Energia e transferência de energia

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Medição Angular 
 
Pelo fato de os ciclos de tensão corresponderem à rotação da espira em torno de um circulo, 
os trechos desse círculo são expressos em ângulos. Um círculo completo tem 360º ou o equivalente 
em radianos a 2π rad. Matematicamente: 
 
π
180º1rad 
2π
360º1rad rad 2π360º =→=→= 
 
Onda Co-senoidal 
 
A tensão alternada que nos é fornecida, através da rede elétrica, é por questões de geração e 
distribuição senoidal (co-senoidal), ou seja, obedece a uma função do tipo: 
 
v(t) = vp⋅cos(ωt + θ) 
 
onde: v(t) é o valor instantâneo da tensão. 
 
vp é o máximo valor que a tensão pode atingir, também denominada de amplitude ou 
tensão de pico. 
 
 ω é a velocidade angular (
T
2πω ou f2 =π=ω ). 
 
 t é um instante qualquer. 
 
 θ é o ângulo de defasagem inicial. 
 
 A unidade de tensão é expressa em volts [V], a da velocidade angular em radianos por 
segundo [rad/s], a de tempo em segundos [s] e a de ângulo de defasagem em radianos [rad]. Para 
exemplificar, a Figura 120 mostra uma tensão; alternada co-senoidal cuja função é: 
 
v(t) = 20⋅cos(500⋅π⋅t - 3π/4) 
 
Nota-se, através da função, que a tensão de pico (vp) é igual a 20V, a velocidade angular (ω) 
é 500⋅π rad/s e o ângulo de defasagem inicial é -3π/4 rad ou 135º. O período dessa função é igual a 
4ms e a frequência igual a 250Hz. 
 
Além do valor de pico (vp), temos o valor pico-a-pico (vpp) que é igual à variação máxima 
entre o ciclo positivo e o ciclo negativo, e o valor eficaz (vef) ou RMS (vRMS), que corresponde ao 
valor de uma tensão alternada que, se fosse aplicada a uma resistência, dissiparia uma potência 
média, em watts, de mesmo valor numérico de uma tensão contínua aplicada à mesma resistência. 
Para a tensão alternada co-senoidal, o valor eficaz é calculado através da expressão matemática: 
 
2
v
v pef = 
 
 
 2 
 
No gráfico da Figura 1, temos que: 
 
14,14V
2
20v e 40V v 20V,v efppp ==== 
 
 O valor eficaz de um sinal alternado é, em termos de amplitude, o mais importante do ponto 
de vista prático, pois a tensão e a corrente eficazes podem ser medidas diretamente, 
respectivamente, pelos voltímetros e amperímetros CA. 
 
 
Figura 1 - Tensão alternada co-senoidal. 
 
 
 
 3 
FASORES 
 
Na comparação de ângulos de fase ou simplesmente fases de correntes e tensões alternadas, 
é conveniente a utilização de diagrama de fasores correspondentes às formas de onda da tensão e da 
corrente. Um fasor é um segmento linear orientado que gira no sentido anti-horário com velocidade 
angular constante ω (rad/s) e que produz uma projeção horizontal que é uma função co-seno, como 
mostra a Figura 2. Os termos fasor e vetor são utilizados para representar quantidades que possuem 
um sentido. Entretanto, o fasor varia com o tempo, enquanto o vetor tem um sentido no espaço. O 
comprimento da seta que representa o fasor num diagrama indica o módulo da tensão alternada 
(amplitude da curva co-seno), e o ângulo entre as duas posições do fasor é a diferença de fase entre 
as duas curvas co-seno. Os fasores são definidos a partir da função co-seno. 
 
 
Figura 2 - Representação por fasor. 
 
 
 Quando se deseja representar sinais por meio de fasores, primeiramente escolhe-se uma 
forma de onda como referência e então comparasse as demais ondas através do ângulo entre as setas 
que representam os fasores. No exemplo da Figura 122 o fasor VA representa a onda de tensão A 
com um ângulo de fase de 0º, Figura 122a. O fasor VB é vertical para mostrar o ângulo de fase de 
90º com relação ao fasor VA, que serve como referência. Como os ângulos de avanço de fase então 
representados no sentido anti-horário a partir do fasor de referência, VB está adiantado de VA de 90º 
conforme mostra a Figura 3a . 
 Geralmente, o fasor de referência é horizontal, correspondendo a 0º. Porém, nada impede 
que possamos utilizar outra referência. Se VB fosse representado como a referência, conforme 
mostra a Figura 3b, VA teria que estar a 90º horários, a fim de ter o mesmo ângulo de fase. Neste 
 4 
caso, VA está atrasada com relação à VB de 90º. Não há nenhuma diferença fundamental no fato de 
VB estar adiantada de VA de 90º ou de VA estar atrás de VB de 90º. 
 
 
Figura 3 - (a) VB está adiante de VA de 90º (b) VA está atrasado com relação a VB de 90º. 
 
Quando duas ondas então em fase, o ângulo de fase é zero. As amplitudes se somam. 
Quando as duas ondas estão exatamente fora de fase (ou oposição de fase) o ângulo de fase é de 
180º. Suas amplitudes são opostas e a resultante é a diferença entre os seus módulos. Para valores 
iguais as fases se cancelam. 
Quando o eixo horizontal é identificado como o eixo real do plano complexo os fasores 
tornam-se números complexos. 
 
Relações de Fase 
 
 Um sinal senoidal (tensão ou corrente) não precisa ter, necessariamente, amplitude máxima 
no instante t = 0s. Isso significa que ele pode iniciar o seu ciclo adiantado ou atrasado de um 
intervalo de tempo ∆t ou de uma fase inicial θ. 
 Se o sinal está adiantado, a fase inicial θ é positiva na expressão do valor instantâneo e no 
respectivo diagrama fasorial, conforme mostra a Figura 4. 
 
 
 
Figura 4 - Sinal co-senoidal adiantado e sua representação fasorial. 
 
 
Se o sinal está atrasado, a fase inicial θ é negativa na expressão do valor instantâneo e no 
respectivo diagrama fasorial, conforme mostra a Figura 5. 
 5 
 
Figura 5 - Sinal co-senoidal atrasado e sua representação fasorial. 
 
 
 O ângulo de fase entre duas formas de onda de mesma frequência é a diferença angular num 
dado instante. Por exemplo, o ângulo de fase entre as ondas B e A da Figura 6 é de 90º. O eixo 
horizontal da Figura 6 que mostra as formas de onda, representa as unidades de tempo em ângulos. 
A onda B começa com seu valor máximo e cai para zero em 90º, enquanto a onda A começa em 
zero e cresce até o seu valor máximo em 90º. A onda B atinge o seu valor máximo 90º na frente da 
onda A; logo, a onda B está adiantada relativamente à onda A de 90º. Este ângulo de fase de 90º 
entre as ondas B e A é mantido durante o ciclo completo e todos os ciclos sucessivos. Em qualquer 
instante, a onda B passa pelo valor que a onda A terá 90º mais tarde. As duas formas de onda são 
chamadas de senóides. 
 
 
 
Figura 6 - A onda B está adiantada da onda A de um ângulo de fase de 90°. 
 
 
Representação Temporal, Fasorial e Complexa do Sinal CA. 
 
 Um sinal alternado co-senoidal pode ser convertido diretamente nas representações fasorial 
e complexa equivalentes. Mas, se a sua expressão for um seno, ela deve ser modificada para co-
seno por meio da identidade trigonométrica sen θ = cos (θ - 90º) antes de efetivar as conversões. 
 
 6 
 
 
 
Figura 7 - Representação temporal. 
 
 
Figura 8 - Representação fasorial. 
 
 
Figura 9 - Representação complexa. 
 
 
 Observe que nos modos de representação instantânea e fasorial, tanto analítica quanto 
gráfica, aparecem pelo menos três parâmetros básicos: uma amplitude, uma frequência e a fase, 
com os quais podem ser determinados todos os demais parâmetros. Já, na representação complexa, 
a frequência deve ser fornecida à parte para completar esse conjunto de parâmetros básicos. 
 
Adição e Subtração entre Sinais CA 
 
 Considere os sinais de mesma frequência: 
 
[V]45º100V 45ºθ 100V;V π/4)[V]cos(377t141(t)v 1111 −∠=≡−==≡−⋅= 
[V]º6070V º60θ 0V;7V π/3)[V]cos(377t99(t)v 2122 ∠=≡==≡+⋅=  
 
Resolução Temporal: Para realizar graficamente as operações adição e subtração, é 
necessário que os gráficos estejam em escala para que as formas de onda resultantes possam ser 
obtidas pela adição e pela subtração de diversas amplitudes instantâneas, conforme mostram as 
Figuras 9 e 10: 
 
Adição gráfica: vA(t) = v1(t) + v2(t) Subtração gráfica: vB(t) = v1(t) - v2(t) 
 
Figura 10 - Adição temporal de duas co-senóides. 
Figura 11 - Subtração temporalde duas co-senóides. 
 
 Para realizar essas mesmas operações analiticamente, é necessário utilizar algumas 
identidades trigonométricas, tornando os cálculos muito trabalhosos. 
 
 7 
Adição analítica: vA(t) = v1(t) + v2(t) 
vA(t) = v1(t) + v2(t) ⇒ 
vA(t) = 141⋅cos(377t - π/4) + 99⋅cos(377t - π/3) ⇒ 
vA(t) = 150,2⋅cos(377t – 0,1) [V] 
Adição analítica: vB(t) = v1(t) - v2(t) 
vB(t) = v1(t) - v2(t) ⇒ 
vA(t) = 141⋅cos(377t - π/4) - 99⋅cos(377t - π/3) ⇒ 
vA(t) = 192,5⋅cos(377t – 1,3) [V] 
 
 Resolução Fasorial: Para realizar graficamente as operações adição e subtração, é 
necessário que os diagramas estejam em escalas lineares e angulares. A adição é feita diretamente 
pela regra do paralelogramo. Na subtração, o fasor negativo deve ser defasado em 180º e somado ao 
fasor positivo pela regra do paralelogramo. As Figuras abaixo ilustram essas operações 
graficamente. 
 
Adição gráfica: 21A VVV  += Subtração gráfica: 21B VVV  −= 
 
Figura 12 -Adição gráfica de fasores. 
Figura 13 - Subtração gráfica de fasores. 
 
 Para realizar essas mesmas operações analiticamente, é necessário utilizar as relações 
trigonométricas do triângulo retângulo para decompor os fasores nos eixos x (referência) e y 
(perpendicular) e o Teorema de Pitágoras (este teorema diz que a hipotenusa de um triângulo 
retângulo é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos) para calcular o módulo do 
fasor resultante. Porém, tais operações devem ser, pelo menos, acompanhadas de um esboço do 
diagrama fasorial, sem o qual pode-se incorrer facilmente em erros. 
 
Adição analítica: 21A VVV  += 
VAx = V1x + V2x = 100⋅cos(-45°) + 70⋅cos(60°) ⇒ 
VAx = 70,7 + 35 ⇒ VAx = 105,7V 
VAy = V1y + V2y = 100⋅sen(-45°) + 70⋅sen(60°) ⇒ 
VAy = -70,7 + 60,6 ⇒ VAx = -10,1V 
106,2VV
10,1105,7VVVV
A
22
A
2
Ay
2
AxA
=
⇒+=⇒+= 
Fasor VA → 4° quadrante, θA é dado por: 
Subtração analítica: 21B VVV  += 
VBx = V1x - V2x = 100⋅cos(-45°) - 70⋅cos(60°) ⇒ 
VBx = 70,7 - 35 ⇒ VBx = 35,7V 
VBy = V1y - V2y = 100⋅sen(-45°) - 70⋅sen(60°) ⇒ 
VBy = -70,7 - 60,6 ⇒ VBx = -131,3V 
136,1VV
131,335,7VVVV
B
22
B
2
By
2
BxB
=
⇒+=⇒+= 
Fasor VB → 4° quadrante, θB é dado por: 
 8 
°−=⇒−=−= 5,5θ
105,7
10,1arctg
V
V
arctgθ A
Ax
Ay
A 
Convertendo a tensão VA em vA(t): 
VAP = 106,2⋅ 2 = 150,2V 
0,1rad
180
π5,5-[rad]θA −=
⋅
= 
Portanto: 
VA(t) = 150,2⋅cos(377t – 0,1)[V] 
°−=⇒−=−= 8,74θ
35,7
131,3arctg
V
V
arctgθ A
Bx
By
A 
Convertendo a tensão VB em vB(t): 
VBP = 136,1⋅ 2 = 192,5V 
1,3rad
180
π74,8-[rad]θB −=
⋅
= 
Portanto: 
VB(t) = 192,5⋅cos(377t – 1,3)[V] 
 
 
 9 
CONCEITO DE IMPEDÂNCIA 
 
A impedância é uma extensão do conceito de resistência. Ela é representada por um número 
complexo que caracteriza tanto a oposição total que o dispositivo impõe a passagem da corrente 
alternada como também a defasagem total entre a tensão e a corrente causada pelo mesmo 
dispositivo. A unidade da impedância é o ohm [Ω], e ela é composta por uma componente real 
denominada de resistência R e por uma componente imaginária denominada reatância X. Este tipo 
de representação de um número que possui uma parte real e uma parte imaginária é chamada de 
número complexo. 
Um número complexo pode ser representado em 4 modos distintos. Aqui serão apresentados 
dois modos que são: a forma retangular ou cartesiana e a forma polar conforme mostra a Figura 14. 
 
 
Figura 14 - Representação do número complexo Z = R + jX = (Z,ϕ) no plano complexo. 
 
A forma retangular é formada pelas coordenadas que correspondem a projeção do vetor 
complexo Ż nos eixos real (Re) e imaginário (In), ou seja Ż = R + jX. Já a forma polar é formada 
pela representação do número pela sua magnitude Z e pelo ângulo ϕ formado com o eixo 
horizontal, ou seja, Ż = Z∠ϕ = (Z,ϕ). 
 
Conversão Forma Polar/Forma Retangular. 
 
 Dado um número complexo na forma polar Ż = Z∠ϕ, podemos transformá-lo na forma 
retangular aplicando as relações trigonométricas de um triângulo retângulo: 
 
ϕ⋅=∴=ϕ⇒=ϕ cosZR 
Z
Rcos 
hipotenusa
adjacente cateto
cos 
 
ϕ⋅=∴=ϕ⇒=ϕ senZ X 
Z
Xsen 
hipotenusa
oposto cateto
sen 
 
Conversão Forma Retangular/Forma Polar. 
 
Dado um número complexo na forma retangular Ż = R + jX, podemos transformá-lo na 
forma polar também aplicando as propriedades do triângulo retângulo. O módulo pode ser calculado 
através da expressão matemática: 
22222222 XRZ (X)(R)(Z) oposto) (catetoadjacente) (catetoa)(hipotenus +=∴+=⇒+= 
e o ângulo através da expressão que relaciona a tangente de ϕ, ou seja: 
 
R
Xarctg 
R
Xtag 
adjacente cateto
oposto cateto
tag =ϕ∴=ϕ⇒=ϕ 
 10 
OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 Pode-se realizar operações matemáticas com qualquer tipo de representação de números 
complexos. Porém, em determinadas operações os cálculos se tornam mais simples para uma 
determinada forma de representação em comparação com as outras. Por exemplo, é mais simples 
utilizar a forma retangular para as operações de soma e subtração e a forma polar para as operações 
de multiplicação e divisão. 
 Para operações de soma ou subtração de números complexos que estão na forma retangular, 
basta somar (ou subtrair), separadamente, as partes reais e as partes imaginárias, como mostra os 
exemplos abaixo: 
 
)Xj(X)R(RZZZZ
jXRZ
jXRZ
212121
222
111 +++=⇒+=⇒
+=
+= 


 
 
)Xj(X)R(RZ)Z(ZZZZZ
jXRZ
jXRZ
21212121
222
111 −+−=⇒−+=⇒−=⇒
+=
+= 


 
 
 Para as operações de multiplicação e divisão é mais conveniente utilizar a forma polar, onde 
no caso de uma multiplicação, multiplica-se os módulos e soma-se os ângulos e para a divisão 
dividi-se os módulos e subtrai-se os ângulos, como mostram os exemplos abaixo: 
 
)(ZZZZZZ
Z
Z
212121
222
111 θ+θ∠∗=⇒∗=⇒
θ∠=
θ∠= 


Z
Z 
 
)-(Z
Z
Z
Z
Z
Z
21
2
1
2
1
222
111 θθ∠=⇒=⇒
θ∠=
θ∠=
Z
Z
Z
Z 





 
 
 
Observação: Como mostra a tabela, as Leis de Ohm, de Kirchhoff, às relações de 
associações de resistores e de divisores de tensão e corrente continuam valendo para circuitos com 
corrente alternada. A única mudança é que neste caso, deve-se considerar o sinal com o seu módulo 
e a sua fase. 
 
 
 11 
Tabela 1 - Comparativo entre circuitos CC e CA 
Relação Circuito CC Circuito CA 
Lei de Ohm 
I
VR = 
I
VZ


 = 
Lei Kirchhoff para as correntes 
A soma algébrica das 
correntes em um nó é igual a 
zero. 
A soma algébrica das 
correntes complexas em um 
nó é igual a zero. 
Lei Kirchhoff para tensões A soma das tensões em uma malhada fechada é zero. 
A soma das tensões 
complexas em uma malha 
fechada é zero. 
Associação série Req = R1 + R2 + … +Rn Ż eq = Ż 1 + Ż 2 + … + Ż n 
Associação paralela 
n21eq R
1
R
1
R
1
R
1
+++=  
n21eq Z
1
Z
1
Z
1
Z
1



+++= 
Divisores de tensão 
 
Divisores de corrente 
 
 
 
 
 12 
CÁLCULO VALOR EFICAZ 
 
 
 
 
VER: https://www.youtube.com/watch?v=efKo595btKY