Fluxo de Potencia

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18/03/2024, 23:32 Fluxo de Potência
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Fluxo de Potência
Prof. Felipe Laure Miranda e Profa. Isabela Oliveira Guimarães
Descrição
Você vai conhecer os estudos aplicados a sistemas elétricos de
potência destinado à análise em regime permanente dos sistemas, bem
como a formulação do problema matemático de operação, denominado
fluxo de potência e suas técnicas de solução.
Propósito
Os sistemas elétricos de potência podem ser considerados grandes
circuitos interligados por linhas de transmissão e diversos outros
equipamentos. Dessa forma, a análise desses sistemas consiste em
determinar grandezas elétricas como tensão e corrente. O cálculo
dessas grandezas é de extrema importância para a operação do sistema
elétrico e faz parte das análises feitas por órgãos e operadores
responsáveis pelo fornecimento de energia.
Preparação
Ao começar seus estudos, tenha em mãos uma calculadora científica
para auxiliar nos cálculos matemáticos relacionados à formulação dos
problemas.
Objetivos
Módulo 1
Formulação básica do �uxo de potência
Analisar a formulação básica do fluxo de potência.
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Módulo 2
Métodos de solução do �uxo de potência
Reconhecer os principais métodos de solução do fluxo de potência e
suas aplicações.
Módulo 3
Métodos de solução do �uxo de potência –
estudos de caso
Empregar métodos de solução do fluxo de potência.
Módulo 4
Compensação reativa
Reconhecer as técnicas de compensação reativa em sistemas
elétricos.
Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e entenda os
aspectos importantes relacionados ao fluxo de cargas em um
sistema elétrico, as principais características do sistema e seu
comportamento.

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1 - Formulação básica do �uxo de potência
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar a formulação básica do �uxo de potência.
Formulação do problema de �uxo de
potência
Confira neste vídeo a formulação básica do problema de fluxo de
potência, assim como suas siglas e variáveis.
Siglas e variáveis em �uxo de
potência
Assista ao vídeo e entenda os diferentes tipos de barras existentes no
sistema elétrico, assim como suas siglas e variáveis.
A função básica de um sistema elétrico de potência é atender às
demandas de carga existentes em uma área. Quando está operando de
forma adequada, o sistema elétrico garante fornecimento contínuo de
potência ativa e reativa, mantendo estáveis níveis de tensão e
frequência. Além disso, o sistema deve fornecer energia com custo
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mínimo, seja econômico ou mesmo ambiental, de modo a impactar ao
mínimo a área em que está inserido.
A estrutura de um sistema elétrico é bastante complexa, contendo
inúmeros equipamentos necessários para geração, transmissão e
distribuição da energia, além de equipamentos de transformação e
controle de potência. A imagem a seguir ilustra um sistema elétrico de
forma simplificada. As barras são identificadas por seus respectivos
números, que interconectam a fonte geradora, transformadores, linha de
transmissão e carga. As barras representam, por exemplo, subestações
do sistema.
Representação simplificada de um sistema elétrico.
O atendimento à demanda em condições normais de operação exige
estudos matemáticos importantes para a determinação do estado do
sistema, ou seja, o conhecimento dos perfis de tensão e frequência de
operação. A modelagem matemática do sistema permite conhecer o
fluxo de potência entre os equipamentos e, dessa forma, determinar as
principais grandezas elétricas necessárias para o seu controle. A seguir
é apresentada a modelagem e formulação básica do problema de fluxo
de potência em sistemas elétricos.
Os equipamentos de um sistema elétrico podem estar conectados de
duas formas distintas:
Entre um nó e a referência
Entre um nó e a referência (terra) como é o caso dos geradores,
capacitores e reatores.
Entre dois nós
Entre dois nós, como as linhas de transmissão e transformadores.
O conhecimento dessas características é importante para a formulação
das equações básicas do fluxo de potência, ou fluxo de carga, entre
esses equipamentos. Basicamente, a partir da aplicação das leis de
Kirchhoff, é possível determinar as equações de fluxo de potência em
um sistema. Para determinação dessas equações é preciso considerar
inicialmente que o sistema opera em regime permanente, ou seja, sem a
influência de transitórios.
Dessa forma, as equações de fluxo podem ser consideradas algébricas
e as Leis de Kirchhoff podem ser facilmente manipuladas para solução
do problema. A determinação do módulo e fase da tensão é o principal
objetivo da análise de fluxo de potência. Caso o sistema sofra alguma
perturbação, uma nova análise deve ser feita, uma vez que a solução
corresponde a um estado específico da rede. Quatro variáveis por barra
são atribuídas para a formulação básica:
Vk
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Representa o módulo da tensão na barra .
Representa o ângulo de fase da tensão na barra .
Representa a geração líquida de potência ativa na barra
.
Representa a geração líquida de potência reativa na barra
.
A partir dessas variáveis, considerando quais são conhecidas ou quais
devem ser calculadas, é possível definir os seguintes tipos de barras:
PQ
Conhecidos e , calculados e .
PV
Conhecidos e , calculados e .
 (referência)
Conhecidos e , calculados e .
As barras PQ representam barras de carga. As barras PV representam a
geração, também conhecidas por barras de tensão controlada, pois
mantêm essa grandeza em determinado valor preestabelecido.
Entenda a diferença entre esses tipos de barras!
Barras de carga
As potências de
demanda ativa e reativa
são conhecidas, de
modo que se torna
necessário calcular
módulo e fase da
tensão.
Barras de geração
A potência ativa gerada
e o módulo da tensão
são conhecidos, sendo
necessário calcular a
potência reativa e a fase
da tensão.
k
θk
k
Pk
k (PG − PD)
Qk
k (QG − QD)
Pk Qk Vk θk
Pk Vk Qk θk
V θ
Vk θk Pk Qk

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Normalmente um sistema contém muito mais barras PQ e algumas
barras PV.
A barra ou barra de referência é responsável por fornecer uma
referência angular ao sistema e fechar o balanço de potência, uma vez
que a potência referente às perdas ôhmicas do sistema é alocada nesta
barra. É importante ressaltar que apenas uma barra de referência é
representada na formulação básica do fluxo de potência. Confira as
variáveis conhecidas e as incógnitas para cada tipo de barra.
Representada pela sigla .
Conhecidas: e 
Incógnitas: e 
Representada pela sigla .
Conhecidas: e 
Incógnitas: e 
Representada pela sigla .
Conhecidas: e 
Incógnitas: e 
As expressões de fluxo de potência são determinadas pela aplicação
das leis de Kirchhoff. Para isso, é importante modelar os elementos
conectados nas barras descritas anteriormente.
Elementos de rede
Confira no vídeo uma apresentação dos componentes que fazem parte
do sistema e como eles são modelados para análise da rede.
V θ
Barra referência 
V θ
Vk θk
Pk Qk
Barra de carga 
PQ
Pk Qk
Vk θk
Barra de tensão controlada 
PV
Pk Vk
θk Qk
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Os sistemas elétricos são basicamente um circuito elétrico formado por
uma rede de elementos conectados entre um nó e uma referência ou
entre nós. Para os sistemas, os nós são considerados as barras. Os
geradores, cargas, bancos decapacitores e reatores são elementos
conectados entre uma barra e a referência. Muitas vezes, esses
elementos são também conhecidos por elementos shunt ou em
derivação. Veja agora a conexão desses componentes no sistema:
Representação de elementos shunt ou derivação do sistema.
Os elementos como as linhas de transmissão, conectados entre barras,
são representados por um modelo equivalente em estudos de fluxo de
potência, conhecido como modelo . Nesse modelo, é representado um
parâmetro de impedância série e dois parâmetros de susceptância
shunt entre as barras. Observe um modelo :
Representação de uma linha de transmissão pelo modelo .
Como o fluxo de potência no sistema é essencialmente composto por
um sinal alternado (senoide), a impedância série da linha é dada
π
π
π
(zkm)
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pela seguinte equação:
Eq. 1
Em que:
 resistência série
 reatância série
Já o inverso da impedância é conhecido por admitância, sendo expressa
por esta equação:
Eq. 2
Em que:
 condutância série
 susceptância série
O elemento refere-se à susceptância em derivação da linha,
utilizada para representar a injeção de reativos. A partir de uma simples
aplicação de Lei de Ohm, é possível determinar as correntes que fluem
pelos elementos descritos na linha de transmissão. Observe nesta
equação:
Eq. 3
Em que:
Aplicando a mesma análise no sentido contrário, tem-se a corrente 
na equação a seguir.
Eq. 4
zkm = rkm + jxkm
rkm =
xkm =
ykm = gkm + jbkm = z
−1
km =
rkm
r2km + x
2
km
− j
xkm
r2km + x
2
km
gkm =
rkm
r2km+x
2
km
=
bkm =
xkm
r2km+x
2
km
=
jbshkm
Ikm = ykm (Ek − Em) + jb
sh
kmEk
Ek = Vk∠θk
Em = Vm∠θm
Imk
Imk = ykm (Em − Ek) + jb
sh
kmEm
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A partir das expressões de corrente e dos fasores de tensão em cada
barra, é possível determinar as expressões de potência que fluem pelas
linhas de transmissão e outros equipamentos conectados no sistema.
Equações de descrição de �uxo de
potência
Confira no vídeo as principais equações para solucionar o fluxo de
potência na linha de transmissão e representação das perdas.
O conjunto de equações do problema de fluxo de potência é formado
essencialmente por duas equações para cada barra, sendo uma para a
potência ativa injetada e outra para a potência reativa injetada. De modo
a estar de acordo com as leis de Kirchhoff, essas equações devem
deixar claro que o somatório das potências injetadas em cada barra
deve ser igual ao somatório dos fluxos de potência que fluem através
dos equipamentos, linhas de transmissão, transformadores etc. Observe
essa afirmação nas duas equações seguintes.
Eq. 5
Eq. 6
Em que:
 é o índice de barras do sistema, até NB barras.
 é o conjunto das barras vizinhas (diretamente ligadas) à barra .
 é o módulo das tensões nas barras e .
 é a fase das tensões nas barras e .
 é o fluxo de potência ativa da barra para barra .
 é a injeção de potência reativa pelo elemento shunt na barra .
Nessas duas equações, os ângulos e aparecem como a diferença
. Isso significa que uma mesma distribuição de fluxos pode ser
obtida se for somada uma constante arbitrária a todos os ângulos de
barra, de modo que o problema é indeterminado sem a adoção de uma
Pk = ∑
m∈Ωk
Pkm (Vk,Vm, θk, θm)
Qk + Q
sh
k = ∑
m∈Ωk
Qkm (Vk,Vm, θk, θm)
k = 1, 2, 3 … .NB
Ωk k
Vk,Vm k m
θk, θm k m
Pkm,Qkm k m
Qshk k
θk θm
θk − θm
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referência angular. Por isso, torna-se necessária a adoção da barra de
referência no sistema.
As equações 5 e 6 consideram uma convenção de sentidos: as injeções
líquidas de potência são positivas entrando na barra (geração) e
negativas saindo da barra (carga). Já os fluxos de potência são
positivos quando saem da barra e negativos quando entram na barra.
Veja!
Convenções de sentido para fluxos de potência.
Fluxo de potência na linha de transmissão
Utilizando as expressões de corrente demonstradas para o modelo da
linha de transmissão ilustrado na imagem "Representação de uma linha
de transmissão pelo modelo " e suas respectivas equações de
corrente, é possível determinar o fluxo de potência aparente .
Sabendo que , tem-se a próxima equação.
Eq. 7
Aplica-se a lei de Ohm para determinar a expressão de potência
complexa, conforme as duas equações a seguir.
Eq. 8
Eq. 9
Os fluxos e correspondem às partes real e imaginária,
respectivamente, da equação 9, o que resulta nas seguintes equações:
Eq. 10
π
π
Skm
Skm = Pkm + jQkm
Ikm = ykm (Ek − Em) + jb
sh
kmEk
S
∗
km = Pkm − jQkm = E
∗
kIkm
S ∗km = ykmVk∠θk (Vk∠θk − Vm∠θm) + jb
sh
kmV
2
k
Pkm Qkm
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Eq. 11
Os fluxos de sentido contrário, e , são obtidos de forma
semelhante nas duas próximas equações.
Eq. 12
Eq. 13
Em muitos estudos de fluxo de potência é comum o uso de
simplificações, principalmente para sistemas operando em altas
tensões. Uma das simplificações é desconsiderar o elemento resistivo
, de modo que o sistema não apresente perdas ôhmicas.
Para estudos mais completos, a expressão para essas perdas pode ser
facilmente encontrada.
Representação das perdas
A corrente elétrica através de uma linha de transmissão é a mesma nos
dois sentidos, o que muda são os módulos da tensão nas barras. Essa
constatação explica a diferença de fluxo calculado nos extremos da
linha e a soma desses fluxos representa as perdas naquele ramo.
Confira as equações que representam as perdas ativas e reativas,
respectivamente:
Eq. 14
Eq. 15
É importante observar que é o módulo da tensão no
elemento série da linha, de modo que são as perdas
ativas (ôhmicas) na linha e refere-se às perdas
reativas na linha. Por fim, corresponde à potência
reativa gerada nos elementos shunt.
Formulação matricial do �uxo de potência
Os sistemas elétricos muitas vezes são compostos por muitos
equipamentos, de modo que a determinação das expressões acima e
Pkm = V
2
k gkm − VkVmgkm cos θkm − VkVmbkm sen θkm
Qkm = −V
2
k (bkm + b
sh
km) + VkVmbkm cos θkm − VkVmgkm sen θkm
Pmk Qmk
Pmk = V
2
mgkm − VkVmgkm cos θkm − VkVmbkm sen θkm
Qmk = −V
2
m (bkm + b
sh
km) + VkVmbkm cos θkm − VkVmgkm sen θkm
(gkm = 0).
Pkm + Pmk = gkm (V 2k + V
2
m − 2VkVm cos θkm) = gkm|Ek − Em|
2
Qkm + Qmk = − b
sh
km (V
2
k + V
2
m) − bkm (V
2
k + V
2
m − 2VkVm cos θkm) =
= −bshkm (V
2
k + V
2
m) − bkm|Ek − Em|
2
|Ek − Em|
gkm|Ek − Em|
2
−bkm|Ek − Em|
2
= −bshkm (V
2
k + V
2
m)
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cálculo das respectivas variáveis pode se tornar bastante trabalhoso.
Para facilitar a representação dos elementos no sistema, é possível
formular o fluxo de potência matricialmente. Para determinada barra 
do sistema visto na imagem "Convenções de sentido para fluxos de
potência", aplicando a primeira lei de Kirchhoff, tem-se a equação a
seguir.
Eq. 16
A expressão para , em função da expressão de na equação 16 é:
Eq. 17
A equação 17 pode ser representada matricialmente pela equação 18,
considerando um sistema com barras. Veja!
Eq. 18
Em que:
 vetor de injeções de corrente, cujas componentes são de
todas as barras
 vetor de tensões nodais de barra
 matriz de admitância nodal do sistema
Os elementos da matriz de admitância podem ser facilmente obtidos a
partir dos parâmetros do sistema. Seus elementos são:
A matriz de admitância nodal pode ser escrita em termos de
condutância e susceptância - , e possui algumas
características importantes. Confira!
Matriz quadrada
É uma matriz de ordem n (número de barras).
Matriz esparsa
É uma matriz para redes de grande porte (muitos elementosnulos
referentes a .
k
Ik + I
sh
k = ∑
m∈Ωk
Ikm para k = 1, 2, …n
Ik Ikm
Ik = [jbshk + ∑
m∈Ωk
(jbshkm + ykm)]Ek + ∑
m∈Ωk
(−ykm)Em
n
I = YE
I = Ik
E =
Y =
Ykm = −ykm
Ymk = −ykm
Ykk = jb
sh
k + ∑m∈Ωk (jb
sh
km + ykm)
Y = G + jB
Ykm
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Matriz simétrica
É uma matriz se a rede possuir apenas transformadores em fase.
Por fim, sabendo que , tem-se:
Eq. 19
A injeção líquida de potência é dada pelas seguintes equações:
Eq. 20
Eq. 21
Eq. 22
Em que é o conjunto de barras adjacentes à barra k, incluindo a
própria barra .
Separando a potência em potência ativa e reativa, tem-se as
próximas equações.
Eq. 23
Eq. 24
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Na formulação básica do problema de fluxo de potência é preciso
conhecer quatro variáveis para cada barra do sistema: módulo da
Ykm = Gkm + jBkm
Ik = ∑
m∈Ωk
(Gkm + jBkm)Em
Sk
Sk = Pk + jQk = VkI
∗
k = Vk∠θk[∑
m∈K
(Gkm + jBkm)Vm∠θm]
∗
Sk = Vk∠θk ∑
m∈K
(Gkm − jBkm)Vm∠ − θm = Vk ∑
m∈K
Vm (Gkm − jBkm)∠θk − θm
Sk = Vk ∑
m∈K
Vm (Gkm − jBkm) (Gkm cos θkm + Bkm sen θkm)
K
k
Sk
Pk = Vk ∑
m∈K
Vm (Gkm cos θkm + Bkm sen θkm)
Qk = Vk ∑
m∈K
Vm (Gkm sen θkm − Bkm cos θkm)
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tensão, fase da tensão, potência ativa e potência reativa. A partir
dessas variáveis define-se três tipos de barra. Sobre os tipos de
barra, é correto afirmar que
Parabéns! A alternativa D está correta.
As barras PV, conhecidas como barras de geração ou barras de
tensão controlada, fornecem potência ativa ao sistema. Das quatro
variáveis, são conhecidas a potência ativa injetada e o módulo da
tensão, ou seja, possuem uma tensão predefinida.
Questão 2
A respeito da formulação básica do problema de fluxo de potência,
é possível afirmar que
A
as barras de geração fecham o balanço de potência
do sistema.
B
a barra PQ refere-se às barras que fornecem
potência ativa e reativa ao sistema.
C
o sistema pode possuir quantas barras de referência
forem necessárias.
D a barra PV tem tensão constante.
E
na barra de referência é conhecida a potência ativa e
reativa fornecida.
A
a modelagem das perdas é feita na própria equação
da linha de transmissão.
B
o somatório das injeções de potência é igual ao
somatório de potências que fluem pelas linhas de
transmissão e transformadores.
C
o estudo de fluxo de potência é válido para o
sistema operando em qualquer condição.
D
as equações que representam o fluxo de potência
no sistema são do tipo diferenciais.
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Parabéns! A alternativa B está correta.
A formulação básica do fluxo de potência é feita a partir das leis de
Kirchhoff, de modo que o somatório dos fluxos que entram em uma
barra deve ser igual ao somatório dos fluxos que saem dessa barra.
2 - Métodos de solução do �uxo de potência
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer os principais métodos de solução do
�uxo de potência e suas aplicações.
Métodos numéricos para solução do
�uxo de potência
Confira neste vídeo uma apresentação das técnicas de solução para o
problema de fluxo de potência.
Equacionamento do problema
Assista ao vídeo e entenda como estruturar o problema de fluxo para ser
solucionado com as técnicas a serem exploradas.
E
a matriz de admitância representa apenas os
elementos série do sistema.
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O problema de fluxo de potência pode ser considerado um problema
matemático não linear, em virtude das equações:
e
Essas equações relacionam as variáveis de estado a serem
determinadas, módulo e fase da tensão nas barras. Dessa forma, é
preciso organizar essas equações em sistemas lineares para que
possam ser aplicadas técnicas matemáticas para a solução do
problema.
Apesar de se utilizar simplificações que permitem linearizar o problema,
o fluxo de potência tem, por essência, características não lineares, de
modo que métodos para solução de equações não lineares são
necessários.
Veja na sequência o equacionamento do problema não linear e as
principais ferramentas matemáticas utilizadas nesses estudos. Sejam
as equações 25 e 26 de potência líquida injetada.
Eq. 25
Eq. 26
Para um sistema que contenha barras, a cada barra serão associadas
 equações e variáveis com as características a seguir:
 equações de potência ativa 
 equações de potência reativa 
 variáveis associadas por barra 
Na formulação básica, a solução consiste em resolver um sistema em
que, primeiramente, se específica duas dessas variáveis e calcula-se as
outras duas. Isso é feito porque, para cada barra, tem-se apenas duas
equações disponíveis. Em cada barra, a potência líquida injetada é dada
pela diferença da potência gerada e da potência demandada
.
Pk = ∑
m∈Ωk
Pkm (Vk,Vm, θk, θm)
Qk + Q
sh
k = ∑
m∈Ωk
Qkm (Vk,Vm, θk, θm)
Pk = Vk ∑
m∈K
Vm (Gkm cos θkm + Bkm sen θkm)
Qk = Vk ∑
m∈K
Vm (Gkm sen θkm − Bkm cos θkm)
n
2 × n 4× n
n Pk
n Qk
4 × n (Vk, θk,Pk,Qk)
Sk = SG − SD
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Como as perdas não são calculadas pela formulação de potência
injetada, seu valor é encontrado ao final e a barra de referência é
responsável por fornecer o valor correspondente. Ao somar as perdas,
diz-se que o balanço de potências do sistema está fechado. Ao
solucionar o conjunto de equações para cada barra, diz-se que é
conhecido o estado de operação da rede. Assim, de posse do módulo e
fase das tensões de barra, é possível calcular outras grandezas como os
fluxos nas linhas e transformadores, por exemplo.
A solução do fluxo de potência pode ser dividida em dois subsistemas
lineares. Considerando como o número de barras e o
número de barras , tem-se:
(dimensão )
Variáveis conhecidas: e para as barras PQ. (valores
especificados)
 e para as barras PV. (valores especificados)
Variáveis determinadas: e para as barras PQ.
 para as barras PV.
(27)
(dimensão ) - Esse subsistema é resolvido após a
solução do subsistema 1.
Variáveis conhecidas: para todas as barras.
 e para a barras .
 para as barras PV.
(28)
As principais técnicas de solução desses sistemas são apresentadas na
sequência.
NPQ PQ NPV
PV
Subsistema 1 
2 × NPQ + NPV
Pi Qi
Pj Vj
Vi θi
θj
 Subsistema 1
⎧⎪⎨⎪⎩P espk − Vk∑m∈K Vm (Gkm cos θkm + BkmQespk − Vk∑m∈K Vm (Gkm sen θkm − BkmSubsistema 2 NPV + 2Vkeθk Variáveis determinadas: Pi–Qi V θQj Subsistema 2{Pk = Vk∑m∈K Vm (Gkm cos θkm + Bkm sQk = Vk∑m∈K Vm (Gkm sen θkm − Bkm
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Método linear de solução – Fluxo DC
Confira no vídeo uma apresentação do método de solução linear para o
fluxo de potência, também conhecido como Fluxo DC.
Na análise do ponto de operação de sistemas de alta tensão, em que
não há grandes variações na magnitude das tensões entre barras, o
fluxo de potência ativa é aproximadamente proporcional à abertura
angular entre duas barras e desloca-se no sentido do maior para o
menor ângulo. Assim, a relação entre a potência ativa e a diferença
angular é semelhante à corrente de fluxo de corrente e tensões nodais.
Essa aproximação permite que tal simplificação seja denominada Fluxo
DC (Direct Current ou corrente contínua) por se assemelhar à lei de Ohm.
Para as aproximações descritas, tem-se:
Eq.29
Assim, o fluxo de potência ativa, denominado Fluxo DC é dado por esta
equação:
Eq.30
Em uma formulação matricial, a injeção de potência ativa na barra k que
satisfaça a primeira lei de Kirchhoff será:
Eq.31
De modo que sua representação matricial é dadapela próxima equação:
Eq.32
Vk ≈ Vm ≈ 1pu
sen θkm ≈ θkm
bkm ≈
−1
xkm
Pkm =
θk − θm
xkm
Pk = ∑
m∈Ωk
1
xkm
θkm
P = B′θ
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Em que possui as mesmas características da matriz de admitância,
no entanto, apenas com os termos imaginários (susceptância). Seus
elementos são:
Como as perdas não são consideradas diretamente no cálculo, as linhas
da matriz são linearmente dependentes, visto que a injeção de
potência ativa em uma barra é sempre igual à soma das injeções das
demais. Para tornar o sistema possível de se determinar é necessário
retirar tal singularidade. Isso é feito adotando-se uma barra de referência
e eliminando-se suas respectivas linha e coluna da matriz. O sistema
resultante, de dimensão -1, pode ser facilmente solucionado como
qualquer solução de um sistema linear.
Métodos não lineares
Confira no vídeo uma apresentação dos métodos de solução não
lineares para o estudo de fluxo de potência.
A solução das equações algébricas não lineares do problema de fluxo
de potência pode se tornar uma tarefa difícil, principalmente quando os
estudos envolvem sistemas de grandes dimensões. Diversos métodos
matemáticos podem ser utilizados para encontrar o ponto de operação
de um sistema e, principalmente, são métodos que permitem a
implementação de rotinas computacionais para a resolução de
problemas complexos de fluxo na rede.
Veja a seguir os principais métodos iterativos não lineares utilizados!
Método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel
O método de Gauss-Jacobi transforma um sistema linear do tipo
 em , ou seja, dado o seguinte sistema
original:
Eq. 33
B′
B′kk = ∑
m∈Ωk
1
xkm
B
′
km = B
′
mk = −
1
xkm
B′
n
[A][x] = [b] [x] = [C][x] + [g]
⎧⎪⎨⎪⎩a11x1 + a12x2 + ⋯ + a1nxn = b1⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯an1x1 + an2x2 + ⋯ + annxn = bn
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Considerando , isolando o vetor com separação pela
diagonal, tem-se:
Eq. 34
Assim, o sistema torna-se:
No método de Gauss-Seidel, o sistema equivalente é escrito da mesma
forma que no método de Gauss-Jacobi, mas no cálculo de são
considerados todos os valores mais atualizados, que já
foram calculados, e os valores restantes . Os métodos
de Gauss são simples, embora não sejam os mais rápidos, o que pode
limitar sua aplicação em problemas multivariáveis, como é o caso da
análise de fluxo de potência.
Vamos analisar um exemplo para compreendermos melhor esse
assunto.
Exemplo
Para o sistema de equações não lineares a seguir, vamos encontrar a
solução utilizando o método de Gauss-Jacobi. Consideraremos um vetor
nulo como chute inicial e uma tolerância de .
Solução
Primeiramente, devemos colocar o sistema na forma de solução de
Gauss-Jacobi.
Estimativas iniciais: e . Confira cada iteração!
Substituindo-se os valores das estimativas iniciais, tem-se:
aii ≠ 0 [x]
⎧⎪⎨⎪⎩x1 = 1a11 (b1 − a12x2 − a13x3 − ⋯ − a1nxn)⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯xn = 1ann (bn − an1x1 − an2x2 − ⋯ − ann−1xn−1)[x] = [C][x] + [g] xk+1jxk+11 , … ,xk+1j−1xk+1j+1 , … ,xk+1n10−5
{
2x1 + x1x2 = 1
2x2 − x1x2 = −1
{
x1 = 0, 5 −
x1x2
2
x2 = −0, 5 +
x1x2
2
x1 = 0 x2 = 0
Primeira iteração 
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Substituindo-se os valores da primeira iteração:
Substituindo-se os valores da segunda iteração:
Por se tratar de um método iterativo lento, sucessivas iterações
semelhantes às demonstradas acima são realizadas. De posse de uma
implementação computacional, após 440 iterações, a solução é:
Método de Newton
Seja inicialmente uma representação gráfica para uma função ,
ilustrada na imagem "Convenções de sentido para fluxos de potência".
Para uma aproximação é traçada uma reta tangente ao ponto
. Em termos geométricos, a solução da função é o
ponto em que a curva corta o eixo . Os passos básicos para a
aplicação do método de Newton na solução de uma equação não linear
de variável única são:
x11 = 0, 5 − 0 = 0, 5
x12 = −0, 5 + 0 = −0, 5
Segunda iteração 
x21 = 0, 5 −
0, 5 × (−0, 5)
2
= 0, 625
x22 = −0, 5 +
0, 5 × (−0, 5)
2
= −0, 625
Terceira iteração 
x31 = 0, 5 −
0, 625 × (−0, 625)
2
= 0, 6953
x32 = −0, 5 +
0, 625 × (−0, 625)
2
= −0, 6953
x1 = 0, 9955
x2 = −0, 9955
f
xk−1
((xk−1), f (xk−1)) f
x
 Primeiro passo
F lh l ã i i i li 0
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Vamos à prática!
Fazer e escolher uma solução inicial
.
i = 0
x = xi = x0
 Segundo passo
Calcular o valor da função no ponto .f(x) x = xi
 Terceiro passo
Comparar o valor calculado com a tolerância
especificada e; se ; então será
a solução procurada dentro da faixa de tolerância
; senão prossiga para o próximo passo.
f (xi)
f (xi) ≤ ϵ∣ ∣ x = xi±ϵ Quarto passoLinearizar a função em torno do ponto por intermédio da série de Taylor:Isso significa que a nova estimativa de passa aser:Em que f(x)[x, f(x)]f (xi + Δxi) = f (xi) + f ′ (xi)Δxi = 0xxi+1 = xi + ΔxiΔxi = −f (xi)/f ′ (xi)
 Quinto passo
Fazer e voltar para o segundo passo.i = i + 1
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Exemplo
Calcularemos as raízes de utilizando o
método de Newton.
Para convergência, consideraremos uma tolerância de e um chute
inicial x .
Solução
É dividida em:
.
Com é maior que a , deve-se calcular a
nova estimativa de :
Como é maior que a tolerância, calcula-se a nova
estimativa de :
f(x) = 2x3 − 4x2 + 3x − 4
10−3
0 = 2, 0
Primeira iteração 
i = 0,xi = 2, 0
f (x0) = 2, 0
f (x0) = 2, 0∣ ∣ 10−3xΔx0 = −f (x0)f ′ (x0) = −0, 1818x1 = x0 + Δx0 = 1, 8182Segunda iteração f (x1) = 0, 2526f (x1)∣ ∣x Δx1 = −f (x1)f ′ (x1) = −0, 0305x2 = x1 + Δx1 = 1, 7877Terceira iteração 
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Como é maior que a tolerância, calcula-se a nova
estimativa de :
Como é menor que a tolerância é a
solução do problema.
Em problemas multivariáveis, como a solução de um fluxo de potência, a
derivada de atualização das variáveis é, na verdade, uma matriz de
derivadas parciais, conhecida como Jacobiana.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Uma vez que o sistema elétrico esteja operando em condições
normais, o problema de fluxo de potência é modelado
matematicamente por equações algébricas. O equacionamento
para solução do problema considera os tipos de barra e variáveis
envolvidas. A respeito da modelagem das equações e suas
soluções é correto afirmar que
f (x2) = 0, 0061
f (x2)∣ ∣xΔx2 = −f (x2)/f ′ (x2) = −7, 7894 × 10−4x3 = x2 + Δx2 = 1, 7869Quarta iteração f (x3) = −1, 6155 × 10−4f (x3)∣ ∣ x = 1, 7869
A
para cada barra do sistema são previstas 4
equações e 4 variáveis, sendo o sistema possível e
determinado.
B
as equações para solução do problema de fluxo de
potência são lineares.
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Parabéns! A alternativa E está correta.
Para cada barra do sistema, estão disponíveis 2 equações, uma que
relaciona a potência ativa injetada e outra que relaciona a potência
reativa. Como são previstas 4 variáveis de estado por barra,
 e dessas variáveis devem ser previamente conhecidas
para que o sistema de soluções seja matematicamente possível e
determinado.
Questão 2
A respeito dos métodos de solução aplicados ao problema de fluxo
de potência, é correto afirmar que
C
o tipo de barra não influencia na quantidade de
variáveis a ser determinada.
D
os métodos de solução aplicados ao fluxo de
potência determinam a tensão e frequência em
cada barra do sistema.
E
das variáveis de estado nas barras, 2 sãopreviamente conhecidas e 2 são calculadas por
métodos diversos de solução de equações.
P ,Q,V θ, 2
A
a linearização do modelo de fluxo de potência
permite boas aproximações das variáveis de estado
em sistemas de extra alta tensão.
B
a solução de um fluxo de potência somente é
possível em sistemas computacionais.
C
os métodos lineares mais utilizados são o de Gauss-
Jacobi e Gauss-Seidel.
D
o fluxo de potência linear é um modelo simplificado
que modela apenas o fluxo de potência reativa no
sistema.
E
o método de Newton para solução de equações não
lineares é pouco utilizado na solução de fluxo de
potência em razão de sua difícil convergência.
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Parabéns! A alternativa A está correta.
Utiliza-se a linearização do fluxo, em análise em pontos de
operação em sistemas de alta tensão, pois, nestes sistemas, há
grande variação do módulo das tensões entre as barras carregadas.
Daí, neste caso, consideramos o fluxo de potência ativa como
sendo proporcional ao ângulo existente entre as duas barras. O
fluxo de potência se desloca na direção do menor ângulo.
3 - Métodos de solução do �uxo de potência – estudos de caso
Ao �nal deste módulo, você será capaz de empregar métodos de solução do �uxo de potência.
Aplicação da formulação – estudos de
caso
Confira no vídeo os aspectos característicos referentes a um estudo de
caso sobre fluxo de potência.
Modelagem da rede – matriz de
admitância nodal
Confira no vídeo o desenvolvimento da montagem da matriz de
admitância de barra para o caso em estudo.
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Em praticamente todos os estudos de análise de sistemas elétricos de
potência há uma ferramenta de fluxo de potência, seja ela simplesmente
para encontrar o ponto de operação da rede naquele instante, auxiliar
em estudos de expansão de equipamentos frente a um horizonte de
crescimento de carga ou mesmo no dimensionamento de sistemas de
proteção, uma vez que o cálculo da potência de curto-circuito é feito
através de ferramentas de fluxo de potência.
Mas devido às grandes dimensões dos sistemas e presença de
equações não lineares, os métodos de solução podem se tornar
exaustivos, ao ponto que, na maioria das aplicações, esses estudos são
feitos por ferramentas computacionais.
Veja a seguir demonstrações matemáticas de como esses métodos de
solução são aplicados ao problema de fluxo de potência, desde à
modelagem da rede por meio da matriz de admitância nodal ao passo a
passo de técnicas de solução para o fluxo linear e não linear.
A interligação de linhas de transmissão e transformadores no sistema
formam um grande circuito elétrico com muitas malhas e componentes.
Assim como em análise de circuitos, é possível solucionar sistemas
lineares por inspeção. Em estudos de fluxo de potência tem-se algo
semelhante: a montagem da matriz de admitância nodal.
O objetivo da modelagem matricial do problema de
fluxo de potência é facilitar o equacionamento que será
disponibilizado às ferramentas computacionais
responsáveis por executar os métodos de solução já
vistos. A montagem da matriz de admitância, ou 
, é bastante simples.
Uma matriz relaciona as tensões nodais (ou tensões de barra)
com as injeções de corrente no sistema por meio dos geradores, ou
seja, trata-se claramente de uma aplicação da lei de Kirchhoff das
correntes.
O diagrama unifilar de um sistema elétrico tem 4 barras (sendo a barra 0
a referência) e as setas conectadas a essas barras representam
injeções líquidas de corrente. Entre as barras, os elementos. Os
elementos entre barras representam as admitâncias das linhas de
transmissão. Por exemplo, y4 refere-se à admitância da linha 1-2.
Confira!
Ybarra
Ybarra 
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Diagrama unifilar de um sistema elétrico de 4 barras.
Baseado em uma análise por inspeção ou análise nodal de circuitos
elétricos, as equações nodais são:
Barra 1
Barra 2
Barra 3
Barra 4
A equação referente à barra de referência é uma combinação linear das
outras equações, o que pode ser verificado somando as três equações
das barras 1, 2 e 3. Agrupando os termos, tem-se:
Na forma matricial, é possível separar os termos referentes às
admitâncias nas equações acima:
I1 = y4 × (V1 − V2) + y6 × (V1 − V3) + y1 × (V1 − V0)
I2 = y5 × (V2 − V3) + y4 × (V2 − V1) + y2 × (V2 − V0)
I3 = y5 × (V3 − V2) + y6 × (V3 − V1) + y3 × (V3 − V0)
(−I1 − I2 − I3) = y1 × (V0 − V1) + y2 × (V0 − V2) + y3 × (V0 −
I1
I1 = (y1 + y4 + y6) × V1 − y4 × V2 − y6 × V3
I2
I2 = −y4 × V1 + (y2 + y4 + y5) × V2 − y5 × V3
I3
I3 = −y6 × V1 − y5 × V2 + (y3 + y5 + y6) × V3
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Eq. 35
A equação 35 ilustra claramente a matriz de admitância nodal que
relaciona o vetor de injeções de corrente e o vetor de tensões nodais.
Essa equação pode ser escrita na forma:
Eq. 36
A partir da modelagem do sistema pela matriz , é possível
prosseguir para a solução do fluxo de potência linear e não linear.
Fluxo de potência linear
Confira no vídeo uma solução do problema de fluxo para a rede de
exemplo, utilizando as técnicas lineares.
Agora, para poder explicar o fluxo de potência linear, vamos apresentar
um estudo de caso genérico, em que é possível verificar como é
montado o sistema de equações lineares. Considere o sistema de 5
barras a seguir. A barra 5 será adotada como referência para análise.
Sistema de 5 barras para demonstração de fluxo de potência linear.
Inicialmente é necessário aplicar a lei de Kirchhoff das correntes em
cada barra do sistema, de modo que o somatório dos fluxos que
chegam em uma barra deve ser igual ao somatório dos fluxos que saem
dessa mesma barra. O equacionamento será:
= ×
⎡⎢⎣I1I2I3⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣y1 + y4 + y6 −y4 −y6−y4 y2 + y4 + y5 −y5−y6 −y5 y3 + y5 + y6⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣V1V2V3⎤⎥⎦I = Ybarra  × V Ybarra
P1 = P12 + P15
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Considerando a aplicação da equação 30 que trata do fluxo de potência
linear entre duas barras:
Rearranjando os termos e aplicando a equação acima, temos:
As expressões acima podem ser representadas matricialmente:
De modo simplificado, o sistema linear matricial pode ser representado
conforme esta equação:
Eq. 37
Uma vez que o método de fluxo linear é aplicado em sistemas de alta
tensão cujos módulos de tensão são próximos de 1 pu para todas as
barras, a solução do problema consiste em encontrar o vetor de ângulos
na equação X, que pode ser feito conforme a equação a seguir.
Eq. 38
No entanto, é importante relembrar que a expressão matricial acima
apresenta uma linha que é combinação linear das outras, de modo que
tal singularidade deve ser extinta para permitir a solução do sistema.
Como a barra 5 é adotada como referência, seu ângulo já é conhecido e,
portanto, não há necessidade de uma equação que a represente. Assim,
P2 = P21 + P23 + P25
P3 = P32 + P34
P4 = P43 + P45
P5 = P51 + P52 + P54
Pkm =
θk − θm
xkm
P1 = (b12 + b15) × θ1 + (−b12) × θ2 + (−b15) × θ5
P2 = (−b12) × θ1 + (b12 + b23 + b25) × θ2 + (−b23) × θ3 + (
P3 = (−b23) × θ2 + (b23 + b34) × θ3 + (−b34) × θ4
P4 = (−b34) × θ3 + (b34 + b45) × θ4 + (−b45) × θ5
P5 = (−b15) × θ1 + (−b25) × θ2 + (−b45) × θ4 + (b15 + b25 +
= ×
⎡⎢⎣P1P2P3P4P5⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣(b12 + b15) −b12 0 0 −b15−b12 (b12 + b23 + b25) 0 0 −b250 −b23 (b23 + b34) −b34 00 0 −b34 (b34 + b45) −b45−b15 −b25 0 −b45 (b15 + b25 + b45)⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣θ1θ2θ3θ4θ5⎤⎥⎦P = B′θθ = inv (B′) × P
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a linha e a coluna referentes à barra 5 podem ser retiradas do sistema.
Por fim, a solução do fluxo de potência linearserá feita pelo seguinte
sistema:
Os ângulos de barra são encontrados a partir da solução do sistema
acima.
Fluxo de potência não linear
Confira no vídeo uma solução do problema de fluxo para a rede exemplo,
utilizando as técnicas não lineares.
O fluxo de potência não linear é modelado por equações algébricas não
lineares, de modo que o método de Newton pode ser aplicado para sua
solução.
Veja o sistema de 2 barras ilustrado a seguir: a solução para este
problema é apresentada via método de Newton, considerando uma
tolerância de 0,001.
Sistema de 2 barras para demonstração do fluxo de potência não linear.
Com base na formulação básica do problema, o vetor de incógnitas e as
equações do subsistema 1 para o problema do sistema de 2 barras
serão:
Visto que a barra 1 é a barra de referência e a barra 2 é do tipo PV.
A matriz de admitância nodal desse sistema, será:
= ×
⎡⎢⎣P1P2P3P4⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣(b12 + b15) −b12 0 0−b12 (b12 + b23 + b25) −b23 00 −b23 (b23 + b34) −b340 0 −b34 (b34 + b45)⎤⎥⎦ ⎡⎢⎣θ1θ2θ3θ4⎤⎥⎦
x = [ ]
{
θ2
V2
ΔP2 = −0, 8 − V2 (−0, 99 cos θ2 + 9, 9 sen θ2 + 0, 99V2) = 0
ΔQ2 = −0, 4 − V2 (−0, 99 sen θ2 − 9, 9 cos θ2+, 9, 9V2) = 0
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Como o sistema possui apenas uma única barra além da de referência, a
matriz de derivadas para atualização das variáveis de estado, matriz
jacobiana, será dada por:
A matriz jacobiana muitas vezes é descrita em função das submatrizes
H, N, M e L que indicam as derivadas parciais das equações de potência
ativa e reativa, em função das variáveis de estado, ângulo e tensão. Para
o caso em estudo:
O cálculo é feito da seguinte forma:
A solução iterativa do problema não linear, baseada em chutes iniciais
para as variáveis na iteração inicial e , é dada na
seguinte tabela:
iteração
Tabela: Soluções iterativas para o fluxo de potência pelo método de Newton.
Felipe Laure Miranda e Isabela Oliveira Guimarães
Dessa forma, considerando a tolerância adotada inicialmente, a solução
para as variáveis de estado são:
Y = G + jB = [ ]
0, 99 − j9, 9 −0, 99 + j9, 9
−0, 99 + j9, 9 0, 99 − j9, 9
J = [ ] = [ ]
∂P(V ,θ)
∂θ
∂P(V ,θ)
∂V
∂Q(V ,θ)
∂θ
∂Q(V ,θ)
∂V
H N
M L
H22 = V2 (0, 99 sen θ2 + 9, 9 cos θ2)
N22 = 1, 98V2 + (−0, 99 cos θ2 + 9, 9 sen θ2)
M22 = V2 (−0, 99 cos θ2 + 9, 9 sen θ2)
L22 = 19, 8V2 + (−0, 99 sen θ2 − 9, 9 cos θ2)
[ ] = −[J]−1 [ ]
Δθ2
ΔV2
ΔP2
ΔQ2
θ2 = 0 V2 = 1pu
[ ]
θ2
V2
[ ]
ΔP2
ΔQ2
1ª
0
1
− 0, 8
− 0, 4
2ª
−0, 076
0, 952
− 0, 041
− 0, 046
3ª
−0, 0804
0, 9461
− 0, 0003
− 0, 0004
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A solução do subsistema 2 é encontrada a partir da solução do
subsistema 1 acima. Portanto:
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Considere o sistema elétrico abaixo composto por 3 barras. Com
base nos dados fornecidos na imagem, os ângulos, em radianos,
das barras 2 e 3 serão:
Sistema elétrico para Exercício 1.
*Adotar a barra 1 como referência angular.
[ ] = [ ]
θ2
V2
−0, 0804rad
0, 9461pu
{
P1 = 0, 8089pu
Q1 = 0, 4894pu
A e θ2 = −0, 35rad θ3 = −0, 275rad
B θ2 = −0, 55radeθ3 = −0, 175rad
C e θ2 = −0, 25rad θ3 = −0, 375rad
D e θ2 = −0, 75rad θ3 = −0, 355rad
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Considerando as injeções de potência ativa nas barras 2 e 3 e
eliminando linha e coluna referentes à barra de referência, a
equação linear para solução do fluxo será na forma matricial:
Resolvendo o sistema linear, os valores dos ângulos nas barras 2 e
3 serão:
Questão 2
O método de Newton será utilizado para a solução do ponto de
operação de um sistema elétrico que contém 3 barras, interligadas
por linhas de transmissão entre si. Com base na modelagem desse
sistema, é correto afirmar que
Parabéns! A alternativa D está correta.
Como o método utilizado para solução é o método iterativo de
Newton, pode-se afirmar que se trata de uma modelagem com
equações não lineares. Dessa forma, com base nas equações de
E e θ2 = −0, 45rad θ3 = −0, 975rad
[ ] = [ ] × [ ]
−0, 5
−1, 0
5, 0 −2, 0
−2, 0 4, 0
θ2
θ3
θ2 = −0, 25rad
θ3 = −0, 375rad
A as equações do problema são do tipo lineares.
B a matriz de admitância tem ordem 4x4.
C
a matriz jacobiana independe do tipo de barra no
sistema.
D
as variáveis a calcular são o módulo e a fase da
tensão nas barras.
E
o método de Newton não é eficiente para solução de
fluxo de potência, pois necessita de muitas
iterações para convergência.
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potência ativa e potência reativa, é possível calcular duas variáveis
por barra, sendo elas módulo e fase da tensão.
4 - Compensação reativa
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer as técnicas de compensação reativa em
sistemas elétricos.
Compensação reativa em sistemas
elétricos
Confira no vídeo os principais problemas que ocorrem no sistema
elétrico que podem ocasionar mudanças no perfil operacional e veja
como ajustá-los.
Conceitos importantes em
compensação reativa
Confira no vídeo os conceitos da compensação reativa e qual sua
função no sistema elétrico.
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Todos os equipamentos ligados aos sistemas elétricos de potência que
operam em corrente alternada naturalmente geram ou consomem
potência reativa, o que pode provocar importantes alterações no perfil
de tensão da instalação ou parte do sistema envolvido. Dessa forma,
operadores de sistemas elétricos trabalham sempre com base em
estudos de controle de reativos, também denominado compensação
reativa. As técnicas de compensação reativa permitem reduzir perdas e
manter o sistema operando dentro de condições regulatórias.
A injeção de potência reativa no sistema é uma técnica importante no
controle de tensão, principalmente em instalações com alta
predominância de cargas não lineares. Uma das técnicas mais
conhecidas é o emprego de capacitores que permitem um incremento
na qualidade da energia de uma instalação em que se predominam
cargas muito indutivas, como os motores. Além do melhoramento do
funcionamento da instalação, essa correção evita a aplicação de multas
por parte das concessionárias de energia que exigem valores mínimos
de fator de potência, que atualmente é 0,92. Com essas exigências, a
compensação reativa tem se tornado muito importante e evoluído ao
longo dos anos. De fato, a correção se tornou tão comum que não mais
se utiliza o termo “multa”, mas “tarifação por energia reativa excedente”.
Alguns conceitos relacionados a sistemas elétricos de corrente
alternada são essenciais para entender as técnicas e métodos de
compensação reativa. A energia gerada em corrente alternada pode ser
decomposta em duas diferentes energias. Confira!
Energia ativa
Diz respeito à energia
que fornece trabalho
real ao sistema, ou seja,
permite conversão em
energia potencial,
mecânica, calor, entre
outras. A energia ativa é
medida em kWh e é
dada pelo produto entre
a potência ativa, em kW,
demandada e o tempo
de funcionamento do
equipamento.
Energia reativa
Diz respeito à energia
utilizada para excitação
dos campos
magnéticos em
equipamentos indutivos,
como motores e
transformadores. A
energia reativa, medida
em kVArh, é dada pelo
produto entre a
potência reativa, em
kVAr, demandada e o
tempo de
funcionamento do
equipamento.
A soma vetorial das potências ativa e reativa, que fornecem as energias
citadas, é denominada potência aparente, representada por S. A
potência aparente é dada pelo produto dos valores eficazes da tensão e
corrente, como definido nesta equação:
Eq. 39

S = Vef × Ief
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Em que:
 tensão eficaz
 corrente eficaz
O fator de potência é dado pela próxima equação como a relação entre a
potência ativa e a potência aparente. Veja!
Eq. 40
Uma das maneiras mais simples de se analisar a relação entre essas
potências e o fator de potência é por meio do triângulo de potências
(imagem a seguir). É possível observar que o fator de potência é o
cosseno do ângulo formado entre potência ativa e potência aparente.
Triângulo de potências.
A carga de um sistema elétrico é considerada linear quando sua
corrente não possui componentes harmônicas, ou seja, a forma de onda
da senoide de corrente possui apenas a componente fundamental de 60
Hz (para sistemas que operam nessa frequência). Para essas cargas, o
triângulo de potências da imagem anterior pode ser utilizado para
relacionar as potências e fator de potência.
No entanto, grande parte das instalações em sistemas elétricos é
composta de cargas não lineares, ou seja, a forma de onda da corrente
elétrica é composta pela sua componente fundamental bem como por
diversas harmônicas (múltiplas da componente fundamental). Isso
ocorre devido às características reais dos equipamentos e presença de
campos elétricos e magnéticos que geram correntes de ruído nos
sistemas. Dessa forma, a relação de potências deve considerar ainda
tais componentes e a análise por triângulo de potências dá lugar a um
tetraedro de potências, que inclui a componente “potência de distorção”,
simbolizada pela letra D. Veja!
Vef =
Ief =
fp = cosφ =
P
S
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Tetraedro de potências.
A potência de distorção possui grande relação com perdas e contribui
para o aumento da potência aparente. Essa potência é ilustrada por D e
medida em kVAD (kVA de distorção). Matematicamente, o tetraedro de
potências, ou seja, a relação de potências, é dado pelas equações a
seguir.
Eq. 41
Eq. 42
Eq. 43
Como o fator de potência é a relação entre potência ativa e aparente, um
novo multiplicador menor que 1, denominado , ilustra o impacto na
redução do fator de potência para cargas não lineares.
Causas de baixo fator de potência
Confira no vídeo uma discussão sobre os principais causadores da
redução do fator de potência das redes elétricas.
S 2 = P 2 + Q2 + D2
S = √P 2 + Q2 + D2
fp = cosφ × cosλ
λ
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O fator de potência apresenta a relação entre a potência ativa e a
potência aparente em um sistema elétrico. Instalações operando com
baixo fator de potência podem levar a custos elevados em virtude de
tarifas adicionais que são cobradas pelas concessionárias de energia. A
presença de cargas não lineares é um elemento aditivo no cálculo de
fator de potência, principalmente por reduzirem esse índice. No entanto,
muitas são as causas específicas que podem reduzir o fator de potência
em um sistema elétrico. Entenda!
As máquinas de indução consomem praticamente a mesma
quantidade de energia reativa quando operam a vazio ou em
carga nominal. No entanto, a energia ativa é proporcional à sua
carga no eixo, de modo que, nesses casos, em baixo
carregamento o fator de potência será menor.
Semelhante aos motores de indução, as máquinas consomem a
mesma quantidade de energia reativa em baixo carregamento ou
à plena carga, de modo que, em condições de menor demanda,
irão operar com baixo fator de potência.
Lâmpadas como as fluorescentes, de vapor de sódio e vapor de
mercúrio, precisam de reatores para funcionar. Esses reatores
são elementos magnéticos, possuem bobinas que consomem
energia reativa, contribuindo para um baixo fator de potência na
instalação. É comum hoje a utilização de reatores de alto fator
de potência.
O uso de muitos motores de baixa potência na mesma
instalação pode consumir muito mais energia reativa do que se
fosse utilizada menor quantidade de motores de maior potência
equivalente para acionamento das cargas. Essa prática pode
contribuir para um baixo fator de potência.
Operação a vazio ou sobrecargas de motores de indução 
Operação a vazio de transformadores 
Lâmpadas de descarga 
Número grande de motores de baixa potência 
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Nesse tipo de causa, há uma relação direta entre potência reativa
e o perfil de tensão em um sistema elétrico (relação quadrática),
de modo que sobretensões levam a grandes consumos de
energia reativa e, consequentemente, um menor fator de
potência.
É possível observar que o fator de potência de uma instalação depende
diretamente das práticas adotadas e tipos de equipamentos utilizados
no dia a dia de sua operação. O melhoramento ou adequação do fator
de potência é conhecido como “correção de fator de potência” e pode
ser feito de diversas formas, como a instalação de bancos de
capacitores, utilização de motores síncronos superexcitados, entre
outros.
Veja o cálculo para adequação do fator de potência para uma carga
linear!
Exemplo
A potência ativa em um sistema elétrico é de 200 kW, correspondente ao
um conjunto de motores de indução trifásicos que funcionam de modo
constante, podendo assim, desprezar a presença de harmônicos. O fator
de potência dessa instalação é de 0,8 e deseja-se aumentá-lo para 0,95.
Vamos calcular a quantidade de potência reativa que deve ser injetada
nesse sistema para a adequação.
Portanto, a adequação do fator de potência demanda a injeção de 86
kVAr de potência reativa, que pode ser obtida com a instalação de um
banco de capacitores.
Técnicas de compensação reativa
Sobretensão 
P = 200kW
fpantes  = 0, 8 fpdepois  = 0, 95
Santes  =
200kW
0, 8
= 250kVA
Qantes  =√S 2antes  − P 2 = 150kVAr
Sdepois  =
200kW
0, 95
= 210kVA
Qdepois  =√S 2depois  − P
2 = 64kVAr
Qinjetado  = Qantes  − Qdepois  = 86kVAr
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Confira no vídeo uma discussão sobre as técnicas de compensação
reativa e como aplicá-las em benefício do sistema.
Entre as técnicas utilizadas para compensação reativa, podemos citar:
Nesse tipo de técnica, é possível aumentar a relação entre
potência ativa e potência aparente aumentando o fator de
potência. Isso pode ser feito adicionando ou transferindo cargas
de alto fator de potência para o sistema. Apesar de pouca
aplicação prática, é uma solução para adequação do fator de
potência.
Nesse tipo de técnica, essas máquinas podem ser utilizadas
como geradores de apenas potência reativa, uma vez que
nenhuma carga mecânica seja conectada a seu eixo. Assim, o
controle da corrente de campo permite gerar ou consumir
energia reativa, controlando o fator de potência do sistema.
Quando subexcitada, a máquina síncrona consome energia
reativa e, quando superexcitadas, geram energia reativa para a
instalação.
Nesse tipo de técnica, o uso de capacitores é a técnica mais
difundida em instalações elétricas, uma vez que é uma técnica
de baixo custo e de maior flexibilidade de aplicação. Na maioria
das situações, os capacitores de potência são instalados em
bancos trifásicos, o que permite a obtenção de potências
elevadas.
Observe um exemplo de capacitores!
Aumento do consumo de energia ativa 
Utilização de máquinas síncronas 
Utilização de bancos de capacitores 
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Banco de capacitores utilizado para controle do perfil de tensão em um sistema elétrico.
O valor ideal para um fator de potência, tanto para o sistema elétrico
quanto para a concessionária, seria de 1. No entanto, esse valor é
impossível, uma vez que significaria inexistência de energia reativa, o
quenão ocorrerá devido às características de funcionamento dos
equipamentos eletroeletrônicos utilizados no sistema.
É importante destacar que a qualidade da energia fornecida está
diretamente relacionada ao perfil de tensão, de modo que os fluxos de
potência ativa e reativa devem ser cuidadosamente controlados.
Particularmente, o fluxo de potência reativa pode dar origem a grandes
alterações nos sistemas de transmissão, uma vez que linhas podem
operar a vazio em horários de baixa demanda, piorando o fator de
potência e aumentando substancialmente as perdas no sistema.
Diferentemente da frequência considerada constante, a tensão de um
sistema elétrico varia constantemente, que depende fortemente do
consumo da potência ativa e reativa em cada barra.
Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Os sistemas elétricos de potência operam em condições de
estabilidade quando o perfil de tensão nas barras está dentro de
limites preestabelecidos. No entanto, diversos fatores podem
modificar o ponto de operação de um sistema a ponto de ocorrerem
mudanças bruscas nas tensões. Podemos citar como fator
altamente relacionado à tensão de um sistema:
A A variação de frequência.
B A geração de energia ativa.
C A variação súbita de carga.
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Parabéns! A alternativa E está correta.
Há uma relação direta e quadrática entre potência ativa e perfil de
tensão no sistema elétrico, de modo que o consumo de energia
reativa por equipamentos como motores e transformadores
operando a vazio podem provocar variações consideráveis no perfil
de tensão do sistema.
Questão 2
As técnicas de compensação reativa são importantes não apenas
para se evitar custos adicionais de energia excedente, mas também
para garantir um melhor funcionamento dos equipamentos em uma
instalação elétrica. A respeito das principais técnicas de
compensação reativa é correto afirmar que
Parabéns! A alternativa A está correta.
Quando subexcitado, o motor síncrono operando a vazio pode
fornecer energia reativa por meio do controle de corrente de campo.
Com isso, é possível corrigir o fator de potência em instalações
D
A presença de componentes harmônicas de
corrente.
E O consumo de reativos por equipamentos indutivos.
A
motores síncronos operando subexcitados podem
ser utilizados para a correção de fator de potência
em instalações predominantemente capacitivas.
B
bancos de capacitores são pouco utilizados em
função de seu custo de aquisição.
C
o aumento de potência ativa não contribui de forma
eficiente no controle de fator de potência.
D
máquinas síncronas necessitam de uma carga
conectada ao seu eixo para produzir reativos para o
sistema.
E
a instalação de bancos de capacitores é uma
técnica de compensação de energia reativa para
instalações predominantemente capacitivas.
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com características capacitivas, uma vez que irão consumir o
excedente de reativos produzidos.
Considerações �nais
A operação correta dos sistemas elétricos garante um fornecimento
contínuo e confiável de energia aos consumidores. Para isso, técnicas
matemáticas como a formulação do fluxo de potência é essencial para
a determinação das principais características da operação, como
módulo e fase da tensão nas barras. O estudo de fluxo de potência foi
apresentado como uma ferramenta matemática formulada a partir de
equações algébricas não lineares. As principais técnicas de solução
utilizadas pelos modelos computacionais foram apresentadas e
exemplificadas a partir de estudos de caso.
Ainda relacionado à operação dos sistemas, o controle e compensação
de energia reativa é importante para manter os perfis de tensão dentro
de condições mínimas exigidas para os sistemas. As técnicas de
compensação reativa foram apresentadas, de modo que tais
ferramentas sejam consolidadas como de grande relevância nos
estudos de sistemas elétricos de potência.
Podcast
Ouça e aprenda mais sobre o significado de fluxo de potência, métodos
matemáticos de solução, matriz de admitância e compensação reativa.

Explore +
Leia o artigo O campo da energia elétrica no Brasil de 1880 a 2002, de
João Paulo Gomes e Marcelo Vieira, e saiba mais sobre as
características do sistema elétrico brasileiro.
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Referências
ELGERD, O. I. Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica. São
Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1976.
MONTICELLI, A. J. Fluxo de carga em redes de energia elétrica. São
Paulo: Blucher, 1983.
MONTICELLI, A. J.; GARCIA, A. Introdução a sistemas de energia
elétrica. Campinas: Unicamp, 1999.
STEVENSON, W. D. Elementos de análise de sistemas de potência. São
Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 1974.
ZANETTA JR, L. C. Fundamentos de sistemas elétricos de potência. São
Paulo: Livraria da Física, 2006.
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