidade média de 108 km/h, gastando no to-
tal 1,5 hora de viagem. Na segunda viagem, Julia demorou 
0,5 hora a mais para fazer o mesmo trajeto.
Qual foi a velocidade média da segunda viagem de Julia 
nesse mês?
(A) 54 km/h. (B) 72 km/h.
(C) 81 km/h. (D) 108 km/h.
(E) 144 km/h.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Observe que as grandezas velocidade média e o tempo 
são inversamente proporcionais pois, se Júlia gastou meia 
hora à mais na segunda viagem, de um mesmo trajeto, sua 
velocidade foi menor que a primeira viagem. Logo,
Assim, temos a proporção:
Assim, a velocidade média da segunda viagem de Julia foi 
de 81 km/h.
Item 3. No período de testes dos novos carros de uma 
equipe de Fórmula 1, foi calculada a aceleração média de 
um deles. Esse cálculo foi feito a partir da razão entre a di-
ferença das velocidades final e inicial obtidas em determi-
nado trecho e o tempo decorrido no percurso. Em um tem-
po de 2,5 segundos, a velocidade do carro analisado variou 
de 0 metros por segundo a 27,5 metros por segundo.
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Qual foi a aceleração média, em metros por segundo ao 
quadrado, obtida pelo carro que realizou o teste?
(A) 11 m/s². (B) 15 m/s².
(C) 27,5 m/s². (D) 30 m/s².
(E) 68,8 m/s².
Gabarito: 
Sugestão de solução:
A partir do enunciado temos que a aceleração média é 
calculada pela razão entre a diferença das velocidades fi-
nal e inicial de um trecho e o tempo percorrido deste tre-
cho. Assim,
Assim, a aceleração média deste carro, no teste, foi de 11 m/s².
Item 4. Para a produção de parafusos, a fábrica de Ricardo 
possui 18 máquinas que funcionam, diariamente, no mes-
mo ritmo e pelo mesmo período de tempo. Essas máquinas 
produzem, juntas, por hora, 2 160 parafusos. Em um deter-
minado dia, 6 dessas máquinas precisaram de manutenção 
e não participaram da produção de parafusos.
Nesse dia, qual foi a produção de parafusos, por hora, na 
fábrica de Ricardo?
(A) 3 240. (B) 2 160. (C) 2 154. 
(D) 1 800. (E) 1 440.
Gabarito: E
Sugestão de solução:
Observe que a quantidade de maquinas e a quantidade 
de parafuso produzidos por hora são diretamente pro-
porcionais, assim, 
Logo,
Portanto, a produção de parafusos neste dia foi de 1440.
Item 5. A gráfica contratada para imprimir as provas de 
um concurso, utilizando 6 impressoras idênticas, consegue 
imprimir um lote dessas provas em 90 minutos. Como ha-
veria um feriado na semana de entrega dessas provas, essa 
gráfica incorporou à produção outras 4 impressoras idên-
ticas às demais trabalhando em uma mesma jornada diária.
Com essas 4 novas impressoras incorporadas ao traba-
lho, em quantos minutos a gráfica vai imprimir um desses 
lotes de provas?
(A) 9 minutos. 
(B) 54 minutos. 
(C) 90 minutos.
(D) 135 minutos.
(E) 150 minutos.
Gabarito: 
Sugestão de solução:
Observe que a quantidade de impressoras e o tempo gas-
to são inversamente proporcionais, assim,
Logo,
Portanto, irá demorar 54 min para imprimir cada lote des-
ta prova.
D18 – Reconhecer expressão algébrica que representa 
uma função a partir de uma tabela.
D21 – Identificar o gráfico que representa uma situação 
descrita em um texto.
Atividade 1.
Analise as situações a seguir e relacione-as com os res-
pectivos gráficos que as representem. 
I. Em um teste automotivo, 
um piloto percorreu uma 
certa distância a uma veloci-
dade constante de 90 km/h 
durante todo o percurso de 
1 hora do teste.
II. Um restaurante possui um 
sistema de rodízio que cobra 
50 reais por pessoa, não im-
portando a quantidade con-
sumida (0,5kg, 0,75kg, 1kg), 
o preço é único. 
III. Uma companhia telefô-
nica de celular oferece um 
pacote com preço fixo de 
R$35,00 para que os clien-
tes façam até 120 minutos 
de ligações para qualquer 
número, fixo ou não. 
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Atividade 2.
A cidade de Jataí inaugurou o novo centro meteorológico 
para acompanhar a mudança climática. Em certo dia, esse 
centro meteorológico registrou, às 6 horas da manhã, a 
temperatura de – 5°C e, com o passar do tempo, a tem-
peratura foi aumentando constantemente até que, às 15horas, ela atingiu 16°C. Sabendo disso, construa um gráfi-
co que represente a situação descrita.
Sugestão de solução:
Sugestão de solução:
Item 1. A tabela abaixo apresenta alguns valores x do 
domínio de uma função polinomial f, de 1º grau, com suas 
respectivas imagens f(x).
Qual é a lei de formação dessa função?
(A) f(x) = – 5x – 10. (D) f(x) = 5x – 10.
(B) f(x) = – 10x + 2. (E) f(x) = x + 5.
(C) f(x) = – x – 15.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Tomando os pontos (0,–10) e (2,0), pertencentes aos ei-
xos, vamos substitui–los na lei de formação geral do da 
função polinomial do 1° grau (f(x)=ax+b).
Substituindo o ponto (0,–10), na lei de formação, temos
f(x) = ax + b
–10 = a ∙ 0 + b
b = – 10
Substituindo o ponto (2,0), na lei de formação, temos
f(x) = ax + b
0 = a ∙ 2 + b
–2a = b
Utilizando o valor de b, encontrado anteriormente, obtemos
Portanto, a lei de formação, desta função é
f(x) = ax + b → f(x) = 5x – 10
Item 2. Observe, na tabela abaixo, alguns pontos de uma 
função polinomial de segundo grau.
Qual é a lei de formação que representa essa função?
(A) f(x) = x2. (D) f(x) = 4x.
(B) f(x) = 2x2. (E) f(x) = |4x|.
(C) f(x) = 4x2.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Sabe-se que a lei de formação de uma função polinomial 
do 2º grau é
f(x) = ax2 + bx + c
Observamos que a função passa pela origem, logo c=0.
Substituindo o ponto (-1,4), temos
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Item 3. A tabela abaixo apresenta alguns valores x do do-
mínio de uma função polinomial de 2º grau f com suas res-
pectivas imagens f(x).
Qual é a lei de formação dessa função?
(A) f(x) = x2. (D) f(x) = – x2 – 2x.
(B) f(x) = – 2x2. (E) f(x) = x2 + 3x + 2.
(C) f(x) = – x2 – 2.
Item 4. Observe a tabela abaixo, na qual estão apresen-
tados alguns elementos x do domínio de uma função po-
linomial de primeiro grau, f: R → R, com suas respectivas 
imagens, f(x).
Com base nessa tabela, qual é a lei de formação da função f?
(A) f(x) = x + 2. (D) f(x) = 3x + 2.
(B) f(x) = x + 5. (E) f(x) = 2x – 3.
(C) f(x) = 2x + 3.
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Tomando os pontos (1, 5) e (3, 9), pertencentes aos eixos, 
vamos substitui-los na lei de formação geral do da função 
polinomial do 1° grau (f(x) = ax + b).
Substituindo o ponto (1,5), na lei de formação, temos
f(x) = ax + b
5 = a ∙ 1 + b
a + b = 5
Substituindo o ponto (3,9), na lei de formação, temos
f(x) = ax + b
9 = a ∙ 3 + b
3a + b = 9
Das duas equações, obtemos
Desta forma, 
3a + b = 9
3 ∙ 2 + b = 9
6 + b = 9
b = 9 - 6
b = 3
Portanto, a lei de formação, desta função é
f(x) = ax + b → f(x) = 2x + 3
Item 5. O peso é uma força exercida sobre um objeto pela 
atração gravitacional de um planeta ou outro corpo celes-
te. Enquanto a massa de um objeto é a mesma em qual-
quer lugar, o seu peso varia linearmente conforme a ace-
leração da gravidade do local. Observe a tabela abaixo, 
na qual está representado o peso aproximado de alguns 
objetos na Terra e o peso aproximado dos mesmos no pla-
neta Mercúrio.
Qual é o gráfico que melhor representa a relação entre os 
pesos desses objetos nesses dois planetas?
Das equações (I) e (II), temos
Desta forma, b também é 0.
Portanto, a lei de formação desta função é
f(x) = ax2 + bx + c → f(x) = 4x2
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Dada a lei de formação, de uma função polinomial do 2° 
grau, como
f(x) = ax2 + bx + c
Observamos que a função passa pela origem, logo c=0.
Além disso, é possível notar que a função é simétrica ao 
eixo das ordenadas, para valores negativos, logo b=0.
Assim, a lei de formação desta função é
f(x) = ax2 + bx + c → f(x) = -2x2
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Item 1. Observe o sistema de equações apresentado 
abaixo.
Qual é o par ordenado (x, y) solução desse sistema?
(A) (–10 ,– 5). (B) (– 6 ,– 3).
(C) (3 ,2). (D) (6 ,3).
(E) (30 ,15).
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Note que, na tabela de pesos de objetos na Terra e em 
Mercúrio, ambos os Apesos aumentam na mesma pro-
porção, assim, formam um gráfico linear, ou seja,
D31 – Determinar a solução de um sistema linear asso-
ciando-o à uma matriz.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Tome as equações (I e II), como
Substituindo (II) em (I), obtemos
Substituindo o valor de y na equação (II), temos
x = 2y → x = 2 ∙ 3 → x = 6
Logo, a solução do sistema é (6 ,3).
Item 2. Considere o sistema de equações lineares abaixo.
Qual é o par ordenado (x, y) solução desse sistema?
(A) (3 ,– 2). (B) (5 , ).
(C) (8 ,2). (D) (11 , ).
(E) (12 ,8).
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Seja o sistema de equações lineares e dividindo a 2ª equa-
ção pela metade, temos
Resolvendo o sistema, pelo método da adição, obtemos
Substituindo o valor de x na 1ª equação, temos
x + 2y = 12
8 + 2y = 12
2y = 12 – 8
Assim, a solução do sistema é (8, 2).
Item 3. Observe o sistema de equações lineares abaixo.
Qual é o terno ordenado (x, y, z) solução desse sistema?
(A) (3, – 2 , 4). (B) (3, 2, 5).
(C) (4, 3, 2). (D) (12, – 3, 2).
(E) (22, 10, 8).
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Do sistema de equações apresentado temos, da 3ª equação,
Assim, na 2ª equação, obtemos
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Desta forma, na 3ª equação, temos
Assim, a solução do sistema é (12,–3,2).
Item 4. Observe o sistema de equações lineares apresen-
tado abaixo.
O terno ordenado (x, y, z) solução desse sistema é
(A) (B)
(C) . (D) .
(E) .
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Sejam as equações do sistema denominadas por L1L2 e L3,
Multiplicamos a L
2
 por –1 e a L
3
 por –1, e em L
1
 será reali-
zado a operação L
1
 = L
1 
– L
2 
– L
3
Logo,
Multiplicando L
1
 por –5, assim em L
2
, temos L
2 
= –5L
1 
+ L
2
Assim,
Multiplicando L
1
 por –8, assim em L
3
, temos L
3 
= –8L
1 
+ L
3
Dessa forma,
Portanto, a solução do sistema é (3,4,7).
Item 5. Observe o sistema de equações lineares apresen-
tado abaixo.
Qual é o terno ordenado (x, y, z) solução desse sistema?
(A) (– 6, 10, 12). (B) (– 3, 10, 6).
(C) (5, 6, 5). (D) (18, 15, 18).
(E) (50, 10, 30).
Gabarito: 
Sugestão de solução:
Sejam as equações do sistema denominadas por L
1
, L
2
 e L
3
,
Multiplicamos a L
3
 por –1 e em L
3
 será realizado a opera-
ção L
3 
= L
1 
– L
3
Logo,
Multiplicando L
2
 por –2, em L
2
 será realizado a operação 
L
2 
= L1 – 2L
2
Assim,
Dessa forma, substituindo y em L
2
 assim,
Substituindo y e z, em L
1
, temos
Dessa forma, a solução do sistema é (–6, 10, 12).
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Atividade 1.
Decomponha os polinômios a seguir em fatores do 1º grau.
a) P(x) = 10x² – 50x + 60 b) P(x) = – 4x² + 8x + 12
Atividade 2.
Um polinômio de terceiro grau possui raízes iguais a 5, 
–3 e 2. Escreva esse polinômio obedecendo a expressão 
P(x) = αn ∙ (ax2 + bx + c) ∙ (x – x1 ) com an = 1.
Atividade 3.
Sendo –10, 4 e 6 as raízes de um polinômio P(x) de tercei-
ro grau, escreva esse polinômio na forma de um produto 
entre polinômios de primeiro grau.
Item 1. Um polinômio de terceiro grau possui como raízes 
os números –1, 1 e 2.
Qual é a expressão algébrica que representa esse polinômio?
(A) 2x³ + 3x² – x + 3 (D) –2x3 + 4x2 – 2x – 5
(B) x3– 2x2– x + 2 (E) x3 + 3x2 + x – 7
(C) –x3 + 3x2 + 2x – 3
Item 2. Observe, no quadro a seguir, um polinômio escri-
to na forma fatorada em fatores de 1° grau.
As raízes reais desse polinômio são
(A) – 15; –5 e 3. (D) –1; 3 e 5.
(B) –5; 0 e 1. (E) 0; 1 e 5.
(C) –1; 0 e 5.
D26 – Relacionar as raízes de um polinômio com sua de-
composição em fatores do 1º grau.Sugestão de solução:
a) Considerando que o polinômio obedece à expressão 
P(x) = a ∙ (x – x1) . (x – x2), onde x1 e x2 são as raízes da equa-
ção do 2º grau, determinam–se as raízes de 10x2 – 50x 
+60=0, ou seja, P(x)=0. 
Inicialmente, procura–se reduzir a expressão do polinô-
mio, colocando o fator comum 10 em evidência.
10x2 – 50x + 60 = 0 → 10 ∙ (x2 – 5x + 6) = 0
Utilizando a regra da soma e do produto das raízes, na 
equação x2 – 5x + 6 = 0 obtém–se:
S = 5 → S = x1 + x2
P = 6 → P = x1 ∙ x2
Nesse caso, enumere os divisores inteiros do termo inde-
pendente c = 6:
D(6) = {–6; –3; –2; –1; 1; 2; 3; 6}
Assim, tem–se que: x1 = 2 e x2 = 3, pois 2 + 3 = 5 e 2 ∙ 3 = 6
Então,
P(x) = a ∙ (x – x1) ∙ (x – x2)
P(x) = 10 ∙ (x – 2) ∙ (x – 3)
b) Considerando que o polinômio obedece à expressão 
P(x) = a ∙ (x – x1 )∙(x–x2 ), onde x1 e x2 são as raízes da equação 
do 2º grau, determinam–se as raízes de – 4x2 + 8x + 12 = 0, ou 
seja, P(x) = 0.
Inicialmente, procura–se reduzir a expressão do polinô-
mio, colocando o fator comum –4 em evidência.
– 4x2 + 8x + 12 = 0 → –4 ∙ (x2 – 2x – 3) = 0
Utilizando a regra da soma e do produto das raízes na 
equação x2 – 2x – 3 = 0, obtém–se:
S = 2 → S = x1 + x2
P = –3 → P = x1 ∙ x2
Nesse caso, enumere os divisores inteiros do termo inde-
pendente c = –3:
D(–3) = {–3; –1; 1; 3}
Assim, tem–se que: x1 = –1 e x2 = 3 pois –1 + 3 = 2 e (–1) ∙ 3 = –3
Então,
P(x) = a ∙ (x – x1) ∙ (x – x2)
P(x) = –4 ∙ (x + 1) ∙ (x – 3)
Sugestão de solução:
Como as raízes são conhecidas e, conhecendo–se a ex-
pressão P(x) = an ∙ (x – x1) ∙ (x – x2) ∙ (x – x3), tem–se:
P(x) = 1 ∙ (x – 5) ∙ (x – (–3)) ∙ (x – 2)
P(x) = (x – 5) ∙ (x + 3) ∙ (x – 2)
P(x) = (x2 + 3x – 5x – 15) ∙ (x – 2)
P(x) = (x2 – 2x – 15) ∙ (x – 2)
(Existem outras possibilidades)
Sugestão de solução:
Considerando que a forma fatorada de um polinômio de 
terceiro grau pode ser dada pela expressão 
P(x) = an ∙ (x – x1) ∙ (x – x2) ∙ (x – x3 )
Conhecendo–se suas raízes (–10,4 e 6), pode–se escrever 
esse polinômio da seguinte forma:
P(x) = [x – (–10)] ∙ (x – 4) ∙ (x – 6)
P(x) = (x + 10) ∙ (x – 4) ∙ (x – 6)
Gabarito: B
Sugestão de solução: 
Considerando que a forma fatorada de um polinômio de 
terceiro grau pode ser dada pela expressão 
P(x) = an ∙ (x – x1) ∙ (x – x2) ∙ (x – x3)
Como não há nenhum coeficiente em comum, an= 1, assim,
P(x) = [x – (–1)] ∙ (x – 1) ∙ (x – 2)
P(x) = (x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x – 2)
Aplicando o produto da soma pela diferença: (a + b) ∙ (a – 
b) = a2 – b2, tem–se que:
P(x) = (x2 – 1) ∙ (x – 2)
P(x) = x3 – 2x2 – 1x + 2
P(x) = x3 – 2x2 – x + 2
Gabarito: C
Solução:
As raízes do polinômio são os valores reais que x pode as-
sumir para que o polinômio se torne identicamente nulo, 
portanto, devemos igualar esse polinômio a zero:
P(x) = 3x ∙ (x + 1) ∙ (x – 5)
3x ∙ (x + 1) ∙ (x – 5) = 0
Para que o produto entre os três fatores seja zero, é neces-
sário que, pelo menos um deles seja igual a zero, ou seja, 
3x=0 ou x + 1 = 0 ou x – 5 = 0
Dessa forma,
x1 = 0 ou x2 = –1 ou x3 = 5
Portanto, as raízes reais desse polinômio são –1,0 e 5.
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Diagnóstico
1. Um Kit de barbeador elétrico era vendido a R$ 350,00 e, 
com a chegada do dia dos pais, sofreu um acréscimo de 20%. 
Porém, após o Dia dos Pais nem todo o estoque foi vendido 
e o dono da loja resolveu fazer a seguinte promoção.
Quanto passou a custar esse kit de barbeador elétrico 
após o dia dos pais?
(A) R$ 420,00
(B) R$ 367,50
(C) R$ 315,00
(D) R$ 280,00
(E) R$ 262,50
Gabarito: C
Sugestão de solução: 
Primeiramente devemos encontrar o valor do barbeador 
após o acréscimo:
350,00 + 20% de 350,00
350,00 + 0,20 ∙ 350,00
350,00 + 70,00 = 420,00
Em seguida, aplicar o valor do desconto de 25% sobre o 
valor encontrado:
420,00 – 25% de 420,00
420,00 – 0,25 ∙ 420,00
420,00 – 105,00 = 315,00
Portanto, o valor final do barbeador é de R$ 315,00.
2. Em uma determinada prova, um candidato que acertou 
12 questões recebeu um total de 39 pontos. Sabendo que 
o valor das questões é sempre o mesmo, um candidato 
que obteve 52 pontos acertou um total de
(A) 15 questões.
(B) 16 questões.
(C) 17 questões.
(D) 18 questões.
(E) 20 questões.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
O número de questões e o total de pontos são grandezas 
diretamente proporcionais, pois quanto maior o número 
de acertos, maior será a nota do candidato.
Dessa forma, teremos:
Portanto, o candidato acertou 16 questões.
3. Um veículo, a 120 km/h, gasta 2 horas em determinado 
percurso. 
Qual seria sua velocidade se o tempo gasto nesse percur-
so fosse de 6 horas? 
(A) 100 km/h
(B) 80 km/h
(C) 60 km/h
(D) 40 km/h
(E) 20 km/h
Gabarito: D
Sugestão de solução: 
A velocidade e o tempo gasto, são grandezas inversamen-
te proporcionais, pois quanto menor a velocidade, maior o 
tempo gasto no percurso.
Dessa forma, teremos
Portanto, a velocidade seria de 40 km/h. 
4. Em uma população de 200 estudantes, há 120 meninos 
e 80 meninas.
Extraindo uma amostra representativa de 20%, dessa po-
pulação, obtém-se
(A) 18 meninos e 22 meninas.
(B) 20 meninos e 20 meninas.
(C) 22 meninos e 18 meninas.
(D) 24 meninos e 16 meninas.
(E) 26 meninos e 14 meninas.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Para que a amostra seja representativa, não basta ser 
20% de 200, ou seja, a razão entre o número de meninos 
e meninas deve ser constante.
Assim,
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5. Foi realizada uma pesquisa em que se tinha o interesse 
de conhecer o município de nascimento dos funcionários 
de uma empresa.
A variável de estudo dessa pesquisa, deve ser classificada 
como
(A) qualitativa nominal.
(B) qualitativa ordinal.
(C) quantitativa discreta.
(D) quantitativa contínua.
(E) qualitativa contínua.
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Uma variável qualitativa nominal é um tipo de variável 
que representa categorias sem qualquer ordem específi-
ca entre elas. Em outras palavras, as categorias são distin-
tas e não podem ser classificadas ou ordenadas de forma 
significativa. Essas variáveis são usadas para representar 
características que caem em diferentes grupos ou cate-
gorias, mas não têm uma hierarquia intrínseca.
Exemplos comuns de variáveis qualitativas nominais in-
cluem:
Cores: Vermelho, azul, verde etc.
Gênero: Masculino, feminino.
Estado civil: Solteiro, casado, divorciado. 
Tipos de veículos: Carro, moto, bicicleta.
6. Um professor de matemática fez uma tabela com as no-
tas finais de sua turma para ver quantos estudantes fica-
rão de recuperação e quantos já foram aprovados. A nota 
média utilizada por essa escola é 6, ou seja, o estudante 
que tiver nota superior ou igual a 6 já está aprovado e o 
estudante que teve nota inferior a 6, ficou de recuperação. 
O professor dividiu todos os estudantes em cinco classes 
de notas conforme a tabela de frequências, a seguir.
O professor observou a tabela e descobriu que a frequ-
ência relativa de estudantes, que ficarão para a recupera-
ção, é igual a
(A) 10%. (D) 62%.
(B) 28%. (E) 82%.
(C) 34%.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Somando a frequência relativa, das notas inferiores a 6 
pontos, temos:
10 + 24 + 28 = 62
Assim, a frequência relativa dos estudantes que ficarão 
para a recuperação é de 62%.
7. O quadro, a seguir, apresenta as notas de matemática 
de um estudante, em cinco provas.
A nota média de matemática, desse estudante, é igual a
(A) 7,48. (D) 7,95.
(B) 7,58. (E) 8,05.
(C) 7,80.
Gabarito: C
Sugestão de solução: 
A média aritmética é calculada pela soma de todos os ele-
mentos do conjunto, dividida pela quantidade de elemen-
tos do conjunto. Portanto,
8. O professor de matemática estabeleceu que os seus 
estudantes fariam 3 provas: P1, P2 e P3. Essas provas te-
riam, respectivamente, pesos 1, 2 e 3.
Se um estudante tirou 4 na primeira prova, 7 na segunda 
e 8 na terceira, qual será a média em matemáticadesse 
estudante?
(A) 6,8 (D) 7,4
(B) 7,0 (E) 7,6
(C) 7,2
Gabarito: B
Sugestão de solução:
A média ponderada é calculada multiplicando cada valor 
pelo seu peso, somando os produtos encontrados, e divi-
dindo a soma obtida pela soma dos pesos. Assim,
9. Em uma sorveteria o sorvete é vendido em cinco sabo-
res. Ao final do dia, a gerente fez um levantamento para 
saber qual dos sabores foi mais vendido.
Em ordem de vendas, esses foram os sabores anotados 
pelo atendente:
Com base na moda dos sabores, o sabor de sorvete a mais 
vendido foi
(A) baunilha. (D) limão. 
(B) chocolate. (E) morango.
(C) flocos. 
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Gabarito: B
Sugestão de solução: 
Moda corresponde ao valor que mais se repete num con-
junto de elementos. Sendo assim, basta contabilizar quan-
tas vezes cada sabor foi vendido e identificar o que mais 
se repete: 
Morango: 07
Chocolate: 10
Baunilha: 05
Limão: 06
Flocos: 04
Portanto, o sabor de sorvete mais vendido foi chocolate. 
10. (ENEM 2020 – PPL) O gerente de uma concessionária 
apresentou a seguinte tabela em uma reunião de dirigen-
tes. Sabe-se que ao final da reunião, a fim de elaborar me-
tas e planos para o próximo ano, o administrador avaliará 
as vendas com base na mediana do número de automó-
veis vendidos no período de janeiro a dezembro.
Qual foi a mediana dos dados apresentados?
(A) 40,0 (D) 47,5
(B) 42,5 (E) 50,0
(C) 45,0
Gabarito: B
Sugestão de solução: 
Devemos organizar os números de automóveis vendidos 
em ordem crescente e calcular a média entre os dois ter-
mos centrais, pois o número de elementos é par. 
Organizando os dados, em ordem crescente,
20; 25; 30; 35; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70
Assim, 
Portanto, a mediana é igual a 42,5.
11. Na academia, o instrutor mediu a altura das suas alu-
nas em metros e coletou os seguintes dados:
O desvio-padrão das alturas coletadas é, aproximada-
mente, igual a
(A) 0,02. (D) 0,08.
(B) 0,04. (E) 0,10.
(C) 0,06.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Primeiro calculamos a média aritmética, 
Sabendo que a média é 1,7, temos então:
12. (ENEM 2012) O dono de uma farmácia resolveu co-
locar à vista do público o gráfico mostrado, a seguir, que 
apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de 
certo medicamento ao longo do ano de 2011.
 
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, 
respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 
2011 foram
(A) março e abril. 
(B) março e setembro. 
(C) agosto e setembro. 
(D) junho e setembro. 
(E) junho e agosto. 
Gabarito: E
Sugestão de solução:
O eixo vertical representa os valores de venda, em reais, 
do medicamento e o eixo horizontal apresenta o período 
(em meses) durante o qual essas vendas foram efetua-
das. A linha vertical tracejada (no gráfico) é proporcional 
à quantidade vendida em cada mês, assim junho é o mês 
em que ocorreram mais vendas por apresentar maior va-
lor absoluto de vendas, já agosto, apresenta menor valor 
absoluto de vendas.
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13. O gráfico, a seguir, apresenta os meios de transporte 
utilizados pelos estudantes de uma turma de 9º ano que 
não vão a pé para a escola.
 
Assinale a tabela que corresponde aos dados desse gráfico.
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
Gabarito: D
Sugestão de solução: 
14. (ENEM 2013) Foi realizado um levantamento nos 
200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os 
valores, em reais, das diárias para um quarto padrão 
de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da di-
ária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = 
R$ 300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, 
as áreas representam as quantidades de hotéis pesqui-
sados, em porcentagem, para cada valor da diária.
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão 
de casal nessa cidade, é
(A) 300,00. (D) 375,00.
(B) 345,00. (E) 400,00.
(C) 350,00.
Gabarito: C 
Sugestão de solução: 
A partir do gráfico, tem–se que: 
25% de 200 = 0,25 ∙ 200 = 50
Assim, 50 hotéis cobram a diária A (R$ 200,00).
25% de 200=0,25∙200=50
Assim, 50 hotéis cobram a diária B (R$ 300,00).
40% de 200=0,40∙200=80
Assim, 80 hotéis cobram a diária C (R$ 400,00).
10% de 200=0,1∙200=20
Assim, 20 hotéis cobram a diária D (R$ 600,00). 
Colocando em ordem,
Temos que, os termos centrais são o 100º e 101°, ou seja, 
300 e 400. E calculando a média, temos:
Assim, o valor médio, do quarto padrão de casal, nesta ci-
dade é R$ 350,00.
15. O histograma apresenta a distribuição de frequência 
da idade de estudantes que ingressaram em um curso de 
Engenharia em 2023.
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O valor modal dessa distribuição está na
(A) 1ª classe. (D) 4ª classe. 
(B) 2ª classe. (E) 5ª classe.
(C) 3ª classe.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
16. Um conjunto de dados apresenta para média aritmé-
tica e para desvio-padrão, respectivamente, 18,3 e 1,47.
O coeficiente de variação percentual desse conjunto de 
dados é, aproximadamente, igual a
(A) 1,24%. (D) 26,90%.
(B) 8,03%. (E) 80,30%.
(C) 12,45%.
Gabarito: B
Sugestão de solução: 
O coeficiente de variação (CV) corresponde à razão entre 
o desvio-padrão (σ) e a média aritmética (μ), ou seja,
Segundo o enunciado, temos: σ = 1,47 e μ = 18,3. Portanto,
Assim,
0,08032 ∙ 100≅8,03%
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Governador do Estado de Goiás
Ronaldo Ramos Caiado
Vice–Governador do Estado de Goiás
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Secretária–Adjunta
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Diretora Pedagógica
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e Educação
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Superintendente de Modalidades e Temáticas 
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Superintendente de Apoio ao Desenvolvimento 
Curricular
Nayra Claudinne Guedes Menezes Colombo
Chefe do Núcleo de Recursos Didáticos
Evandro de Moura Rios
Coordenador de Recursos Didáticos para o Ensino 
Fundamental
Alexsander Costa Sampaio
Coordenadora de Recursos Didáticos para o 
Ensino Médio
Edinalva Soares de Carvalho Oliveira
Professores elaboradores de Língua Portuguesa
Edna Aparecida dos Santos
Edinalva Filha de Lima Ramos 
Katiuscia Neves Almeida
Maria Aparecida Oliveira Paula
Norma Célia Junqueira de Amorim
Professores elaboradores de Matemática
Amanda Martinhago Chavoni
Basilirio Alves da Costa Neto
Tayssa Tieni Vieira de Souza
Tyago Cavalcante Bilio
Professores elaboradores de Ciências da Natureza
Leonora Aparecida dos Santos
Sandra Márcia de Oliveira Silva
Sílvio Coelho da Silva
Professor de Ciências Humanas e Sociais
Ricardo Gonçalves Tavares
Revisão
Cristiane Gonzaga Carneiro Silva
Diagramação
Adriani Grunacréscimos e decréscimos simples, utilizando a 
proporcionalidade em contextos diversos. 
• (EF07MA02-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas que envolvam porcentagens, como os que li-
dam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando 
estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no 
contexto de educação fi nanceira, entre outros.
• (EF08MA04-B) Resolver e elaborar problemas, envol-
vendo cálculo de porcentagens, incluindo o uso de tecno-
logias digitais, no contexto da educação fi nanceira.
• (EF09MA05-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de 
aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das 
taxas percentuais, preferencialmente, com o uso de tec-
nologias digitais, no contexto da educação fi nanceira.
• (EF07MA17-A) Ler, interpretar, resolver e elaborar
problemas que envolvam variação de proporcionalidade 
direta e de proporcionalidade inversa entre duas grande-
zas, para calcular a quantidade de um produto ao valor a 
pagar, alterar as quantidades de ingredientes de receitas, 
ampliar ou reduzir escala em mapas, entre outros.
• (EF08MA13) Ler, interpretar, resolver e elaborar pro-
blemas que envolvam grandezas diretamente ou inversa-
mente proporcionais, por meio de estratégias variadas.
• (EF09MA08-A) Reconhecer o uso das regras de três 
simples e compostas em situações problema que envol-
vam relações de proporcionalidade direta ou inversa en-
tre duas ou mais grandezas. 
9° ano
D21 – Reconhecer as diferentes representa-
ções de um número racional.
3ª 
série
D15 – Resolver problema que envolva variação 
proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.
D16 – Resolver problema que envolva porcen-
tagem.
• (EF09MA08-B) Ler, interpretar, resolver e elaborar 
problemas que envolvam relações de proporcionalidade 
direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive es-
calas, divisão em partes proporcionais e taxa de variação, 
em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas
Buscando o desenvolvimento pleno das habilidades no 1° 
corte temporal da 3ª série:
• (GO-EMMAT104A) Efetuar cálculo de porcentagem 
(acréscimos, descontos, taxas, entre outros), utilizando 
procedimentos matemáticos para compreender conceitos, 
evidências, taxas, índices e seus usos e intencionalidades 
nas atividades cotidianas divulgados por diferentes meios.
E dos descritores da Matriz SAEB: 
o que precisamos 
saber?
ESTATÍSTICA
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que 
fornece métodos para a coleta, organização, descrição, 
análise e interpretação de dados e para a utilização deles 
na tomada de decisões. Pode-se dizer que a Estatística se 
divide em dois grupos:
• Estatística Descritiva que tem por objetivo a coleta, 
a organização e a descrição dos dados;
• Estatística Indutiva ou Inferencial que se destina à 
análise e à interpretação dos dados.
Antes de se iniciar o estudo da Estatística, é importan-
te retomar duas importantes ferramentas, da matemática 
básica, que serão aplicadas nesse estudo a porcentagem
e a proporcionalidade.
PORCENTAGEM
A porcentagem (%) é a maneira de indicar uma fração 
cujo denominador é 100 ou qualquer outra representa-
ção equivalente a ela. 
Exemplos:
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 Porcentagem de um valor numérico
O cálculo da porcentagem de um valor pode ser feito 
de diferentes maneiras. 
Exemplo:
Quanto é 8% de 300?
Além do cálculo da porcentagem de um valor (parte 
de um todo), existem mais duas situações envolvendo 
porcentagem que merecem destaque.
1ª situação: Calcular o valor do todo, conhecendo 
uma parte dele e o percentual relativo à essa parte.
Exemplo:
12 é 5% de quanto?
Resolução: Denotando o valor do “todo” por x, tem-se que:
2ª situação: Calcular a taxa porcentual, conhecendo o 
“todo” e a “parte”.
Exemplo: 
Resolução: 14 é quantos por cento de 70?
Para calcular 10% ou 1% de um valor, 
basta “deslocar” a vírgula uma ou duas 
casas para a esquerda, respectivamente.
10% de 450 = 45,0 1% de 23 = 0,23
ATIVIDADES
1. Represente:
a) 45% na forma de fração irredutível.
b) 16% na forma decimal.
c) na forma de porcentagem.
d) na forma decimal.
e) 0,02 na forma fracionária irredutível.
f) 1,25 na forma de porcentagem.
De olho no Enem!
2. (ENEM 2024) Uma professora de matemática utiliza em 
suas aulas uma “máquina caça-números” para verificar os 
conhecimentos de seus estudantes sobre representações 
de números racionais. Essa máquina tem um visor dividido 
em seis compartimentos e, na lateral, uma alavanca. Cada 
estudante puxa a alavanca e espera que os compartimen-
tos parem de girar. A partir daí, precisa responder para a 
professora em quais posições se encontram os números 
que representam a mesma quantidade. 
Um estudante puxou a alavanca, aguardou que os 
compartimentos parassem de girar e observou os núme-
ros apresentados no visor. A configuração da máquina na-
quele instante está apresentada na imagem.
Professor(a), nas atividades de 1 a 4, o objetivo é que 
os(as) estudantes desenvolvam as habilidades de identi-
ficar, representar e operar com as representações de um 
número racional (fracionárias, decimais e percentuais). 
Por serem consideradas habilidades basilares e essenciais 
para o desenvolvimento desta aula, sugerimos uma aten-
ção especial nessas atividades e, caso os estudantes sin-
tam dificuldades, utilize o REVISA GOIÁS 8º ano – 2025 
– 1º Bimestre para relembrar habilidades referentes a 
identificação, representação e operações com racionais.
Sugestão de solução:
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Esse estudante respondeu corretamente à pergunta da 
professora.
As posições indicadas pelo estudante foram
(A) I, II e IV. (D) III, V e VI.
(B) II, IV e V. (E) III, IV e VI.
(C) II, III, e V.
Gabarito: B
Sugestão de resolução:
Portanto, as posições que apresentam números que re-
presentam a mesma quantidade são II, IV e V.
3. (ENEM 2024) Um instituto de pesquisa constatou que, 
nos últimos dez anos, o crescimento populacional de uma 
cidade foi de 135,25%.
Qual é a representação decimal da taxa percentual desse 
crescimento populacional?
(A) 13 525,0 (D) 1,3525
(B) 135,25 (E) 0,13525
(C) 13,525
Gabarito: D
Sugestão de resolução:
Sugestão de solução:
4. Calcule: 
a) 20% de 200. d) 5% de 60.
b) 75% de 40. e) 35% de 300.
c) 40% de 150. f) 125% de 40. 
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Professor(a), na atividade 5, o objetivo é que os(as) estu-
dantes em relação a habilidade de encontrar os valores 
desconhecidos em três situações diferentes envolvendo 
a porcentagem. Em uma delas, o valor desconhecido é a 
parte de um todo, em outra, é o todo e, na última, esse 
valor é a porcentagem. Essa atividade foi propositalmen-
te colocada antes da parte teórica dessa habilidade para 
estimular o desenvolvimento desta habilidade posterior-
mente. Promova uma discussão com a turma sobre as di-
ferentes formar de se calcular os valores em cada uma das 
situações.
5. Complete as sentenças, a seguir.
a) 4% de 200 é igual a .
b) 8 corresponde a 4% de .
c) 8 é % de 200.
Sugestão de solução:
a) 
Assim, 4% de 200 é igual a 8.
b) 8 ÷ 4 = 2 e 2 ∙ 100 = 200
Assim, 8 corresponde a 4% de 200.
c) 
Assim, 8 é 4% de 200.
Professor(a), nas atividades 6 a 10, o objetivo é que os(as) 
estudantes desenvolvam a habilidade de calcular o valor 
do todo, conhecendo uma parte dele e o percentual rela-
tivo à essa parte, e de calcular a taxa percentual conheci-
do o todo e a parte.
6. Complete as sentenças, a seguir:
a) 20 corresponde a 10% de . 
b) 18 corresponde a 12% de . 
c) 8 corresponde a 12,5% de . 
d) 0,45 corresponde a 25% de .
Sugestão de solução: 
Para que encontrar o valor pedido neste exercício, iremos 
dividir a sentenças pelas porcentagens dada: 
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7. Complete as sentenças, a seguir: 
a) 60 é % de 200. c) 12,5 é % de 250. 
b) 45 é % de 75. d) 7,2 é % de 3600. 
8. Calcule e responda:
a) Qual é o valor de 30% de 650? 
b) 195 é 30% de quanto? 
c) 195 corresponde a qual porcentual de 650?
9. Uma mercadoria que custava R$ 60,00, passou a custar 
R$ 90,00. Qual o percentual de aumento?
10. Uma mercadoria que custava R$ 120,00, passou a 
custar R$ 80,00. Qual o percentual de redução?
Logo,
a) 60 é 30% de 200. 
b) 45 é 60% de 75. 
Sugestão de solução:
a)
Logo, 195 é 30% de 650.
b)
Assim, 195 é 30% de 650.
Assim, 195 corresponde a 30% de 650.
Sugestão de solução:
Sugestão de solução: 
Se R$ 90,00 corresponde a 150% do valor original da 
mercadoria, o aumento é a diferença entre o valor obtido 
e 100%:
150 – 100 = 50%
Portanto, a porcentagem de aumento corresponde a 50%.
Sugestão de solução:
Se R$ 80,00 corresponde a 66,67% do valor original da mer-
cadoria, a redução é a diferença entre 100% e o valor obtido:
100 – 66,67 = 33,33%
Portanto, a porcentagem de redução foi de 33,33%.
Professor(a), assim como as atividades desse tópico (O 
que precisamos saber?) visam o desenvolvimento, por 
parte do(a) estudante, do descritor D21 da matriz SAEB 
do 9º ano (Reconhecer as diferentes representações de 
um número racional), a seguir, estão itens que avaliam 
se eles(as) desenvolveram a habilidade relacionada a 
este descritor. 
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar a ha-
bilidade de reconhecer as diferentes representações de 
um número racional. Fique atento à sua resolução, mar-
que apenas uma alternativa e verifi que a solução.
REVISITANDO A MATRIZ
Item 1: No Brasil, da população vive na zona urbana.
Qual é a representação percentual desta fração?
(A) 20% (D) 60%
(B) 35% (E) 75%
(C) 40%
Gabarito: D
Sugestão de solução:
c) 12,5 é 5% de 250. 
d) 7,2 é 0,2% de 3600.
Item 2: Numa competição de jogo de dardos, a cada 8 ten-
tativas, um jogador consegue acertar 2 dardos no alvo.
Imagem criado por IA.
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Qual o seu percentual de acerto?
(A) 16% (D) 32%
(B) 25% (E) 40%
(C) 28%
Vamos Sistematizar?
ACRÉSCIMOS E DECRÉSCIMOS
Frequentemente a porcentagem é utilizada em situa-
ções nas quais se faz necessário os acréscimos (aumen-
tos) ou decréscimos (descontos).
Veja, de forma prática, como calcular os valores obti-
dos em cada situação:
Acréscimo: Valor multiplicado por 1, 
acrescido da porcentagem na forma decimal.
Exemplo:
Arnaldo pretende pagar o aluguel da casa onde mora. 
O valor a ser pago é de R$ 1200,00, até o vencimento. 
Um dia após o vencimento, é incidido 8% sobre esse valor. 
Nessas condições, qual valor Arnaldo pagará de aluguel 
um dia após o vencimento?
Resolução:
1200 ∙ (1 + 0,08) = 1200 ∙ 1,08 = 1296,00
Logo, um dia após o vencimento, Arnaldo pagará R$ 1296,00.
Gabarito: B
Sugestão de solução:
Decréscimo: Valor multiplicado por 1, 
subtraído da porcentagem na forma decimal.
Exemplo:
Se Arnaldo pagar o aluguel da casa até um dia antes 
do vencimento, ele ganha 5% de desconto sobre o valor. 
Nessas condições, qual valor Arnaldo pagará de aluguel 
um dia antes do vencimento?
Resolução:
1200 ∙ (1 – 0,05) = 1200 ∙ 0,95 = 1140,00
Assim, um dia antes do vencimento, Arnaldo pagará 
R$ 1140,00.
 Acréscimos e decréscimos sucessivos
Ao se calcular aumentos e descontos sucessivos, não é 
necessário considerar a ordem dessas variações, ou seja, 
um aumento de 10% seguido de um desconto de 5%, tem 
o mesmo resultado de um desconto de 5% seguido de 
um aumento de 10%. Na primeira situação, o valor seria 
multiplicado por 1,1 e, em seguida, por 0,95. Na segunda 
situação, o valor seria multiplicado por 0,95 e, em seguida, 
por 1,1. Lembre-se que a ordem dos fatores não altera o 
produto.
Resolução:
Dessa forma, independente da ordem das variações, o 
produto custará R$ 312,00.
 Variação percentual
Pode-se dizer que variação percentual é uma forma 
de apresentar a relação entre dois números na forma per-
centual.
Por exemplo, “um produto que custava R$ 100,00 au-
mentou para R$ 150,00. Qual foi a variação percentual de 
aumento?”.
Por outro lado, digamos que “um outro produto custava 
R$ 200,00 baixou a R$ 100,00. Qual foi a variação percen-
tual de redução?”.
Para se calcular a variação percentual entre dois valo-
res, é preciso inicialmente, identificar qual dos dois valo-
res é o valor de referência. Se a referência é o menor valor, 
tem-se um aumento percentual. Caso contrário, se o valor 
de referência for o maior, tem-se uma redução percentual.
Para o cálculo do aumento percentual:
Exemplo: 
Um produto que custava R$ 100,00 aumentou para 
R$ 150,00. Qual foi a variação percentual de aumento?
Resolução:
Assim, a variação percentual de aumento foi de 50%.
Exemplo: 
Um produto, que custava R$ 300,00, sofreu aumen-
to de 30%. Na semana seguinte, sofreu desconto de 20%. 
Quanto passou a custar esse produto após essas duas va-
riações?
Para o cálculo da redução percentual:
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ATIVIDADES
Exemplo: 
Um produto custava R$ 200,00 baixou a R$ 100,00. 
Qual foi a variação percentual de redução?
Resolução:
Assim, a variação percentual de redução foi de 50%.
11. Após um reajuste salarial, João que recebia, em 2023, 
o valor de R$ 1500,00 passou a receber, em 2024, o valor 
de R$ 2040,00. Sabendo disso, responda:
a) Qual foi o valor, em reais, de aumento no salário de 
João? 
b) Qual foi o percentual de aumento no salário de João? 
c) Se o percentual de reajuste salarial em 2025 aumentar 
mais 5%, qual será o salário de João nesse ano? 
Professor(a), nas atividades 11 a 14, o objetivo é que os(as) 
estudantes desenvolvam a habilidade de resolver proble-
mas envolvendo porcentagem, acréscimos, decréscimos 
e taxa de variação percentual. 
Nesse sentido, as atividades seguem a gradação de ma-
neira que na atividade 11 seja desenvolvido a habilidade 
envolvendo acréscimos, na atividade 12 descontos e, na 
atividade 13, taxa de aumento. A atividade 14 envolve 
acréscimo e desconto sucessivos.
Assim, caso os(as) estudantes sintam dificuldade em re-
solver essas atividades, retome as atividades anteriores, 
e resolva em conjunto com eles(as).
Sugestão de solução:
a) Para descobrir o valor real do aumento, basta calcular a 
diferença entre o valor após o aumento e o valor anterior 
a ele, portanto: 
2040 – 1500 = 540,00
Logo, o valor de aumento no salário de João foi de R$ 540,00.
b) Calculando o percentual,
Assim, o percentual de aumento no salário de João foi de 
36%.
c) Aplicando o aumento de 5% sobre 2040, temos
2040 ∙ (100% + 5%)
= 2040 ∙ (1+0,05)
= 2040 ∙ 1,05
= 2142,00
O salário de João, no ano de 2025, seria R$ 2142,00.
12. Ana Maria comprou um tênis para sua filha cujo valor 
na vitrine era de R$ 340,00. Ao efetuar o pagamento Ana 
Maria recebeu um desconto de R$ 95,20 sobre o valor 
desse tênis. Sabendo disso, responda. 
a) Quantos reais Ana Maria pagou pelo tênis? 
b) Qual foi o percentual de desconto recebido por Ana 
Maria nessa compra?
c) Se o percentual de desconto fosse de 12%, quantos re-
ais Ana Maria pagaria pelo tênis? 
Sugestão de solução: 
a) Basta subtrair o valor original do tênis pelo desconto 
recebido:
340 – 95,20 = 244,80
Assim, Ana Maria pagou R$ 244,80 no tênis.
b) 
Assim, o percentual de desconto recebido por Ana Maria 
foi de 28%.
c) Calculando o desconto, temos
Aplicando este desconto, sobre 340, temos
340 ∙ 0,88 = 299,20
Logo, o valor que Ana Maria pagaria pelo tênis é de R$ 299,20.
13. Maurício foi adquirir um automóvel em uma con-
cessionária e gostou de um modelo cujo preço, à vista, 
era R$ 62 000,00. O vendedor informou-lhe que esse 
automóvel poderia ser financiadoem 48 parcelas men-
sais, fixas, de R$ 1750,00. Ele então optou por financiar a 
compra desse automóvel.
Nessas condições, responda.
a) Qual foi o preço total, em reais, que Maurício pagou 
pelo automóvel? 
b) Qual foi o valor, em reais, que Maurício pagou de juros 
nesse financiamento? 
c) Qual foi a taxa de aumento sobre o valor do automóvel 
com o financiamento? 
Sugestão de solução:
a) 1750 ∙ 48 = 84 000,00
Assim, ele pagou R$ 84 000,00 no automóvel.
b) 84 000,00 - 62 000,00 = R$ 22 000,00
Logo, ele pagou R$ 22 000,00 de juros no financiamento.
c) 
Dessa forma, a taxa de aumento sobre o valor do automó-
vel, com o financiamento, foi de 35,48%.
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14. Em uma loja, uma televisão custava R$ 2500,00 e seu 
preço sofreu um aumento de 5%. Logo após o aumento, 
a loja resolveu fazer uma promoção oferecendo um des-
conto de 5% no mesmo produto.
a) Qual o valor do produto após o aumento?
b) Qual o valor do produto após o desconto?
c) Qual foi a variação percentual após os dois ajustes?
De olho no Enem!
15. (ENEM 2011) Para aumentar as vendas no início do 
ano, uma loja de departamentos remarcou os preços de 
seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando che-
gam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade 
da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre 
o valor total de suas compras. 
Um cliente deseja comprar um produto que custava 
R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não 
possui o cartão fidelidade da loja. 
Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a 
economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em 
reais, seria de
16. (ENEM 2023) A cada bimestre, a diretora de uma escola 
compra uma quantidade de folhas de papel ofício propor-
cional ao número de alunos matriculados. No bimestre pas-
sado, ela comprou 6000 folhas para serem utilizadas pelos 
1200 alunos matriculados. Neste bimestre, alguns alunos 
cancelaram suas matrículas e a escola tem, agora, 1150 alu-
nos. A diretora só pode gastar R$ 220,00 nessa compra, e 
sabe que o fornecedor da escola vende as folhas de papel 
ofício em embalagens de 100 unidades a R$ 4,00 a emba-
lagem. Assim, será preciso convencer o fornecedor a dar 
um desconto à escola, de modo que seja possível comprar a 
quantidade total de papel ofício necessária para o bimestre.
O desconto necessário no preço final da compra, em por-
centagem, pertence ao intervalo 
(A) (5,0; 5,5). (D) (19,5; 20,5).
(B) (8,0; 8,5). (E) (3,5; 4,0).
(C) (11,5; 12,5).
Sugestão de solução: 
a) 2500 ∙ (1+0,05) = 2500 ∙ 1,05 = 2625,00
Assim, o valor do produto após o aumento é de R$ 
2625,00.
b) 2625 ∙ (1–0,05) = 2625 ∙ 0,95 = 2493,75
Logo, o valor do produto após o desconto é de R$ 2493,75.
c) A variação percentual é a diferença entre dois núme-
ros, dividida pelo primeiro número, multiplicada por 100, 
portanto:
Dessa forma, a variação percentual é de, aproximada-
mente, 0,25%.
Professor(a), as questões 15 a 18 são do Exame Nacional 
do Ensino Médio (ENEM) e objetivam a sistematização 
das habilidades desenvolvidas até este momento. É im-
portante ter em mente que, essas questões exercitam as 
habilidades H3 (Resolver situação-problema envolvendo 
conhecimentos numéricos) e H4 (Avaliar a razoabilidade 
de um resultado numérico na construção de argumentos 
sobre afirmações quantitativas), relacionadas a compe-
tência de área 1 do ENEM: Construir significados para os 
números naturais, inteiros, racionais e reais.
Assim como as anteriores, essas questões sistematizam 
habilidades que demandam a resolução de situação-pro-
blema envolvendo conhecimentos numéricos (identificar, 
representar e operar com as representações de um nú-
mero racional, bem como calcular porcentagem, acrésci-
mos, decréscimos e taxa de variação percentual).
(A) 15,00. (D) 5,00.
(B) 14,00. (E) 4,00.
(C) 10,00.
Gabarito: E
Sugestão de solução:
Aplicando o desconto de 20%, temos
50 ∙ (100%–20%) = 50 ∙ 80% = 50∙0,8 = 40,00
Dessa forma, esse cliente pagará pelo produto o valor de 
R$ 40,00.
Caso tivesse o cartão fidelidade ele teria ainda um des-
conto adicional de 10%, assim:
40 ∙ (100% – 10%) = 40 ∙ 90% = 40 ∙0,9 = 36,00
Calculando a diferença, temos
40 – 36 = 4
Logo, a economia adicional desse cliente seria de R$ 4,00.
Gabarito: A
Sugestão de solução:
Dividindo 6000 folhas, pela quantidade de alunos, temos
6000 ÷ 1200 = 5
São utilizadas 5 folhas por aluno.
Sendo 1150 alunos, então
1150 ∙ 5 = 5750
Assim, serão necessárias 5750 folhas.
Portanto, serão necessários 58 pacotes, no mínimo. Se 
cada pacote custar R$ 4,00, o custo será de
58 ∙ 4 = 232,00
Logo, o desconto pode ser calculado por:
1 –(220 ÷ 232) ≅ 1 – 0,948 = 0,052 = 5,2%
17. (ENEM 2024) João e Felipe participaram, na escola, de 
uma maratona de matemática na qual, durante uma se-
mana, resolveram 200 questões cada. Nessa maratona, a 
porcentagem P de acertos de cada participante é conver-
tida em um conceito:
• Insatisfatório: se 0 ≤ Pcos, deverá ser de R$ 52,00.
Professor(a), assim como as atividades desse tópico 
(Vamos avançar?) visam o desenvolvimento, por parte 
do(a) estudante, do descritor D16 da matriz SAEB da 3ª 
série (Resolver problema que envolva porcentagem), a 
seguir, estão itens que avaliam se eles(as) desenvolve-
ram a habilidade relacionada a este descritor. 
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar a ha-
bilidade de resolver problema que envolva porcentagem. 
Fique atento à sua resolução, marque apenas uma alter-
nativa e verifi que a solução.
REVISITANDO A MATRIZ
Item 1: (SAEB 2013) Australianos usam drogas anticon-
cepcionais para conter a multiplicação de COALAS. Trata-
-se de uma droga com a qual os cientistas tentam enganar 
o sistema imunológico das fêmeas.
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Uma enquete feita aos internautas perguntava se eles 
eram favoráveis a esse tipo de esterilização de espécies 
de animais que viraram praga, de acordo com o recorte 
apresentado acima. 
Entre os entrevistados, quantos aproximadamente re-
provam este tipo de esterilização?
(A) 123 (D) 266
(B) 161 (E) 280
(C) 184
Item 2: (SAEPE) Em um plantão de pediatria, 30 crianças 
foram atendidas em um final de semana. Dessas crianças, 
6 foram diagnosticadas com a mesma virose. 
Que percentual de crianças atendidas foram diagnostica-
das com essa virose?
(A) 5% (D) 30%
(B) 6% (E) 80%
(C) 20%
Item 3: Uma agência de turismo realizou uma pesquisa 
entre seus clientes para saber quais eram os seus destinos 
preferidos. 120 clientes entrevistados, que correspon-
dem a 40% do total, optaram pelo Nordeste brasileiro. 
Quantos clientes foram entrevistados? 
(A) 48 (D) 300
(B) 120 (E) 480
(C) 160
o que precisamos 
saber?
RAZÃO E PROPORÇÃO
Grandeza é tudo que pode ser contado ou medido, 
como o tempo, a velocidade, comprimento, preço, idade, 
temperatura entre outros.
Razão é uma comparação entre duas grandezas. Geral-
mente, essa comparação é expressa através de uma fração. 
Um exemplo de razão é a velocidade, estudada na cinemáti-
ca, parte da física responsável por estudar os movimentos. 
Gabarito: C
Sugestão de solução: 
57% de 323 = 0,57 ∙ 323 = 184,11 ≅ 184 
Gabarito: C
Sugestão de solução:
Gabarito: D 
Sugestão de solução:
Dividindo a quantidade de entrevistados pelo percentual 
total, temos
120 ÷ 40 = 3 
Assim, 3 pessoas correspondem a 1% dos entrevistados.
3 ∙ 100 = 300
Portanto, foram entrevistados 300 clientes.
A velocidade é a razão que relaciona a distância percorrida 
por um corpo em um determinado intervalo temporal. 
Por exemplo, um automóvel percorre 60 quilômetros 
em um intervalo de 1 hora. Sua velocidade (v) pode ser re-
presentada da seguinte forma:
Outros exemplos de razões são: densidade demográ-
fica (geografia), escala (cartografia), densidade de uma so-
lução (química), razão entre quantidade de ingredientes 
em uma receita, entre outros.
Proporção é uma igualdade entre duas razões. 
Os números 15, 30, 45 e 90, nessa ordem, são propor-
cionais, ou seja
As duas razões são iguais a .
Propriedade fundamental da proporção: A proporção 
 pode ser escrita da forma a ÷ b = c ÷ d. Como os 
termos a e d estão nas extremidades, recebem o nome de 
“extremos” e os termos b e c recebem o nome de “meios”. 
A propriedade fundamental da proporção é enunciada da 
seguinte forma: 
“O produto dos meios é igual ao produto dos extremos”
Exemplo:
Esses números são proporcionais, pois 
3 ∙ 40 = 4 ∙ 30
120 = 120
ATIVIDADES
Professor(a), tendo em mente que, para dois ou mais pa-
res de números serem proporcionais, o coefi ciente de 
proporcionalidade (a razão entre eles) deve ser a mesma. 
Na atividade 19 o objetivo é que o(a) estudante desenvol-
va a habilidade de determinar a razão entre dois números. 
Por ser uma atividade basilar, ela servirá como diagnósti-
co para que você, professor(a), verifi que se o ele(a) desen-
volveu essa habilidade.
19. Determine a razão entre os números, a seguir.
a) 15 e 30 d) 60 e 72
b) 8 e 12 e) 240 e 80
c) 1,2 e 1,44 f) – 72 e – 36 
Sugestão de solução: 
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20. Uma mistura apresenta 3 kg de leite em pó e 900 g de 
café em pó. Qual a razão entre a quantidade de leite e a 
quantidade de café?
Professor(a), nas atividades 20 e 21, o objetivo é que 
os(as) estudantes desenvolvam as habilidades de identifi-
car as unidades de medida das grandezas envolvidas em 
uma situação problema e, de realizar a conversão entre 
essas unidades de medidas. 
Aproveite o momento para reforçar que dados quatro nú-
meros quaisquer a,b,c e d, nessa ordem, dizemos que eles 
são diretamente proporcionais quando a igualdade entre 
as respectivas razões possui o mesmo valor. 
Caso seja necessário, lembre-os(as) as conversões entre 
unidades de medida de capacidade (quilogramas e gramas).
Sugestão de solução:
Sabe-se que 3 quilos (kg) equivale a 3000 gramas (g), assim
Portanto, a razão entre a quantidade de leite e a quantida-
de de café é de .
Professor(a), na atividade 25, o objetivo é que os(as) es-
tudantes desenvolvam a habilidade de verificar se qua-
tro números, em uma determinada ordem, formam uma 
proporção. Além de aplicar a propriedade fundamental 
da proporção, proponha que os(as) estudantes formem 
as frações e verifiquem se são equivalentes. Desta forma, 
esta é uma atividade que oportuniza que você, profes-
sor(a), relembre-os(as) da definição de frações equivalen-
tes, prevista do descritor D23 (Identificar frações equiva-
lentes) da matriz SAEB do 9º ano.
21. Verifique se os números 12, 36, 7 e 21 formam, nessa 
ordem, uma proporção.
Sugestão de solução: 
Aplicando a propriedade fundamental da proporção (o 
produto dos meios é igual ao produto dos extremos), te-
mos 
Assim, verificamos que esses números, nessa ordem, for-
mam uma proporção.
22. Complete as sentenças, a seguir, de modo que formem 
proporções.
d)
e)
f) 
a)
b)
c)
d)
e)
f) 
a)
b)
c)
Professor(a), na atividade 26, o objetivo é que os(as) estu-
dantes desenvolvam a habilidade de identificar um valor 
desconhecido, entre outros três valores conhecidos, em 
uma proporção. Essa habilidade será basilar para a com-
preensão das atividades envolvendo regra de três. 
Sugestão de solução: 
Solução: 
d)
e)
f) 
a)
b)
c)
De olho no Enem!
Professor(a), a questão 23 é do Exame Nacional do Ensi-
no Médio (ENEM) e objetiva a sistematização das habili-
dades desenvolvidas até este momento. É importante ter 
em mente que, essa questão exercita as habilidades H15 
(Identificar a relação de dependência entre grandezas) e 
H17 (Analisar informações envolvendo a variação de gran-
dezas como recurso para a construção de argumentação), 
relacionadas a competência de área 4 do ENEM: Construir 
noções de variação de grandezas para a compreensão da 
realidade e a solução de problemas no cotidiano. 
23. (ENEM 2024) A densidade demográfica de uma re-
gião é definida como sendo a razão entre o número de 
habitantes dessa região e sua área, expressa na unidade 
habitantes por quilômetro quadrado. 
Uma região R é subdividida em várias outras, sendo uma 
delas a região Q. A área de Q é igual a três quartos da área 
de R, e o número de habitantes de Q é igual à metade do nú-
mero de habitantes de R. As densidades demográficas cor-
respondentes a essas regiões são denotadas por d(Q) e d(R).
A expressão que relaciona d(Q) e d(R) é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Gabarito: E
Sugestão de solução:
Denotando por
A(Q): área da região Q
A(R): área da região R
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Vamos avançar?
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
São aquelas grandezas onde a variação de uma provoca 
a variação da outranuma mesma razão. Se uma dobra a ou-
tra dobra, se uma triplica a outra triplica, se uma é dividida 
em duas partes iguais a outra também é dividida à metade.
Por exemplo, um automóvel move-se a 60 km/h e, em 
determinado período, consegue percorrer 240 km. Se 
esse automóvel estiver a 120 km/h, ele conseguirá per-
correr 480 km no mesmo período.
Nesse caso, foram observadas duas situações diferen-
tes para as grandezas velocidade e distância. Na primeira 
situação, podemos escrever a seguinte razão entre a velo-
cidade e o espaço percorrido:
Na segunda situação, podemos escrever a seguinte 
razão entre essas grandezas:
Observe que ambas as razões têm como resultado o 
número , portanto elas formam a seguinte proporção:
Pode-se dizer, portanto, que as grandezas velocidade 
e distância são diretamente proporcionais.
Neste exemplo, a relação entre as duas grandezas pode 
ser representada através de uma sentença matemática:
Onde a variável v representa a velocidade e a variável 
d representa a distância percorrida.
Observação: considere que, neste exemplo, o tempo 
gasto é constante.
H(Q): número de habitantes da região Q
H(R): número de habitantes da região R
Pelo enunciado, temos
Assim, as densidades serão dadas por: 
Substituindo os dados da região Q, pelos dados da região 
R, temos
Logo, a expressão que relaciona d(Q) e d(R) é 
.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Uma grandeza é inversamente proporcional a outra, 
quando operações inversas são utilizadas nas variações 
das grandezas, por exemplo, se dobramos uma das gran-
dezas, temos que dividir a outra por dois, se triplicamos 
uma delas, devemos dividir a outra por três e, assim su-
cessivamente.
A velocidade e o tempo são considerados grandezas 
inversas pois, se aumentarmos a velocidade, o tempo é re-
duzido e, se diminuímos a velocidade, o tempo aumenta, 
considerando que a distância percorrida é constante.
Por exemplo, um automóvel move-se a 60 km/h e, 
consegue percorrer 240 km em quatro horas. Se esse au-
tomóvel estiver a 120 km/h, ele conseguirá percorrer, os 
mesmos 240 km, em duas horas.
Nesse caso, foram observadas duas situações diferen-
tes para as grandezas velocidade e tempo. Observe que, 
quanto maior é a velocidade, menor será o tempo dessa 
viagem. Veja também que se pegarmos a razão entre dois 
valores da primeira grandeza (velocidade) e, o inverso 
da razão de dois valores da segunda grandeza (tempo), a 
igualdade será verdadeira.
Observe que ambas as razões têm como resultado o 
número , portanto elas formam a seguinte proporção:
Observação: é a representação matemática para o 
inverso de ∙ Podemos dizer, portanto, que as grandezas 
velocidade e tempo são inversamente proporcionais.
Neste exemplo, a relação entre as duas grandezas pode 
ser representada através de uma sentença matemática
Onde a variável v representa a velocidade e a variável 
t representa o tempo gasto no percurso.
Observe o quadro, a seguir, onde está representado 
outras relações entre velocidade e tempo do exemplo 
apresentado. 
Obtendo o produto de cada elemento da sequência da 
primeira linha, pelo correspondente da outra sequência 
na 2ª linha, tem-se:
Por isso, é possível escrever que 
48 ∙ 5 = 60 ∙ 4 = 80 ∙ 3 = 120 ∙ 2 = 240
Dessa forma, se diz que os números 48, 60, 80 e 120, 
nessa ordem, são inversamente proporcionais aos núme-
ros 5, 4, 3 e 2.
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ATIVIDADES
24. Verifique se as sequências de números das tabelas 
abaixo são diretamente proporcionais e, caso afirmativo, 
encontre o coeficiente de proporcionalidade.
a) b) 
25. Os números da primeira linha são diretamente propor-
cionais aos números correspondentes da segunda linha.
Determine os valores de m e n.
26. Verifique se os números, na ordem apresentada, são 
inversamente proporcionais.
a) (5, 6, 8, 9) e (10, 12, 16, 18)
b) (30, 18, 15, 10) e (3, 5, 6, 9)
27. Calcule os valores das incógnitas nas sequências, a se-
guir, sabendo que são inversamente proporcionais.
a)
b)
O número 240 (constante) é o fator de proporciona-
lidade (k).
Generalizando, tem-se que os números racionais a, b 
e c são inversamente proporcionais aos números d, e e f, 
quando:
a · d = b · e = c · f = k
Observação: considere que, neste exemplo, a distân-
cia percorrida é constante.
Professor(a), nas atividades 24 a 27, o objetivo é que os(as) 
estudantes desenvolvam as habilidades de ler e interpre-
tar um problema que envolve grandezas diretamente e 
inversamente proporcionais. Reforce com eles(as) a im-
portância de identificar quais as grandezas envolvidas e a 
unidade de medida de cada uma dessas grandezas. Caso 
seja necessário, relembre os tipos de grandezas, assim 
como suas unidades de medida e as relações entre estas. 
Instigue-os(as) a identificarem a relação entre as duas 
grandezas.
Sugestão de solução: 
a) Sim, pois
E o coeficiente de proporcionalidade é 1/3∙
b) Não, pois 
Note que, não há coeficiente de proporcionalidade.
Sugestão de solução: 
Primeiramente iremos calcular a razão da fração que foi 
dada:
Sabendo que a sequência é diretamente proporcional, 
calculamos os valores utilizando a razão:
Logo, m = 0,4 e n = 0,7.
Sugestão de solução: 
a) 5 ∙ 10 ≠ 6 ∙ 12 ≠ 8 ∙ 16 ≠ 9 ∙ 18
Assim, os números não são inversamente proporcionais.
Além disso, observe que os números são diretamente 
proporcionais, pois
b) 30 ∙ 3 = 18 ∙ 5 = 15 ∙ 6 = 10 ∙ 9 = 90
Logo, os números são inversamente proporcionais.
Sugestão de solução: 
Entendendo que as incógnitas estão relacionadas em uma 
sequência inversamente proporcional, podemos afirmar que
a)
Logo, .
b)
Logo, .
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De olho no Enem!
28. (ENEM 2024) Uma piscina tem capacidade de 2 500 
000 litros. Seu sistema de abastecimento foi regulado 
para ter uma vazão constante de 6 000 litros de água por 
minuto.
O mesmo sistema foi instalado em uma segunda piscina, 
com capacidade de 2 750 000 litros, e regulado para ter uma 
vazão, também constante, capaz de enchê-la em um tempo 
20% maior que o gasto para encher a primeira piscina.
A vazão do sistema de abastecimento da segunda piscina, 
em litro por minuto, é
(A) 8 250. (D) 5 500.
(B) 7 920. (E) 5 280.
(C) 6 545.
FUNÇÃO LINEAR E O CONCEITO DE 
PROPORCIONALIDADE DIRETA
Vamos considerar algumas situações do nosso cotidia-
no: determinar a distância percorrida por um carro que se 
move a uma velocidade constante ou determinar o preço de 
certa quantidade de pães conhecendo o valor unitário.
Essas situações envolvem relações entre duas variá-
veis x e y:
• x → tempo e y→ distância percorrida em função do 
tempo
• x → número de pães e y→ custo total
Nesses dois exemplos a função tem uma propriedade 
importante: se o valor da variável independente x dobra, 
o mesmo acontece com o valor da variável dependente y; 
se o valor de x triplica, também triplica o valor de y.
De forma genérica: se a variável x é multiplicada por 
um número natural a, o mesmo acontece com a variável y. 
Em outras palavras, o quociente se mantém constante.
 O conceito de função linear
Uma função que estabelece, entre x e y, uma relação 
tal que é constante, é dita linear.
Expressamos essa relação por 
y = a ∙ x
Onde a é a constante e dizemos que a variação de y é 
diretamente proporcional a variação de x.
O gráfico de y = a ∙ x é sempre uma reta, que passa 
pela origem do plano cartesiano. 
Professor(a), a questão 28 é do Exame Nacional do Ensi-
no Médio (ENEM) e objetiva a sistematização das habili-
dades desenvolvidas até este momento. É importante ter 
em mente que, essas questões exercitam as habilidades 
H15 (Identificar a relação de dependência entre grande-
zas) e H17 (Analisar informações envolvendo a variação 
de grandezas como recurso para a construção de argu-
mentação), relacionadas a competência de área4 do 
ENEM: Construir noções de variação de grandezas para 
a compreensão da realidade e a solução de problemas no 
cotidiano. 
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Dessa maneira, a vazão v será igual a:
Assim, a vazão do sistema de abastecimento da segunda 
piscina é 5000 litros por minuto.
Nos exemplos apresentados, anterior-
mente, as funções são crescentes e as variáveis 
envolvidas estão em relação de proporcionalidade direta.
 Quer mais sobre função do 1° grau?
Acesse o QR Code e assista o vídeo do 
Desafio Crescer no YouTube: 
Função afim – definição, 
zero da função e 
coeficientes.
Função afim – identificando 
a forma algébrica da função 
afim pelo seu gráfico
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Professor(a), assim como as atividades desse tópico 
(Vamos ampliar?) visam o desenvolvimento, por parte 
do(a) estudante, dos descritores D19 e D24 da matriz 
SAEB da 3ª série: Resolver problema envolvendo uma 
função do 1º grau e reconhecer a representação algé-
brica de uma função do 1º grau dado o seu gráfi co, a se-
guir, estão itens que avaliam se eles(as) desenvolveram 
as habilidades relacionadas a estes descritores. 
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar a 
habilidade de resolver problema envolvendo uma fun-
ção do 1º grau e reconhecer a representação algébrica 
de uma função do 1º grau dado o seu gráfi co. Fique aten-
to a sua resolução, marque apenas uma alternativa e ve-
rifi que a solução.
REVISITANDO A MATRIZ
Item 1. (SAEB) Um padeiro fabrica 250 pães por hora. 
A função que representa a quantidade de pães fabricados 
p em função do tempo t em horas é
(A) P(t) = 250 + t (B) P(t) = (C) P(t) = 250 – t 
(D) P(t) = 250t (E) P(t) = 250
Item 2: (Saresp 2007) O gráfico seguinte representa a 
distância s, em quilômetros, percorrida por um veículo em 
t horas, rodando a uma velocidade constante.
Professor(a), aproveite este momento para retomar o 
conteúdo de função polinomial do 1° grau, estudado em 
anos anteriores, tendo em vista a sua relação com outros 
objetos de conhecimento da matemática como Progres-
são Aritmética, Matemática Financeira etc. assim como a 
sua recorrência em avaliações externas. Fique à vontade 
para ampliar esta retomada com atividades convenientes 
à turma. 
A seguir, estão alguns dos descritores da matriz SAEB, da 
3ª série, que desenvolvem habilidades relacionadas a esse 
conteúdo:
• D18 – Reconhecer expressão algébrica que representa 
uma função a partir de uma tabela.
• D19 – Resolver problema envolvendo uma função do 
1º grau.
• D20 – Analisar crescimento/decrescimento, zeros de 
funções reais apresentadas em gráfi cos.
• D23 – Reconhecer o gráfi co de uma função polinomial 
de 1º grau por meio de seus coefi cientes. 
• D24 – Reconhecer a representação algébrica de uma 
função do 1º grau dado o seu gráfi co.
• D26 – Relacionar as raízes de um polinômio com sua de-
composição em fatores do 1º grau.
Se necessário, utilize o material REVISA GOIÁS 2025, 1ª 
Série – 1º bimestre.
Gabarito: D
Sugestão de solução:
Assim, a lei de formação da função que representa a 
quantidade de pães fabricados p em função do tempo t 
em horas é 
P(t) = 250t
Esse gráfico permite que se conclua corretamente que as 
grandezas s e t são tais que
(A) s = 95t (D) t = 190s
(B) s = 190t (E) t = 200s
(C) t = 95s
Gabarito: A 
Sugestão de solução:
Como a lei de formação de uma função linear é dada, de for-
ma genérica, por y = a ∙ x, substituindo y por s e x por t, temos
s = 95t
Vamos ampliar?
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Existe um processo prático bastante utilizado para 
encontrar a solução de problemas que envolvem grande-
zas diretamente e inversamente proporcionais. Se são da-
dos três números referentes a duas grandezas e se quer 
calcular o valor de um quarto número desconhecido, re-
ferente a uma dessas grandezas, pode-se determinar seu 
valor aplicando a regra de três. Chama-se regra de três 
porque são três os valores conhecidos, e o processo é fei-
to seguindo as seguintes etapas: 
1º) Separar, em colunas, as grandezas de mesma espécie, 
conservando a mesma unidade de medida para o mesmo 
tipo de grandeza.
2º) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversa-
mente proporcionais.
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Quanto mais camisas, maior o valor da compra, ou 
seja, são grandezas diretamente proporcionais.
 Quer saber mais sobre grandezas direta-
mente ou inversamente proporcionais?
Acesse o QR Code e assista o vídeo do 
Youtube: 9º ANO - FASE 3 - DESAFIO 
CRESCER – MATEMÁTICA
ATIVIDADES
29. Marta recorreu à bula para verificar a dosagem de um 
remédio que precisava dar a seu filho Miguel. Na bula, re-
comendava-se a seguinte dosagem: 10 gotas para cada 
4kg de massa corporal a cada 12 horas. Se Marta minis-
trou corretamente, 45 gotas do remédio a seu filho a cada 
12 horas, então qual é a massa corporal de Miguel?
3º) Montar a proporção correspondente às grandezas
4º) Aplicar a propriedade fundamental das proporções (PFP).
Exemplo 1: Se 10 camisas custam R$ 700,00, qual 
será o preço de 12 dessas camisas?
Professor(a), nas atividades 29 a 32, o objetivo é que o(a) 
estudante desenvolva as habilidades de reconhecer as 
grandezas envolvidas em uma situação problema e resol-
vê-la. É importante que ele(a) identifi que, primeiramente, 
o tipo de grandeza envolvida em cada situação problema. 
Caso seja necessário, lembre-o(a) sobre a propriedade 
fundamental das proporções (PFP) e exercite a resolução 
desse processo através da regra de três simples.
Sugestão de solução: 
Aplicando a regra de três para grandezas diretamente 
proporcionais, temos:
Logo, Miguel tem 18 kg de massa corporal.
30. Para percorrer 300 km um carro gastou 30 litros de 
combustível. Nas mesmas condições, com 60 litros, o car-
ro percorrerá quantos quilômetros?
Sugestão de solução:
Aplicando a regra de três para grandezas diretamente 
proporcionais, temos:
Logo, o carro percorrerá 600 km com 60 litros de com-
bustível. 
31. Um ônibus está a uma velocidade de 50 km/h e gasta 
duas horas para chegar a seu destino. Esse mesmo ônibus 
gastaria quantas horas se estivesse a 75 km/h?
Sugestão de solução:
Note que 2 horas é equivalente a 120 minutos.
Aplicando a regra de três para grandezas inversamente 
proporcionais, temos:
Se, 60 minutos é 1 hora, então 80 minutos é igual 1 hora 
e 20 minutos.
Logo, o ônibus gastaria 1h e 20min para chegar ao seu 
destino.
32. Uma substância x possui um volume de 2 cm³ e den-
sidade de 100 g/cm³. Sabendo que a densidade de uma 
substância é calculada pela razão entre a massa e o vo-
lume, qual deve ser o volume de uma substância y, que 
possui mesma massa de x, para que sua densidade seja de 
80 g/cm³?
Sugestão de solução:
Como a massa é constante e uma das grandezas (densida-
de) diminui, então a outra grandeza (volume) aumentará.
Aplicando a regra de três para grandezas inversamente 
proporcionais, temos:
Logo, o volume da substância y é igual a 2,5 cm³.
Professor(a), assim como as atividades desse tópico 
(Vamos sistematizar) visam o desenvolvimento, por 
parte do(a) estudante, do descritor D15 da matriz SAEB 
da 3ª série: Resolver problema que envolva variação 
proporcional, direta ou inversa, entre grandezas, a se-
guir, estão itens que avaliam se eles(as) desenvolveram 
a habilidade relacionada a este descritor. 
Caro(a) estudante, neste momento vamos exercitar a 
habilidade de resolver problema que envolva variação 
proporcional, direta ou inversa, entre grandezas. Fique 
atento a sua resolução, marque apenas uma alternativa 
e verifi que a solução.
REVISITANDO A MATRIZ
Item 1: (SAEGO) Márcio contratou um novo pacote de ca-
nais para sua TV a cabo. Seu provedor fez uma proposta 
de aumentar de 100 para 175 canais, aumentando, pro-
porcionalmente, o valor da assinatura. Márcio pagava R$ 
70,00 por mêse aceitou a proposta do provedor.
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Item 2: Uma torneira despejando 4 litros de água por mi-
nuto, leva 15 horas para encher um reservatório. 
Se a torneira despejasse 6 litros de água por minuto, o 
tempo necessário, em horas, para encher o mesmo reser-
vatório seria igual a
(A) 6 (D) 12
(B) 8 (E) 14
(C) 10
Vamos Sistematizar?
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Alguns problemas envolvem três ou mais grandezas, 
que podem ser diretamente ou inversamente proporcio-
nais. Nestes casos, aplica-se a regra de três composta.
Para resolver problemas de regra de três composta, 
deve-se:
1º) Escrever numa mesma coluna as grandezas de mesma 
espécie;
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inver-
samente proporcionais, comparando cada grandeza com 
a grandeza que possui a incógnita;
3º) Escrever a proporção da seguinte forma: igualar a ra-
zão que contém o termo desconhecido com o produto das 
outras razões (inverter a razão caso exista alguma gran-
deza inversamente proporcional à grandeza que contém 
a incógnita).
Exemplo:
Sônia contratou 15 operários para construir sua casa. 
Esses operários levarão 110 dias para terminar a constru-
ção se trabalharem 6 horas por dia. Porém, 5 operários 
se ausentaram da construção. Se mantiverem o ritmo de 
trabalho, e trabalharem 8 horas por dia, em quantos dias o 
restante dos operários construirá a casa de Sônia?
Resolução:
Comparando a grandeza tempo (em dias) e a grandeza 
número de operários, tem-se que são grandezas inversamente 
proporcionais pois, quanto menos operários, mais dias se gas-
ta com a obra.
Comparando a grandeza tempo, em dias, com a grandeza 
tempo (horas trabalhadas por dia) percebemos que são gran-
dezas inversamente proporcionais pois, quanto mais horas por 
dia trabalhadas, menos dias se gastam para finalizar a obra.
ATIVIDADES
33. Oito marinheiros carregam vinte containers para um 
navio em cinco dias. Quantos containers serão carrega-
dos em dezesseis dias, por quatro marinheiros?
Quanto ele passou a pagar?
(A) R$ 52,50 (D) R$ 145,00
(B) R$ 75,00 (E) R$ 250,00
(C) R$ 122,50
Gabarito: C
Sugestão de solução: 
Aplicando a regra de três para grandezas diretamente 
proporcionais (canais e valor da assinatura), temos:
Logo, Márcio passou a pagar R$ 122,50. 
Gabarito: C 
Sugestão de solução: 
Aplicando a regra de três para grandezas inversamente 
proporcionais (litros por minuto e horas), temos:
Logo, o tempo necessário para encher o reservatório se-
ria igual a 10 horas.
Professor(a), nas atividades 33 e 36, o objetivo é que os(as) 
estudantes desenvolvam a habilidade de resolver um pro-
blema que envolve grandezas diretamente ou inversa-
mente proporcionais utilizando regra de três composta.
Reforce que, a regra de três composta é uma extensão 
da regra de três simples, então, para o desenvolvimento 
da habilidade de calcular a regra de três composta, é es-
sencial que eles(as) tenha desenvolvido a habilidade de 
calcular regra de três simples, que é aplicada quando há 
apenas duas grandezas.
Sugestão de solução:
Perceba que, se 8 marinheiros, carregam 20 containers, 
então 4 marinheiros carregam menos containers, ou seja, 
grandezas diretamente proporcionais. Além disso, se em 
5 dias são carregados 20 containers, em 16 dias serão 
carregados mais containers, grandezas também, direta-
mente proporcionais.
Revisa Goiás
Secretaria de Estado
da Educação
SEDUC
Revisa 3ª Série - Língua Portuguesa e Matemática - 1º Bimestre/2025
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34. Para produção de uma peça mecânica, uma empresa 
automotiva possui 10 máquinas com produtividades idên-
ticas que produzem 520 peças em 10 dias, operando 8 ho-
ras por dia. Sabendo que 4 máquinas deram defeito, qual 
será a quantidade de peças produzidas durante 20 dias se 
as máquinas restantes operarem durante 20 horas?
Montando a equação, teremos
Logo, serão carregados 32 containers.
Sugestão de solução:
Quando maior o número de máquinas, maior o número 
de peças produzidas, ou seja, grandezas diretamente pro-
porcionais.
Quanto maior o tempo trabalhado por dia, maior também 
o número de peças, assim são grandezas diretamente 
proporcionais.
E, finalmente, quanto mais dias trabalhados, também 
maior o número de peças, assim, são grandezas também 
diretamente proporcionais.
Montando a equação, teremos:
Logo, serão produzidas 1560 peças.
35. Uma construtora foi contratada para realizar a refor-
ma de todas as escolas do município de Águas Lindas de 
Goiás. As escolas são construídas com formato e tamanho 
padrão, logo o muro externo possui a mesma medida. Sa-
bendo que 6 pintores levam 12 dias para pintar 9 escolas, 
quanto tempo 8 pintores levariam para pintar 18 escolas?
Sugestão de solução:
Quanto maior a quantidade de pintores, a quantidade de 
dias que se leva para fazer a reforma diminui, logo essas 
grandezas são inversamente proporcionais. Comparando 
dias e escolas, se o número de escolas aumenta, a quan-
tidade de dias também aumenta, ou seja, são grandezas 
diretamente proporcionais. 
Montando a equação, temos:
Logo, seriam gastos 18 dias.
DIVISÃO PROPORCIONAL
Dividir um número em partes proporcionais, a vários 
outros números dados, é decompô-lo em parcelas/partes 
proporcionais a esses números.
Exemplo:
Uma fita com 400 cm de comprimento foi dividida em 
três partes com comprimentos diretamente proporcio-
nais aos números 2, 3 e 5. Qual o comprimento de cada 
pedaço?
Resolução:
Representando por a, b e c, respectivamente, cada um dos 
pedaços, teremos:
Como a, b e c são partes em que dividimos o comprimento 
400 cm, teremos:
a + b + c = 400
Como essa proporção é uma série de razões iguais, pode-
mos escrever:
Dessa forma,
Se , então .
Se , então .
Se , então .
Regra de sociedade
A regra de sociedade é uma extensão da di-
visão proporcional. Tem por objetivo a divisão dos lucros 
ou prejuízos entre os sócios que formam uma sociedade, 
por ocasião do Balanço geral exigido anualmente por lei 
ou quando da saída ou admissão de um sócio. Por con-
venção, o lucro ou o prejuízo é dividido pelos sócios pro-
porcionalmente aos capitais que investiram, levando-se 
em conta as condições estipuladas no contrato social.
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Exemplo:
Três sócios empregaram, respectivamente, os capi-
tais de R$ 18 000,00, R$ 22 500,00 e R$ 27 000,00 e 
obtiveram um lucro líquido de R$ 54 000,00. Qual será 
a parte de cada um?
Resolução:
Representando a parte de cada um dos sócios por x, y e z, 
teremos:
Calculando a parte de cada sócio, temos
As partes que cabem a cada um dos sócios serão 
R$ 14 400,00, R$ 18 000,00 e R$ 21 600,00.
De olho no Enem!
36. (ENEM 2024) Uma empresa de engenheira foi contra-
tada para realizar um serviço no valor de R$ 71 250,00. 
Os sócios da empresa decidiram que 40% desse valor 
seria destinado ao pagamento de três engenheiros que 
gerenciaram o serviço. O pagamento para cada um deles 
será feito de forma diretamente proporcional ao total de 
horas trabalhadas. O número de dias e o número de horas 
diárias trabalhadas pelos engenheiros foram, respectiva-
mente: 
• engenheiro I: 4 dias, numa jornada de 5 horas e meia 
por dia;
• engenheiro II: 5 dias, numa jornada de 4 horas por dia;
• engenheiro III: 6 dias, numa jornada de 2 horas e meia 
por dia.
Qual a maior diferença, em real, entre os valores recebi-
dos por esse serviço entre dois desses engenheiros?
(A) 1000 (D) 3800
(B) 1500 (E) 5250
(C) 3500
GRUPO DE ATIVIDADES 2 2
Gabarito: C 
Sugestão de solução: 
Calculando o valor destinado ao pagamento de três enge-
nheiros, temos:
40% de 71 250 = 0,4 ∙ 71 250 = 28 500
Em seguida, calculamos a quantidade de horas trabalha-
das por cada engenheiro:
Engenheiro I: 4 ∙ 5,5 = 22
Engenheiro II: 5 ∙ 4 = 20
Engenheiro III: 6 ∙ 2,5 = 15
Aplicando a divisão proporcional,