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ESTATÍSTICA
Jamur Silveira
Cálculo de probabilidade
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Diferenciar eventos mutuamente excludentes de eventos comple- 
mentares.
 � Distinguir eventos independentes de eventos dependentes.
 � Realizar cálculos simples de probabilidade.
Introdução
Neste texto, você vai estudar um dos conceitos mais importantes da 
estatística: a probabilidade. A partir dele, você terá informações adicionais 
da situação que está analisando e, com isso, mais êxito na tomada de 
decisões. 
Probabilidade
A teoria das probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e 
pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.
Há certos fenômenos (ou experimentos) que, embora sejam repetidos muitas 
vezes e sob condições idênticas, não apresentam os mesmos resultados. Por 
exemplo, no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível, 
não se pode determiná-lo antes de ser realizado e não podemos prever, mas 
podemos saber quais são os possíveis resultados. Aos fenômenos (ou expe-
rimentos) desse tipo damos o nome de fenômenos aleatórios (ou casuais).
Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é 
que buscamos os resultados prováveis, as chances e as probabilidades de um 
determinado resultado ocorrer.
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Segundo Mann, a probabilidade corresponde à medida numérica da possibilidade de 
que um determinado evento venha a ocorrer.
Espaço amostral
Em um experimento (ou fenômeno) aleatório, o conjunto formado por todos 
os resultados possíveis é chamado espaço amostral, que vamos indicar por 
U ou Ω.
Veja os seguintes exemplos.
 � Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima: U = {cara, 
coroa}.
 � Lançar um dado e observar a face voltada para cima: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento
Chama-se evento todo subconjunto de um espaço amostral, ou seja, os resul-
tados que poderão ocorrer em um determinado fenômeno. Resultados esses 
que queremos que aconteçam ou não.
No lançamento de um dado, por exemplo, em relação à face voltada para 
cima, podemos ter os seguintes eventos.
 � O número é par: {2, 4, 6}.
 � O número é menor que 5: U = {1, 2, 3, 4}.
 � O número é 8: {}.
Cálculo de probabilidade2
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma bola ao acaso e se 
observa o número indicado. Descrever de forma explícita os seguintes conjuntos e 
dar o número de elementos de cada um:
a) o espaço amostral U.
b) o evento A: o número da bola é ímpar.
c) o evento B: o número da bola é múltiplo de 3.
Solução:
a) O conjunto de todos os resultados possíveis é representado pelo seguinte espaço 
amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. O número de elementos desse conjunto é n(U) = 10.
b) Se o número da bola é ímpar, temos o evento: A = {1, 3, 5, 7, 9}. O número de 
elementos desse conjunto é n(A) = 5.
Se o número da bola é múltiplo de 3, temos o evento: B = {3, 6, 9}. O número de 
elementos desse conjunto é n(B) = 3.
Eventos mutuamente excludentes e eventos 
complementares
Eventos que não podem ocorrer conjuntamente são conhecidos com eventos 
mutuamente excludentes (também chamados de eventos mutuamente exclu-
sivos). Caso dois ou mais eventos sejam mutuamente excludentes, no máximo 
um deles irá ocorrer a cada vez que repetirmos o experimento. Por conseguinte, 
a ocorrência de um evento exclui a ocorrência do outro, ou de outros eventos.
Considerando, por exemplo, dois lançamentos de uma moeda, esse expe-
rimento tem quatro resultados possíveis: cara/cara, cara/coroa, coroa/cara, 
coroa/coroa. Esses resultados são mutuamente excludentes, uma vez que um, 
e somente um, deles irá ocorrer ao lançarmos a moeda duas vezes.
Chama-se evento complementar de um evento A e é representado por Ā 
o conjunto formado por todos os elementos do espaço amostral U que não 
pertencem ao evento A.
No lançamento de um dado, temos o seu espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 
5, 6}. Considere os eventos a seguir.
 � O evento A: o número obtido é menor que 3.
 � O evento Ā: o número obtido é maior ou igual a 3.
3Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Observe que os eventos A = {1, 2} e Ā = {3, 4, 5, 6}. Estes são complemen-
tares, pois, A ∩ Ā = { } e A Ā = U, a interseção (o que há de comum entre os 
conjuntos) entre os dois conjuntos resulta em um resultado vazio, visto que 
os dois conjuntos não possuem resultados em comum, e a união (unir todos 
os elementos dos conjuntos envolvidos) entre os dois conjuntos resulta no 
conjunto espaço amostral U.
Eventos independentes e eventos dependentes
Dois eventos são independentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um 
evento não tem efeito algum na probabilidade de ocorrência do outro evento. 
Dois eventos são dependentes quando a ocorrência ou a não ocorrência de um 
evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento.
Os eventos independentes e dependentes são chamados de com e sem 
reposição, respectivamente.
Com reposição significa o retorno do evento sorteado ao seu conjunto de 
origem. É isso que mantém a probabilidade de sorteio constante, portanto, 
não se altera a probabilidade de sorteio do evento seguinte.
Sem reposição significa o não retorno do evento sorteado ou do seu con-
junto de origem, alterando a probabilidade de sorteio do evento seguinte.
Exemplo de evento independente:
Dois lançamentos sucessivos de uma moeda não viciada são considerados 
como eventos independentes, uma vez que o resultado do primeiro lançamento 
não tem efeito algum nas probabilidades de ocorrer uma cara ou uma coroa 
no segundo lançamento.
Exemplo de evento dependente:
A retirada de duas bolas, sem reposição, de uma urna contendo 20 bolas 
numeradas de 1 a 20 são dependentes, pois as probabilidades do resultado 
da retirada da segunda bola estão diretamente ligadas a retirada da primeira 
bola. Especificamente, se na primeira bola retirada saiu a de número 10, e 
se não houver reposição, com certeza não existirá a probabilidade de que, na 
segunda retirada, a bola 10 apareça, pois esta não se encontra mais na urna, ou 
seja, a primeira retirada afetou completamente as probabilidades de retirada 
da segunda bola.
Cálculo de probabilidade4
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Todo experimento que tiver dois ou mais eventos e aparecer no enunciado as palavras 
com reposição ou sem reposição, automaticamente já saberemos se são indepen-
dentes (com reposição) ou dependentes (sem reposição). 
Cálculo de probabilidade
Como se calcular questões e/ou experimentos de probabilidade? Considere 
uma área muito visitada no Museu de Animais. Em um recipiente, existem 
12 aranhas, das quais 8 são fêmeas. A probabilidade de se retirar uma aranha 
macho para um experimento é de?
No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um 
número maior do que 4?
Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando-se uma 
bola, ao acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número da 
bola sorteada seja divisível por 3?
Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade de 
que a soma dos valores sorteados seja igual a 5?
Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de 
ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três de ouro. 
Ela guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua pequena caixa de 
joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, 
Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de joias. Ela vê, 
então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais informações, 
a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja uma das 
pulseiras que ganhou de João é igual a?
Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes são 
brancas. Qual a probabilidade de, ao retirarduas bolas sucessivamente, sem 
reposição, obtermos a 1ª vermelha e a 2ª branca?
Para se calcular as probabilidades de ocorrer determinado evento, como os 
casos apresentados acima, além dos conceitos de espaço amostral, eventos e 
tipos de eventos, apresentados neste capítulo anteriormente, foi preciso saber 
diferenciar os tipos de probabilidade, que veremos adiante: probabilidade 
de um evento em um espaço amostral finito; probabilidade condicional; e 
probabilidades de eventos independentes. Além de sabermos apresentar os 
5Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
cálculos de probabilidade nas 3 maneiras diferentes de apresentação: valor 
fracionário, valor numérico e valor percentual.
Resultados da probabilidade
Como citado anteriormente, podemos apresentar os resultados obtidos nos 
cálculos de probabilidade de três maneiras diferentes.
 � Valor fracionário: quando se faz um cálculo de probabilidade, como 
veremos adiante, o primeiro resultado obtido é o fracionário, em que 
temos um número que fica na parte superior da fração, chamado de 
numerador, e outro valor, na parte inferior da mesma fração, chamado 
de denominador (a/b). 
1. Exemplo: 2
5
.
 � Valor numérico: quando acharmos o valor fracionário e realizarmos 
a divisão proposta, ou seja, o numerador (em cima) dividido pelo de-
nominador (embaixo) obterá um resultado, que chamaremos de valor 
numérico. É o resultado da divisão do valor fracionário. 
2. Exemplo: 25 = 0,40 .
 � Valor percentual: ao chegarmos ao valor numérico, podemos trans-
formar qualquer um deles em valor percentual, apenas multiplicando 
o valor por 100 (cem) e após colocar o símbolo de porcentagem (%). 
3. Exemplo: 0,40 × 100 = 40% (quarenta por cento).
Os resultados podem ser apresentados em qualquer uma das três maneiras, 
isso vai depender do que for pedido no enunciado de algum problema/questão/
experimento.
Probabilidade de um evento em 
um espaço amostral finito
A probabilidade de um evento em um espaço amostral finito também é co-
nhecida como probabilidade clássica. A regra da probabilidade clássica é 
aplicada para se calcularem as probabilidades de eventos a um experimento 
para o qual os resultados sejam igualmente possíveis.
Dado um experimento aleatório, sendo U o seu espaço amostral, vamos 
admitir que todos os elementos de U tenham a mesma chance de acontecer.
Cálculo de probabilidade6
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Chamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que: 
P(A) = n(A)n(U)
, em que: n(A) é o número de elementos do conjunto A e n(U) 
é o número de elementos do conjunto U.
Em outras palavras:
P(A) =
número de casos favoráveis
número total de casos possíveis
Todas as possíveis respostas favoráveis (eventos) são divididas por todas 
de respostas possíveis (espaço amostral).
Encontre a probabilidade de se obter um número par em um lançamento de um dado.
Solução: 
Esse experimento tem um total de seis resultados: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Todos estes são 
igualmente possíveis. Considere A um evento em que um número par seja observado 
no dado. O evento A inclui três resultados possíveis: 2, 4 e 6, ou seja,
A = {2, 4, 6}
Caso qualquer um desses três números seja obtido, considera-se que o evento A 
tenha ocorrido. Assim sendo,
P(A) = número de casos favoráveis
número total de casos possíveis
P(A) = 36 . Simplificando, ou seja, dividindo o numerador e o denominador pelo 
mesmo valor, neste caso, dividindo os dois valores por 3, obtemos: 1
2
 (valor fracionário).
Se dividirmos o valor fracionário 1
2
, ou seja, 1 ÷ 2 = 0,50 (valor numérico).
E se multiplicarmos por 100 esse valor numérico, iremos obter o valor fracionário: 
0,50 x 100 = 50% (cinquenta por cento).
Resumindo: qualquer uma das 3 respostas são iguais (válidas) e podem ser 
apresentadas.
1
2
 = 0,50 = 50%
Interpretando o resultado obtido:
1
2
 – a cada 2 vezes que o dado for jogado, temos a probabilidade de 1 dessas 
jogadas ser o valor par.
0,5 – a probabilidade de acontecer um evento é exatamente a metade, ou seja, 
cada vez que se joga 2 vezes o dado, a probabilidade é que a metade das vezes (0,5) 
aconteça de sair o valor par.
50% – a probabilidade de acontecer o evento favorável, no caso números pares, é 
de exatamente 50% a cada 2 vezes que for jogado o dado.
7Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Os valores do espaço amostral: no exemplo acima, foi jogado apenas um dado. Como 
ficaria o valor do espaço amostral se jogássemos, ao mesmo tempo, 2, 3 ou mais dados?
Ao jogarmos 1 dado, chegamos a conclusão de que teremos 6 possíveis respostas, 
todas as mesmas possibilidades. Mas, ao jogarmos 2 dados ao mesmo tempo, esse 
valor não será o mesmo. Vamos pensar um pouco e verificar as possíveis respostas: (1, 
1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), 
(3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 
2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) e (6, 6). Isso totaliza 36 possíveis respostas, mas podemos chegar 
a esse valor de uma maneira muito mais rápida, utilizando a seguinte operação: 6n. 
n é a quantidade de dados que estão sendo utilizados.
Dois dados: 62 = 6 × 6 = 36.
Três dados: 63 = 6 × 6 × 6 = 216.
E assim por diante.
No início do texto referente ao título Cálculo de probabilidade, apresentamos 
várias questões sobre probabilidade. Vamos aproveitar agora que aprendemos 
a calcular a probabilidade de um evento em um espaço amostral finito (pro-
babilidade clássica) e resolvermos estas:
1. Considere uma área muito visitada do Museu de Animais. Em um 
recipiente existem 12 aranhas, das quais 8 são fêmeas. A probabilidade 
de se retirar uma aranha macho para um experimento é de quanto?
Solução: 
No total, existem 12 aranhas no recipiente e todas elas possuem a mesma 
possibilidade de serem sorteadas (espaço amostral) e queremos sortear aranhas-
-macho. Se o problema apresenta que 8 das aranhas são fêmeas, então 4 são 
machos (evento). 
Colocando os valores na fórmula:
P(A) =
número de casos favoráveis
número total de casos possíveis
P(A) =
4
12
P(A) = 13 (valor fracionário, que significa que a cada 3 aranhas retiradas, 
temos a probabilidade 1 delas ser macho).
Cálculo de probabilidade8
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Ou P(A) = 13 = 0,333 ... (valor numérico).
Ou P(A) = 0,333... x 100 = 33,33% (valor percentual).
2. No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um 
número maior do que 4?
Solução: 
Um dado possui 6 faces numeradas, ou seja, os números 1, 2, 3, 4, 5 e 6 
possuem as mesmas possibilidades, ao jogarmos o dado, da face desse número 
cair voltada para cima (espaço amostral). O problema pede a probabilidade de 
sair a face para cima de um número maior do que 4. Temos como possíveis 
respostas os números 5 e 6 (evento). 
Colocando na fórmula:
P(A) = 2
6
, simplificando (dividindo os dois valores por 2), obtemos o valor 
final de 1
3
.
Ou P(A) = 1
3
= 0,333 ... (valor numérico).
Ou P(A) = 0,333... x 100 = 33,33% (valor percentual).
3. Em uma urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20. Sorteando uma 
bola, ao acaso, qual é a probabilidade, em porcentagem, de que o número 
da bola sorteada seja divisível por 3?
Solução: 
Na urna existem 20 bolas numeradas de 1 a 20, em que todas possuem a 
mesma possibilidade de serem retiradas (espaço amostral). O problema quer 
calcular a probabilidade de se retirar uma bola, cujo número seja divisível por 
3. Esses números são: 3, 6, 9, 12, 15 e 18, ou seja, temos 6 possíveis números 
que são favoráveis ao que o problema está solicitando (evento). 
Colocando na fórmula:
P(A) = 6
20, simplificando, fica como resultado final 
3
10 (a cada 10 retiradas 
de bolas, temos a probabilidade de 3 delas serem divisíveis por 3).
Ou P(A) = 3
10
= 0,3 (valor numérico).Ou P(A) = 0,3 x 100 = 30% (valor percentual).
9Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
4. Considere o lançamento de três dados comuns. Qual é a probabilidade 
de que a soma dos valores sorteados seja igual a 5?
Solução: 
Em primeiro lugar, precisamos calcular o valor do espaço amostral e da 
quantidade de possíveis respostas. Utilizando a operação que foi citada no 
Fique Atento acima, como estamos jogando 3 dados ao mesmo tempo, vamos 
utilizar a operação: 6n.
63 = 216 possíveis respostas.
O problema está solicitando as respostas em que a soma de todos os dados 
ao mesmo tempo sejam 5. Vamos achar essas possíveis respostas: (1, 1, 3), (1, 
3, 1), (3, 1, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2) e (2, 2, 1), totalizando 6 possíveis respostas 
favoráveis. 
Colocando na fórmula:
P(A) = 6216. Simplificando, ou seja, dividindo os dois valores por 6, chega-
mos ao valor final 1
36
 (valor fracionário). A cada 36 vezes que jogarmos os 3 
dados ao mesmo tempo, 1 das jogadas dará como soma de todos os números 
o valor 5.
Ou P(A) = 136 = 0,02777 ...
Ou P(A) = 0,02777... x 100 = 2,77% (valor percentual).
Probabilidade condicional
Se a probabilidade de ocorrência de um evento B interfere na probabilidade 
de ocorrência de um evento A, então dizemos que a probabilidade de A está 
condicionada à probabilidade de B e representamos por P(A/B). Lê-se: pro-
babilidade de A dado B.
A/B significa a ocorrência do evento A sabendo que o evento B já ocorreu 
ou que a ocorrência de B esteja garantida (os eventos A e B são dependentes).
P(A/B) =
n(A ∩ B)
n(B)
Cálculo de probabilidade10
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Para se calcular uma probabilidade condicional, no denominador se coloca o total de 
possíveis respostas da condição e, no denominador, coloque a quantidade de possíveis 
respostas favoráveis (eventos) dentro da condição.
Uma concessionária A tem em seu estoque 25 carros de um modelo B. O quadro a 
seguir divide os 25 carros disponíveis em tipo de motor e cor.
Motor
Cor
Branca Preta Prata Vermelha
1.0 2 2 5 1
1.6 1 1 4 1
2.0 2 2 3 1
Um carro do modelo B foi comprado nessa concessionária. Dado que esse carro é 
de cor prata, qual a probabilidade que seu motor seja 1.0?
Solução: 
Esse problema de probabilidade é um caso de probabilidade condicional, pois 
o cálculo está condicionado à informação de que já sabemos que o carro é prata 
(condição). Utilizando a fórmula da probabilidade condicional:
P(A/B) = n(A ∩ B)
n(B)
No denominador colocamos a quantidade de possíveis respostas da condição (cor 
prata), conforme tabela. Verificou-se que a concessionária possui 12 carros pratas.
Na parte superior, no numerador, colocamos as possibilidades de respostas favoráveis 
(motor 1.0) dentro dos carros de cor prata: 5 carros com motor 1.0 e que são de cor prata.
P(A/B) = 5
12
 (valor fracionário).
P(A/B) = 5
12 = 0,4166...
(valor numérico).
P(A/B) = 0,4166... x 100 = 41,66% (valor percentual).
11Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Resolvendo o problema citado anteriormente:
 � Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco 
de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e 
três de ouro. Ela guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em 
sua pequena caixa de joias. Uma noite, arrumando-se apressadamente 
para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de 
sua pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de 
prata. Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a 
pulseira de prata que Maria retirou seja uma das pulseiras que ganhou 
de João é igual a?
Solução: 
Verificamos que a condição é ser uma pulseira de prata, por isso, precisamos 
saber o total de pulseiras de prata que Maria ganhou: 12. 
Ela que saber a probabilidade de que essa pulseira que ela está pegando 
no escuro tenha sido dada de presente pelo João. Então, precisamos verificar 
quantas pulseiras de prata João deu de presente: 4. 
Utilizando a fórmula:
P(A/B) =
n(A ∩ B)
n(B)
P(A/B) = 4
12
. Simplificando, 1/3 (valor fracionário).
P(A/B) = 13 = 0,3333 ... (valor numérico).
P(A/B) = 0,3333... × 100 = 33,33%.
Probabilidade de eventos independentes
Dois eventos, A e B, são chamados independentes quando a probabilidade 
de ocorrência de um deles não interfere na probabilidade de ocorrência do 
outro, ou seja:
P(B/A) = P(B) ou P(A/B) = P(A)
Se A e B são eventos independentes, então a probabilidade de ocorrência 
de A e B será:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Cálculo de probabilidade12
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
No caso da probabilidade de eventos independentes, calcula-se cada evento se-
paradamente e após obter todas as respostas, faz-se a multiplicação entre todas as 
probabilidades de cada evento (resultados). 
De acordo com os cálculos de sinistro de uma determinada seguradora, o cliente 
Antonio tem uma probabilidade de sinistro para o ano de vigência de seu seguro 
de 22%. Já a cliente Maria tem uma probabilidade de sinistro de 10% para o ano de 
vigência de seu seguro. 
Qual seria a probabilidade de ambos terem um sinistro durante a vigência de seu 
seguro? Como temos duas apólices distintas de pessoas que provavelmente nem se 
conheçam, temos eventos independentes.
P (Antonio ter sinistro) = 0,22 
P (Maria ter sinistro) = 0,10 
P (ambos com sinistro) = P (Antonio ter sinistro) ∩ P (Maria ter sinistro)
Por serem eventos independentes, calculamos da seguinte forma: 
P (ambos com sinistro) = 0,22 ∙ 0,10 = 0,022 ou 2,20% 
Agora, qual é a probabilidade de ambos não terem um sinistro durante a vigência de 
seu seguro? 
P (Antônio não ter sinistro) = 1 – 0,22 = 0,78 
P (Maria não ter sinistro) = 1 – 0,10 = 0,90 
P (nenhum com sinistro) = P (Antonio não ter sinistro) ∩ P (Maria não ter sinistro) 
Por serem eventos independentes calculamos da seguinte forma: 
P (nenhum com sinistro) = 0,78 ∙ 0,90 = 0,7020 ou 70,20%
13Cálculo de probabilidade
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
Resolvendo o problema citado anteriormente:
 � Uma urna contém 8 bolas, das quais três são vermelhas e as restantes 
são brancas. Qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas, suces-
sivamente, sem reposição, sendo a 1ª vermelha e a 2ª branca?
Solução: 
Calculando a probabilidade de ocorrer o primeiro evento, em que dentro 
da urna há 8 bolas (espaço amostral) e queremos sortear uma bola vermelha, 
tendo, dentro da urna, um total de 3 dessa cor (evento): 
P(A) = 38
Calculando a probabilidade de ocorrer o segundo evento, e sabendo que 
não houve reposição, dentro da urna há 7 bolas (espaço amostral), e queremos 
sortear, desta vez, uma bola branca, sabendo que, dentro dessa urna, há um 
total de 5 bolas dessa cor (evento):
P(B) = 57
Calculando a probabilidade de que os eventos ocorram como fora solicitado, 
utilizaremos a fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 3
8
5
7
× =
15
56
P(A ∩ B) = 15
56
= 0,2678 ... (valor numérico).
P(A∩B) = 0,2678... × 100 = 26,78% (valor percentual).
Cálculo de probabilidade14
Identificação interna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística aplicada à administração 
e economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
BARBETTA, P. A.; REIS, M. M.; BORNIA, A. C. Estatística: para cursos de engenharia e 
informática. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
MANN, P. S. Introdução à estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.
SILVEIRA, J. F. Raciocínio lógico matemático: curso completo preparatório para con-
cursos. [2015?]. Disponível em: <http://www.professorjamur.com.br/downloads/
APOSTILA%20-%20RACIOC%C3%8DNIO%20L%C3%93GICO%20-%20PROF.%20JAMUR.
pdf>. Acesso em: 19 ago. 2017.
Leituras recomendadas
15Cálculo de probabilidade
Identificaçãointerna do documento PYDB0XJZAK-D1SFU31
ESTATÍSTICA
Juliane Silveira Freire da Silva
Distribuições discretas 
de probabilidade: 
binomial e de Poisson
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir as distribuições de probabilidade.
 � Reconhecer as distribuições discretas de probabilidade.
 � Calcular probabilidades utilizando os métodos binomial e de Poisson.
Introdução
Neste capítulo, você entenderá o que são distribuições de probabilida-
des, conhecerá as distribuições discretas de probabilidade e aprenderá 
a calcular probabilidades utilizando os métodos binomial e de Poisson. 
Distribuições de probabilidade 
Assim como as variáveis quantitativas discretas e quantitativas contínuas, 
também existem as distribuições de probabilidade discretas e distribuições 
de probabilidade contínuas.
A lógica de entendimento é a mesma: assim como a variável quantitativa 
discreta resulta de uma contagem, a distribuição de probabilidade discreta tem 
seu espaço amostral com resultados possíveis que resultam de uma contagem.
A variável quantitativa contínua resulta de uma medição, e a distribuição 
de probabilidade contínua tem, em seu espaço amostral, medidas que resultam 
de alguma medição em um espaço contínuo.
As distribuições de probabilidade são descritas por uma variável aleatória X, 
que é uma função que, a cada valor do espaço amostral, associa um número real.
Experimento é tudo que possa ser reproduzido n vezes sob as mesmas condições e 
será aleatório quando não pudermos prever o resultado, apenas saber de antemão 
todos os resultados possíveis. Espaço amostral são todos os resultados possíveis de 
um experimento.
Variável aleatória discreta
Uma variável aleatória X é dita discreta quando puder assumir apenas valores 
inteiros ao longo de uma escala. Se, para cada um dos valores da variável 
aleatória discreta, teremos a sua probabilidade definida por:
f(x) = P(X = x)
onde:
f(x) função matemática de x;
P(X = x) probabilidade da variável aleatória X em determinado ponto da 
escala x.
Como estamos lidando com um valor discreto do espaço amostral da 
variável em estudo, para , teremos apenas valores inteiros. 
A função de probabilidade da variável aleatória discreta também é chamada 
função massa de probabilidade (fmp) e satisfaz os seguintes pressupostos:
 � 0 ≤ f(x) ≤ 1
 � ∑ f(xi) = 1
Por exemplo, uma moeda equilibrada é lançada duas vezes. A variável X 
é o número de caras nesses lançamentos. O espaço amostral é descrito por:
C = coroa
K = cara
Ω = (CC, CK, KC, KK)
X = 0 → f(0) = P(CC) = 14
Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson2
X = 1 → f(1) = P(CK ∙ KC) = 2
4
X = 2 → f(2) = P(KK) = 14
x 0 1 2
f(x) ¼ 2/4 ¼
Variável aleatória contínua
Uma variável aleatória é dita contínua quando X puder assumir qualquer valor 
do intervalo do espaço amostral. Diferentemente das funções discretas de 
probabilidade, em que podemos calcular os valores no ponto em que a variável 
X assume nas distribuições continuas. Como a função f(x) será contínua, nesse 
caso, calculamos a probabilidade de intervalos para a variável X, pois, mate-
maticamente, quando temos uma função contínua, precisamos calcular áreas 
abaixo da curva para chegarmos às probabilidades associadas à variável X.
Vamos a um exemplo de variável contínua: seja X o tempo médio de vida 
útil de uma lâmpada. O espaço amostral pode ir de um tempo 0 até um tempo 
que pode tender ao infinito. Para calcularmos a probabilidade, precisaríamos 
de intervalos, como a duração de uma lâmpada em um tempo superior a 3000 
horas. Esse espaço amostral e a probabilidade seriam representados por:
Ω = (t∈R, 0, +∞)
f(x > 3000) = P(X > 3000)
Um exemplo de distribuição contínua de probabilidade é a distribuição 
normal, a mais importante dentro da estatística.
Distribuições discretas de probabilidade
Muitas vezes, ficar pensando em espaço amostral e todas as possibilidades 
de funções pode ser complicado e desnecessário. Por esse motivo, algumas 
distribuições foram criadas por sua frequência de uso e seu uso ser útil em 
variáveis com comportamentos similares e predefinidos. Essas distribuições 
têm funções matemáticas predefinidas.
3Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson
Existem várias distribuições discretas de probabilidade: a uniforme, a 
geométrica, a binomial, a de Poisson, entre outras.
Aqui, trataremos das duas distribuições mais usuais, devido à sua aplicação 
com dados de variáveis aleatórias discretas: a distribuição binomial e a de 
Poisson.
Distribuição binomial
A distribuição binomial é utilizada quando temos um número de repetições de 
um experimento, uma probabilidade de sucesso associada ao acontecimento 
positivo do que estamos estudando e uma probabilidade de fracasso sobre 
esse mesmo evento.
São situações em que pode haver sucesso ou não, e nenhuma outra hipótese 
é permitida como o número de caras em 50 lançamentos de uma moeda.
Então, temos um experimento com espaço amostral associado , além de 
repetições desse experimento. Temos, também, p probabilidade de um evento 
desse espaço amostral ocorrer em cada uma das repetições do experimento. 
Na distribuição binomial, o evento ocorre ou não — temos somente essas 
duas opções. Então, se temos uma probabilidade p desse evento ocorrer, temos 
uma probabilidade q = 1 – p desse evento não ocorrer.
Costuma-se denominar como p sendo a probabilidade de sucesso e q como 
sendo a probabilidade de fracasso. Vale ressaltar que, dependendo do evento 
que estejamos estudando, o sucesso não necessariamente seja uma afirmativa 
positiva. Quando utilizamos o termo sucesso, estamos dizendo que é a probabi-
lidade de sucesso de ocorrer o evento em particular que estamos investigando, 
independentemente de ele ter um resultado considerado positivo ou não. 
A forma da distribuição binomial é demonstrada no gráfico da Figura 1, a 
seguir, considerando 60 repetições de um experimento e uma probabilidade 
de sucesso de 15%. Anotamos uma distribuição binomial por B(n,p), no caso 
do gráfico B(20;0,15).
Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson4
Figura 1. Comportamento distribuição B(60;0,15).
A fórmula da função matemática para cálculo de uma distribuição binomial 
é dada por:
f(x) = P(X = x) = · px · qn-x
n
x( (
onde: 
x é o valor do espaço amostral que se quer calcular a probabilidade;
n é o número de repetições;
p é a probabilidade de sucesso;
q = 1 – p é a probabilidade de fracasso.
Observe que, na fórmula, temos o termo 
n
x( ) Isso é resolvido por análise combinatória 
e significa n combinação x, ou seja: n
x( ) =
n!
x!. (n – x)!
 em que o ponto de exclamação 
significa fatorial.
Em algumas calculadoras científicas, a tecla para a resolução desse termo da função 
é nCr.
5Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson
Por exemplo, atualmente, sabemos que as redes sociais são utilizadas 
para comercialização de produtos. Sabe-se, por uma pesquisa realizada, que 
cerca de 15% dos itens postados são efetivamente vendidos. Primeiramente, 
queremos saber a probabilidade de, pelo menos, 2 itens serem vendidos em um 
dia que 10 itens foram postados para venda. Os valores que pode assumir são 
x = (2,3,4,5,6,7,8,9,10). Para não precisarmos calcular todas essas probabili-
dades, podemos fazer uso da propriedade do complementar e tirar do espaço 
amostral os valores que não fazem parte dessa sentença e têm probabilidade 1.
P(X ≥ 2) = 1 – P(X < 2) = 1 – (P(X = 0) + P(X = 1) =
1 – ∙ 0,150 ∙ 0,8510–0 + ∙ 0,151 ∙ 0,8510–1 = 0,4557 = 45,57%100( ) 100( )( (
A segunda questão é a probabilidade de vender um produto. Para isso, 
calculamos apenas x = 1.
P(X = 1) = ∙ 0,151 ∙ 0,8510–1 = 0,3474 = 34,74%10
1( )
Por fim, calcularemos a probabilidade de que sejam vendidos menos de 3 
produtos. Aqui, o x pode assumir os seguintes valores: x = 0,1,2.
P(X < 3) =∙ 0,150 ∙ 0,8510–0 + ∙ 0,151 ∙ 0,8510–1 + ∙ 0,152 ∙ 0,8510–2 = 0,8202 = 82,02%( )100 ( )100 ( ) )100(
P(X < 3) = ∙ 0,150 ∙ 0,8510–0 + ∙ 0,151 ∙ 0,8510–1 + ∙ 0,152 ∙ 0,8510–2 = 0,8202 = 82,02%( )100 ( )100 ( ) )100(
Distribuição de Poisson
Assim como a distribuição binomial, a de Poisson também conta sucessos. 
Porém, ao invés de eles serem observados em um número de repetições, são 
feitos em um intervalo contínuo de tempo ou espaço. O sucesso da distribui-
ção Poisson é observado em um intervalo contínuo, e o da binomial é em um 
número de repetições.
Segundo Doane e Seward (2014), a distribuição de Poisson foi assim de-
nominada em homenagem ao matemático francês Simèon Denis Poisson 
(1781-1840) e descreve o número de ocorrências de um evento dentro de uma 
unidade de tempo (por exemplo, minuto ou hora), escolhida aleatoriamente, 
ou de espaço (por exemplo, metro quadrados ou quilômetros lineares). Para se 
Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson6
usar a distribuição, os eventos devem ocorrer aleatória e independentemente 
no espaço ou em tempo contínuo.
Por exemplo, se nossa variável X fosse número de chamadas não atendidas em 
uma central telefônica, caso observássemos essa variável em um dia que ocorreram 
300 ligações, teríamos a proporção de chamadas não atendidas (nossa probabilidade 
de sucesso) em 300 repetições do experimento, o que caracterizaria uma distribuição 
binomial. Porém, se observássemos a quantidade de chamadas não atendidas em um 
turno de 8 horas de trabalho, teríamos a taxa de ocorrência por 8 horas de trabalho, 
o que caracterizaria uma distribuição de Poisson.
A distribuição de Poisson é representada por P(λ), sendo λ a taxa de ocor-
rência do evento em estudo da variável x. Para percebermos o comportamento 
da função da distribuição de Poisson, observaremos o gráfico resultante de 
uma Poisson com λ = 5. P(5), na Figura 2.
Figura 2. Comportamento distribuição P(5).
A função matemática para o cálculo dessa distribuição é dada por:
f(x) = P(X = x) = e
–λ · λx
x!
onde: 
x é o valor do espaço amostral em que se quer calcular a probabilidade;
λ é a taxa de ocorrência.
7Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson
Observe que, na fórmula, temos o termo e, que representa a constante Euler. É um 
valor constante igual a 2,718281828459045235360287..., assim como o conhecido π. 
Para calcular a expressão e-λ nas calculadoras científicas, utilizamos a tecla ex.
Relembrando: o ponto de exclamação representa o fatorial.
Imagine essa central telefônica e que a taxa de chamadas não atendidas em um turno 
de 8 horas é de 10 chamadas. Queremos investigar a probabilidade de não termos 
chamadas não atendidas em uma hora.
Observem que a taxa é dada por 8 horas, mas queremos calcular a probabilidade 
por hora. e então, a primeira coisa a se fazer é descobrir a taxa por hora de chamadas 
não atendidas. Isso se resolve com uma regra de três.
10 chamadas 8horas
 λ 1 hora
Então temos λ = 1,25.
Agora, calcularemos a probabilidade de não termos chamada não atendida. e então, 
queremos calcular a probabilidade de x = 0.
f(0) = P(X = 0) = = 0,2865 = 28,65%e
–1,25 ∙ 1,250
0!
Propriedades das distribuições binomial 
e de Poisson
Como temos modelos conhecidos, podemos verificar características de modo 
geral dessas variáveis. Podem ser calculados o valor esperado, a variância e 
o desvio-padrão dessas variáveis.
Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson8
Quando temos uma variável aleatória discreta que se aproxima de uma 
distribuição binomial, podemos calcular o valor esperado da variável x, como 
sendo:
μ = E(X) = n ∙ p
A variância dessa variável aleatória discreta sendo:
𝜎² = VAR(X) = n ∙ p ∙ q
Consequentemente, o desvio-padrão dessa variável aleatória discreta como 
sendo:
σ = √n · p · q
O mesmo pode ser feito para uma variável aleatória discreta que siga 
aproximadamente uma distribuição de Poisson. A média, ou valor esperado 
da variável aleatória x, é dada por:
μ = E(X) = λ
A variância dessa variável aleatória discreta como:
𝜎² = VAR(X) = λ
Consequentemente, o desvio-padrão dessa variável aleatória discreta sendo:
σ = √λ
DOANE, D. P.; SEWARD, L. E. Estatística aplicada à administração e economia. 4. ed. Porto 
Alegre: Bookman, 2014.
Referência
9Distribuições discretas de probabilidade: binomial e de Poisson
ESTATÍSTICA
Ana Laura Bertelli Grams
Distribuições de 
probabilidade: esperança 
matemática, variância 
e desvio-padrão
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Resolver cálculos de esperança matemática.
 � Definir medidas de dispersão.
 � Realizar cálculos de variância e desvio-padrão.
Introdução
A análise estatística e a inferência sobre populações com base em amostras 
dependem de muitas medidas para que a tomada de decisões seja a 
melhor possível. Em estatística, dizemos que, quanto mais informações 
das características da variável em estudo tivermos, mais acertada será 
nossa decisão sobre ela. Neste capítulo, você descobrirá o que significa 
esperança matemática, variância e desvio-padrão.
Esperança matemática
A inferência estatística baseia-se no estudo de dados amostrais, e a busca da 
estimativa amostral (ou do valor esperado) ocorre para podermos estimar o 
verdadeiro parâmetro populacional para a tomada de decisão. A esperança 
matemática (estimativa) estuda como prever medidas populacionais desco-
nhecidas, fundamentadas em resultados conhecidos na amostra. 
A rotina das pessoas é estabelecida pela inferência de fatos amostrais. 
Os exemplos citados por Milone (2006) revelam a naturalidade dessas apli-
cações: em dias em que o céu está recheado de nuvens escuras, inferimos a 
possibilidade de chuvas; o fato de haver muita fumaça em uma edificação 
remete a uma eventualidade de um incêndio. Esses casos são eventos prováveis, 
mas nem sempre acontecem de fato.
Na prática, há diversos fatos que buscam pela estimação e baseiam suas 
previsões, por exemplo, de vendas, de eleitores, de defeitos das peças em 
uma linha de produção, dos custos dos produtos, de dívidas, entre outros. 
Os dados descritivos amostrais são estimadores dos parâmetros populacionais. 
Por exemplo, a média amostral e a proporção amostral são consideradas esti-
mativas pontuais, quando apresentadas a partir de um único número (ponto). 
Para estudos estatísticos, utilizamos com mais frequência a estimação por 
intervalo, que fornece um intervalo de valores possíveis, admitindo uma 
margem de confiança, considerando a estimativa pontual.
Suponha que 500 pessoas são questionadas sobre seu consumo anual de carne 
vermelha, e a média amostral seja de 20 kg por pessoa, com desvio-padrão de 0,2 kg.
 � A média amostral de 20 kg é uma estimativa pontual para o consumo anual de 
carne vermelha por pessoa.
 � A média da população provavelmente está próxima de 20 kg, mas, possivelmente, 
não é exatamente igual a 20 kg.
O intervalo de confiança estima o quanto a média amostral aproxima-se da média 
populacional. 
Se o intervalo de confiança fosse 20 ± 0,08, poderíamos calcular um nível de confiança 
que define a média populacional no intervalo ]19,92; 20,08[.
Cálculo 
Seja p a probabilidade de um evento S ocorrer, a esperança matemática (E) 
é definida por:
E = p ∙ S
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão2
Em um conjunto de dados de uma variável aleatória discreta x1, x2, ..., xn, 
em que a probabilidade de cada dado é p1, p2, ..., pn, respectivamente, define-se 
esperança matemática por:
E(x) = p1 ∙ x1 + p2 ∙ x2 + ... pn ∙ xn
Ou seja,
E(x) = ∑ pi · xi
n
i = 1
Duas moedas são jogadas 14 vezes, e os resultados foram:
 � 5 jogadas sem nenhum resultado cara; 
 � 6 jogadas, sendo apenas uma moeda cara;
 � 3 jogadas, sendo as duas moedas cara.
Qual é o valor esperado de caras por lançamento?Temos que a probabilidade de nenhum resultado cara é: 5
14
, de apenas uma moeda 
ser cara: 6
14
; e de as duas moedas serem cara: 3
14
.
Assim, a esperança da variável cara ocorrer, por lançamento, é:
5
14
6
14
3
14
∙ 0 + ∙ 1 + ∙ 2 = = 0,865 ∙ 0 + 6 ∙ 1 + 3 ∙ 2
14
Medidas de dispersão
O estudo das medidas de posição é útil para fornecer boa parte das carac-
terísticas de um conjunto de dados. Contudo, existem outros parâmetros 
que complementam a caracterização dos conjuntos, principalmente quando 
estes possuem uma disparidade consideravelmente grande para uma simples 
análise por medidas de posição. Chamamos esses parâmetros de medidas de 
dispersão, e eles indicam a variabilidade da variável em torno de uma medida 
de posição — comumente, a média aritmética.
3Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão
Amplitude
A amplitude é o mesmo que a variação entre dois elementos. Em um conjunto 
de dados, a amplitude total é encontrada por meio do cálculo da diferença 
entre o limite superior e o limite inferior, conforme segue:
Ar = xmáx – xmin
onde xmáx representa o limite superior, e xmin, o limite inferior.
A amplitude é considerada uma medida instável, pois é influenciada pelas 
extremidades dos conjuntos. As próximas medidas não possuem essa caracte-
rística, já que consideram todos os valores sob análise, sendo, assim, medidas 
mais utilizadas e com índices de variabilidade estáveis.
Desvio médio
O desvio médio é uma medida de dispersão, pela qual temos a média dos des-
vios em relação a uma medida de posição, podendo ser a média das diferenças 
absolutas entre cada elemento do conjunto e a média aritmética. A seguinte 
expressão representa o desvio médio da população:
D– m = 
∑|x – μ|
N
onde x representa cada elemento do conjunto de dados, μ, a média da 
população, e N, a quantidade de desvios. Contudo, os dados analisados, na 
maioria dos estudos estatísticos, referem-se a uma amostra. Assim, para o 
cálculo do desvio médio amostral, utiliza-se a seguinte expressão, a qual 
fornece uma estimativa sem tendenciosidade do desvio médio da população.
d
–
m =
∑|x – x–|
n – 1
onde x representa cada elemento do conjunto de dados, x–, a média da 
população, e n, a quantidade de elementos na amostra.
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão4
Perceba que o desvio médio é uma medida não negativa. Por isso, calcula-se o módulo 
(valor absoluto) de cada desvio, pois entre cada uma das diferenças (de cada um dos 
valores com relação à média) pode-se ter valores positivos ou negativos. Ao se aplicar 
o módulo, elimina-se esse sinal.
Variância
A variância da população baseia-se no desvio médio. Para seu cálculo, os 
desvios em torno da média do conjunto são elevados ao quadrado. Sendo assim:
σ2 = 
∑(xi – μ)
2
N
Em que xi representa cada elemento, μ, a média da população, e N, a quan-
tidade de observações. A mesma explicação dada no cálculo do desvio médio 
vale para a variância, de modo que a variância de uma amostral é dada por:
s2 =
∑(xi – x
–)2
n – 1
onde 𝜎² é o valor numérico da variância, xi, representa cada elemento, x
–, 
a média aritmética amostral, e n, o tamanho da amostra.
Uma interpretação razoável do valor numérico da variância é dada por 
Anderson et al. (2006), quando sugere que a variância seja considerada como 
uma medida útil ao comparar a variabilidade entre variáveis, de modo que, 
em uma comparação de variáveis, aquela que tem a maior variância exibe 
maior variabilidade.
Desvio-padrão
A medida de dispersão, chamada desvio-padrão, é definida como a raiz qua-
drada positiva da variância, simplesmente denotada por σ = √σ2, desvio-padrão 
da população.
5Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão
O interesse em calcular e considerar o desvio-padrão como uma medida 
útil na análise estatística é que a variância se restringe a uma análise das 
unidades elevadas ao quadrado — por exemplo, a variância de medidas de 
comprimento é dada em medidas de área, enquanto que o desvio-padrão é 
medido nas mesmas unidades que os dados originais. Sendo assim, é facilmente 
comparado a outras medidas de posição ou outros dados estatísticos.
Há, ainda, uma descrição de dados muito utilizada e derivada do desvio-padrão: o 
coeficiente de variação. Este é utilizado quando queremos comprar dois ou mais 
grupos de dados quanto à sua variabilidade e temos médias aritméticas distintas. 
Quanto menor for o coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados.
Para casos com coeficiente de variação muito elevado, a média nem sempre será a 
medida de posição mais apropriada para resumir a variável. O coeficiente de variação 
é calculado em situações em que é preciso indicar o “tamanho” de , em relação à 
média aritmética. 
Ele é expresso em porcentagem, a partir de σ
x–
∙ 100 % .
Cálculos de variância e desvio-padrão 
A aplicação das expressões matemáticas indicadas anteriormente será mostrada 
aqui, a partir de alguns exemplos de cálculos de cada medida de dispersão.
A resistência é uma característica importante para analisar materiais pré-fabricados. 
Cada um dos 8 elementos de placas pré-fabricadas de concreto foi submetido a um 
teste de tensão, e a largura máxima (mm) das trincas resultantes foi registrada no 
seguinte quadro:
0,794 3,870 0,483 0,924
2,230 1,038 1,285 0,598
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão6
Qual é o desvio-padrão da largura das trincas?
Solução:
Para a resolução, utilizaremos três etapas: o cálculo da média, o cálculo da variância 
e, por fim, o desvio-padrão.
1. Cálculo da média aritmética:
x– = ∑x
n
x– = 0,794 + 3,870 + 0,483 + 0,924 + 2,230 + 1,038 + 1,285 + 0,598
8
x– = 1,4 mm
2. Cálculo da variância:
A partir da média, calculamos os desvios de cada elemento.
s2 =
∑(xi – x
–)2
n – 1
σ2 = (0,794 – 1,4)
2 + (3,87 – 1,4)2 + (0,483 – 1,4)2 + (0,924 – 1,4)2 + (2,23 – 1,4)2 + (1,038 – 1,4)2 + (1,285 – 1,4)2 + (0,598 – 1,4)2
8 – 1
s2 =
9,012
7
= 1,287 mm2
3. Cálculo do desvio-padrão:
Sendo a variância 1,287, temos que:
s = √1,287 = 1,135 mm
Qual é o desvio-padrão da vida útil (em horas) de um determinado tipo de lâmpada, 
considerando as 20 observações amostrais a seguir?
xi fi
612 4
666 3
7Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão
xi fi
744 6
883 5
964 2
Total 20
Solução:
As mesmas etapas do exemplo anterior devem ser seguidas. Entretanto, agora temos 
uma distribuição de frequências. Para o cálculo da média, será necessário multiplicarmos 
cada variável (vida útil) pela sua respectiva frequência.
1. Cálculo da média aritmética:
x– =
∑(xi · fi)
∑fi
x– =
(612 · 4) + (666 · 3) + (744 · 6) + (883 · 5) + (964 · 2)
4 + 3 + 6 + 5 + 2
x– =
15.253
20
= 762,65 h
2. Cálculo da variância:
s2 =
∑(xi – x
–)2
n – 1
σ2 = 4 · (612 – 762,65)
2 + 3 · (666 – 762,65)2 + 6 · (744 – 762,65)2 + 5 · (883 – 762,65)2 + 2 · (964 – 762,65)2
20 –1
s2 =
274.396,6
19
= 14.441,93 h2
3. Cálculo do desvio-padrão:
s = √14441,93 = 120,17 h
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão8
Os dados a seguir representam o tempo (em segundos) para carga de um aplicativo, 
num sistema compartilhado.
Classes de tempo Número de observações
[6, 7[ 14
[7, 8[ 4
[8, 9[ 7
[9, 10[ 3
[10, 11[ 0
[11, 12[ 0
[12, 13[ 2
Total 30
Determine o desvio-padrão e o coeficiente de variação dessa amostra.
Solução:
Nesse caso, temos uma distribuição de frequência em intervalos de classe. Por isso, 
precisamos encontrar o ponto médio de cada intervalo para, então, calcular a média 
e prosseguir com os cálculos das medidas de dispersão.
Classes de 
tempo
xi (ponto médio 
da classe)
Número de 
observações
[6, 7[ 6,5 14
[7, 8[ 7,5 4
[8, 9[ 8,5 7
[9, 10[ 9,5 3
[10, 11[ 10,5 0
[11, 12[ 11,5 0
[12, 13[ 12,5 2
Total 30
9Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão
ANDERSON,D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística aplicada à administração e 
economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
MILONE, G. Estatística: geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
Leitura recomendada
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson Pren-
tice Hall, 2010.
1. Cálculo da média aritmética:
x– = (6,5 · 14) + (7,5 · 4) + (8,5 · 7) + (9,5 · 3) + (10,5 · 0) + (11,5 · 0) + (12,5 · 2)
14 + 4 + 7 + 3 + 0 + 0 + 2
x– = 234
30
= 7,8 s
(Em distribuições de frequência como essas, os valores de x_i são expressos pelos 
respectivos pontos médios dos intervalos de classe).
x– = (6,5 · 14) + (7,5 · 4) + (8,5 · 7) + (9,5 · 3) + (10,5 · 0) + (11,5 · 0) + (12,5 · 2)
14 + 4 + 7 + 3 + 0 + 0 + 2
x– = 234
30
= 7,8 s
2. Cálculo da variância:
s2 =
∑(xi – x
–)2
n – 1
s2 = 14 · (6,5 – 7,8)
2 + 4 · (7,5 – 7,8)2 + 7 · (8,5 – 7,8)2 + 3 · (9,5 – 7,8)2 + 2 · (12,5 – 7,8)2
30 –1
s2 =
80,3
29 = 2,769 s
2
3. Cálculo do desvio-padrão:
s = √2,769 = 1,664 s
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão10
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