Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
ME. CAIO PRESTUPA MALTA ROLIM Álgebra Linear e Geometria Analítica SUMÁRIO aula 01 Vetores 04 aula 02 Espaços vetoriais: definição e exemplos de operação entre vetores 10 aula 03 Coordenadas cartesianas no espaço bidimensional 17 aula 04 Coordenadas cartesianas no espaço tridimensional 23 aula 05 Sistemas lineares – matrizes 29 aula 06 Métodos de solução de sistemas lineares 34 aula 07 Matrizes: forma escada 39 aula 08 Matriz inversa e determinante de uma matriz 45 aula 09 Expansão de cofatores, fórmula de Laplace e regra de Cramer 52 aula 10 Subespaço de um espaço vetorial 57 aula 11 Combinação linear 63 aula 12 Base de um espaço vetorial 68 aula 13 Transformações lineares: autovalores e autovetores 76 aula 14 Produtos entre vetores 83 aula 15 Equação da reta 92 aula 16 Equação do plano 98 Conclusão 102 Referências 104 INTRODUÇÃO Olá, aluno(a)! Este curso nos fornecerá a possibilidade de aprender conceitos im- portantes relacionados à duas áreas fundamentais da matemática: álgebra Linear e geometria analítica. O conteúdo exibido neste curso será de grande importância em qualquer área de exatas, como, por exemplo, engenharia e ciências da computação. Diversas operações que realizamos em um compu- tador ou smarthphone possuem conceitos de álgebra linear e geo- metria analítica para serem efetuados. Na engenharia, para a análise numérica de qualquer objeto de estudo através de softwares, é ne- cessário, no mínimo, o conhecimento básico destes conceitos. Portanto, esta disciplina tem como objetivo capacitar o aluno a reali- zar operações lineares e trabalhar com espaços vetoriais, com a fina- lidade de aplicar esses conhecimentos posteriormente em estudos específicos. AULA 01 VETORES ������������� ����� � ����������� ��������� ������ ��������������� ��������� ���� ������ �������������� �� �������� ������������������� ������� ��� ���� �������������� ���������� � ������ ��� �������� ��� !"#$%!�$&'!(! ���� !"#$%!)$*+ ,!(-. !"#$%!�$&'!(! ���/��� ������������������"01$ +��������� � ���� ����� �����2���3����4������5��. !"#$%!�)$*+ ,!(��/��� ����������������� ������������ ���6�� �������� ��������� ��7��������� ���� ��� ���������� ������������ � ���� ���������� ��� ���#, $89+�$�+�&$"*,#+� ������ ���������������7��������� ��� ��� �������� � �� �������� ����� �� ���� � ������������� ���� � �����:�;� �<������2=�5����� ������2>��5� ?����������� ��������� ��� ���@�A����:�B������ �2CDEF5G���� ��� � ������2;� �<����������� �����5���������������������� ����/����� ����� :��� �����������7��� � ����������/�� �� 5 �������� � ��� ��������� ��������� �� ������ ����� ��� �������� � ��� � ����� ���� � ����! �" # ��$����� ��������� � �� %�� ���������� %����� �� �� ��%�&� �������'� �� ��(�� �� �)��%'� �*��)������ �� ��$����� #�� ��� ���*�� %������ +,���� ����$����� -#��.� �'� ��%������� �� ����� ����+������ � %����� ��%���� -#. ��� � %���� -�./ 0 %��+��� ����&1� ������ 2 ����3�+�� ��%�� ��������� �� ��� � ��$����� -#��. � ��4������ �� ��$�����-��#.� %��� �1� �� ����� �� 5��� 6 ���/ 7���� -#��. � 7���� -��#. 8 9����: ;� ����� -<=>?.@����� � %���� �� ���$�� -#. �� ��$����� +���+��� +�� � %������ �)��������� -#.� +,������ ���� ��$����� �� ��� ���� �AB�"���� ����+����� � 5� C � ���� � A ��� ����� ������� ��D���%�� �)��%'�� ��� � ��$����� #� ��� +��%������� /@����� ,E ���� ��$������ %���'�'�� +�� �� ������ ������������&1� � �������� %������ +,��EF'�� �� ��� ������GA�C�B�����/ ���� ������������ ���� ������� +�������%�'������ ������� ��D��� %�� �)��%'�� ���: HI J KL/ 6 ��������� � �� ������� � ������ �� ����� ������������� ������ ��������� � �� ������� �� � �������� ��������� � �� ������� ��!�"�#��� $% & $%� ��������� � �� ������� ��������#��� $% & '( ) '( & *+ ,-$% & *+� ��������� � �� ������� ���.���/��� $% & '( ) '( & $%0)123456 7) 8)96:);<� #���� ��� ��� ������� /��� �� /��=���� �� ���������� �� ������� � �� �������� ��������� $% 7 �������� � ���� � ������ �� ���� �������� ���� ��� ������ ���� � ! �� ��"����� ���#��� � $��%����&�� ���� ������� � ���� $���� ' ��(� ����� ����#�� ��� �� ���� (������ )*+,-. /0.1)2 .,3.)415)607.89 +516:;. 6 <6075+.= > �? �#� � �� ���� (� ��� �( ������ � $���� =�@����� �#"���� $#�����$��A�� ��(� ������ ��B � ���� ���C67.1 0,-.� D��� � � ���� �( ������ ��"����������(�#����� ��#��E (� �� � �� �( ������ � (� � FC67.16< 5G,25<H D��� � ��� ���� �� ��� �"����& �� �@��(#�� E (� ������ IC67.16< .4.<7.<H ���� ���� �� ��� �(����� ���� � � (���� � ��J$�� � �� ���� �� $���$� � $�� � (���� � �! ���� ���� � ���� E �� ��%�E (� ���� �� �$� � ���� �(���� � (� �� FC67.1 ,057K15.H L� ���� ! ����M �� ���� � ��� �? �#� ! �E(� �@��(#�� FC61<.1H ' �� ���� ����M �� ��� ��� � ����� +516:;. 6<6075+. � �� ��� � ���� I 8 ���������� ������ ��������������������������������� ����������������� ������ �������������������������� ���� �������� ���! 9 AULA 02 ESPAÇOS VETORIAIS: DEFINIÇÃO E EXEMPLOS DE OPERAÇÃO ENTRE VETORES �������� �� � �� �� ��� ���� � ��� ��� � ����� ��� ����� ����� � ���� � �� �� ���� ������� ��� �� � �� �� ����� ��� �� � �� ��!� �"���� � ���� ���� �� �!� ���� �#������ � � ���$ �� ���� ��% � ����!� ��"������&������ ��'� ����� ��(����)������� � � �� ��� � ���� ���� �� ������ ����*��� ����� �(����� & ( �� ����� �+�, � ����"��� -�.� ��� ������ ��-�/� ��� ������ ��������� ����� �� , � ����"��� �0�1��� +�2�� �����345678 .� ��� ������ ���0�1��� +�2�� �����345678 11 �������� �� �������� ������������������������ ����������������������� ��������������� �� ����� �� �������� � �������� �������!������!�������" ���#$%&'���%()*+,)+-&'� �� ��. ���� � ������!� �������� ���� �������������/��0�� 1���� �� ����������������2��������3� 12 ���������� ��������� �������������������������������������������������� ������ ���� ��� �!����������� ������ �"#��������!��������$��������� ����� �� �"%���� ��� ��� ��&'()*&+� ������"�!��������,)*-.&.(/(0&012� 3&++),(&.(/(0&012�/1.)4�5-6)2�!����� ������� ��������� �� 3(5/14+)�&0(.(/)2�� �� �� 7� ��!����� ��$���������8� ��!����� ��� ���� ������������ ��(5/14+)&0(.(/)��� � ��+(*9.4(,)� ��������� ��30(+.4(:-.(/(0&012�;'1*<6)+�01�)<14&=>)?� ������!������� �� ��� �� �� �����@A �������$��� �� ���B 13 �������� �� �� ���� � ��� �� �� �� �� �������� �� ����� �� � ������ ������ �� �� �� ���� ! � ���!� �� "#$"%&' (%"%)#)'$"%*'+ , ��-�� �� ��������-���� �� �.��� � /��0/����� ������� ���� �� ���� /�� ���� �� ����� ��� �0������� � ������ �� ���1�� ��������� �� ��� �� ���� �� �� ��� ��� �� ����� �� �+ ,��������� � �2����� �.��2�0 ������� ����� /��� ���� ��� �� ���� + �������� �� � ��-�� �� ��������-���� � ��� �� �� �� �� ������ 14 ���������� � ��� � � ��������������� ��� ����� � �� ���� � ������������� �������� ��� �� ������� ������ ������ �������������� ��� � � ������������ ��� �������������� ���� �� ��� ����������� �� ������� ������ ������������ �� ���� ���������� ����� �!"#$%&'�� ��� �� �� � ��� � ����������� ���������������� ��� �� ��� (������������� ����� �)���� �* +�,� ����� ����� �- ��������� �� ���� �������������.����������� � ��� � �������� ��� ��������� ��� �� ��� ���������� � ������������ �������)������������ ������ � �����/����� 15 �������� �� � ������ ���� ����� �� ������������� � ������ �� ������������ !"#$% "&"#'() !" *$ $+($ ",-) ," )(.%!) /$ .%!")$+($0 16 AULA 03 COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL ��������� � ��� ��������������������������������������������������������������������������� �������������������� ������� ������������������������������������������������������������������������������������� �� �������� ��������� �������������������������������������������������� ���� ����� !"#�$#% !��#&''% '('&#)*�+����������������������������������,������������ �������������-�����,������'%.!&#.#��/01�������,������#2�$���#��/31������������4����������������,���5������� ������ ������������������ �������������6�������,�- 7����������������������6�����8�9����-�:��� ����;<=>?@���A6��������������� �������� �������������;�,��B@��������,������������������������C����B�������������������������D��� ��4���������E������������ �����������������������������������4�������������F����������������4��;���6��@����� ��� ������������ ������������������������6���������������������������������������������6 �����5����-���;,�B@��+���������������4���������������G#%'%.!&#.'F����������� ����� !"#�$#% !��#&'�'2)HIJ'��� ����5����������������������6��������� ������6 ���5������������������,������5����������?=K�����5������� �����������,�- 18 �������� � ��������� ���������������������� ����������� �!�"�#�"! $� ��� �%� ����&��� ��������������� � �������'�( � ���)���*�'���������'���� ��+�����*��*����(� ���� *���*������(� �� *���*����� �( ���������� �,���*��&��� �����(� �� *���*������ �( ���������-� ���*�*�.�/�0��*����'��-����������(� �%1���*��(� ��� *���*����/*�%2����3����(�� �%2�'����,���*�*��*��(� ���� *���*��.�� �����"456!�*��*����(� ���� *���*��'��������7-��(������ ����89:;4<:4=�56!�*��(� ���� *���*��'��������7-��(������ ����4>9�:"�"��"��<��� �!�"�#�"! '������� 19 �������� �� ������ ����� ��� ����� �� � ����������� ��������� !� "� "�#� ��$��� $� ���$� %�����#�$�& ! ����' �� %��%(��� �"#��)$%#� �$��� ����* +�,�� - . � / . "�#� ��$��� $��#����� %�����#�$� 0#"#��$�#�$�� ���� �$%�$���� � "#��)$%#� 1 �$�������& ! ���%#�� %��%(��� ���� �!��"� "� 2#�34����* 2��� %��%(�������� %������& "� ���� ���#%�� 5$"� � �6� �� %������*2��� �$%�$���� � 7#����$(�� 1& ! ���%#�� %��%(��� 8#��)$%#� �$��� "�#� ��$��� 9 :�$�� 8� �(��� .;<=>? 20 ����������� ������� ���� �� ���������� �� �� ����� � �� ����� �� �� ������ � ����� �� ��� ���� �� ������� � � ��� ��� !�� ������"#�$ �������� � � ��� ��� ���#� ��� ���� � � ��� �%�� "#� ��&������ � �'(� ��� �)�*'����$ ���� � +�%��� ������ ��� ��������� ��� ��'��� ��','-� �� ���,'�� .��/�'�0!������ ������� � �� ������� � ��� � � ��%����� &��� 1 2���1 � ��������� �'�,3�*'� ���� �� ��'� -�,��$ � ��������� � 3�45�� ���� 67�����18���9�� �� ������ � ����� �� ����������� � ������� � ��� �0 67����� �� ������� � � ��� ��� : ;����1 <� ���� =>?@AB 21 ���������� ��� � ������� ������ ������� ����� ��� ����� ��� ������� �� ��� ��� ������ ��� ������ �������� �� ���� � ��� ���� ��� �������� �� �� �� ����� �� �������� �� !"� �#� $%&� ���'! !(%! ��)*& )��&%+"�&� ,! +"��&!(%!- 22 AULA 04 COORDENADAS CARTESIANAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL ���������� � ��������� � ������������� ���������� �� ��������� �� ������������� ����������� ��� ������� ������ ������� ��� �������� !"��� #��$�%��������&��� � ������������� ���������� �'�������������������� ������� ��� ��() #���� !"��� #��$*��+,- ���������������./������� /� �������&0�� ��������1���������������&��� � ����������$ 2�� ��� ��� � ����������������&��� � �����������3�4����5�6���-�� �789:�;��� �&� ������ ������� ��������� � ����� ������<�� �� ��� �� ��������1��=� ��->���-���� ������.�� �$�����������1���1����1� � ����� ���<�� �� ��� ������ � ������$�����������1����1����1��� � ����� ���<������ �� &?��� ����� ������� ��������� ��������������������� ���� ��/�������� �=� ������<�� �� ��� ��� �������1$ 24 �������� � ��� �� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!"#$#%&'(���)*������������+��������������������)��,��-�����./�)����������)���)������������)�����������������������������������������0���������������������������������������������)12��� 3������������)����������45���)���2��36������7�����������)���������45���)��� �8� �19���:�7��������� ���� �� ��� �����; ��� �3���� ���<��������������������0������������������������������������������������)��=�����������������*����������>?@�+���������)����������>AB���AC@����������������������������������=��5�1 25 ��������� ��� � �� � �� � � ���� ������ ��� ��� � � �� � � ��� ������������ !"�"# $�%"� # !� #$"&�'�(�() !#(�!"%*���� �������� � � �� ����� � ��� � � ���� ������ ��� ���+� � � � � � � �� ��� �� � #(#' )"# ,(%-!��(,�# � #(#' )"# #./�(,�#0����� !"�"# ,(%-!��(,"#1 � �2��� � ���� �� ���� ���� 3���� ��� ���+ ��� � � ���4���� � ��� � 5� ������ 67 � � � � � � ����� ���� �� ���� ���8������ � � � 9 �:++;�< =�� : 4 � ��������� � ��� � ���� >?+ 4 ��@�� � ��� � A � �� � �> B+ ; 4 � ������ �� ���� ����5� C 3�� < 26 �������� �� ��� �� �� ���� �� �������������� ��������������� !"# #$�!$%&�'(#$��)������������ �� ��� �� �� ���� �� �*� �� ��� �� ���)+�� ���������� ����,�-����� ����)��.� � *��� ����,�-���� �������� �� ��,�-������)������� �������/*�����,�-��������0��� ��� �� �������12����� �)��� *��� ����� ������ ���� ��� �� ���)+�� � �����3�4**�2����5���4���������� � ���,� � ���� �� ����-��� �+���������32 27 �������� �� ��� �� �������� �������������� �������������� !"#$��!%!"&'(�� !�)#�#*'#��!+,(�+!�('-$ (��.#�-$ !(#*'#/ 28 AULA 05 SISTEMAS LINEARES – MATRIZES ������������� �� �� ����� ������������� ���� ����������� ��������� �������� � �������� ��������� ������� ������ ������������� �� ���������� ������ ���������� ���������� � � � ������ ��� ����� ���� �� ��������������!� �����������������!������"��#�������������� ������ ������� ��� �� �� ���� �� ���� ��� ��� ����$��� ������ ���� ��� �� ��� � �����%&'()*+,-./��������� ����� ����$�0 1������%&'()*2(+3-/������� �������� ����$�0 1��4�������� �� � � �����5/'),6�73/8)/8/����� �� � � �����5/'),6�)&'/-93+/)�:;&5<+(=�8&�5/'),6&=:;&5<+(�>? ������� ��������������� ����$���/�@� ���A�@� �B�=(5/����/CA������������������������������������������������������������������� 30 ����������� � �� ��� ������������������ � �������� �������������������������� � ����� � !"�#���$�%&������'����() �*+��,� �������� ���������������������� � ��� ��-��� ����.�/�����.���.�0�12 ���� ��� � 31 �������� �� ������� �������������������������������������������� �� �!"��#� ���#��$� %���& ���� ��'���� ����� ��� ( �)�")����� �#��� % ����� � 32 ���������� ��� � �� ������ �������� ����� ���� ����� ���������� �� ��������� 33 AULA 06 MÉTODOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ����������� ������ ���� ������������������������������ �������� ��� ��������������������� �!""�������#$�%��%�"!&"$�$!��������#$�%��%��'��(�)����*����������%��+�!"",���������������� ����� ���� � -����� � ������� ��� ����� ������ ��� ����������������%��+�!"".�/�������������� ���������0��� ���1.���� �� ����� ��������� �2�������� -��������������3� ��45678.9.��������������� �����������: ������ ������ -����������45678� � ����3� ���4 ����������������� -�� ������ �� � � .0.������ �� ����� �� ����;�2������ ������� ��� �4 �������������� �� � ���7�� �� ���� �� ��� ;�.<� ��������� �������=� ��;������>�� � ?�� .*@��(��A����;�������� ����� ������� ��� � ������ � ����������� �����1�2�/����� ���������� -�����������45678�������� 35 ����������� �� ����������� ����� ���� � ���������� ���������������� � ���!�!"!�#$������ ��% &����� �� ���� ���"'�#����(�)$*!+� � ��������&����� ���� �������� , � �����&��� ������,- ���.��/��������0� �,�&�� ��&�,� ������% &����� � ��� �������&��� ������,- ����� � �������� ������ , � ������� 0- �����,- ���.��/��������0� �,�&�� ��&�,��������������� ��� ���,� 1���2������ �3������������� ��� , � ������� �3��!�!"!�#$������������ �� �����"'�#����(�)$*��.�� �� �� ���������4��� � ��% � ��5����� ���67�8�9�:, ���� �&������,�-,�������� ���,� ���&����-.� � -�;4�� 0� ���3���% ����5������ ���6 ������������������������������������������������������������� 36 ��������� ���� � ���� ����������� ��� �� ���� � ������������������������ �!"#!�$�"$%&���� ����� ������ ����� � �� ��� �������� ��� ' � (�)����� ���������*�� +* �� ���,�� �� ������ �� �� ����- �(�.����� �/�� �� � � �����*����� � ��� 0'��(123456�7��'�� ���� �� ���� � ����,� ���� ������� �� ���,�� �� ���(8����� �� ����� �/��9:��� ���;�<�,�� �� � �� ����� �/��9=��� ���;>?�������,� �@� ���*����� � �� �'�����@� ���*����� � � ������� ������ ��� ����- �(�A �� �'����� � ���� �'����������� �/�9:(��������� ���� � ���� ����������� ��� �� ���� � ����������=�B��������� �C�45 D %&���� ����� ������ ���� � �� �� ��� �� ����� � �� �� ��� ���� ��� ����- �(�8����@� ���� ����*�� +* ������ ���� ����- ��� ���'����������� ����� �'�����@� ���������*�� +* �( 37 �������� �� ������� � � �� �� � ����� ���������� ����� � ������� ���� �� � ��� � !"�� ���#��� ���� �� � ��� � $"�� ���#���� � ���� "�� ���#��� ���� "�� ���#������� �� ������% � �� � � ��� � !"�� ���#&����"���� ������' ��(� � ��� ������������ � � �� ������)�*!"+, 38 AULA 07 MATRIZES: FORMA ESCADA ������������� ��� ������ ���� � ��������� ��� � �������������������������� �!"��#�$�� � ��� �%&��%�� �'������� ��� ��(��) ��%���% �*�� ������� � ����� �� �'�����%� #�+ � � � ��� ������ ���� � �'�� �*�� ���� � ���� �'����� � ��%��� ���%������,����-.#�/�%� ��%�� ��� � ��� ���� �&�� 0 �1��� ����%� ��%&��%�� �2#�.3���� �%������� � ���%� ��%&��%�������)������.4#�5�� � ���%� �(���)��6���������7�� ���� �%������ ��8�.�8������ ������� �%���� ���%� � %�������9*�� ������� � :;#�<��� �����% ���%�, ���.3���� �%���%&��%������� ��� ��%� ���%�&��������������������� �%�������� �����% ��&���� ��� � ���=>��� ��?� ���@(������ �� ��� ��� 0 �1�����&��% �*�� ���� � ����� �� '�����%� �����%&�# ���&�����7�% �*�� ���� � ����� �� �'����%� ���'��(���%&�� ��%���AB�C���D��E��7�% �*�� ���� � ����� �� �'�����%� ���&�����7�% �*�� ���� � ����� �� �'�����%� ��'��(���%&�� ��%���D 40 ���������� ����� ���� ��������� ���������������������������� �!��������!�"�#��!#� �#��$���%��&��'�� ������� ��� ��� ���� �� �������� ���(���(�� ����� ���� ���� ��������� ��������)� �����������*+ �,����������� � ��� ����-�%��./�� )�/� ����,��������� ��*��0�1�� ������ � ���,�������� �230��� �� �� �� ���� �������� ��+ ���� ����� ���� �� �����4����(�� ����� ���� ����5/�(����� + � ����� �����"�%����$�67�!!%!�!����$�670�8�� � �� ���� �������� ���� ������+ ����9������ ���� �������/����:�!���$���!����%��&��$!%��%��&�#!��!�!%!�!����$�67;<0�=�������(������ ���� ����������� ���>� � �� �������� ���>?/������� ��/�� ���� � �������� ��,������30@0�A��� ���� � ��� � �� � �� �� �� ��������� ����� �������>?/�� �>)������������� �� ��0B0��� �� �C���������D��� ��������� ���� ����� ����� � / ��� ��� C������������� ���� �������0E0�F�����C��� ������ ��3�� �B���)�� �� ������ ��� �,�������������� ������� ����� ���� ��������� �������0G� ��������� � ������ ���������� ������� /�>�� ������ � �������H���� 0IJ!�$%�K ���� �������� ���LMN��D��H ����� ����� ���� ��������� ������0 41 ��������� �������� �������� ��������� 42 ��������� �������� ������� 43 ��������� � ����� ���� ���������� �������� 44 AULA 08 MATRIZ INVERSA E DETERMINANTE DE UMA MATRIZ ��������� � ������ ���������������� ��������������������� �� ���� ������� ���������� ���� !����� ����� �������"� �������������������������� �������#$%�&�'(�������#$%�&�)���� ��������"�������"��������������'�*����� �� �������+����������� ��������"����!�� ��,����� ������ ������&�#-�.���/��#0/�#$%��1$%.23 ������ ��� ���������������������� ��������"�����,����!��� � ��� ������� ���������4��� ��������� ��������"����!������� ��������5�� ��������%#�����%!������6�78���������������� ��������"����� ����� �� ����������������� ����!����5�������5������4������������������4���7�9:�8�����;�,�������5������� ������� �������� �������<=> ?�����4��������� �7�@:�8�����A�)������� ���� �������� �������<=> ?����������� �������������� �����!�����",����� ,��������B����'�C:�8�����A�D�E���� ������������������ ���������� �������������� �����!����� ���5���� �������� ������� !�� ����� �,�� ��������"��������=2 46 �������� �� � �� ������ �������������������������� ������ ��� �������� �!��"��� ������ ������ ���#��$�% &' (��������)�* ���+� �� ������ ������ ���#��$�% &��������+� �� #���#���� �"��,��-��� ��.��#���.��#��# �/����� 0��������)�1�2������� ���� �� ���+� ��#�����+� ��� #���#���� "��,��-� ��"�� 3������� ������ ���#�� -� �� � � �.����� ������ ���# ��4 47 ������������ � ��� ������ ��� ���� ������ ��������� � �������� � !� ���� ��� ������� � ��"#� ������� � ��� �$� ���������� �� �������� �����%&��� !��� ����'�����( ���� ���!�)��� �� ��� ������ � ��*��+,*�-� �� �� ������������� �� $� ����%$�� ���� � !� ���� � ����� ��� ��.�)��!��� � ���������" ������ �� ��/���� �� ������� � �� �� ��� ������ �� ������ �����( ��� 012 �� 313" ��� � !� ������� � ������� � �� �� ��� ������ � ����� ��4'4� )����� /���� � ��)���%$� �� ������� ��� ���� ���.� ���� �����(5 �������� � !� ������� � ������� � �� �� ��� ������ 6'6 ������7�� � 8����+"9�7�� � 8����+ ��� � !� ���� � ������� � �� �� ��� ������ 6'6 ���� ��.�� ��:������ )���� ��.��� �� ��.�� ��� ������(;< = >�������� �� 4 ��������� �� ?�� �� �� 4 ��������� !��� ��@4< = A !� ��� � ���� ��� �������� ��� 6 ���.� ���6< = :�)����� � ����� ��� �������� ��� 6 ���.� ��� ���� ���� ����������� ��� 6 ���.� ��� �� ����%$� ������":�B� ��� ������ 1 6'6( 48 ����� ��� ��� ��� ��� 49 �������� �� �������� ���� � ��������� �������������������� ������������� �������� ������� ����!�������������� "����������#���� � �#�� ��� ����� �������� ���� � ����������$%����� ����&�������� ���� ��� '����#������������� ����� ����������� ��������'� ����� ������������ �� ���������� ���� � �� 50 ����������� �� ������� � �� ��������� ����� ������� ������������ ��� ������������� ������������� � ������������ �� ������� !������ ������ ������������ �"�������������# ����$% &� ����� �� ��������� �� ��� ���'� �� ������ ��� (���#��������������� � ������������ ����� �����( ���� )*+ , ������������ �� ��� �����( ������ ���� ����� �������������� �� ��� �����( ����������# �� ��-�$ *. &� '��/�� ���� ���'�� �� ������� ��0������ �� ��� �����(# ��1�� ��-�� �������������# ��������������� ��� ���������������� )*2 &� � �����( ��� ����������# 3���� ��������� � ������� ���������� ��������� ���� ��������� � ������������*4 , ������������ �� �����( �"� �� ������ �� /��0 �����(�����3���56�� �������� ��� �� ���'�� �� ������� 51 AULA 09 EXPANSÃO DE COFATORES, FÓRMULA DE LAPLACE E REGRA DE CRAMER �������� � �� ������ � ������ ������������ ������������ � ������ ����� �� !�� ���� " �� ������!#�� �� � $%$& ���� #�� �%��#'�& (%( �! )%)& !� ' "�*�� � ������ � �������+, -.��!'� �� /�#'��� �� ���!�� �� ���� �� ����� �� �'������� ��!�� ' �0� �! ��'!�� #�� ��!� ���#��� 1�� �� ������+ ��� ���-�'���� 2!� � �%#���3� �� ��-������ 4 !� ' "��� ������ �� -.��!'��� /�#'���+���� ��������� 2!�'2!�� ��-���� �� !�� ���� "& 5���� !� ' "�� ���6! ��� �2!�73�89� 2!� � �3� ��-������� : #�� 73� �� �'������ �� ���� "& � 4 � ���� " 2!� ��5��! �� ��� ��� � ' �0� � � ��'!�� �� �'������+���� ����������� ��'0�� � #����� ����� �� -.��!'� �� /�#'���&1���� � 1 � � �� �'6!�� #�����8;< * 9���'0� !�� ' �0� �! ��'!�� #��� -�"�� � �%#���3� ����-������& �� #��-��=�� �& #��� -�� ' ��� �� �>'�!'��& � 2!� #���! � ��� �� �?���� �� "����+@< * 9�������� �� ��-������ �� ����� �� �'������� �� ' �0� �!��'!�� ����'0 ��+$< * A�'�!'� � ������ ����� #�'� �%#���3� ��� ��-������& �! ��B�&-�7� � ���� ��� #���!��� ��� �'������� #�'�� ��-������ �� ' �0��! ��'!�� ����'0 ��+�������A�'�!'� � ���� " C 2!������ (%( �5� %�& #�'� -.��!'� �� /�#'���+ 53 54 ������������ �� ��� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���������������� ���� ������������������!����"����������#����$�������� ����������� ��������%������������$�������������!����� ���������������������������&����������������������������'����(���������������$�������)��$���������������"��*+��������������������,-����������������$������������������������������������$�.$�������������������/0�-�����1�2����������������������������������������������������������������������(�����$�������)��$���������������"��*+���&���$�����������������!����'�������� ������������3�����$�������������������������������&����������������������������',40�-�����1����$���5����������������������������(60�-�����1����$���5��������������������������������$��������!������%������������$�������������!����$�������������������$�����������������������������,70�-�����1����$���5���$��������!���� �������"��*8��$�������$���,9:� ;<=���$����������������������%��>��������� ������������, 55 ��������� �������� �������� ��������� 56 AULA 10 SUBESPAÇO DE UM ESPAÇO VETORIAL �������� �� ������ �������� � �� ������ �������� ������ �� ����� ��������������� ���� ����������� ������� � ����� � !��� � ��"�� #� ������ �������� $ %����& '� ����� ()*+,- �����.�� /��� ������ �� �� �� ������ #� ������� ��� ��0��1���� �� ������� ( � ���� �� ������� ( � ����������0��2� ��� �� ��0���� ( � '���� 3����� ������� 0��0������!���� ������������ �� �� ������� ���������&+� * #4)� #� � #� ���2�5� 6 #47� #� #� ���2�� ���� ���� � #�������� 0��0���� /�� ����� �� 89��:8; �� ������ ���������� ����� �� 0��<���� ) ���� 0�� ���� /���/��� �� ������ ������������/�� � �� ������ �������� (#- ���= 0������ �� ������ �������� (>-� 58 ���������� ����� ��� �� ����� � ����������������� ����������� � ���� �������������� � ��! ���� ����������� ����� ��� ��"����������!����������� ������# ! �������$�%�$&'(�$���)�)')$��*����� ��!�����"� ��! ��� �* �� ������ ���*���������� ���"�� �+ ������ ����� ��� ��,-�.&��$,-�.&���/0 � ��1�! ��2� ���!������ ����� ��� ���� !��� * ��� �� �23�� � �1��������� ����* 45�6� ����� ��7�"������*8�* �����59� 7���� ����� ��� ��:�;�* �4���� � ����<�=>90������?�������������� ���7� �� � �� ����3�!��� ������� ����������� ���5��5���2� ?��� !�"!����� ����! ������� �����@�����!�� � ��� ?���� ����!���� � ��� �*� ��� �A��*������� ���7�� 59 �������� �� ������������������������� �������������� �!�� "# ��$�% ����&� ��'� (���$'�������'������( $! )�( �� �( $*�$' ����������� ���'� )�! �����!��$'���+��,-�.��( $/ ���� %��'��!���� � " 0�'��1���2�3 $'���4 ���' ���5678�4���( �! �( ������� �� �!�!���!���������� �9�' � �%��� !�� �( $(%� ������7"�:��������� �����������%�� � &����6�6�"5"�������������$'; ����������������1�1���!�<� ����=1��=1����>?"�����������$'; �������' ! ������ ����"��������@ �� ��������������A�����������BCD�������������� �!��BC"# ��$�% ����&� ��'� (���$'�������'������( $! )�( �� �( $*�$' ��A���������� ���'� )�! �����!��$'����,-�.��( $/ ���� %��'��!����� � " 60 �������� � ��� �������������������������������������������������������������� ������!"���������� �!����#����$�%�����������&���������!�����'�����"��$�$�&��"����&"�� �(������� " ����������"��"���)� ���� ��" *����&+,$�&�����&"�� �(�"��������������"� ���&$-./0123�45���6#������&���7� *�" ���� ��� 8�9����������������� $:��� �!�����'����������� ��"��������#����� ��;��������� <� ��� *�" ��9�����'�� ��� 61 �������� ���� ������ ���� ��� ��������� �� �� ������� ��������������������� � �� ���!"�� ��� �� ��!����#����$�%��������� �&�'()���������!�� ��*�����"��$ $�&��"����&"����+ ������ "���������� "��"���,� ��� � "� ����&-.$�&�����&"����+ "������� � ���� "� ����&$/ ����� � �� �0��� ��� "���'()�1��������� ���� $ 62 AULA 11 COMBINAÇÃO LINEAR ���������� � ���������� � �� �� ������� ����������������������������� �������!�"� ���� �����""#! �� �$���������!�"! ��� "���������� �! ��� "� � �"�� ����%�� �� "$���� "&'����� �(��� �� � �� �����!���"� ) ����*$��+� � �"��"�! ��� "�� � �&&&� �������""#! �� �$�������! ��� "����������� "$���� "+,��� � �� �� " ������"� "$���� "� ����%� �"������ �$��������! ����&-� "" �$����*$����� ����� �� �� ���$������./��0�������������&1/�� ) ����"� �$������.2 "��/����� �� "+3�$������./����� ���������� "�4��� " �� ���� "� �� � ������� � ������% "&�5 �� ���"� � � ���"� � ������(��� $�� ��� �������%�0�� ��$������.2 "���� �� "� � � � ���"� �"���(�"�� �$�� ��"������ ��"���� � ������� � "��������%�" �4�� ��& �6� & 64 ������������ �� ��� ���������������������������� �� ������ �������������� ������� ��������������������������� ����������� � ������ ������������� ������ !���������������� �� ������ �������������� �������������������������� ����������� �� ������ ��� ��������� �����"����� ��� �������� ��� �� ���#������$ ��� � ������ ��������������� ����%&'&()*(+,-�&�,()&'&()*(+,-�.,(&-/0���������� ������������������� �������������� ������������������ ��������� ����������1���������������1����� ������2�������������3�������������� �����"���������� ������������ ��4����� ������"��������3�����5���.,(&-/6&(7&�,()&'&()&(7&�89�2�� �:2 �� �:� �8 � ����������� ���5���������� ���� �� ���8 ���������������;������������ ������3����������.,(&-/6&(7&�)&'&()&(7&�89�0��� ��� ������ ������� �������3������ �3������+<6=,(->?<.,(&-/�)&�<@7/<A�B&7</&A�������3������������ ��!������������������� ����������������������89�0��C������������ ��� �����������������������9�2���9�0���� ������������:DEFE�G�H'/&A&(7-�@6-�I(,+-�A<.@>?<������"����� ������ ������� ���������3�����"�� "������ � ���;JDE%E�G�H'/&A&(7-�6-,A�)&�@6-�A<.@>?<������"����� ������ ������ ����������3�����"�� "������ � ���;� 65 ��������������� �� � � �� ��� �������� �� � ��� ���� � ���� �� �� � !��� "# �$���� ��� %���� ��&�'(� �� ��� �� ����&���� �(� )�$������� � ��� ���� � *+,+������� -�� � � �� ��� �������� �� � ��� ���� � ���� �� �� � !��� "# �$���� ��� %���� ��&�'(� �� ��� �� ����&���� �(� )�$������� � ��� ���� � *+,+ 66 �������� �� � ��������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����!"�� ���#���� ���$�%&��'���()�$��'����������*��#��)�����#��������������� ����+�� %&��$��� ��#��'��������)������'��� �#��������������,-.- 67 AULA 12 BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL ����������� ��� ���� ����������� ������������������� ��������������� �� ����������������������������� ����� �������������� �� ��� ���� ������������������� ���� ������������������������� ������� ��� ������������� ������������� ����������������� ����� ���� �������������� ���������� ��������������� ���� � ������������������ ��������� ���������! "� �������� �������������#�����������$���%��&��'����� ���� � �������������� ���������������������������� �������� �������()*+*�,)-.-/,)*0�������������1���������� �����������2������� ��� �������� �� ��� ���!���������"���� � ����������3������������������������������ ���������������������������� �� ���������� �� ���� ���� ��������4�� ������������������1��������5 6��������1������� � �7�8����5�9��������!:;<=">��� ��������� �� �������������1������� � ��� ����5 69 ����������� ����� � ���� ������ ���� ����������������� ������������� ����� ������� ������������� ��!������ ����" �#�� � �$%��& ��� � #������������� ������'��$ � �(�)�������� �� �*��� � ��#�� �������$�������*�� �'� �� ������ �� �����" �#�� � �$%��$������ �������� �������� ��� �� � ���������(�+�� �*��� ����� �������,-.�(�+�� �*��� ����� ���!����� �����" �#�� � �$(/0123456�71�89616�12�:2�1639;5�<1=5>?94/012345�@A�� '������� �� �*��� �B�C�D��%��%��%��E�������� ��A�C� ()�������� �� �� ��� ��� ��%����� �� ��#�� '�������� � ���������$����� F�������� ��G�� � ) ����� %� �� �*��� �B���,(-( 70 ���������������������������� ����� ������ ������ � ���� ����� ������ ���� ��������������������� ���������� �� ��������� �� !88� 0��� � �1����� ��� �2�99�� �� :� �3����"�� � � �� �#4����"�� �� 5$�� 6���%� �� � & ��� �� �7�$� � � �' � � �" � � �� � ��� � � ����� (� � � ����� �&�� � � � � �� � �)*;� ����� � �� �< �� � � ��+�� � � � = ��*� > �� � ? ��,� � -� ��� �� ��� � ���.�@� �� � �� > -�� ? � ���/� ��� A ����� �@ �� B � � � � � � ��� � �� � ��� � ��� � ��� � ��� � �� � ���� � ��� � � 8 ���� � �� < �� ������� � �������� �� � � �DGE� ���� ��9��� ����� �� F�G �������� ���9������� � � ������:� ���C�� ��� ��� ����� �;��� �����������8�� ���G� � 71 ������������ � ����� ������ ������������������������ ������������������������� ��!��"�#$%&�'&�()*&+,-��./���01��� �������2�����3�4� ����5� �����/�4� 6/� � �����0���������������78 9����2�����3���:6;6/� � �����0���������������<8�������������������������������������������������������������������� �����������=��� � ����������� ������������������������ ������������������������� ��!��"�#$%&�'&�(>?@+&�%!��'&��+�&%,$A��B&��C@$-D�0��E ��'@+&�%!��'&��+�&%,$A��B&��C@$-����F ������������� 1���� ������������ �� ��5� ������ �� ��G��������� 6�H��� � ���� ��������� �� ������� �� ��G��������� ��� ��'@+�(I�� �� ������� ��G��/J6 72 �������� � �� ��� �� ������ � � ������ �� ���� ��������� � �� ��� �� ������ �� �� �� �� � ! �" �� �� ��#��� �������� � � �� ���� ��� �� � �" �� �� � ! �� ����� � ! �"$ � %& � ���'�� ���� (��(����� � ��� �&�����%( �")*+,-./01#����� � �����2�� �� ��#��� ��� ������ �� # �&�" " �� � ��� ������ # ��� ����� #" (" " �" 3" 4" 73 ��������� �� ������ � �������� � ��� ���� �� ������ � ����! "�#� $�� �� %���������� ������� ��� ��!��&� �� �� ��' (����!����� � ) �� �$���&�* �+� ����,-� &�,������.����� �� � � �� �� ��� ���� �� ���� /�0����* ���!����1 �� �������� � 2 �� ��3����* ������� ��,"�#� $�� �� ���!����� � 1 � 2* ��%�� ����� ��� .��� 4, 5��� ���6%�� �� 4 ���!��� � 7 ��� .��� �� 8* ���� ���6%�� ��� ���� ��� %�� 7���� 9 � : �� ��;%�� ��� � ��!�, 74 ����������� � ��� ���������������������� ������ ������������������������������������ �����!��"�������������#������������������$����������������������� ������%��!�������������&� �����#��������%��������#����"������'()*�+,-(.,*/�"�������� 75 AULA 13 TRANSFORMAÇÕES LINEARES: AUTOVALORES E AUTOVETORES ���������� ��� ����������������������������������� ������� ������������������ ������� ����������������������� ���� �������� ������� ������� �������������������� ��������������� ���������������� ����� ��������������������������������������������������� !"#$%�&�'#&�(�#)&*+�,#$%�&�- )�#��&.� ������������������������������ ������� ������������/��0����������������������������������� ������� ��������1��2��34�,5-+6�� 7������������������8� ������������������� ��� ��������7� ��������9� �� ������������������ 7������5� ,� �+�"� (:� +��;�<����� 77 ��������� �� ���� �� ��������������� �� ����� ����� ������� �� �������� ��������������� ����������� �!"#$%"# ����� ������� �� ����� & '��& '��� ���(�� �� ���)����� ����*����+���������, 78 ��������� � ������ ��� � �������� �� ����������������������������������������������������������� �������� ���������!������� ����"� #$ ��! ��%���������&'� � �������������������������������������(����� �����)���� �*����+,����� �������������-�' ��-��.�������������!������� ����&/�0�� ���1�������2��1������1������������ �*����+����� �������������������3�4 ��� �������� �*����+����� ���� *��� �����������+��������������� ��������(�������������3�5�������� �*����+����� ���� �������������������������������+��� �����+�� ���� ��� ����� ������(������ �����6 ���� ������������3 ������������������������� �7�8� ��-�9��������:;<=>? 79 ��������� � ������ ��� �� �� �� �������������������������������������������������������������������� ��� ���!�������������"��������������#$�%������������"&�����'������(��#$�����������������%)�������*����������������� ��� ������+,�-��.� �/����/���0�!�� � � ��1�-� 2� �� �� � � �0����34567!�*�������������8��������#$�!��� ���9:���������;�<=���!� �������$��>?�*��@������=���������!������A�!���������������������=�����*�����*���(�������!����$��� � � ��1�-� 2� �� ��0� � � �0����345B7!�*���������������������#C��!�0:�D������� E��������������������>��������������#C��!��������*������������'��*��EFG -��)�A�� !���������������������������������������������������E�<*�������� !������% 80 ���������� � ���� �� ��������� ��� ������ ���� ��������� ��� � �� !� �� �������� ���"�������� �� ���������!�� ���! #!�# �� ���� �������� � �! � � ���" #���� !� �� ��$% � � & �'������ ������������� ���� �� ������������������ ������" #����������������������( ���� )�#�!�� � �!� ������� 81 ����� � ���� ����� ������������������������� �������������������� ���������������������������� ���!������! "��#$ � 82 AULA 14 PRODUTOS ENTRE VETORES ����������� ��������� � ���������� �� � � ��� ��� ������� �� � �������� ������ ������� ��������� � ���������� ���� ������ ����� ���� ��������� ������������� ������ ������������� ��� ����� � �������� ������������� !"!���#����$������% � ���������� �&�'��� ������ �� ������������� ��� ���� ������ ����'����(� �� ��)�����*��������+� �����%� ����� �� ������ ��� � ���� ������ � ������ ��� �� ����,� ���� ,� �������-�� ����� ��� �����)���-�� ����� ��� �����)��./�01"�2�� ��� ����������� � 84 ����������� � ���� ������������������������������������������������������ ����!�"�������������� ����������������#��������������$����������%����&��� �'���� '���������(��)*���� '������(�+�� '������(�,��������������������-�����!�.��/��0������� � ����1������������������������������� ������������ ����'�����������������������������2*������34������������������������ �������������������5'���������������������������������� �����67�8�7�9:������������������������������ ������������������� ��0���;�� ������67�8�7�9�<������������������ ������������������ ����'�����������=����������&��������=%�( 85 ����������� � ������ ��������� ������� ���������������� ���������� ����� � ��� ���� �������������� ����� ������ �!"� �������������� ����� � ������� !��������� ��� ���� ��#� $�%��� � ���� $����������� �����$ ���&'()*+,'-��+).��/�'(���+)�(!��������� �� ����0���������� �1�������� ����� ������ ������ �� �"������ ����23� ����� ��� �����3� ����������������������� 86 �������� ��� ��� �� ��������������������������������������� ��!�"������#���������$������������������!������������"���%�����&'�����$���������'�������������(���� � ���� ��������� � ���� ���������'%�����)�*���������������+,- ��������#.�����������$��$����������)�*������������� ��'�������/0����1-�����������#.�����!�'������-���� 1$��+23 45��6��$������)�*��������������'������� ��� +�0� �� �������!�'�������$����������������� /�����*�����������%���$�����������.����������'������/�*����'�����$��$�������$����������/�������0�������� 87 ���������� ������� � ������ ���� �������� � ���������������� !"#�!"��"�$���"����� !"#�!"�%&��&���'�(�� )*)&���)����� +�,�'���-����*� � &)�� ���'��)(.�*���&��� � �� ��,��*�������/��������*) � � ��0�1�2�������'�(� )*)&���)������3�)4��5��� ��.�����6�������� !"#�!"��*��� � �0 88 �������� �� ����� ���� ��������� �������� ������������������� ���������������� ����������� �� �������������� �!� ��� ��"#$$%&#$�'()%*#)%$+� ���!���� � ,���������� � ������-.������������������������������������������������������������������������ 89 ��������� ��� �� ���������� ��� �������������������������������������������������� ����!���"����#�����������������������$%������!��� ���� ��&� ��������������� ����������������������������������������������#�������'������& ������������������������%���(���#�#������#������������������������������� ���#������������������������#�����������������!������ ����$%�������������������������� �����&�)������������#�����������#��#���������#� ������#������������� *������+,� -.� ���&/�0�����(�#� �������������������� � ����1!�����2��(�& 3�!������#%�����������4�5����'�/�������6789:; 90 ������������ ���� �������� � ����� ������������� �������� ���� ��� ��� � � ���� ������ ���� ���� �������� ������ ��� ��� ������������� ������ �������� ��� �� ������� �� ���� ���� ��� �������� ���������� ������ ���� ����������� ���� ����� ���������������� ������� ����� ���� �� ������������������� ���� �������� � � ���� ���������� �������������������� ���� ������ � ������������� ��� ��� ���������������� ���� ������ �������� ���� �������� �������������������������������� ������� �� ���� ������� ��������� ������ �� �� �������� ����� ������ ������� � ������ �� �� ��� ���� ���� ������� ��������������� �������� �� ����� ��� !���� ���������"�������� ���� �� ��� � � ���� ����� ������� ����� ������ ������������������� ����������#������ ���� � ������������������ �� 91 AULA 15 EQUAÇÃO DA RETA ��������� � ��� ����������������� ��������� ����������������������������� ����������� ���������� �������������� ������������ �������������� ������ ���� �������������������������������� ������� ������������� !"�#$%"&'�(�)��&$%�*�+�����,���������,���-����� �������� ������������ � ���� ���������������� ����������������.�/�0 �����0� 1� ���������� �������������� �2�3����.�4��� ����056789-������������ ��������������������������� ��:�������� ;��������� ������� �� �� �������������������� ������������������������������������ ������������ ���$��� !"�#$%"&'�(�)��&$%������.����� 93 ��� 0�4�+ ��� � � ��� � �� �� ��� � � � � � � �� � � � �� !�� � 1 � � � � � � 2 � "� � �� � � ��# �� � � �� �1 $ �� �2 � � � ��, � � � � � �� �� � �!�3 � � �� � � �� �' � � � ��! ��� ��� � � � � � � � ���-.� � � � � � �� 1 �& � 2 � � � � � '� � � �� � � � ( � � /�� � �� � � 3 � ! �� �� � � �� � � � *���� � � � �� �!�� � � � � �� � � �� � '� � � � � ���� ! � � ��&"�� # �!��� �$ �� �� �� % � � �� 3 � � &� �� $ � � � '� � 1 �(� ! ��2 � � � � ) � � * � � �� !� � � ��� � ��' ��5 � � �� 6 & � � 7 ! � � � � � � � � 8 � :+�9; � �-� ,��)�$ � �� � �� ���� � �<��<����� �� �� �� =� ������ ����� ��� � � � � � �� �� �� �1 2�� �� ���� � �� � �� ��� ��� � ��� � �� ��� ������ ��� ��� � � � 94 �� � � ��� ��� � ��� 12 ��� �� � ��������� ��� ������� ������ �� �������� ��� ����� ����� � �������� �������������� ������� �������� ������� ����������� �� ������ ���������� ����� ������ !������������������ ���� ����"#����� � �������������$� �� ������ ������� ������������ ���������������%&��������� ���� ��� 95 �������� �� � �������� ��������������������������� !���������"��������#�������$��%������������� !��$��&���%���������#��$�"��������$%�"���'#���$�(������)����* +��!��������$���,����������������� �� � �����������&���$%����%���*-� � �.���/�/� ��� �./�0� ����� �� 1� ������0��� 2����������$����$�����$�����"�"�$��������$����"���#��$$��������,�������������$�%���������$�����$�� ���������"���������$����"$��3���"�4�5�6�����7���"���8��7�* 96 ��������� ��� ��� � ������� ������������������ �� ����� ���� ���� �������� ��������������� ���� �!� "�#����� $ ��%�� "���&�� � ���� �"�" �� '������ ���()������ ��� ������ ��� �&��()����"�� ��"������ ��"� *+,-./�01�0-23�41523������������� �"���6�$����� ��� ����"�� ��" ���� � ""#� ��� �� 7���� " ������ � ������ �&� ������������8������9%:��������#���������6�$����� ��� ��� "�� ��� "� �;/0/3�/3�01<2=3�1>1<?./3�01352�2-.2�314@/�413/.A=0/3�+2A=01/2-.2B 97 AULA 16 EQUAÇÃO DO PLANO ����������� � ������� ���� ��������������������������������� ���� �������������� �������������������������� � �� ���������������� !"#�$%& '�(#�)' *#+ �� �������������,� � ���-�������������� �������� ��� ��������� ���� ��������� �������������������� ����������������� � ���� �����,������ �� ��.������� �����/�����0 ��������� � �������� � ��� �� �� ��������� � �����%�� !"#�$%& '�(#�)' *#�1�2������3� ��������3������������� � ��� � �������� ����������� ����� ����� �� ������� �������� �45�� ���� �� ��� ���� ��������� ���� ��� � ������������-��������� ������������ ������� � �� 5� ������ �6� ����������� ��� +��������� ������������� � �7�8������9������ �:;<=>?@����������� �������� 99 ����������� � ������ � �� ���� � � � ���� ������� ���� ���� ����� � � ������� ���� !� " �#� $%������ "���&'(�)*� !� " �#�+ ���� � �����,����� � �-�� , ���� ���-�.��� ���� ��� ������� � �� ���-���� � �-�� ����/,� �� � �� �� � �� /�� ��� �� � -�������0 1������� ��� ��2� � �� � �� � -������� �� ������3�� � ���� ��-������ �� �-�� 04�5� �6���- ����6 $ 7��� � �����,����� � �-�� �� 8 9 ���$ : ��� � ;<=>?@A� /�� ��� � �� ������3�� � ������-������ �-�� 0 B� CD��� ������ , � ��E/�- � ��-��� ���$ 100 �������� �� ����� ����������� ��������������������������� ��!���"�#�� $�!�%��%��&���"�%�!�%�����"��%�������%�"'�!�%�#��'�!����"�( 101 CONCLUSÃO Prezado cursista, Neste curso, vimos conceitos importantes de Álgebra Linear e Geo- metria Analítica. Começamos por conceitos básicos de vetores, coor- denadas cartesianas e polares, tanto no espaço bidimensional como no espaço tridimensional, métodos de solução de sistemas lineares, matrizes, subespaços vetoriais, bases vetoriais, transformações linea- res, autovalores e autovetores de uma matriz, produto entre vetores, e fechamos com as equações da reta e do plano. O nosso curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica chegou ao fim. Esperamos que você tenha aproveitado e que aplique os concei- tos em sua área de estudo! 102 ELEMENTOS COMPLEMENTARES LIVRO Álgebra linear Autor: Elon Lages Lima Editora: IMPA Sinopse: O Autor Elon Lages Lima é pesquisador do Instituto de Mate- mática Pura e Aplicada (IMPA). Professor da Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas, professor honoris causa da Universidade Federal do Ceará, membro titular da Academia Brasileira de Ciências e da Third World Academy of Sciences. É autor de vários livros de Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar. Este livro recebeu o Prêmio Jabuti de Ciências Exatas e Tecnologia de 1996. É um livro introdutório de Álgebra Linear. Foi escrito, segundo o autor, a partir de experiências como professor e de reações de alunos. Ele traz, além da teoria, diversas aplicações de Álgebra Linear. LIVRO Álgebra Linear Autores: José Luiz Boldrini; Sueli I. Rodrigues Costa; Vera Lúcia Figueiredo; Henry G. Wetzler Editora: Harbra Sinopse: O livro é pensado para alunos de graduação e não possui como pré-requisito mais do que os conteúdos aprendidos no Ensino Médio. Foi escrito por professores da UNICAMP que se preocuparam em colocar ao longo do livro o uso dos conceitos discutidos. Possui exemplos geométricos e aplicações. É essencial em um curso na área da Matemática praticar os conceitos vistos, pois além de trazer uma teoria muito bem escrita, possui no final de cada capítulo muitos exercícios. LIVRO Geometria analítica Autores: Alfredo Steimbruch e Paulo Winterle Editora: Pearson Sinopse: Originalmente publicado como Álgebra Linear e Geometria Analítica, este livro foi desmembrado em Geometria Analítica e Álgebra Linear. A simplificação do texto tornou a obra extremamente útil no processo de ensino-aprendizagem. O volume Geometria Analítica foi totalmente revisado, os conceitos foram reformulados e acrescidos 379 problemas. Após cada exposição, há exercícios propostos e resolvidos. 103 REFERÊNCIAS BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZIER, H. G. Álgebra linear. São Paulo: Harbra, 1986. BOULOS, P. & CAMARGO, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3a. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005. STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2a. ed. São Paulo: Makron Books, 1987. VENTURI, Jacir J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 10. ed., atual. Curitiba, PR. 2015 WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014. 104 Inicio Sumário Aula 1 Aula 2 Aula 3 Aula 4 Aula 5 Aula 6 Aula 7 Aula 8 Aula 9 Aula 10 Aula 11 Aula 12 Aula 13 Aula 14 Aula 15 Aula 16 Conclusão Referências
Compartilhar