Divergencia y Rotacional

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Divergencia y Rotacional
MateDLG y CyADLG
Índice:
Definiciones Previas
Gradiente
Campo Vectorial
Operador Nabla
Divergencia
Operador de Laplace
Función Armónica
Rotacional
Campo Irrotacional
Propiedades
Ejemplos
Definiciones Previas
Gradiente
Recordemos que si tenemos una función de en . El vector gradiente de la función estaba definido por el conjunto de derivadas parciales con respecto a cada variable independiente de .
Es decir:
Campo Vectorial
Un campo vectorial en es una función , que a cada punto del dominio se le asocia un vector.
A esas funciones que están dentro de nuestro campo vectorial se les denomina un campo escalar en .
Ejemplo: Cuando se tiene un fluido que corre dentro de una tubería, la velocidad del fluido en cada punto genera el Campo de Velocidades del fluido (un campo vectorial).
Gradiente de una función Escalar
Sea una función de un campo escalar (una función escalar), este está definido como:
Como podemos apreciar, la gradiente de la función escalar nos devuelve un vector, para ser más precisos una función vectorial de en , esto es realmente un campo vectorial sobre , y se denomina campo vectorial gradiente.
Observación:
Línea de Flujo
Se llama Línea de Flujo a una trayectoria recorrida por una partícula del fluido. También son denominadas líneas de corriente o curvas integrales.
Dado un campo vectorial , se llama línea de flujo de a toda trayectoria tal que:
Operador Nabla 
El operador vectorial Nabla (también es llamado Del) para un sistema de coordenadas cartesiano con coordenadas , Nabla se define en términos de derivadas parciales como:
Estrictamente hablando, Nabla no es un operador específico, sino más bien una notación matemática conveniente para otros operadores (gradiente, divergencia y rotacional) que hace que muchas ecuaciones sean más fáciles de escribir y recordar. El símbolo del (o nabla) se puede interpretar como un vector de operadores de derivadas parciales.
Gradiente y Nabla
Si aplicamos el operador Nabla a un campo escalar tenemos como resultado el vector gradiente de la función escalar, es decir:
Propiedades:
Sean funciones escalares diferenciables en su dominio y c una constante:
De forma general:
Relación entre Jacobiano y Gradiente
Recordemos que el jacobiano de una función vectorial estaba compuesta por la las derivadas parciales de cada función con respecto de cada variable independiente. Pero esto se puede reescribir como:
Divergencia
Definición	
Sea la función un campo vectorial continuamente diferenciable sobre , donde . Se llama divergencia de un campo vectorial a la función escalar:
Teorema
Sea una función escalar, entonces la divergencia del gradiente de es:
Demostración:
Operador de Laplace (Laplace)
El operador de Laplace es un operador de segundo orden, definido como la divergencia del gradiente. Así que si es una función escalar dos veces diferenciable , entonces el laplaciano de es definido por:
De manera equivalente esto se puede expresar como:
Ejemplo:
El laplaciano de 
Vector Laplaciano
El operador vectorial de Laplace, también denotado por es un operador diferencial definido sobre un campo vectorial. El vector laplaciano de un campo vectorial se define como:
Ejemplo:
Halle el laplaciano de 
Función armónica
Una función escalar se dice que es armónica si es continua, y satisface la ecuación de Laplace que es:
El nombre armónico se origina en un punto de una cuerda tensa que está experimentando un movimiento armónico . La solución de la ecuación diferencial para este tipo de movimiento se puede escribir en términos de senos y cosenos, funciones que se denominan armónicas . El análisis de Fourier implica la expansión de funciones en el círculo unitario en términos de una serie de estos armónicos. 
 
Ejemplo:
Mostrar que la función , donde es una función armónica siempre que .
Luego:
Como satisface la ecuación de Laplace, la función es armónica
2. Mostrar que la función , es armónica para todo :
Solución:
Si sumamos estas expresiones, tendremos que:
Como satisface la ecuación de Laplace, la función es armónica
Rotacional
Definición
El rotacional es un operador vectorial que describe la circulación infinitesimal de un campo vectorial en el espacio euclidiano tridimensional. El rotacional de un campo se define formalmente como la densidad de circulación en cada punto del campo.
Dado el campo vectorial el rotacional de es el campo vectorial denotado por , tal que:
Observaciones
El rotacional se puede interpretar como una transformación lineal que mapea campos vectoriales sobre campos vectoriales y que matricialmente se representa como:
Ejemplo:
Halle la rotacional delas funciones:
Teorema
Sea una función escalar y continuas, entonces el rotacional de la gradiente de la función es nulo, es decir:
Demostración:
Interpretación Física de Rotacional
Dado un cuerpo M que gira alrededor del eje Z. El movimiento de rotación de M está descrito por un vector es que la rapidez angular de M.
Si es la velocidad tangencial en P y tiene sentido antihorario a lo largo de la tangente a un circulo paralelo al plano XY y de radio d. Entonces:
Dado que 
Conclusiones de la Interpretación Física
Concluimos que .
De aquí vemos que, para la rotación de un cuerpo rígido EL ROTACIONAL del campo de velocidades es un campo vectorial dirigido a lo largo del eje de rotación con magnitud el doble de la rapidez angular.
Si el campo vectorial representa el flujo de un fluido, entonces la condición indica que el fluido está libre de rotaciones; es decir, libre de remolinos.
De manera que en este caso, si se coloca en el fluido una placa cuadrada con paletas en su parte inferior, entonces la rueda se moverá con el fluido pero no girará
Campo Irrotacional
De la conclusión anterior, podemos definir un campo irracional.
Un campo vectorial de en se llama Irrotacional si ; es decir, si 
 
Las líneas de flujo del campo son circunferencias en el plano XY, con centro en el origen de coordenadas.
Y como ,entonces una placa con paletas en su parte inferior, que se mueve con el fluido no va a girar en ningún momento, es decir, no tiene eje de rotación
Observación
A un campo vectorial definido en el plano, también se le puede calcular su rotacional considerando a como un vector en con tercera componente cero.
También puede usar la siguiente fórmula:
Observación 2
Reconstrucción de un campo Vectorial a partir de la Rotacional
Sabemos como determinar si un campo vectorial dado es o no un gradiente. Ahora analizaremos la siguiente situación: dado un campo vectorial ¿existe un campo tal que ?
Sea dos campos vectoriales tales que :
Puesto a que la divergencia de cualquier rotacional es cero , si es que se cumplen las tres ecuaciones anteriores, entonces:
Lista de propiedades
Sean constantes; campos escalares y campos vectoriales, se cumple que:
Las propiedades las puede demostrar como si estuviese repasando el tema, así que las demostraciones quedan para el estudiante