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24/03/2024, 18:49 Estruturas de concreto especiais
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Autoria: Eduarda Pereira Barbosa - Revisão técnica: André Luis Moura Silva Leal
Estruturas de concreto especiais
UNIDADE 2 - DIMENSIONAMENTO DE
PILARES
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Caro (a) estudante, nesta unidade, vamos abordar os
conceitos básicos das verificações de segurança que
devem ser realizadas em elementos estruturais de
concreto armado. Para isso, serão propostas algumas
reflexões: qual a definição de pilar? Quais os tipos de
esforços solicitantes sobre um pilar? O que é a não
linearidade geométrica? O que é flambagem? O que são
efeitos de 1ª ordem? O que são excentricidades? O que
são efeitos de 2ª ordem? Quais os tipos de pilares de
acordo com a disposição construtiva? Qual o método de dimensionamento para cada tipo de pilar?
Como é realizado o detalhamento das armaduras?
Você também verá casos práticos de dimensionamento das armaduras para cada tipo de pilar
utilizando o método do pilar-padrão com curvatura aproximada. Após isso, serão apresentados os
detalhamentos necessários a serem realizados nas armaduras longitudinais e transversais. Esses
conceitos serão os norteadores para atividades e balizadores para a sua prática profissional.
Vamos começar? Bons estudos!
Introdução
2.1 Pilares: conceitos
iniciais
Elementos estruturais como lajes, vigas e pilares são os responsáveis por garantir a estabilidade de uma estrutura
como um todo, promovendo condições para que todos os componentes desempenhem as funções durante o
decorrer de sua vida útil. Desses elementos destacam-se os pilares. Veja a definição desse elemento, de acordo
com a NBR 6118.
Eles têm a função de receber as cargas vindas das lajes e vigas, e de transportá-las até as fundações para que
as repassem ao solo de suporte. Os formatos mais utilizados são de seção transversal quadrada, retangular ou
circular, sendo uma de suas dimensões (comprimento) bem maior que as outras duas, por isso são tratados como
São conceituados como “elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na
vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes” (ABNT, 2014,
p. 84).
Pilares
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elementos lineares, geralmente, isolados (CARVALHO; PINHEIRO, 2009).
2.1.1 Comportamento dos pilares e análise de elementos isolados
Nesta seção, vamos tratar dos principais aspectos necessários para entender os comportamentos dos pilares. Os
pilares são elementos em que os esforços solicitantes que predominam são a força normal, geralmente de
compressão, e o momento fletor, podendo ocorrer a força cortante. Esses esforços são denominados de
solicitações normais e classificados da seguinte forma (CLÍMACO, 2016; BASTOS, 2020).
A flexão composta é classificada em dois tipos de esforços distintos, de acordo com a atuação dos momentos
fletores (CLÍMACO, 2016; BASTOS, 2020).
Veja a representação dessas solicitações normais na figura a seguir.
Flexão composta normal ou reta: neste esforço, atua sobre o pilar a força normal e o momento fletor em uma
direção, assim como a excentricidade.
Flexão composta oblíqua: neste esforço, atua sobre o pilar a força normal e dois momentos fletores, sendo
um em cada direção do pilar, assim como as excentricidades.
Ocorre quando a força de compressão (Nd) atua no centro geométrico da seção transversal do pilar.
Porém, de acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014), para o dimensionamento dos pilares sempre deve ser
considerado um momento mínimo atuante.
Ocorre pela atuação conjunta da força normal (N) e do momento fletor. De acordo com o tipo de força
normal, caso seja tração ou compressão, recebe as denominações de flexocompressão e flexotração.
Esse momento atuante é resultado da aplicação da força normal fora do centro geométrico do pilar e
possui resultantes nos eixos x e y do pilar, chamadas de excentricidades.
Compressão centrada, axial ou simples
Flexão composta
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#PraCegoVer: imagem apresenta os três tipos de solicitações normais atuantes em pilares de concreto armado.
O primeiro, à esquerda, tem o título compressão simples; o segundo, composto de duas representações gráficas,
ao centro, tem o título flexão composta normal; e o terceiro, composto de duas representações gráficas, tem o
título flexão composta oblíqua.
De acordo com Clímaco (2016), a flexão composta é o esforço predominante em pilares de edificações usuais,
pois sempre ocorrem na estrutura excentricidades de diversas naturezas, como imprecisões geométricas
decorrentes da construção, os chamados efeitos de 1ª e 2ª ordem.
Segundo Kimura (2018), a análise em 1ª ordem de uma estrutura é realizada com a configuração geométrica
inicial não deformada, o que gera os efeitos de 1ª ordem. Por sua vez, a análise da estrutura em 2ª ordem é
realizada com a estrutura na posição deformada, o que gera os efeitos adicionais chamados de efeitos de 2ª
ordem. Veja as representações a seguir.
#PraCegoVer: imagem apresenta os efeitos de 1ª e 2ª ordem atuantes em uma estrutura. À esquerda, a
ilustração traz uma estrutura, como se fosse um retângulo com dois apoios no chão, com setas, da esquerda para
a direita, na lateral da estrutura, e no topo, no sentido de cima para baixo. Embaixo, o título configuração inicial
(não deformada). Uma seta indica efeitos de 1ª ordem. À direita, a ilustração traz a estrutura, como se fosse um
retângulo com dois apoios no chão, com uma leve inclinação para a direita, com setas apenas no topo, no sentido
de cima para baixo. Embaixo, o título configuração deformada. Uma seta indica que a representação efeitos de 2ª
ordem.
Figura 1 - Solicitações normais em pilares de concreto armado
Fonte: Adaptada de BASTOS, 2020.
Figura 2 - Efeitos de 1ª e 2ª ordem
Fonte: Adaptada de KIMURA, 2018.
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As excentricidades presentes em um pilar ocorrem em função dos momentos atuantes no pilar e podem ser
classificadas em excentricidades de 1ª e 2ª ordem. As excentricidades de 1ª ordem, de acordo com Clímaco
(2016) e NBR 6118 (ABNT, 2014), estão relacionadas à configuração inicial não deformada da estrutura e podem
ser divididas em excentricidades oriundas de imperfeições geométricas, decorrentes das imperfeições do eixo
dos elementos estruturais, excentricidade inicial das vigas em relação ao eixo do pilar e transmitidas pelas vigas
ao pilar. Por sua vez, as excentricidades de 2ª ordem ocorrem em função dos efeitos de 2ª ordem. A NBR 6118
(ABNT, 2014) estabelece que os efeitos das imperfeições das estruturas podem ser substituídos considerando-se
a ação de um momento mínimo de 1ª ordem a ser considerado nas direções do pilar, dado pela expressão
abaixo:
Em que: Nd = força normal de cálculo; h = dimensão do pilar na direção considerada.
Segundo NBR 6118 (ABNT, 2014), Porto e Fernandes (2015), os efeitos de 2ª ordem podem ser desprezados
quando o índice de esbeltez do pilar for menor que a esbeltez limite ( , dada pela expressão:
Em que: e1 = excentricidade de 1ª ordem; h = dimensão do pilar na direção considerada.
O coeficiente é determinado com base nos vínculos do pilar (ABNT, 2014). Vamos conhecê-los.
Pilares biapoiados sem cargas transversais:
Em que: MA e MB são os momentos de 1ª ordem atuantes na base e no topo do pilar, e MA deve ser o momento
de maior valor absoluto. É necessárioque o coeficiente atenda aos seguintes limites:
Pilares biapoiados com cargas transversais significativas na altura:
Pilares em balanço:
Em que: MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC o momento de 1ª ordem no meio do pilar. É necessário
que o coeficiente atenda aos seguintes limites:
Pilar biapoiado com momento menor que o momento mínimo:
Já o índice de esbeltez é a razão entre o comprimento equivalente, também conhecido como comprimento de
flambagem, e o raio de giração, a ser considerado nas duas direções do pilar. Os pilares de concreto devem ter
índice de esbeltez menor ou igual a 200 (ABNT, 2014).
De acordo com Clímaco (2016), a flambagem é um fenômeno de instabilidade do equilíbrio da estrutura que
pode provocar ruptura de uma peça em que a compressão é preponderante antes de esgotar sua capacidade de
resistência.
O comprimento equivalente ou de flambagem de um pilar depende das vinculações na base e no topo.
Supondo que o pilar esteja vinculado em ambas as extremidades, o comprimento equivalente (le) é o menor dos
seguintes valores:
Veja a representação dessas variáveis na imagem a seguir.
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#PraCegoVer: imagem traz a ilustração de uma estrutura, com marcações de comprimento e indicações de
variáveis.
Em que: lo = distância entre as faces internas dos elementos estruturais que vinculam o pilar; h = altura da seção
transversal do pilar; l = distância entre os eixos dos elementos estruturais ao qual o pilar está vinculado.
Figura 3 - Representação do comprimento equivalente
Fonte: BASTOS, 2020, p. 52.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Magalhães, Real e Silva Filho (2018) trazem que os procedimentos de dimensionamento de pilares
estabelecidos pelas normas de projeto apresentam níveis preestabelecidos de segurança. Esses níveis são
definidos a partir do uso de coeficientes parciais de ponderação dos esforços solicitantes e resistentes,
calibrados por modelos de simulação ou verificações práticas.
MAGALHÃES, F. C.; REAL, M. de V.; SILVA FILHO, L. C. P. da. Efeitos das operações de controle tecnológico
do concreto na avaliação da confiabilidade de pilares de concreto armado. Revista Matéria, Rio de Janeiro, v.
23, n. 3, e12157, 2018. Disponível em: http://www.scielo.br/pdf/rmat/v23n3/1517-7076-rmat-23-03-
e12157.pdf (http://www.scielo.br/pdf/rmat/v23n3/1517-7076-rmat-23-03-e12157.pdf). Acesso em: 14 jan.
2021.
Considerando os tipos de solicitações normais atuantes nos pilares de concreto armado, é correto afirmar que
os elementos que atuam na flexão oblíqua correspondem à:
a. Excentricidade em x, excentricidade em y, momento de 1ª ordem em x, momento de 1ª ordem em y.
b. Excentricidade em x, excentricidade 0 em y, momento de 1ª ordem em x, momento de 1ª ordem 0 em y.
http://www.scielo.br/pdf/rmat/v23n3/1517-7076-rmat-23-03-e12157.pdf
http://www.scielo.br/pdf/rmat/v23n3/1517-7076-rmat-23-03-e12157.pdf
http://www.scielo.br/pdf/rmat/v23n3/1517-7076-rmat-23-03-e12157.pdf
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2.1.2 Disposições construtivas
Continuando nosso estudo, nesta seção, serão abordados os principais detalhes construtivos que você deve
saber sobre os pilares. Os pilares são classificados de acordo com a posição na planta da edificação. Vamos
conhecer quais são.
Pilares de extremidade, também conhecidos como pilares laterais, são posicionados nas bordas da edificação
e apresentam descontinuidade da viga sobre eles apoiada em uma de suas direções, o que gera um momento
fletor atuante de 1ª ordem transmitido pelo vão extremo da viga. Esse momento fletor atua em uma direção do
pilar, sendo dividido em momento atuante no topo (MA) e na base do pilar (MB), além de gerar uma
excentricidade na direção de atuação desse momento. Em função dessas características, o esforço solicitante
sobre esses pilares é a flexão composta normal ou reta (BASTOS, 2015; CLÍMACO, 2016).
Veja a imagem para compreender o posicionamento do pilar de extremidade.
#PraCegoVer: imagem traz três ilustrações de pilares de extremidade. A da esquerda representa a edificação e
traz uma figura tridimensional; a do meio representa a planta e traz uma figura bidimensional, no formato de um "T"
na horizontal; e a da direita representa a situação de projeto e traz uma figura unidimensional, retangular e na
horizontal.
Pilares intermediários são as lajes e vigas que possuem continuidade nas duas direções do pilar, geralmente
encontram-se localizadas na região central da edificação. Considera-se o esforço de compressão simples
atuante nesses pilares, pois admite-se que os momentos fletores transmitidos ao pilar sejam desprezíveis. Não
existem momentos de 1ª ordem atuantes no topo (MA) e na base do pilar (MB) (BASTOS, 2015; CLÍMACO,
2016).
Veja a imagem para compreender o posicionamento do pilar intermediário.
c. Excentricidade 0 em x, excentricidade 0 em y, momento de 1ª ordem 0 em x, momento de 1ª ordem 0 em
y.
d. Excentricidade 0 em x, excentricidade 0 em y, momento de 1ª ordem em x, momento de 1ª ordem em y.
e. Excentricidade em x, excentricidade em y, momento de 1ª ordem 0 em x, momento de 1ª ordem 0 em y.
Verificar 
Figura 4 - Representações dos pilares de extremidade
Fonte: Adaptada de BASTOS, 2015.
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#PraCegoVer: imagem traz três ilustrações de pilares intermediários. A da esquerda representa a edificação e
traz uma figura tridimensional; a do meio representa a planta e traz uma figura bidimensional, no formato de uma
cruz; e a da direita representa a situação de projeto e traz uma figura unidimensional, retangular e na vertical.
Pilares de canto são posicionados nos cantos da edificação e possuem descontinuidade da viga apoiada nas
duas direções, o que gera momentos fletores de 1ª ordem atuantes nos dois eixos, que, por consequência,
também geram excentricidades em x e y. Em função disso, esses pilares são submetidos ao esforço de flexão
composta oblíqua.
Veja a imagem para compreender o posicionamento desses pilares.
#PraCegoVer: imagem traz três ilustrações de pilares de canto. A da esquerda representa a edificação e traz
uma figura tridimensional; a do meio representa a planta e traz uma figura bidimensional, em formato de canto; e a
da direita representa a situação de projeto e traz uma figura unidimensional, retangular e na vertical.
A NBR 6118 estabelece que um pilar, seja qual for o formato de seção transversal, não deve apresentar dimensão
menor que 19 centímetros (ABNT, 2014). Em casos especiais, podem ser adotadas dimensões entre 14 e 19
centímetros, porém os esforços solicitantes de cálculo considerados no dimensionamento devem ser
multiplicados por um coeficiente adicional γn, com intuito de majorar os esforços e garantir a segurança da
estrutura. Além disso, para os pilares, deve ser considerada a área de seção transversal mínima de 360 cm². A
tabela a seguir apresenta os valores adotados de acordo com a menor dimensão do pilar (b) adotada, expressa
em centímetros.
Figura 5 - Representações dos pilares intermediários
Fonte: Adaptada de BASTOS, 2015.
Figura 6 - Representações dos pilares de canto
Fonte: Adaptada de BASTOS, 2015.
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#PraCegoVer: tabela com duas linhas e sete colunas. Na primeira linha estão os valores das dimensões dos
pilares, medidos em centímetros, sendo o primeiro menor que 19 e o último 14. Na segunda linha estão os valores
do coeficiente adicional.
Essas condições apresentadas sãoválidas para pilares em que a maior dimensão seja no máximo cinco vezes a
menor dimensão (h ≤ 5b). As armaduras dos pilares são dispostas nas direções longitudinal e transversal. Sendo
assim denominadas e apresentando funções específicas.
Veja a imagem para visualizar os tipos de armaduras.
#PraCegoVer: imagem traz três ilustrações, sendo a da esquerda uma estrutura vertical em perspectiva, com
indicações de armadura (longitudinal), estribo (armadura transversal) e pilar. A do meio traz a estrutura em seção
longitudinal, com indicações de estribo e armadura. E a da direita traz a estrutura em seção transversal, com
indicações de armadura (longitudinal), estribo (armadura transversal) e cobrimento.
Tabela 1 - Valores do coeficiente adicional γn para os pilares
Fonte: Adaptada de ABNT, 2014.
Armadura longitudinal ou
principal
Constituída de barras retas paralelas ao eixo do pilar que se
estendem por todo o comprimento, sendo prolongadas acima e
abaixo das faces superior e inferior das vigas e lajes, com esse
trecho denominado de esperas (CLÍMACO, 2016).
Armadura transversal ou
estribos
Constituída de barras transversais ao eixo do pilar, dobradas em
estribos fechados e ancorados nos cantos em torno da barra
longitudinal (CLÍMACO, 2016).
Figura 7 - Detalhamento de um pilar com indicações das armaduras
Fonte: Adaptada de BOTELHO; MARCHETTI, 2018.
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As armaduras não devem ser expostas ao ambiente, pois podem sofrer oxidação. Uma das maneiras de impedir
essa exposição é protegê-las com uma camada de concreto, chamada de cobrimento (BOTELHO; FERRAZ,
2016). A espessura dessa camada é determinada em função da classe de agressividade da estrutura. Veja os
valores especificados para o cobrimento de pilares.
#PraCegoVer: quadro com quatro linhas, sendo a primeira a de classes de agressividade ambiental, que traz
indicação de quatro itens, em algarismos romanos; a segunda linha é a de tipos de ambientes e traz sete itens; a
terceira linha é a de agressividade e traz quatro níveis de intensidades; e a quarta linha é a de cobrimento normal
traz valores numéricos em milímetros.
De acordo a NBR 6118, as armaduras longitudinais apresentam valores máximos e mínimos que devem ser
considerados (ABNT, 2014). A armadura mínima longitudinal é determinada pela equação:
Em que: Nd = força normal de cálculo; fyd = resistência de cálculo ao escoamento do aço. Já a armadura
máxima longitudinal é determinada pela equação:
Em que: Ac = área de concreto da seção transversal.
Quadro 1 - Cobrimento para pilares de concreto armado
Fonte: Adaptado de ABNT, 2014.
2.2 Dimensionamento de
pilares
O ponto principal do dimensionamento de pilares consiste na determinação do momento fletor total atuante em
cada direção dos eixos do pilar (x e y), sendo definido pela soma dos momentos de 1ª e 2ª ordem. Segundo a
NBR 6118 (ABNT, 2014), o método de dimensionamento pode ser adotado com base no índice de esbeltez do
pilar, utilizando a relação:
Grande parte dos pilares utilizados nas construções brasileiras apresenta índice de esbeltez menor que 90. Sendo
assim, o método aproximado mais utilizado, de acordo com a NBR 6118, é o do pilar-padrão com curvatura
aproximada, com rigidez K aproximada, acoplado a diagramas de momentos fletores e excentricidades para
pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua (ABNT, 2014).
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Para os dimensionamentos abordados nesta unidade, será utilizado o método do pilar-padrão com curvatura
aproximada, definindo o momento fletor total com base na equação de momento total definida na NBR 6118, uma
vez que esse é um dos métodos mais simples de dimensionamento. Essa determinação também pode ser
realizada com base nos diagramas de momento fletor e excentricidades do pilar. Por isso, foi elaborado um
roteiro de cálculo com as etapas a serem seguidas para cada tipo de pilar, baseado em NBR 6118 (ABNT, 2014)
e Bastos (2020).
2.2.1 Pilares de extremidade
Nesta seção, será apresentado o roteiro de cálculo para os pilares de extremidade. Para isso, é necessário
seguir uma série de etapas, descritas a seguir.
Calcular a força normal de cálculo (Nd): quando fornecida a força solicitante característica (Nk) no pilar, esta
deve ser majorada para a força normal de cálculo (Nd) em função dos coeficientes γn e γf, em que o primeiro
coeficiente é obtido em função da seção transversal do pilar e o segundo em função das ações atuantes. A força
normal de cálculo é dada pela seguinte equação:
Calcular a excentricidade de 1ª ordem : os pilares de extremidade são submetidos a momentos de 1ª
ordem atuantes em uma direção do pilar e no topo (M1d, A, x) e na base (M1d, B, x). Esses momentos geram
excentricidades de 1ª ordem no topo ( ) e na base do pilar ( ). Essas excentricidades são determinadas de
acordo com as seguintes equações:
Calcular o índice de esbeltez do pilar : o índice de esbeltez deve ser determinado para as duas direções do
pilar, x e y. Correlacionando o comprimento equivalente em x (lex) e y (ley) com as dimensões do pilar em x (hx) e y
(hy).
O índice de esbeltez é determinado em x ( e y ( ) pelas expressões:
Calcular o momento fletor mínimo : o momento fletor mínimo deve ser determinado para as duas
direções do pilar, x (M1d, mín, x) e y (M1d, mín, y), de acordo com as expressões:
Calcular a esbeltez limite : a esbeltez limite deve ser calculada nas duas direções do pilar, x ( ) e y ( ),
para comparação com o índice de esbeltez e ser realizada na verificação de dispensa das análises de 2ª ordem.
Inicialmente, você deve determinar o coeficiente ( ) dado em função dos vínculos dos pilares, conforme visto
anteriormente. A esbeltez limite é dada pelas expressões:
O valor da esbeltez limite deve ser de no mínimo 35; caso os valores calculados sejam menores, você deve adotar
a esbeltez limite igual a 35, tanto na direção x quanto na direção y do pilar.
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Verificar a consideração dos efeitos de 2ª ordem: os efeitos de 2ª ordem podem ser desconsiderados para as
direções do pilar em que a esbeltez limite ( e ) for maior que o índice de esbeltez ( e ). Caso contrário,
os efeitos de 2ª ordem devem ser considerados e, a partir disso, definida a situação mais crítica do pilar.
Por exemplo, vamos considerar que a direção x é a mais desfavorável, atendendo à seguinte condição:
Assim, as demais etapas do dimensionamento serão realizadas levando apenas essa direção em consideração.
O mesmo pode ser feito para a direção y, caso atenda à condição.
Calcular a força normal adimensional : no dimensionamento dos pilares de extremidade são utilizadas
equações adimensionais com o intuito de facilitar o uso de ábacos para a determinação da área de aço para as
armaduras. A força normal é dada pela relação entre a força de cálculo (Nd), a área de concreto da seção
transversal do pilar (Ac) e a resistência de cálculo do concreto (fcd).
Calcular o raio de curvatura (1/r): o raio de curvatura é calculado em função da não linearidade geométrica dos
pilares por meio da equação:
E o raio de giração deve atender à seguinte condição:
Calcular o momento total atuante no pilar : após essas etapas, o momento total atuante na direção
considerada pode ser calculado por meio da equação abaixo, determinada pela NBR 6118 (ABNT, 2014):
Antes de iniciar o cálculo, deve ser realizada esta verificação:
Em que o primeiro termo da equação de momento total deve ter valor maior que o momento mínimo. Caso essa
condição não seja atendida, o termo será substituído na equação pelovalor do momento mínimo na direção
considerada.
Por fim, na direção y, o momento total atuante pode ser considerado o momento mínimo tendo em vista que nessa
direção não ocorrem momentos de 1ª e 2ª ordem.
Otimização de seções poligonais de concreto armado sujeitas
à flexão composta
Ano: 2017
Autora: Flávia Castro de Faria
Comentário: os pilares de extremidade são elementos submetidos
à flexão composta normal. Durante o dimensionamento, muitas
vezes, é necessário que sua seção transversal seja otimizada de
forma a proporcionar uma maior resistência desse elemento
estrutural. Essa otimização pode ser feita de forma automática, por
meio de programas computacionais, como é mostrado nesta
indicação de dissertação.
Acesse
(https://www.repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/8164/1/DI
SSERTA%c3%87%c3%83O_Otimiza%c3%a7%c3%a3oSe%c
3%a7%c3%b5esPoligonais.pdf)
https://www.repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/8164/1/DISSERTA%c3%87%c3%83O_Otimiza%c3%a7%c3%a3oSe%c3%a7%c3%b5esPoligonais.pdf
https://www.repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/8164/1/DISSERTA%c3%87%c3%83O_Otimiza%c3%a7%c3%a3oSe%c3%a7%c3%b5esPoligonais.pdf
https://www.repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/8164/1/DISSERTA%c3%87%c3%83O_Otimiza%c3%a7%c3%a3oSe%c3%a7%c3%b5esPoligonais.pdf
https://www.repositorio.ufop.br/bitstream/123456789/8164/1/DISSERTA%c3%87%c3%83O_Otimiza%c3%a7%c3%a3oSe%c3%a7%c3%b5esPoligonais.pdf
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Calcular a área de aço para o pilar de extremidade: os pilares de extremidade são solicitados pela flexão
composta normal em que são utilizados ábacos para a determinação mais ágil da área de aço das armaduras.
Para esse caso, os ábacos mais utilizados são os propostos por Venturini e Rodrigues (1987), em que para cada
tipo de disposição construtiva e características geométricas do pilar podem ser adotados ábacos distintos.
Esses ábacos são utilizados para estruturas construídas com concretos de até 50 MPa. Para utilizá-los é
necessário variáveis, como: a força normal adimensional (v), o parâmetro µ e a relação d’/h. Você pode utilizar as
seguintes etapas para determinar a área de aço do pilar.
Calcular µ: determinado em função do momento fletor máximo na direção considerada e nas características do
pilar.
Calcular a relação d’x/hx: d’x representa a distância do eixo das armaduras até a face externa do pilar e hx
representa a dimensão do pilar na direção considerada, neste caso, x.
Determinar a taxa mecânica da armadura: os ábacos são utilizados para determinar a taxa mecânica da
armadura original, sendo necessária, primeiramente, a escolha de um. A escolha do ábaco é de acordo com a
disposição das armaduras no pilar, que fica a cargo do projetista e em função do tipo de aço e do valor da relação
d’/h. Após a escolha é realizado o cruzamento dos valores de v e µ para a obtenção de , que representa a taxa
mecânica da armadura necessária ao dimensionamento.
A variável fcd representa a resistência de cálculo à compressão do concreto,
determinada pela equação fcd = fck/γc, em que fck é a resistência
característica do concreto aos 28 dias e γc é o coeficiente de ponderação da
resistência do concreto, equivalente a 1,4. A variável fyd representa a
resistência de cálculo à tração do aço, dada pela equação fyd=fyk/γs, em que
fyk é a resistência característica ao escoamento do aço e γs é o coeficiente de
ponderação da resistência do aço, equivalente a 1,15.
Você sabia?
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#PraCegoVer: imagem traz um plano cartesiano, em que a área entre os eixos horizontal (valores para mi) e
vertical (valores para v) é toda quadriculada, com traços e indicações de valores numéricos.
Calcular a área de aço da armadura longitudinal (As): a área de aço da armadura é determinada de acordo
com a equação:
Agora que finalizamos o roteiro para os pilares de extremidades, vamos para os pilares intermediários.
Acompanhe!
2.2.2 Pilares intermediários
Nesta seção, será apresentado o roteiro de cálculo para os pilares intermediários. Para isso, é necessário seguir
uma série de etapas.
Calcular a força normal de cálculo (Nd):
Figura 8 - Configuração do ábaco de Venturini
Fonte: Adaptada de VENTURINI; RODRIGUES, 1987.
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No caso desses pilares, em função da continuidade das vigas em duas direções, não existem momentos de 1ª
ordem atuantes, por consequência, também não há excentricidades.
Calcular o índice de esbeltez do pilar na direção x e direção y :
Calcular o momento fletor mínimo : para os pilares intermediários não há momentos de 1ª ordem
atuantes, porém, conforme visto anteriormente, sempre deve ser considerado o momento mínimo nas duas
direções no pilar (M1d, mín, x e M1d, mín, y) em função das imperfeições geométricas da estrutura.
Calcular as excentricidades mínimas de 1ª ordem : em função da consideração do momento
fletor mínimo, devem ser consideradas excentricidades mínimas nas direções x e y determinadas
pelas relações:
Calcular a esbeltez limite nas duas direções:
A seguinte condição deve ser satisfeita:
Para os valores calculados que não atendem à condição, deve ser considerado o valor mínimo de 35.
Verificar a consideração dos efeitos de 2ª ordem: os efeitos de 2ª ordem podem ser desconsiderados para as
direções do pilar em que a esbeltez limite ( e ) for maior que o índice de esbeltez ( e ). Caso contrário,
os efeitos de 2ª devem ser considerados e, a partir disso, definida a direção mais crítica do pilar.
Por exemplo, vamos considerar que a direção y é a mais desfavorável, atendendo à seguinte condição:
Por essa ser a direção em que mais esforços solicitantes estão atuando, é chamada de direção crítica e, assim, o
restante do dimensionamento deve ser realizado com base nela, a fim de determinar o momento total que é
resultado dos momentos de 1ª e 2ª ordem. Lembre-se de que a direção considerada nesse roteiro é apenas um
exemplo, a mesma situação pode ocorrer na direção x, desde que atenda à condição citada.
Calcular a força normal adimensional :
Calcular o raio de curvatura (1/r): o raio de curvatura é calculado em função da não linearidade geométrica dos
pilares por meio da equação:
O raio de giração deve atender à seguinte condição:
Calcular o momento total atuante no pilar : o momento total atuante é definido pela equação abaixo,
neste caso, como não há momentos de 1ª ordem atuantes, e apenas é considerado o momento mínimo nas
direções do pilar, o cálculo é realizado com base no momento mínimo na direção considerada, neste caso,
.
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Por fim, na direção x, uma vez que não se consideram os momentos de 2ª ordem para essa direção e não
existem momentos de 1ª ordem, o momento total deverá ser considerado como o momento mínimo na direção.
Cálculo da área de aço (As): a área de aço da armadura longitudinal para os pilares intermediários é
determinada de forma análoga aos pilares de extremidade, com o uso dos mesmos ábacos.
2.2.3 Pilares de canto
Nesta seção, será apresentado o roteiro de cálculo para os pilares de canto. Para isso, é necessário seguir uma
série de etapas.
Calcular a força normal de cálculo (Nd):
Calcular a excentricidade de 1ª ordem nas duas direções do pilar : os pilares de canto são
submetidos a momentos de 1ª ordem atuantes nas duas direções, sendo divididos em momentos atuantes no
topo (M1d, A, x) e na base (M1d, B, x) na direção x, e no topo (M1d, A, y) e na base (M1d, B, y) na direção y. Esses
momentosgeram excentricidades de 1ª ordem no topo ( ) e na base do pilar ( ) em x, e no topo ( ) e
na base do pilar ( ) em y, determinadas pelas relações:
Calcular o índice de esbeltez do pilar na direção x e direção y :
Calcular o momento fletor mínimo na direção x e y :
Calcular a esbeltez limite nas duas direções: esta determinação é realizada de modo análogo aos
demais, porém, neste caso, como existem excentricidades atuantes na base e no topo do pilar nas duas direções,
você deve considerar para o cálculo o maior valor de excentricidade na direção considerada.
Deve-se, então, analisar a seguinte condição de valor mínimo para o índice de esbeltez:
Verificar a consideração dos efeitos de 2ª ordem: os efeitos de 2ª ordem serão considerados na direção em
que o índice de esbeltez seja maior que a esbeltez limite, considerada a direção mais desfavorável do pilar que
conduzirá os demais cálculos. Neste caso, vamos considerar a direção x, mas lembre-se de que pode ocorrer na
direção y, a depender da análise realizada.
Calcular a força normal adimensional :
Calcular o raio de curvatura (1/r):
E o raio de giração deve atender à seguinte condição:
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Calcular o momento total atuante no pilar : para a situação dos pilares de canto, o momento de 1ª
ordem a ser utilizado no cálculo do momento total deve ser o maior valor atuante na direção considerada, seja no
topo ou na base do pilar.
Para isso, você deve realizar a seguinte verificação:
Caso a condição não seja atendida, deve ser considerado no cálculo o momento mínimo.
Por fim, na direção y, o momento total considerado deve ser verificado em relação ao momento mínimo, pois
existem momentos de 1ª ordem atuantes, neste caso, o maior valor entre eles. De acordo com a seguinte
condição, caso não seja satisfeita, deve ser adotado o momento mínimo na direção.
Cálculo da área de aço: os pilares de canto são submetidos à flexão composta oblíqua, sendo este um dos
esforços que exige cálculos difíceis e detalhados. Para facilitar a determinação da área de aço são utilizados
ábacos específicos para a flexão composta oblíqua. Os ábacos propostos por Pinheiro, Baraldi e Porem (2009)
são os mais utilizados para dimensionar os pilares de canto, especialmente para definir a taxa mecânica (ω) da
armadura.
Instabilidade e dimensionamento de pilares de concreto
armado de seção poligonal submetidos à flexão composta
oblíqua
Ano: 2017
Autor: Lucas Peres de Souza
Comentário: os pilares de canto podem ter diversos formatos de
seção transversal, sendo resistentes ao esforço de flexão composta
oblíqua. Neste link, você terá acesso à dissertação que trata da
comparação da resistência à flexão composta oblíqua de pilares de
seção quadrada, retangular, cruz, “T” e “L”.
Acesse
(https://www.acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/59886/
R%20-%20D%20-
%20LUCAS%20PERES%20DE%20SOUZA.pdf?
sequence=1&isAllowed=y)
Você quer ler?
Libânio Pinheiro é graduado em engenharia civil, mestre e doutor em
engenharia de estruturas pela Universidade de São Paulo. É um dos grandes
nomes da engenharia estrutural no Brasil, sendo professor aposentado da
Você o conhece?
https://www.acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/59886/R%20-%20D%20-%20LUCAS%20PERES%20DE%20SOUZA.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://www.acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/59886/R%20-%20D%20-%20LUCAS%20PERES%20DE%20SOUZA.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://www.acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/59886/R%20-%20D%20-%20LUCAS%20PERES%20DE%20SOUZA.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://www.acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/59886/R%20-%20D%20-%20LUCAS%20PERES%20DE%20SOUZA.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://www.acervodigital.ufpr.br/bitstream/handle/1884/59886/R%20-%20D%20-%20LUCAS%20PERES%20DE%20SOUZA.pdf?sequence=1&isAllowed=y
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Para obter a taxa mecânica nos ábacos são necessárias variáveis, como: a força normal adimensional (v), os
parâmetros µx e µy e a relação d’x/hx e d’y/hy.
Você pode utilizar o seguinte roteiro para determinar a área de aço dos pilares de canto.
Calcular µx e µy: para os pilares de canto, o parâmetro deve ser calculado para as duas direções do pilar.
Calcular a relação d’x/hx e d’y/hy: d’x representa a distância do eixo das armaduras até a face externa do pilar
na direção x, d’y é a distância do eixo das armaduras até a face externa do pilar na direção y, e hx e hy
representam a dimensão do pilar na respectiva direção.
Determinar a taxa mecânica da armadura (ω): primeiramente, é necessário escolher o gráfico com base no
arranjo de armaduras, que pode ser de seis maneiras distintas, e as relações d’x/hx e d’y/hy. Essa escolha é com
base em tabela, como mostrada na imagem a seguir.
#PraCegoVer: imagem traz, no lado esquerdo, duas tabelas, com o título relação dos ábacos. Essas tabelas
possuem quatro colunas e 24 linhas. Do lado direito, seis ilustrações retangulares, numeradas de 1 a 6, com o
título arranjos das barras.
Escola de Engenharia de São Carlos. Atualmente, desenvolve pesquisas
relacionadas aos seguintes temas: concreto armado, concreto estrutural
ultraleve, estruturas de edifícios e estruturas de concreto pré-moldado.
Figura 9 - Parâmetros para a escolha dos ábacos de flexão composta oblíqua
Fonte: Adaptada de PINHEIRO; BARALDI; POREM, 2009.
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Nos ábacos, cada quadrante representa um valor de v, sendo necessário realizar o cruzamento entre os
parâmetros µx e µy para a determinação da taxa mecânica.
#PraCegoVer: imagem traz, na parte superior, equações e uma ilustração retangular, com marcações de pontos.
Na parte inferior, um gráfico, com os quatro quadrantes, com traços e indicações numéricas.
Calcular a área de aço da armadura longitudinal (As): a área de aço é determinada de forma análoga aos
pilares de extremidade com o uso da mesma equação.
Figura 10 - Ábacos para dimensionamento de pilares na flexão oblíqua
Fonte: Adaptada de PINHEIRO; BARALDI; POREM, 2009.
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2.3 Detalhamento das
armaduras
Na prática, a área de aço calculada para os pilares deve ser transformada em barras com diâmetros definidos
que formarão a armadura longitudinal ou transversal. Isso é alcançado com o uso de tabelas que correlacionam
dados, como o número de barras utilizadas na armadura, o diâmetro ou bitola das barras e a área de aço
calculada. Veja essas correlações na tabela.
#PraCegoVer: imagem traz uma tabela com dados de área de aço calculada (valores em cm²), diâmetro (valores
em milímetros) e quantidade de barras (valores de 1 a 14).
Para utilizar essa tabela, você deve definir o número de barras e verificar, na coluna referente ao total escolhido, a
área de aço que mais se aproxima da área de aço calculada, desde que seja superior, e correlacionar com o
diâmetro de barra correspondente a linha em que se encontra.
No dimensionamento de um pilar de extremidade com seção transversal
retangular foi calculada uma área de aço de 25 cm². A partir dessas informações,
qual a armadura a ser adotada de acordo com a tabela de correlação? De acordo
Tabela 2 - Correlação para definição das armaduras
Fonte: Adaptada de ARAÚJO, 2014.
Caso
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com o número de barras, podem ocorrer distintas soluções paraessa armadura.
Adotando seis barras: você deve verificar que na coluna referente a essa
quantidade de barras o valor mais próximo da área de aço de 25 cm² corresponde
a 29,45 cm², que está relacionado ao diâmetro de 25 milímetros. Então, a
armadura longitudinal seria de seis barras de 25 milímetros.
Adotando sete barras: o valor mais próximo da área de aço calculada seria de
26,61 cm² relacionado ao diâmetro de 22 milímetros. Resultando, então, em uma
armadura longitudinal de sete barras de 22 milímetros.
Adotando dez barras: o valor mais próximo da área de aço calculada seria de
31,42 cm² relacionado ao diâmetro de 20 milímetros. Resultando, então, em uma
armadura longitudinal de dez barras de 20 milímetros.
A quantidade de barras adotadas para a armadura longitudinal é determinada levando em consideração o número
mínimo recomendado pela NBR 6118. As armaduras longitudinais devem ser dispostas na seção transversal, de
forma a garantir a resistência adequada do elemento estrutural. De acordo com a ABNT (2014, p. 151), “em
seções poligonais, deve existir pelo menos uma barra em cada vértice; em seções circulares, no mínimo seis
barras distribuídas ao longo do perímetro”. Veja na figura seis formatos distintos de seção transversal e o número
mínimo adotado para cada uma.
#PraCegoVer: imagem traz a ilustração de seis formatos de seção transversal para pilares, três na parte superior
da imagem, três na parte inferior, e seus respectivos números mínimos de barras, sendo utilizada uma barra para
cada vértice.
Dessa forma, o critério principal é a existência de uma barra longitudinal em cada canto dos estribos (CLÍMACO,
2016). Você também deve atentar-se ao espaçamento entre as barras, que deve garantir boas condições de
moldagem do concreto, com o intuito de evitar patologias nos elementos estruturais.
2.3.1 Armadura longitudinal
As armaduras longitudinais têm a função de colaborar com a resistência à compressão do concreto e resistir
às tensões de tração, além de contribuir para a redução da seção do pilar e das deformações decorrentes da
retração e fluência do concreto (PINHEIRO, 2007).
Para realizar o detalhamento das armaduras longitudinais é importante que sejam atendidos aos requisitos
estabelecidos pela NBR 6118 de diâmetro mínimo e espaçamentos máximos e mínimos das barras, com o intuito
de garantir a segurança e a funcionalidade do pilar.
O arranjo das armaduras é importante para a função estrutural do pilar e visa garantir boas condições de
execução, principalmente em relação às operações de lançamento e adensamento do concreto nas formas.
Figura 11 - Número mínimo de barras longitudinais em seções de pilares
Fonte: CLÍMACO, 2016, p. 215.
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Os espaços entre as barras devem permitir a introdução do vibrador ou outro equipamento utilizado para adensar
o concreto, de modo a impedir a segregação dos agregados da mistura e a ocorrência de vazios no elemento
estrutural (ABNT, 2014). O diâmetro armadura longitudinal ( ) deve ser no mínimo igual a 10 milímetros e limitado
ao valor máximo de um oitavo da menor dimensão do pilar (b), de acordo com a seguinte relação (ABNT, 2014):
O espaçamento mínimo livre ( ) entre as faces das barras longitudinais deve ser o maior obtido na
seguinte relação:
Em que: = diâmetro da armadura longitudinal; = dimensão máxima característico do agregado.
Com relação ao espaçamento máximo ( ) entre os eixos das barras da armadura longitudinal deve ser o
menor valor obtido segundo a estas condições especificadas:
Agora que abordamos o tipo de armadura longitudinal, vamos para os do tipo transversal.
2.3.2 Armadura transversal
A armadura transversal dos pilares é constituída pelos estribos e, quando necessário, por estribos
suplementares, também chamados de ganchos. Devem ser colocados em toda a altura do pilar e obrigatório o
uso nos cruzamentos com vigas e lajes (ABNT, 2014). Conheça quais as funções dos estribos, segundo Pinheiro
(2007).
De acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014), o diâmetro da armadura transversal (∅ ) deve ser o maior valor obtido
de acordo com as seguintes condições:
∅
∅
Com o intuito de proteger a armadura longitudinal da flambagem, os estribos devem seguir o espaçamento
máximo estabelecido pela NBR 6118. Para a distribuição dos estribos no pilar é utilizado o espaçamento vertical
(ev) tido como o menor valor entre os valores obtidos de acordo com as seguintes relações:
Além dos estribos principais, podem ser utilizados estribos suplementares de maneira a reforçar a proteção à
flambagem dos pilares, isso parte do princípio de que a armadura transversal oferece proteção limitada às barras
situadas a uma distância dos cantos dos estribos de até vinte vezes o diâmetro da armadura transversal (Øt).
Garantir o posicionamento e flambagem das armaduras longitudinais. 
Garantir a costura das emendas de barras longitudinais.
Confinar o concreto para a obtenção de uma peça mais resistente. 
 
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#PraCegoVer: imagem traz ilustração de uma armadura transversal, uma figura retangular com pontos
posicionados, indicações de distância entre três desses pontos. Há também um traçado ao redor da figura,
representando o limite de proteção.
Dessa forma, as barras da armadura longitudinal situadas além dessa distância limite encontram-se
desprotegidas. Os estribos suplementares possuem formatos de ganchos com abertura de 90º e 180º de
abertura.
Outro ponto importante a respeito dos detalhamentos das armaduras transversais diz respeito à ancoragem dos
pilares. De acordo com os requisitos estabelecidos pela NBR 6118, a ancoragem deve ser realizada por meio de
ganchos ou barras longitudinais soldadas. Esses ganchos possuem como características serem: semicirculares
ou em ângulo de 45º (interno) com ponta reta de comprimento igual a 5 Φ, porém não inferior a 5 centímetros; em
ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 Φ, porém não inferior a 7 centímetros (não deve
ser utilizado para barras e fios lisos) (ABNT, 2014).
Além disso, o diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser igual aos valores e às condições especificados
na tabela a seguir.
#PraCegoVer: imagem traz uma tabela; no lado esquerdo, valores, em milímetros, para a bitola; no lado direito,
três colunas com valores para os tipos de aço.
As barras de aço utilizadas nas armaduras possuem comprimento de 12 metros, o que faz necessário, em muitas
vezes, de emendas, principalmente nos pilares (BASTOS, 2018). De acordo com a NBR 6118 (ABNT, 2014),
essas emendas podem ser por transpasse, por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas, ou
por soldas.
Figura 12 - Critério para proteção das barras longitudinais contra flambagem
Fonte: BASTOS, 2015, p. 73.
Tabela 3 - Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos
Fonte: ABNT, 2014, p. 40.
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Geralmente, o método por transpasse é o mais utilizado em função de critérios econômicos e de facilidade na
execução. No entanto, é necessário que sejam atendidos aos requisitos normativos. Primeiramente, esse tipo de
emenda não é recomendado para armaduras de diâmetro maior que 32 milímetros. Além disso, o comprimento
necessário de transpasse das armaduras é dado pela expressão:
Em que: = comprimento de emenda; = comprimento de ancoragem necessário; = comprimento
de emenda mínimo.
Por sua vez, o comprimento de emenda mínimo ( ) é determinado pelas seguintes relações:
Em que: = comprimento de ancoragem básico.
O que você sabe sobre o dimensionamento de pilares? Você sabia
que a disposição construtivainfluencia no consumo de materiais?
Quais os melhores posicionamentos para o pilar? Para ter essas
respostas, assista ao vídeo sobre a otimização do dimensionamento
de pilares usando software especializado (2018).
Acesse (https://www.youtube.com/watch?
v=FYwzC7gmk10&ab_channel=AltoQiSoftwareparaEngenharia
)
Você quer ver?
Concluímos a unidade na qual abordamos os conceitos a respeito do
dimensionamento de pilares. Para isso, você viu o conceito de pilar, segundo a
NBR 6118, os tipos de pilares, os elementos que o compõem, o que são os efeitos
de 1ª e 2ª ordem e as excentricidades. Você também foi apresentado aos
métodos de dimensionamento e o detalhamento de pilares, com roteiros para
pilares intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
Conclusão
conhecer os tipos de solicitações normais atuantes em pilares;
compreender o que são efeitos de 1ª e 2ª ordem;
compreender o que são excentricidades;
conhecer as principais disposições construtivas dos pilares;
conhecer os conceitos de cobrimento mínimo, armaduras máximas e mínimas;
conhecer os tipos de pilares e métodos de dimensionamento;
https://www.youtube.com/watch?v=FYwzC7gmk10&ab_channel=AltoQiSoftwareparaEngenharia
https://www.youtube.com/watch?v=FYwzC7gmk10&ab_channel=AltoQiSoftwareparaEngenharia
https://www.youtube.com/watch?v=FYwzC7gmk10&ab_channel=AltoQiSoftwareparaEngenharia
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compreender o dimensionamento dos pilares intermediários, pilares de
extremidade e pilares de canto;
aprender o detalhamento das armaduras longitudinais e transversais.
ABNT. ABNT NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto –
Procedimento. Rio de Janeiro: Associação Brasileira de Normas Técnicas,
2014.
ARAÚJO, J. M. Curso de concreto armado. v. 2. 4. ed. Rio Grande:
Editora Dunas, 2014.
BASTOS, P. S. S. Pilares de concreto armado. Bauru: Unesp, 2015. Disponível em:
http://site.ufvjm.edu.br/icet/files/2016/08/apostila-pilares-unesp-prof-paulo-sergio.pdf
(http://site.ufvjm.edu.br/icet/files/2016/08/apostila-pilares-unesp-prof-paulo-sergio.pdf). Acesso
em: 7 jan. 2021.
BASTOS, P. S. Ancoragem de emenda de armaduras. Bauru: Unesp, 2018. Disponível em:
https://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Ancoragem.pdf
(https://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Ancoragem.pdf). Acesso em: 6 jan. 2021.
BASTOS, P. S. S. Flexão composta e pilares de concreto armado. Bauru: Unesp, 2020. Disponível
em: https://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Pilares.pdf
(https://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto2/Pilares.pdf). Acesso em: 7 jan. 2021.
BOTELHO, M. H. C.; FERRAZ, N. N. Concreto armado - eu te amo: vai para a obra. São Paulo: Editora
Edgard Blucher, 2016.
BOTELHO, M. H. C.; MARCHETTI, O. Concreto armado - eu te amo: volume 1. 9. ed. rev. São Paulo:
Editora Edgard Blucher, 2018.
CARVALHO, R. C.; FIGUEIREDO FILHO, J. R. de. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de
concreto armado: segundo a NBR 6118: 2014. 4. ed. São Carlos: Edufscar, 2014.
CARVALHO, R. C.; PINHEIRO, L. M. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto
armado. v. 2. São Paulo: Pini, 2009.
CLÍMACO, J. C. T. de S. Estruturas de concreto armado: fundamentos de projeto, dimensionamento e
verificação. 3. ed. Rio de Janeiro: Elsevier; Brasília, DF: Ed. UnB, 2016.
EBERICK - Otimização do dimensionamento de pilares. 2018. Florianópolis. 1 vídeo (7 min 42 s).
Publicado no canal AltoQi Software para Engenharia. Disponível em:
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