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Ciclo de Oficinas: 
Revisão de Física I 
 
Momento de Inércia 
 
Momento de Inércia de Partículas: Diferentemente dos outros conteúdos aprendidos até o 
momento, sobre movimento dos corpos, aprenderemos de maneira específica sobre como tais 
movimentos ocorrem em um caso específico chamado de movimento de rotação. 
O movimento de rotação é caracterizado por possuir um eixo de rotação fixo durante todo o 
movimento, e em todos os outros pontos o corpo gira ao seu redor. 
Mas e agora, o que de fato é o Momento de Inércia? Pois bem, foi dito que o movimento de rotação 
possui um eixo fixo não é mesmo?! Então, o momento de Inércia por ser denotado como a 
“dificuldade” que o corpo encontra para girar um torno deste eixo. Ou seja, quanto maior o Momento 
de Inércia, mais difícil será para o objeto girar ou parar de girar se já estiver fora do repouso. 
Calculo do Momento de Inércia: Para fazermos os cálculos temos de nos atentar que vão aparecer 
dois tipos de objetos pontuais, que são considerados pequenos ou extensos, e nesses casos o tamanho 
é superimportante. 
É valido lembrar que o momento de inércia será em todos os casos em relação ao eixo, nunca a 
um ponto. 
No primeiro momento vamos nos atentar aos objetos pontuais, ou seja, que podem ser considerados 
como se fossem partículas, e para efetuar os cálculos vamos analisar a rotação dessas partículas. 
Para fazer os cálculos a formula é bem simples: 
𝑰 = 𝒎𝒑𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒂 ∗ 𝒓
𝟐(1) 
 𝐼 = Momento de inércia (incógnita); 
𝑚 = massa da partícula; 
𝑟2 = Distancia da partícula ao eixo fixo. 
 
 
Em alguns casos será necessário calcular o momento de inércia de um sistema de 
partículas, e para isso usaremos a seguinte relação: 
 𝑰𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = ∑𝑰𝒑𝒂𝒓𝒕í𝒄𝒖𝒍𝒂𝒔(2) 
Vamos fazer um exemplo para melhorar o entendimento: 
 
Fonte: Responde Aí 
 
 
 
 
Neste exemplo temos duas partículas, 𝑚1 e 𝑚2, calculemos seus respectivos momentos de 
inércia por (1) e após acharemos o momento total de inércia por (2). 
 
Por (1) temos: 
𝑰𝟏 = 𝒎𝟏𝑹
𝟐
𝟏 
𝑰𝟐 = 𝒎𝟐𝑹
𝟐
𝟐 
Por (2): 
𝑰𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = 𝒎𝟏𝑹
𝟐
𝟏 + 𝒎𝟐𝑹
𝟐
𝟐 
E esta é nossa resposta final. ;) 
 
 
 
 
Calculo do Momento de Inércia em Corpos Extensos: Para entendermos melhor essa 
parte vamos imaginar um rolo de abrir massa, um cilindro, ao gira--ló em torno do eixo 
que passa pelo seu centro de massa, é possível calcular seu momento de inércia. Mas 
fiquem atentos, não é possível utilizar (1), pois o corpo agora é extenso e não pontual, ou 
seja, possui dimensões como raio e o comprimento que impede que seja considerado uma, 
partícula. 
 
 
 Fonte: Responde Aí 
 
 
 
 
 
Para fazer os cálculos basta consultar a seguinte tabela das formas mais comuns: 
 
 
 
 Fonte: Responde Aí 
 
Teorema dos Eixos Paralelos: Existirão momentos em que teremos de calcular o 
momento de inércia de um eixo que não passa pelo centro de massa, ou seja, não será 
possível utilizar as relações vistas até o momento. Mas tudo bem, é só olharmos a seguinte 
definição: 
Temos uma régua de comprimento b e largura a, e queremos calcular o momento de inércia 
do eixo que passa pela parte superior da régua, como podemos ver logo abaixo. 
 
 
A priori não sabemos calcular o momento de inércia que passa por esse eixo, porém é 
possível calcular o momento de inércia que passa pelo centro de massa. Como podemos 
observar a régua e uma barra retangular e seu momento de inércia é calculado por 𝐼 =
𝑀
12
[𝑎2 + 𝑏2], que seria o seguinte caso: 
 
Uma vez que obtemos o momento de inércia do centro de massa, é possível usar a fórmula: 
𝑰𝒇 = 𝑰𝑪𝑴 + 𝑴𝒅
𝟐 
 
 𝐼𝑓 = Momento de inércia do eixo que queremos calcular; 
 𝐼𝐶𝑀 = Momento de inércia do centro de massa; 
𝑀 = Massa do objeto; 
𝑑2 = Distância do eixo do centro de massa ao eixo que queremos calcular o momento de 
inércia. 
 
 
 
 
Lembre-se de observar sempre se os eixos são paralelos, caso não sejam não será possível 
utilizar tal teorema. 
 
 
Exercício: Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa de 
0,56 kg, em relação a um eixo perpendicular à uma régua na marca de 20 cm. (trate a régua 
como uma barra fina). 
R: No presente problema foi pedido o momento de inércia em relação a um eixo não 
passa pelo centro de massa do corpo, logo teremos de usar o teorema dos eixos paralelos. 
O enunciado nos disse para tratar a régua como uma barra fina, logo pela tabela (que 
foi colocada lá em cima), sabemos que o momento de inércia da régua com o eixo 
passando pelo seu centro de massa é 
𝑰𝟎 =
𝑴𝑳𝟐
𝟏𝟐
 
Porém nós queremos o momento de inércia em relação ao eixo que está à uma distância 
de 30 cm do centro de massa, logo teremos que 
𝒅 = 𝟎, 𝟑𝒎, 𝒎 = 𝟎, 𝟓𝟔 𝑲𝒈 e L=1m 
Aplicando o teorema, vamos ficar com: 
𝑰 =
𝟎, 𝟓𝟔. 𝟏𝟐
𝟏𝟐
+ 𝟎, 𝟓𝟔. 𝟎, 𝟑𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟕 𝑲𝒈.𝒎𝟐 
 
Torque 
Conceito de torque: Pode ser considerado como um vetor que representa a tendência que 
uma certa força tem para realizar o movimento de rotação de um eixo fixo. 
 
Fonte: propg,ufabc 
Calculo do torque: O cálculo do vetor torque, �⃑⃑� , é basicamente um produto vetorial do 
vetor 𝑟 , que é o vetor da distância do eixo ao local onde se aplica uma força com direção, 
sentido e intensidade 𝐹 . 
 
�⃑� = �⃑� × �⃑⃑� 
𝜏 = vetor torque; 
𝑟 = vetor posição da aplicação da força em relação ao eixo de rotação; 
𝐹 = força aplicada. 
 
Módulo do torque: O produto vetorial expresso anteriormente dependerá do ângulo 
formado entre o vetor posição (𝑟 ) e o vetor força (𝐹 ), denominado θ. Fazendo o produto 
vetorial, teremos: 
𝝉 = 𝒓. 𝑭. 𝒔𝒆𝒏𝜽 
Direção do torque: Uma vez calculado o módulo, em alguns casos será necessário 
determinar a direção do vetor. Para calcular tal direção vamos usar Regra da mão direita, 
isto é, coloquemos os quatro dedos, com exceção do indicador, no sentido do vetor posição 
𝑟 e fechamos os dedos na direção do vetor força 𝐹 é aplicada, após fazer esse processo o 
 
“dedão” irá apontar para o sentido do vetor torque, se ele estiver apontado para você o 
sentido será positivo, se estiver para o sentido oposto será negativo. 
 
 
Fonte: Brasil escola 
 
 
 
Torque Resultante e Aceleração Angular: O torque resultante que atua sobre um corpo 
é igual ao produto do momento de inércia do corpo pela sua aceleração angular. Existe, 
por tanto, uma equivalência direta à segunda lei de Newton, (𝐹 = 𝑚𝑎), 
Para começarmos a dedução da formula, vamos considerar a seguinte relação dada pela 
teoria: A aceleração linear é igual a aceleração angular vezes o a distância r, ou seja 
𝒂 =∝. 𝒓 
 Diante disso vamos dar seguimento. Temos que para um corpo girando em orbita de um 
eixo, vetor força perpendicular ao vetor distancia, a torque é dado por: 𝝉 = 𝒓. 𝑭 
Assim, podemos substituir 𝐹 por 𝐹 = 𝑚𝑎: 
 
𝝉 = 𝒓.𝒎. 𝒂 
 
Lembremos também da relação 𝑎 =∝∗ 𝑟, fazendo a substituição ficaremos com 
𝝉 = 𝒓.𝒎. 𝒓 ∝  𝝉 = 𝒓𝟐.𝒎. ∝ 
Porem a relação 𝜏 = 𝑚. 𝑟2 é o momento de inércia representado por 𝐼, então 
𝝉 = 𝑰.∝ 
 
 
Exercício: Um ciclista de 70 kg apoia toda sua massa em cada movimento de pedal para 
baixo enquanto pedala em uma estrada íngreme. Suponha que o diâmetro da circunferência 
descrita pelo pedal é de 0,40 m e determine o módulo do torque máximo exercido pelo 
ciclista em relação ao eixo de rotação dos pedais. 
R: Nesse exercício usaremos a definição de torque. Pensa comigo, se o ciclista está 
apoiando toda sua massa para baixo a força será perpendicular ao raio não é mesmo? 
Além disso, teremos que a força aplicada sobre o pedal é igual a força peso. A partir 
disso podemos utilizar a formula simplificada: 
 
𝝉 = 𝒓. 𝑭.𝒔𝒆𝒏𝜽 
 
 
Como θ= 𝟗𝟎° teremos que: 
𝝉 = 𝟎, 𝟐. (𝟕𝟎. 𝟗, 𝟖). 𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎° = 𝟏𝟑𝟕, 𝟐 𝑵.𝒎 
 
 
 
 Momento Angular 
 
Conceito de momento angular: Está diretamente ligado ao momento de rotação dos 
corpos, ou seja, podemos pensar nele como uma “quantidade de movimento angular”. 
Calculo do momento angular: Vamos imaginar que partícula de massa 𝑚 está sobre uma 
superfície plana, e que se move em movimento circular e está presa a um ponto fixo 𝑂 
por um fio de tamanho 𝑟: 
 
Fonte: Vamos estudar física 
 
A partícula tendo massa 𝑚 e uma certa velocidade tangencial 𝑣 , ela possui momento 
linear, representado por: 
�⃑⃑� = 𝒎. �⃑⃑� 
Como a partícula está fazendo um movimento circular ela vai possuir uma certa quantidade 
de movimento angular, ou seja, o que denominamos de momento angular. E podemos 
calcular pela seguinte relação: 
�⃑� = 𝑟 × �⃗� 
𝑟 = vetor distância; 
�⃗� = momento linear; 
�⃑� = momento linear. 
 
Substituindo 𝑝 = 𝑚. 𝑣 na equação teremos: 
�⃑⃑� = 𝒓.⃑⃑ 𝒎. �⃑⃑� 
Módulo do momento angular: Utilizando conceitos de Geometria analítica podemos 
fazer a seguinte relação: 
|�⃑⃑� | = 𝑳 = 𝒎. 𝒗. 𝒓. 𝒔𝒆𝒏𝜽 
 
Quando o 𝑟 e o �⃗� são perpendiculares, o que acontece em quase todos os casos, temos que 
𝑠𝑒𝑛90° = 1, logo podemos simplificar a relação para: 
 
|�⃑� | = 𝐿 = 𝑚. 𝑣. 𝑟 
𝐿= módulo do momento angular; 
𝑚 = massa do objeto; 
 
𝑣 = velocidade do corpo; 
𝑟 = distancia. 
 
Sentido do momento angular: Aqui também utilizaremos a Regra da Mão direita da 
mesma forma para o vetor torque. 
 
Momento angular de corpos rígidos: Podemos utilizar o momento de inércia 𝐼 e a 
velocidade angular 𝜔 para descobrir o momento angular desejado para este caso: 
�⃗⃑� = 𝐼�⃑⃗⃑� 
�⃗⃑� = momento angular; 
𝐼 = momento de inércia; 
�⃑⃗⃑� = velocidade angular. 
O momento vai ter a mesma direção da velocidade angular. 
 
Conservação do momento angular: Conserva-se o momento angular quando não houver 
torques externos atuando sobre um corpo. Ou seja, a conservação ocorre quando a 
quantidade de Momento angular, não varia e permanece constante sobre todo o movimento 
de rotação do corpo. 
Temos: 
𝑳𝒊 = 𝑳𝒇 
Neste caso nos será pedido para encontrar a velocidade angular do corpo, e para isso 
usaremos: 
𝑳 = 𝑰𝝎 
Sendo assim, vamos estabelecer a seguinte relação: 
𝐼𝑖𝜔 = 𝐿𝑓𝜔′ 
Como o momento de inércia de um corpo pontual é dado por: 
𝑰 = 𝒎𝑹𝟐 
Vamos substituir e fazer as devidas manipulações matemáticas e chegaremos na seguinte 
equação: 
𝝎′ =
𝑰𝒊𝝎
𝑰𝒇
 
𝜔′ = velocidade angular final; 
𝜔 = velocidade angular inicial; 
𝐼𝑓 = momento de inércia final; 
𝐼𝑖 = momento de inércia inicial. 
 
Exercícios: Um avião de 1200 Kg está voando em uma linha reta a 80 m/s, 1,3 Km acima 
do solo. Qual é o modulo do momento angular do avião em relação a um ponto no solo 
verticalmente abaixo do local onde ele se encontra? 
R: Temos que 𝑳 = 𝒎.𝒗. 𝒓, já que a velocidade e o vetor distância formam um ângulo de 
90° entre si, sen90°=1. 
Agora é só jogar os dados que o exercício nos deu na formula 
𝑳 = 𝟏𝟐𝟎𝟎. 𝟖𝟎. 𝟏, 𝟑. 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟐𝟒, 𝟖. 𝟏𝟎𝟔 𝑲𝒈.
𝒎𝟐
𝒔
 
 
 
 
 
Referências: 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; KRANE, K. S. Fundamentos de Física. 9. ed., Rio de 
Janeiro: LTC, 2014, v. 1. 
SEARS, F.; YOUNG, H. D.; ZEMANSKY, M.W. Física I. 12. ed., São Paulo: PEARSON, 
2008, v. 1 
HELERBROCK, R. Momento angular. Disponível em: 
<https://mundoeducacao.uol.com.br/fisica/momento-angular.htm>. Acesso em: 20 out. 2021. 
HELERBROCK, R. Torque: o que é, unidade, fórmula e exercícios resolvidos. Disponível em: 
<https://brasilescola.uol.com.br/fisica/torque-uma-forca.htm>. Acesso em: 20 out. 2021. 
Khan Academy. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/science/physics/torque-angular-
momentum/torque-tutorial/a/torque>. Acesso em: 20 out. 2021. 
NIVIO, B. Conservação do Momento Angular: o que significa? Disponível em: 
<https://vamosestudarfisica.com/conservacao-do-momento-angular-o-que-significa/>. Acesso em: 
20 out. 2021.