Buscar

Álgebra Linear e Geometria Analítica

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 3, do total de 104 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 6, do total de 104 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes
Você viu 9, do total de 104 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você também pode ser Premium ajudando estudantes

Prévia do material em texto

ME. CAIO PRESTUPA MALTA ROLIM
Álgebra Linear e 
Geometria Analítica
SUMÁRIO
aula 01
Vetores 04
aula 02
Espaços vetoriais: definição e exemplos de operação entre vetores 10
aula 03
Coordenadas cartesianas no espaço bidimensional 17
aula 04
Coordenadas cartesianas no espaço tridimensional 23
aula 05
Sistemas lineares – matrizes 29
aula 06
Métodos de solução de sistemas lineares 34
aula 07
Matrizes: forma escada 39
aula 08
Matriz inversa e determinante de uma matriz 45
aula 09
Expansão de cofatores, fórmula de Laplace e regra de Cramer 52
aula 10
Subespaço de um espaço vetorial 57
aula 11
Combinação linear 63
aula 12
Base de um espaço vetorial 68
aula 13
Transformações lineares: autovalores e autovetores 76
aula 14
Produtos entre vetores 83
aula 15
Equação da reta 92
aula 16
Equação do plano 98
Conclusão 102
Referências 104
INTRODUÇÃO
Olá, aluno(a)!
Este curso nos fornecerá a possibilidade de aprender conceitos im-
portantes relacionados à duas áreas fundamentais da matemática: 
álgebra Linear e geometria analítica.
O conteúdo exibido neste curso será de grande importância em 
qualquer área de exatas, como, por exemplo, engenharia e ciências 
da computação. Diversas operações que realizamos em um compu-
tador ou smarthphone possuem conceitos de álgebra linear e geo-
metria analítica para serem efetuados. Na engenharia, para a análise 
numérica de qualquer objeto de estudo através de softwares, é ne-
cessário, no mínimo, o conhecimento básico destes conceitos.
Portanto, esta disciplina tem como objetivo capacitar o aluno a reali-
zar operações lineares e trabalhar com espaços vetoriais, com a fina-
lidade de aplicar esses conhecimentos posteriormente em estudos 
específicos.
AULA 01 
VETORES
�������������	
�����	
�
�����������
���������
������	���������������
���������	����
������	��������������
��
��������	�������������������	�������	���	����	��������������	����������
�	������
���	��������	��� !"#$%!�$&'!(! ���� !"#$%!)$*+ ,!(-. !"#$%!�$&'!(! ���/���
������������������"01$ +���������
�
����		�����
�����2���3����4������5��. !"#$%!�)$*+ ,!(��/���
�����������������	������������
���6��	��������	���������	��7���������	����
���	����������	������������
�
����	����������
���	���#, $89+�$�+�&$"*,#+�
������	���������������7���������	���	��� ��������
�	��
��������
�����
��
����	�
�������������
����
�	�����:�;�	�<������2=�5�����	������2>��5�
?�����������
���������	���	���@�A����:�B������	�2CDEF5G����
���
�	������2;�	�<�����������	�����5����������������������
����/�����
�����	:���	�����������7���
�	����������/��	
��
5
��������	
�	���
���������	���������	��	������	�����	���	��������	�	���	�	�����
����	� ����!
�"	#	��$�����	���������	�	��	%��	����������	%�����	��	��	��%�&�	�������'�	��	��(��	��	�)��%'�	�*��)������	��	��$�����	#��	���	���*��	%������	+,����	����$�����	-#��.�	�'�	��%�������	��	�����	����+������	�	%�����	��%����	-#.	���	�	%����	-�./	0	%��+���	����&1�	������	2	����3�+��	��%��	���������	��	���	�	��$�����	-#��.	�	��4������	��	��$�����-��#.�	%���	�1�	��	�����
��	5��� 6 ���/
7����	-#��.	�	7����	-��#.	8	9����:	;�	�����	-<=>?.@�����	�	%����	��	���$��	-#.	��	��$�����	+���+���	+��	�	%������	�)���������	-#.�	+,������	����	��$�����	��	���
����	�AB�"����	����+�����	�	5�
C �
����	
�	A
	���
�����	�������	��D���%��	�)��%'��	���	�	��$�����	#�	���	+��%�������	 /@�����	,E	����	��$������	%���'�'��	+��	��	������	������������&1�	�	��������	%������	+,��EF'��	��	���
������GA�C�B�����/	����	������������	����	�������	+�������%�'������	�������	��D���	%��	�)��%'��	���:	HI	J	KL/
6
���������	�
��
�������	�	������	��	�����	�������������	������	���������	�
��
�������	��	�	�������� 	���������	�
��
�������	��!�"�#���	$%	&	$%� 	���������	�
��
�������	��������#���	$%	&	'(	)	'(	&	*+	,-$%	&	*+� 	���������	�
��
�������	���.���/���	$%	&	'(	)	'(	&	$%0)123456	7)	8)96:);<�	#����	 
���	���	�������	/���	��	/��=����	��	����������
��
�������	�	��	��������	���������	$% 
7
��������	
�	����
	�	������	��	����
	��������
����	
���
	������	����	� 	!	��	��"�����	���#���
	
�	$��%����&��
����	
�������
	�	����
	$����	'	��(�
�����	
����#��
	���	��	����
	(������	)*+,-.	/0.1)2	.,3.)415)607.89	+516:;.	6	<6075+.=	>	�?
�#�	
�	��	����
		(�
���
	
�(
������
�	$����	 =�@�����	�#"����	$#�����$��A��	��(�
������	��B
�	����
���C67.1	0,-.�	D���
�	�	����
	
�(
������	��"����������(�#�����	��#��E	(�
��
�	��
	
�(
������
�	(�
�	FC67.16<	5G,25<H	D���
�	
���	����
��	���	�"����&	��
	�@��(#��	E	(�
������	 IC67.16<	.4.<7.<H	����	����
��	���	�(�����	����
�	�	(����
�	��J$��	
�	��	����
	��	$���$�
�	$��	�	(����	
�	�!
����	
����
�	����
E	��	��%�E	(�
����	��
�$�
	�	����
	�(����	
�	(�
	 	��	 FC67.1	,057K15.H	L�	����
	!	����M
��	����
�	���	�?
�#�	!	�E(�
	�@��(#��	 FC61<.1H	'	��	����
	����M
��	���	���	�	�����	+516:;.	6<6075+.	
�	��	���
�	����
I
8
����������	
������
���������������������������������
�����������������	������
�������������������������� ���� ��������	���!
9
AULA 02
ESPAÇOS VETORIAIS: 
DEFINIÇÃO E EXEMPLOS 
DE OPERAÇÃO ENTRE 
VETORES
��������	
��
�
��
��
���
����
�
���
���
�
�����
���
�����
�����
�
����

�
��
��
����
������� ���
��
�
��
��
����� ���
��
�
��
��!�
�"����
� 
����
����
��
�!�
����
�#������ 
�
�
���$
��
����

��%
�
����!�
��"������&������
��'�
�����

��(����)�������
 �
�
��
���
� 
����
����
��
������
����*���
�����
�(�����
&
( ��
�����
�+�,
�
����"���
-�.�
���
������
��-�/� 
���
������
���������
�����
��
,
�
����"���
�0�1���
+�2��
�����345678
.�
���
������
���0�1���
+�2��
�����345678
11
��������	
��
��������
������������������������	�����������������������
���������������
��	�����
�� ��������
�
�������� �������!������!�������" ���#$%&'���%()*+,)+-&'�	��
��.	����
� ������!�
��������	����
�������������/��0��
1����
�� ����������������2��������3�
12
����������	
���������
��������������������������������������������������	������
����	��� �!�����������
������
�"#��������!��������$���������	�����
��	�"%����
 ���	���	��&'()*&+�	������"�!��������,)*-.&.(/(0&012� 3&++),(&.(/(0&012�/1.)4�5-6)2�!����� �������
���������	�� 3(5/14+)�&0(.(/)2��
��	�� 7�
��!����� ��$���������8�
��!����� ���
����	������������	��(5/14+)&0(.(/)���
�	��+(*9.4(,)�	���������
��30(+.4(:-.(/(0&012�;'1*<6)+�01�)<14&=>)?�	������!������� ��	���
��	��
�����@A
�������$���
��
���B
13
��������	
��	��
����	�	���
��	��	��
��	��������
��	�����	��	�
������	������ ��	
��	��
����	!	�
���!�	��	"#$"%&'	(%"%)#)'$"%*'+	,	��-��	��	��������-����	��
�.���
�	/��0/�����	�������	����	��
����	/��	����	��	�����	���
�0�������	�
������	��	���1��	���������	��	
���	��	����	��
��
���	���
��	�����
��
�+		,���������	�	�2�����	�.��2�0	�������	�����	/���	����	���	��
����	 +
��������	
��	�	��-��	��	��������-����	�	���
��	��	��
��	������
14
����������	�
���
�	�	���������������	���
�����
�	��	����
�	�������������	��������
���
��
�������
������
������
��������������
���
�
�	������������	���
��������������	����
��
���
�����������
��
�������
������
������������
��	����
���������� �����
�!"#$%&'��	���
��	��	�
���
�	�����������	����������������
���
��
���
(�������������	�����
�)���� �* +�,�	�����	�����
�-	���������
��
����
�������������.�����������	�
���
�	��������		���
���������
���
��
���
����������		�
������������
�������)������������
������	�
�����/�����
15
��������	
��	�	
������	����	�����	��	�������������	�	������	��	������������ 	!"#$% 	"&"#'() 	!" *$	$+($	 ",-)	," )(.%!) 	/$	.%!")$+($0
16
AULA 03
COORDENADAS 
CARTESIANAS NO 
ESPAÇO BIDIMENSIONAL
���������	�
���
��������������������������������������������������������������������������� �������������������� �������
�������������������������������������������������������������������������������������
��
��������
���������
��������������������������������������������������
����
����� !"#�$#% !��#&''% '('&#)*�+����������������������������������,������������
�������������-�����,������'%.!&#.#��/01�������,������#2�$���#��/31������������4����������������,���5�������
������
������������������
�������������6�������,�-
7����������������������6�����8�9����-�:���
����;<=>?@���A6���������������	
��������
�������������;�,��B@��������,������������������������C����B�������������������������D���
��4���������E������������
�����������������������������������4�������������F����������������4��;���6��@�����
���
������������
������������������������6���������������������������������������������6
�����5����-���;,�B@��+���������������4���������������G#%'%.!&#.'F�����������
����� !"#�$#% !��#&'�'2)HIJ'���
����5����������������������6���������
������6
���5������������������,������5����������?=K�����5�������
�����������,�-
18
��������	�
���������
����������������������
����������� �!�"�#�"! $�
���
�%�
����&���
���������������	�
�������'�(
�	���)���*�'���������'����	��+�����*��*����(�
����
*���*������(�
��
*���*�����
�(
����������
�,���*��&���
�����(�
��
*���*������
�(
���������-�
���*�*�.�/�0��*����'��-����������(�
�%1���*��(�
���
*���*����/*�%2����3����(��	�%2�'����,���*�*��*��(�
����
*���*��.��
�����"456!�*��*����(�
����
*���*��'��������7-��(������
����89:;4<:4=�56!�*��(�
����
*���*��'��������7-��(������
����4>9�:"�"��"��<��� �!�"�#�"! '�������
19
��������	
��
������
�����
���
�����
��
�
�����������
��������� !�
"�
"�#�
��$���
$�
���$�
%�����#�$�&
!
����' ��
%��%(���
�"#��)$%#�
�$���
����*
+�,��
-
. 
�
/
. 
"�#�
��$���
$��#�����
%�����#�$�
0#"#��$�#�$��
����
�$%�$����
�
"#��)$%#�
1
�$�������&
!
���%#��
%��%(���
����
�!��"�
"�
2#�34����*
2���
%��%(��������
%������&
"� ����
���#%��	5$"�	
�
 
�6�
��
%������*2���
�$%�$����
�
7#����$(��
1&
!
���%#��
%��%(���	
8#��)$%#�
�$���
"�#�
��$���
9
:�$��	
8�
�(���
.;<=>?
20
�����������	
�������
����	��	
	����������
��	��	�����
�	��	�����	��	��	������
�
�����
��	���	����	��	�������
�
�	���
��� 	!��	������"#�$	
��������
�
�	���
���	���#�	���
����
�
�	���	
	
�%��
"#�	��&������
�	�'(�	���	�)�*'����$	����	�	+�%���		������	���	���������	���	��'���	
��','-�	��	���,'��	.��/�'�0!������	�������
�	��
	�������
�
	���
�	�
	��%�����	&���
1	 	2���1	�	���������
	
	�'�,3�*'�	
����	��	��'�	-�,��$	�	���������
	�	3�45��	
���� 67�����18���9��	��	������
	�
�����
��	�����������
�	
	�������
�
	���
�0
67�����	��	�������
�
�	���
���	:	;����1	<�	
����	=>?@AB
21
����������	
���	
�	�������	������	�������	�����	
���																																																											�����
���	�������	��	
���
���	������
���	������	��������
��
����	�	���	����
���	��������
��
��	��	�����
��	��������	�� !"�	�#� $%&�	���'!	!(%!	��)*&	)��&%+"�&�	,!	+"��&!(%!-
22
AULA 04
COORDENADAS 
CARTESIANAS NO ESPAÇO 
TRIDIMENSIONAL
����������	�
���������
�
�������������	����������
��
���������
��	�������������	�����������

���
�������	������
�������
���
�������� !"��� #��$�%��������&���
�
�������������	����������
�'��������������������
�������
���
��() #���� !"��� #��$*��+,-
���������������./�������
/�
�������&0��
��������1���������������&���
�
����������$
2��

���
���	�
����������������&���
�
�����������3�4����5�6���-��
�789:�;���
�&�
������
�������
���������	�
�����
������<��	��

���
��
��������1��=�
��->���-����
������.��
�$�����������1���1����1�	�
�����
���<��	��

���
������	�
������$�����������1����1����1���	�
�����
���<������
��	&?���
�����
�������
���������
���������������������
����	��/��������
�=�
������<��	��

���
���
�������1$
24
��������	�
���
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������� �!"#$#%&'(���)*������������+��������������������)��,��-�����./�)����������)���)������������)�����������������������������������������0���������������������������������������������)12���	3������������)����������45���)���2��36������7�����������)���������45���)��� �8� �19���:�7���������
	����	��	���	�����;	���
�3����	���<��������������������0������������������������������������������������)��=�����������������*����������>?@�+���������)����������>AB���AC@����������������������������������=��5�1
25
���������	
���
	�
��	�
��
�	�
	
����
	������
���
���	�	�
��
�	�
	���
������������ !"�"#	$�%"� #	!�	 #$"&�'�(�() !#(�!"%*����
	��������
�	�

��
�����	�
���
�	�
	
����
	������
���
���+�
�
�
�	�
�	�
��	���
��	
�	#(#' )"#	,(%-!��(,�#	
	
�	#(#' )"# #./�(,�#0����� !"�"#	,(%-!��(,"#1
�
�2���
	�
	����
��	����
����
	3����
���
���+	���	�
�	
���4����
	�
	���	�
5�	������	67	�
�
�
�	�
�
�����	����

��
����	���8������	�
�
�	9	�:++;�<	=��
	:	4	�	���������	�
���	�
����
	>?+		4	
	��@��
	�
���	�
A
�
��
	�
	
�>
	B+	
	;	4	�	������	��
����
����5�	C	3��
<
26
��������	��
���	��
	
��
����	��

��������������
��������������� !"# #$�!$%&�'(#$��)������������	
��
���	��
	
��
����	��

�*�
��
���	��
	
���)+��

����������	����,�-�����	����)��.�
�
*���	����,�-����
��������	��
��,�-������)�������
�������/*�����,�-��������0���
���
	��
�������12�����
�)���
*���	�����	������
����
���	��
	
���)+��

�
�����3�4**�2����5���4����������
�
	���,�
�
����
��	
����-���
�+���������32
27
��������	��
���	��
	
��������

��������������
�������������� !"#$��!%!"&'(�� !�)#�#*'#��!+,(�+!�('-$ (��.#�-$ !(#*'#/
28
AULA 05
SISTEMAS LINEARES – 
MATRIZES 
�������������	
��	��
�����
�������������
	����	�����������
���������
��������	�
��������
	���������
�������
������	�������������
��	
����������	������	����������
����������	
�
�
�	������ ���
�����
���� ��
��������������!�	�����������������!������"��#��������������	������
�������
���
�� ��
����
��
����	���
���	����$���	������ ���� ���
��	
���
�	�����%&'()*+,-./���������
�����	����$�0 1������%&'()*2(+3-/�������
��������	����$�0 1��4��������
��
�	�	
�����5/'),6�73/8)/8/����� ��
�	�	
�����5/'),6�)&'/-93+/)�:;&5<+(=�8&�5/'),6&=:;&5<+(�>?
�������	
���������������	����$���/�@� ���A�@� �B�=(5/����/CA�������������������������������������������������������������������
30
�����������	
�	��
���
������������������
�
��������
�������������������������� � ����� � !"�#���$�%&������'����()	�*+��,�
��������
���������������������� � ���
��-���
����.�/�����.���.�0�12
���� ���
�
31
��������	
��
�������
�������������������������������������������� ��

�!"��#�
���#��$�
%���& ����
��'����
�����
��� (
�)�")����� �#���
%
�����
�
32
����������	 	
���
�
	��	������	��������	�����	����	�����	����������	��	��������� 
33
AULA 06 
MÉTODOS DE 
SOLUÇÃO DE 
SISTEMAS LINEARES
�����������	
������
����
������������������������������	��������	���
��������������������� �!""�������#$�%��%�"!&"$�$!��������#$�%��%��'��(�)����*����������%��+�!"",����������������	�����	����	�	-�����
�
�������	���
�����	������	���
����������������%��+�!"".�/��������������
���������0���
���1.����
	��	
�����
���������
�2��������
	-��������������3�
��45678.9.���������������
�����������:
	������
������
	-����������45678�
�
����3�
���4 �����������������
	-��
	������
��
�
	�
.0.������
��	
�����
��
����;�2������	�������	���
�4 ��������������
��
�
���7��	��	����
��
���	;�.<�
���������
�������=�
��;������>��
�	?��
.*@��(��A����;��������	�����	�������	���
�
������	�	�����������	�����1�2�/�����
����������
	-�����������45678��������
35
�����������	
��

�����������
����� ����
	�	����������
���������������� �	���!�!"!�#$������ ��%	&�����	
��

����	���"'�#����(�)$*!+�
	�	��������&�����	����
��������	,	�	

�����&���	������,-
���.��/��������0�
�,�&��
��&�,�
������%	&�����	�
	���	�������&���	������,-
�����
	�	��������	������	,	�	

�������	0-
�����,-
���.��/��������0�
�,�&��
��&�,���������������
���	���,�
1���2������
�3�������������	���	,	�	

�������
�3��!�!"!�#$������������	
��

�����"'�#����(�)$*��.��
��	
��

���������4���	� ��%	�
��5�����
	���67�8�9�:,
����	
�&������,�-,��������
	���,�
	���&����-.�
�
-�;4��	0�	���3���%	����5������
	���6
�������������������������������������������������������������
36
���������	
����	
�
����
�����������	���
��
����
�
������������������������ �!"#!�$�"$%&����
�����	������
�����
�
��	���
��������
���
'
	�	
(�)�����
���������*��
+*
��
���,��
��
������	
��
��
����-
�(�.�����
�/��
��
�	
�
�����*�����
�
���
0'��(123456�7��'��
����
��
����
�
����,�
����
�������	��	
���,��
��
���(8�����	�� �����
�/��9:���
���;�<�,��
��
�	�� �����
�/��9=���
���;>?�������,�	�@�
���*�����	
� ��
�'�����@�
���*�����	
� �
�������
������	���
����-
�(�A
��
�'�����
�
����
�'�����������
�/�9:(���������	
����	
�
����
�����������	���
��
����
�
����������=�B��������� �C�45 D %&����
�����	������
����
�
��	��
���
��
�����
�
��
��	
���
����	���
����-
�(�8����@�
����
����*��
+*
������	����
����-
���
���'�����������	�����
�'�����@�
���������*��
+*
�(
37
��������	
��

�������
�	�
��
	��	�	�����
����������
�����	�	�������
	���� ��	�
���	� !"��
���#���
	���� ��	�
���	� $"��
���#����	�	���� "��
���#���
	���� "��
���#�������	
��
	������%	�
��
�	�
���	� !"��
���#&����"����
������'
��(�
�	���
������������
�	�
��
	������)�*!"+,
38
AULA 07
MATRIZES: 
FORMA ESCADA
�������������	
���
������	����	
�	���������
���
	
�
�������������������������� �!"��#�$��
�	
���
�%&��%��
�'�������	
	
���
��(��)
��%���%
�*��	
�������
�
�����
��
�'�����%�
#�+
�
�	
�	
���
������
����
�
�'��
�*��	
����
�
����
�'�����
�
��%���
���%������,����-.#�/�%�
��%��
���
�	
���
����
�&��
0
�1���
����%�
��%&��%��
�2#�.3����	�%�������
�
���%�
��%&��%�������)������.4#�5��
�
���%�
�(���)��6���������7��	����	�%������
��8�.�8������
�������	�%����
���%�
�
%�������9*��	
�������
�
:;#�<���	
�����%
���%�,	���.3����	�%���%&��%�������
���	
��%�
���%�&���������������������	�%��������
�����%
��&����
���
�
���=>��� ��?�
���@(������
��	
���
���
0
�1�����&��%
�*��	
����
�
�����
��
'�����%�
�����%&�# ���&�����7�%
�*��	
����
�
�����
��
�'����%�
���'��(���%&��
��%���AB�C���D��E��7�%
�*��	
����
�
�����
��
�'�����%�
���&�����7�%
�*��	
����
�
�����
��
�'�����%�
��'��(���%&��
��%���D
40
����������	
�����
����
���������	
���������������������������� �!��������!�"�#��!#� �#��$���%��&��'��
	
�������	���
���
����	
��
��������
���(���(��
�����	
����
����
���������	
��������)�	�����������*+	�,�����������
�	���	����-�%��./��	
)�/�
	����,���������
��*��0�1��	������
�
���,��������	�230���
	��
��	��
����
	��������	��+	����	�����
����
��
	�����4����(��
�����
����
����5/�(�����
+	�
�����	�����"�%����$�67�!!%!�!����$�670�8��	�	��
����
	��������	����
	������+	����9������
����
�������/����:�!���$���!����%��&��$!%��%��&�#!��!�!%!�!����$�67;<0�=�������(������
����
�����������	���>�
�	��	��������	���>?/�������	
��/��	
����	�	��������	��,������30@0�A���
����
�	���
�
��	�	��	��	��
	���������	�����
	�������>?/��
�>)�������������
��	
��0B0���
	��
�C���������D���
���������
����	�����	�����
�	
/
���
���	C�������������
����
�������0E0�F�����C���	������	��3��	�B���)��	
��
������
���	
�,��������������
�������	
�����
����
���������	
�������0G�
���������
�	������	
����������	�������	/�>��	������
�
�������H����	0IJ!�$%�K
����	
��������
���LMN��D��H	�����	
�����
����
���������	
������0
41
���������
	��������
��������
���������
42
���������
	��������
�������
43
���������
	�
�����
����
����������
��������
44
AULA 08
MATRIZ INVERSA E 
DETERMINANTE DE 
UMA MATRIZ
���������	�
������
����������������
���������������������
��
����
�������	����������	���� !�����
�����
�������"�
��������������������������
�������#$%�&�'(�������#$%�&�)����
��������"�������"��������������'�*�����
��
�������+�����������
��������"����!��	��,�����
������
������&�#-�.���/��#0/�#$%��1$%.23
������
���
����������������������
��������"�����,����!���
�	���	�������
���������4���	���������
��������"����!�������	��������5��
��������%#�����%!������6�78����������������
��������"����� �����
��
�����������������	����!����5�������5������4������������������4���7�9:�8�����;�,�������5�������	�������
��������
�������<=> ?�����4���������
�7�@:�8�����A�)�������
����
��������
�������<=> ?�����������
��������������	�����!�����",�����
,��������B����'�C:�8�����A�D�E����
������������������
����������
��������������	�����!�����	���5����
��������
������� !��
����� �,��
��������"��������=2
46
��������	
��
�	��	������
��������������������������
������	
���
�������� �!��"���
������
������	���#��$�% &'
(��������)�*
���+�
��
������
������	���#��$�% &��������+�
��
	#���#����
�"��,��-���
��.��#���.��#��#	�/�����
0��������)�1�2�������
����	
��
���+�
��#�����+�
���
	#���#����
"��,��-�
	��"��
3�������
������	���#�� -�	��
�	� �.�����
������	
���#	��4
47
������������	
�	���	������
���	����	������	���������	�	��������	� !� ����	���	������� � ��"#�	������� � ���	�$�	����������	��	��������	�����%&���	!���	����'�����(	����	���!�)���	��	���	������	�	��*��+,*�-�	��	��	�������������	��	 $�	����%$��	����	� !� ����	� ����� ���	��.�)��!���	� ���������"
������	 ��	��/����	��	������� � ��	��	���	������	��	������ �����(	���	012	��	313"
���	� !� �������	�	������� � ��	��	���	������	 �	�����	��4'4�	)�����	/����	�	��)���%$�	��	�������	���	����	���.� ����	�����(5	��������	� !� �������	�	������� � ��	��	���	������	6'6	������7��	
�	8����+"9�7��	
�	8����+
���	� !� ����	�	������� � ��	��	���	������	6'6	����	��.��	��:������	)����	��.���	��	��.�� ���	������(;<	=	>��������	��	4	���������	�� ?��	��	��	4	���������	!��� ��@4<	=	A !� ���	�	����	���	��������	���	6	���.� ���6<	=	:�)�����	�	�����	���	��������	���	6	���.� ���	����	����	�����������	���	6	���.� ���	��	����%$�	������":�B�	���	������	1	6'6(
48
�����
��� ��� ��� ���
49
��������	
��

��������
����
�

���������
��������������������
�������������
�������� �������
����!��������������
"����������#����
�

�#��
���
�����

��������
����
�

����������$%�����
����&��������
����
���
'����#�������������
�����
�����������
��������'�
�����
������������
��

����������
����
�

��
50
�����������	
��	
�������
�
��	���������
�����
�������
������������
���
�������������
�������������
�
������������
��
������� 
!������
������
������������
�"�������������#
����$% 
&�
�����
��
���������
��
���
���'�
��
������
���
(���#���������������
�
������������
�����
�����(
����
)*+ 
,
������������
��
���
�����(
������
����
�����
��������������
��
���
�����(
����������#
��
��-�$
*. 
&�
'��/��
����
���'��
��
�������
��0������
��
���
�����(#
��1��
��-��
�������������#
���������������
���
����������������
)*2 
&�
�
�����(
���
����������#
3����
���������
�
�������
����������
���������
����
���������
�
������������*4 
,
������������
��
�����(
�"�
��
������
��
/��0
�����(�����3���56��
��������
���
��
���'��
��
������� 
51
AULA 09 
EXPANSÃO DE 
COFATORES, FÓRMULA 
DE LAPLACE E REGRA 
DE CRAMER
��������	
�	��
������	�	
������	
������������	������������	�	������ �����	��	!��	���� "	��	������!#�� ��	�	$%$&	����	#��	�%��#'�&	(%(	�!	)%)&	!� ' "�*��	�	
������
�	�������+,	-.��!'�	��	/�#'���	��	���!��	��	����	��	�����	��	�'�������	��!��	' �0�	�!	��'!��	#��	��!�	���#��� 1��	��
������+	���	 ���-�'����	2!�	�	�%#���3�	��	��-������	4	!� ' "���	������	��	-.��!'���	/�#'���+����	���������	2!�'2!��	��-����	��	!��	���� "&	5����	!� ' "��	���6! ���	�2!�73�89�	2!�		�		�3�	��-�������	:	#�� 73�	��	�'������	��	���� "&	�	4	�	���� "	2!�	��5��!	��	��� ���	�	' �0�	�	�	��'!��	��	�'������+����	�����������	��'0��	�	#����� �����	��	-.��!'�	��	/�#'���&1����	� 1 � �	��	�'6!��	#�����8;<	*	9���'0�	!��	' �0�	�!	��'!��	#���	-�"��	�	�%#���3�	����-������&	��	#��-��=�� �&	#���	-�� ' ���	��	�>'�!'��&	�	2!�	#���! �	��� ��	�?����	��	"����+@<	*	9��������	��	��-������	��	�����	��	�'�������	��	' �0�	�!��'!��	����'0 ��+$<	*	A�'�!'�	�	������ �����	#�'�	�%#���3�	���	��-������&	�!	��B�&-�7�	�	����	���	#���!���	���	�'�������	#�'��	��-������	��	' �0��!	��'!��	����'0 ��+�������A�'�!'�	�	���� "	C	2!������	(%(	�5� %�&	#�'�	-.��!'�	��	/�#'���+
53
54
������������	��
���
�����������������������������������������������������������������������������������������������������������
���������������� ���� ������������������!����"����������#����$�������� �����������
��������%������������$�������������!����� ���������������������������&����������������������������'����(���������������$�������)��$���������������"��*+��������������������,-����������������$������������������������������������$�.$�������������������/0�-�����1�2����������������������������������������������������������������������(�����$�������)��$���������������"��*+���&���$�����������������!����'��������
������������3�����$�������������������������������&����������������������������',40�-�����1����$���5����������������������������(60�-�����1����$���5��������������������������������$��������!������%������������$�������������!����$�������������������$�����������������������������,70�-�����1����$���5���$��������!���� �������"��*8��$�������$���,9:�	;<=���$����������������������%��>���������
������������,
55
���������
	��������
��������
���������
56
AULA 10
SUBESPAÇO DE UM 
ESPAÇO VETORIAL
��������	
��
������
��������
�
��
������
��������
������
��
�����
���������������
����
�����������
�������
�
�����
�
 !���
�
��"��
#�
������
��������
$
%����&
'�
�����
()*+,-	
�����.��
/���
������
��
��
��
������
#�
�������
���
��0��1����
��
�������
(
 �
����
��
�������
( �
����������0��2�
���
��
��0����
( �
'����
3�����
�������
0��0������!����
������������
��
��
�������
���������&+�
*
#4)�
#�
�
#�
���2�5�
6
#47�
#�
#�
���2��
����
����
�
 
#��������
0��0����
/��
�����
��
89��:8;
��
������
���������� �����
��
0��<����
)
���� 0��
����
/���/���
��
������
������������/��
�
��
������
��������
(#-
���=
0������
��
������
��������
(>-�
58
����������	
�����
���
��	�����
�
�����������������	�����������
�
����	��������������
� ��!
����
�����������	
�����
���
��"����������!�����������	
������#
!
�������$�%�$&'(�$���)�)')$��*�����	��!�����"� ��!
���
	�*
��	������
���*����������
���"��	�+	������	
�����
���
��,-�.&��$,-�.&���/0
�
��1�!	��2�
���!������	
�����
���
����
!���
*
���
��
�23��
�
�1���������	����*
45�6� ����� ��7�"������*8�*
�����59�
7����	
�����
���
��:�;�*
�4����
�
����<�=>90������?��������������	
���7�	
��
�	��
����3�!���	�������
�����������	
���5��5���2�
?���
!�"!�����
����!
�������
�����@�����!��
�	���
?����	����!����
�
���
�*�
���
�A��*�������	
���7��
59
��������	
��
������������������������� �������������� �!�� "# ��$�%
����&� ��'�
(���$'�������'������( $!
)�( �� �( $*�$' �����������
���'�
)�! �����!��$'���+��,-�.��( $/ ����
%��'��!����
� "
0�'��1���2�3 $'���4 ���' ���5678�4���( �! �( ������� ��
�!�!���!���������� �9�' �
�%��� !�� �( $(%�
������7"�:��������� �����������%�� �
&����6�6�"5"�������������$'; ����������������1�1���!�<� ����=1��=1����>?"�����������$'; �������' ! ������ ����"��������@
��
��������������A�����������BCD�������������� �!��BC"# ��$�%
����&� ��'�
(���$'�������'������( $!
)�( �� �( $*�$' ��A����������
���'�
)�! �����!��$'����,-�.��( $/ ����
%��'��!�����
� "
60
��������	�
���
�������������������������������������������������������������� ������!"����������
�!����#����$�%�����������&���������!�����'�����"��$�$�&��"����&"��
�(�������	"	����������"��"���)� ����	��"	*����&+,$�&�����&"��
�(�"��������������"� ���&$-./0123�45���6#������&���7�	*�"	����	��� 8�9����������������� $:���
�!�����'�����������
��"��������#�����
��;���������
<�
���	*�"	��9�����'��
���
61
��������	
����
������
����
���
���������
��
��
�������
���������������������
� ��
���!"��
���
��
��!����#����$�%���������
�&�'()���������!��
��*�����"��$
$�&��"����&"����+
������	
"����������	
"��"���,� ���	
	�	
"�	����&-.$�&�����&"����+
"�������
�
���� "� ����&$/
�����
�
��
�0���
���	
"���'()�1���������
���� $
62
AULA 11
COMBINAÇÃO 
LINEAR
����������	
�
	����������	�
��
��	�������	����������������������������� 	�������!�"�
	���� 	�����""#!	��	�$���������!�"!	���	"����������
	�!	���	"�
�
�"�� ����%��
��	"$����	"&'�����	�(���	��	�
��	�����!���"�	)	����*$��+�
�
�"��"�!	���	"�� � �&&&� �������""#!	��	�$�������!	���	"�����������
		"$����	"+,��� 	� ��	��	"	������"�	"$����	"� ����%�
�"������	�$��������!	����&-�	""	�$����*$�����	����� ��
�� ���$������./��0�������������&1/��	)	����"�
	�$������.2	"��/�����	��	"+3�$������./�����	����������	"�4���	"	��	����	"� 
��
	
	�	�������	�
	������%	"&�5 ��
���"�	�	�	���"�
	� ������(��� $�� ���
�������%�0��	��$������.2	"����	��	"�
	�	�	�	���"�
�"���(�"�� �$�� ��"������	��"����
	�	�������	�
	"��������%�"	�4�� ��&
�6� &
64
������������		
��
���	����������������������������	��
������	��������������	�������
���������������������������
�����������	�
������	�������������
������ !����������������	��
������	��������������
��������������������������
�����������	��
������	���	���������
�����"�����
���
��������
���	��
���#������$	���	�
������	���������������
����%&'&()*(+,-�&�,()&'&()*(+,-�.,(&-/0����������	�������������������
��������������	������������������	���������	����������1���������������1�����
������2�������������3��������������	�����"����������	������������
��4�����	������"��������3�����5���.,(&-/6&(7&�,()&'&()&(7&�89�2��	�:2		��	�:� �8	�
�����������
���5����������
����	��
���8 ���������������;������������	������3����������.,(&-/6&(7&�)&'&()&(7&�89�0���	���
������	�������	�������3������	�3������+<6=,(->?<.,(&-/�)&�<@7/<A�B&7</&A�������3������������	��!�������������������
����������������������89�0��C������������	���	�����������������������9�2���9�0����	������������:DEFE�G�H'/&A&(7-�@6-�I(,+-�A<.@>?<������"�����	������	�������	���������3�����"��
"������	�
���;JDE%E�G�H'/&A&(7-�6-,A�)&�@6-�A<.@>?<������"�����	������	������	����������3�����"��
"������	�
���;�
65
���������������	
��
�	 �	��	���	 	��������	��	�	���
����		�	����	��	�� �																																																																		!���	"#	�$����	���	%����	��&�'(�	��	���	��	����&����	�(�	)�$�������	�	���
����	�	*+,+�������	-��
�	 �	��	���	 	��������	��	�	���
����		�	����	��	�� �
!���	"#	�$����	���	%����	��&�'(�	��	���	��	����&����	�(�	)�$�������	�	���
����	�	*+,+
66
��������	
��
� ��������� ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����!"��
���#����
���$�%&��'���()�$��'����������*��#��)�����#���������������
����+��
%&��$���
��#��'��������)������'���
�#��������������,-.-
67
AULA 12 
BASE DE UM ESPAÇO 
VETORIAL
�����������	���
����
�����������	�������������������
���������������
��	�����������������������������
�����
��������������	��	���
����
�������������������	����	�������������������������	�������
���
�������������	�������������
�����������������	�����
����
��������������	���������� ���������������	����	�
������������������
���������	���������! "�
��������	�������������#�����������$���%��&��'�����
����
�	��������������	����������������������������
��������
�������()*+*�,)-.-/,)*0�������������1����������
�����������2�������	���	��������
��	���
���!���������"����	�
����������3������������������������������	����������������������������
��
����������	��	����
����
��������4��
������������������1��������5
6��������1�������	� �7�8����5�9��������!:;<=">���	���������	��	�������������1�������	� ���	����5
69
�����������	�����
� ����
������
����
�����������������
�������������	�����
�������	�������������
 ��!������
����"
�#��
�	�$%��&	���
� 	#�������������
������'��$	 � �(�)��������
��
�*���
� ��#��
�������$�������*�� �'�	 
��

������ ��
�����"
�#��
�	�$%��$������	��������	��������	���	
��	
�
���������(�+��
�*���
�����	�������,-.�(�+��
�*���
�����	���!�����
�����"
�#��
�	�$(/0123456�71�89616�12�:2�1639;5�<1=5>?94/012345�@A��	'�������
��
�*���
�B�C�D��%��%��%��E�������� ��A�C� ()�������� ��

��
���	���	
��%�����	��

��#��	'��������
 �

���������$����� 	F�������� ��G��
�
)
�����
%�
��
�*���
�B���,(-(
70
����������������������������	
�����
������
������
�
����
�����
������
����
	
���������������������
����������
��	���������
��
!88�
0���
�
�1�����
���
�2�99��
��
:�
�3����"��
	
�
�
��
�#4����"��
��
5$��
6���%�
��
�
&
���
��
�7�$�
�
�
�'
�
�
�"
	
�
�
��
	�
���
�
�
�����
(�
�
�
�����
�&��
�
�
�
�
��
�
�)*;�
�����

�
��
�<
��
�
�
��+��
�
�
�
=
��*�

>
��
�
?
��,�
�
-�
���
��
���
�
���.�@�
��
�
��
>

-��
?
�
	
���/�
���
A
�����
�@
 ��
B
�
�
�
�
�
�
���
�
��
�
���
�
���
�
���
�
���
�
��
�
����
�
���
�
�
8
����
�
��
<
��
�������
� 
��������
��
�	
�
�DGE�
����
��9���
�����
��
F�G
��������
���9�������	�
�
������:�
���C�� ���
 ���
�����
�;���
�����������8��	���G�	
�
71
������������	�
�����
������	������������������������
������������������������� ��!��"�#$%&�'&�()*&+,-��./���01���	�������2�����3�4� ����5�	�����/�4� 6/�
�	�����0���������������78
9����2�����3���:6;6/�
�	�����0���������������<8��������������������������������������������������������������������
�����������=���	�
�����������	������������������������
������������������������� ��!��"�#$%&�'&�(>?@+&�%!��'&��+�&%,$A��B&��C@$-D�0��E	��'@+&�%!��'&��+�&%,$A��B&��C@$-����F
�������������	1����	������������
��
��5�	������
��	��G���������
6�H���
�	����
���������
��	�������
��	��G���������
���
��'@+�(I��
��	�������	��G��/J6
72
��������	
�	��	���
��	������
�	�	������	��	
����	���������
	�	��	���
��	������
��	��	 ��	
��	�	!	�"	��	��	��#���
��������
�	�		��	����
���	
��	�		�"	��	
��	�	!	��	�����	�	!	�"$
�
	%&
�	���'��	����	(��(�����	�
���	�&�����%(
�")*+,-./01#�����	
�	
�����2��	
��	��#���
���	������
��	
#
�&�"
"	��	�	���	������	#
���	�����	#"	("	
"	�"	3"	4"	
73
���������	
��
������	�	��������	�	���	����	��	������	 �
����!	"�#�	$��	��	%����������	�������	���	��!��&�	��
��	��'	(����!�����	�	)	��	�$���&�*	�+�	
����,-�
&�,������.�����	��
�	 �
��	��	���	����	��	����	/�0����*	���!����1	��	��������	�	2	��	��3����*	�������	
��,"�#�	$��	��	���!�����	�	1	�	2*	��%��
�����	���	.���	4,	5���	 ���6%��	��	4	���!���
�	7	���	.���	��	8*	 ����	 ���6%��	���
����	���	%��
7����	9	�	:	��	��;%��	���
�	��!�,
	
74
�����������	�
���
����������������������
������
������������������������������������ �����!��"�������������#������������������$�����������������������
������%��!�������������&�
�����#��������%��������#����"������'()*�+,-(.,*/�"��������
75
AULA 13
TRANSFORMAÇÕES 
LINEARES: AUTOVALORES 
E AUTOVETORES
����������	
���
�����������������������������������	�������
������������������	�������
�����������������������
����
��������	�������
�������
��������������������
���������������
����������������	�����
��������������������������������������������������� !"#$%�&�'#&�(�#)&*+�,#$%�&�- )�#��&.�
������������������������������	�������
������������/��0�����������������������������������	�������
��������1��2��34�,5-+6��
7������������������8�
�������������������	
���
��������7�
��������9�
��
������������������
7������5� ,� �+�"� (:� +��;�<�����
77
���������	��
���� ��
���������������	��	����� �����	������� ��
��������
���������������	����������� �!"#$%"# �����	������� ��
����� & '��& '���
���(��
��
���)�����
����*����+���������,
78
���������	
�	������	���	
�
��������
��
�����������������������������������������������������������
�������� ���������!�������	����"�	#$
��!	��%���������&'� �
 �������������������������������������(����� �����)����
�*����+,�����
�������������-�'
��-��.�������������!�������	����&/�0��
���1�������2��1������1������������
�*����+�����
�������������������3�4
���
��������
�*����+�����
���� *���
�����������+���������������
��������(�������������3�5��������
�*����+�����
���� �������������������������������+���
�����+�� ���� ���
�����
������(������ �����6 ���� ������������3
������������������������� �7�8�
��-�9��������:;<=>?
79
���������	
�	������	���	
��	��
��
�������������������������������������������������������������������� ��� ���!�������������"��������������#$�%������������"&�����'������(��#$�����������������%)�������*����������������� ��� ������+,�-��.�	
�/����/���0�!��
�
�	
��1�-�
2�	��	��	�	�
�0����34567!�*�������������8��������#$�!���
���9:���������;�<=���!� �������$��>?�*��@������=���������!������A�!���������������������=�����*�����*���(�������!����$���
�
�	
��1�-�
2�	��	��0�	�	�
�0����345B7!�*���������������������#C��!�0:�D�������
E��������������������>��������������#C��!��������*������������'��*��EFG	
-��)�A�� !���������������������������������������������������E�<*�������� !������%
80
����������	�
����
��
���������
���
������
����
���������
���
�
�� !� ��
��������
���"��������
��
���������!��
���!
#!�#
��
����
��������
�
�!
�
�
���"
#���� !� ��
��$%
�
� &
�'������
�������������
����
��
������������������
������"
#����������������������(
����
)�#�!��
�
�!� �������
81
����� �
����	
�����
�������������������������	
��������������������
���������������������������� ���!������!
"��#$
�
82
AULA 14
PRODUTOS ENTRE 
VETORES
�����������	
���������
�
����������
��
	�
�
���	���
�������
��
�
��������
������
�������
���������
�
����������
����
������
�����
����
���������
�������������
������
�������������
	
���
�����
�
��������
	������������� !"!���#����$������%
�
����������
�&�'���
������	��	�������������
���
����
������
����'����(�
�� ��)�����*��������+�	�����%�
�����
��
������
���
�
����
������
�	������
���
��
����,�
����
	,�
�������-�� ����� ��� �����)���-�� ����� ��� �����)��./�01"�2�� ��� ����������� �
84
�����������	�
����
������������������������������������������������������ ����!�"�������������� ����������������#��������������$����������%����&��� �'���� '���������(��)*���� '������(�+�� '������(�,��������������������-�����!�.��/��0�������	�
����1������������������������������� ������������ ����'�����������������������������2*������34������������������������ �������������������5'����������������������������������
�����67�8�7�9:������������������������������ �������������������
��0���;��	
������67�8�7�9�<������������������ ������������������ ����'�����������=����������&��������=%�(
85
�����������	
�	������
���������
�������	���������������� ����������
�����	
�	���	����	��������������	����� ������
 �!"�	��������������
�����	
�	�������
 !���������	��� ����	��#�	$�%���	�
����	$�����������	�����$	���&'()*+,'-��+).��/�'(���+)�(!���������	��
����0����������
�1��������	�����
������
������
��
�"������
����23� ����� ��� �����3� �����������������������
86
��������	���
���	
��	��������������������������������������� ��!�"������#���������$������������������!������������"���%�����&'�����$���������'�������������(���� � ���� ��������� � ���� ���������'%�����)�*���������������+,- ��������#.�����������$��$����������)�*������������� ��'�������/0����1-�����������#.�����!�'������-���� 1$��+23	45��6��$������)�*��������������'������� ��� +�0� �� �������!�'�������$����������������� /�����*�����������%���$�����������.����������'������/�*����'�����$��$�������$����������/�������0��������
87
����������	
�������	�
������
����	��������	�
���������������� !"#�!"��"�$���"����� !"#�!"�%&��&���'�(��	
)*)&���)����� +�,�'���-����*�	�
&)��
���'��)(.�*���&���	�
��	
��,��*�������/��������*)
�	�
��0�1�2�������'�(�	
)*)&���)������3�)4��5��� ��.�����6�������� !"#�!"��*���	�
�0
88
��������	
��
�����	����
���������
��������
�������������������
����������������	�����������	
��
�������������� �!�	���	��"#$$%&#$�'()%*#)%$+�	���!����
�
,����������
�
������-.������������������������������������������������������������������������
89
���������	���
��
����������	���
�������������������������������������������������� ����!���"����#�����������������������$%������!��� ���� ��&�
��������������� ����������������������������������������������#�������'������&
������������������������%���(���#�#������#������������������������������� ���#������������������������#�����������������!������ ����$%�������������������������� �����&�)������������#�����������#��#���������#� ������#�������������	*������+,�	-.�	���&/�0�����(�#� �������������������� � ����1!�����2��(�&
3�!������#%�����������4�5����'�/�������6789:;
90
������������	
����
��������
�
�����
�������������
��������
����
���
���
�
�
����
������
����
����
��������
������
���	
���
�������������
������
��������
���	
��
�������
��
����
����
���
��������
����������
������
����
�����������
����
�����
����������������
�������
�����
����
��
�������������������
����
��������
�
�
����
����������
��������������������

����
������
�
�������������
���
���
����������������	
����
������
��������
����
��������
��������������������������������
�������
��
����
�������
���������
������
��
��
��������
�����
������
�������
�
������
��
��
���
����
����
�������
���������������
��������
��
����� ���
!����
���������"��������
����
��
���
�
�
����
����� �������
�����
������
�������������������
����������#������
����
�
������������������
��
91
AULA 15 
EQUAÇÃO DA RETA
���������	�
���
�����������������
���������
�����������������������������
�����������
����������
��������������
������������
��������������
������
����
��������������������������������
�������
������������� !"�#$%"&'�(�)��&$%�*�+�����,���������,���-�����
�������� ������������
�
����
����������������

����������������.�/�0 �����0�
1�
����������
�������������� �2�3����.�4���
����056789-������������
��������������������������� ��:��������
;���������
�������
��
��
��������������������
������������������������������������ ������������
���$��� !"�#$%"&'�(�)��&$%������.�����
93
���
0�4�+
���
�
�
���
�
��
��	
���
�
�
�
� 


�
�	
��
�
�
�
��
	!��
�
1
�
�
�
�
�
�
2
�
"�
�
��
�
	
�		
��#
��
�
�
��
�1
$
	��
�2
�
�
	
	
	�
��,

�
�
�
�
�	
��
��
�
�!�3
�
	�
��
�
�
��	�'
	
�
	
�
�
��!
���
���
�
�
�
	�
�
�
�
���-.�
�
�
		
�
�
�
��
	
1
�&
�
2
�
�
�
�
�
	'�
�
�
��
�
�
�

(

�

�

/��
�
��
�
�
3
�
!
��
��
	
�	�
��
�
�
�
*����

�
�
�
��
�!��
�
�
�
�
��
�
�
��
�

'�
�
 
�
�
�
����
!
�
�	
��&"��
	
#
�!���
�$
��
��
��
		%
�
�
��
3
�
�
&�
��

$
�
	
�
�
'�
�
1
�(�
!
��2
�
�
�
�

)
	
�
�
*
�
�
��	
!�
�
�
���
�
��'
��5
�

�
��
6
&
�
�
7
!
�
�
�
�
�
�
�
�
8

�
:+�9;
�
�-�
,��)�$	�
 
��
 �
��
����
 
�
 �<��<�����
��
��
��		=�
������
�����
���
�
�
�
	�
�
		��
��
��
�1		2��	��	

����	�	��
�

��
���
���
�
 
���
�
��
���	
 
������	���
���
�
�
	
�
94
��
�	�
���	���
�
���
12	
���	��
�
���������	
���
�������
������ ��	��������
��� �����
�����
�
��������
��������������
�������
��������
�������
�����������
��	������
����������
�����
������ !������������������
����
����"#�����	
�
�������������$�
��	������
�������
������������
���������������%&���������
����
���
95
��������	
��
�
��������
��������������������������� !���������"��������#�������$��%������������� !��$��&���%���������#��$�"��������$%�"���'#���$�(������)����*
+��!��������$���,�����������������	
��
�
�����������&���$%����%���*-�
�	�.���/�/�	���	�./�0�	�����	��
1�	������0���	2����������$����$�����$�����"�"�$��������$����"���#��$$��������,�������������$�%���������$�����$�� ���������"���������$����"$��3���"�4�5�6�����7���"���8��7�*
96
���������	���
���	
� �������	������������������	��	�����	����	���� ��������	��������������� ����	�!�	"�#�����
$	
��%��	"���&��
� ����	
�"�"

��
'������	���()������
���
������	���	
�&��()����"��	��"������	��"�
*+,-./�01�0-23�41523�������������
�"���6�$�����	���	����"��	��" ����	�	""#�
���	��
7����
	"
������	�

	������	�&�
������������8������9%:��������#���������6�$�����	���	���
"��	���	"� �;/0/3�/3�01<2=3�1>1<?./3�01352�2-.2�314@/�413/.A=0/3�+2A=01/2-.2B
97
AULA 16
EQUAÇÃO DO PLANO
�����������	�
�������
����
���������������������������������
����
��������������
��������������������������
�
��
���������������� !"#�$%& '�(#�)' *#+
��
�������������,�	�
���-��������������
��������
���
���������
����
���������
��������������������
�����������������	�
����
�����,������
��
��.�������
�����/�����0	���������
�
��������
�	���
��
��
���������
�	�����%�� !"#�$%& '�(#�)' *#�1�2������3�
��������3�������������
�	���
� ��������
����������� �����
�����
��
������� ��������
�45��
����
��	���
����
���������
����	���
� ������������-���������
������������
�������
� ��
5�
������
�6�
�����������
���
+���������
�������������
� �7�8������9������
�:;<=>?@����������� ��������
99
�����������	
�
������
�	
 
��
����
�	
�	�
����	�������
����
����	
�����	�
�
�������
���� 
!�
" �#�
$%������
"���&'(�)*�
!�
" �#�+
����
�	
�����,�����
�	
�-��	
,
����	
���-�.���
����
���	�������
�	��	
���-����
�	
�-��	
����/,�
��
�	��
��
�	��
/��	���
��	�	-�������0
1�������	
���
��2�
�	��	�
��	
�	-�������
��	������3��	�
����
��-������
��
�-��	04�5�
	
�6���-	
����6	$
7���
�	
�����,�����
�	
�-��	
��
 
8
9	���$
:	
���	�
;<=>?@A�
/��	���
 
�
 
��	
������3��	�
������-������
	
�-��	
0
B�
CD���
������
,
�	��E/�-
�	��-���
���$
100
��������	
�� �����
����������� ��������������������������� ��!���"�#��
$�!�%��%��&���"�%�!�%�����"��%�������%�"'�!�%�#��'�!����"�(
101
CONCLUSÃO
Prezado cursista,
Neste curso, vimos conceitos importantes de Álgebra Linear e Geo-
metria Analítica. Começamos por conceitos básicos de vetores, coor-
denadas cartesianas e polares, tanto no espaço bidimensional como 
no espaço tridimensional, métodos de solução de sistemas lineares, 
matrizes, subespaços vetoriais, bases vetoriais, transformações linea-
res, autovalores e autovetores de uma matriz, produto entre vetores, 
e fechamos com as equações da reta e do plano. 
O nosso curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica chegou ao 
fim. Esperamos que você tenha aproveitado e que aplique os concei-
tos em sua área de estudo!
102
ELEMENTOS COMPLEMENTARES
LIVRO
Álgebra linear
Autor: Elon Lages Lima
Editora: IMPA
Sinopse: O Autor Elon Lages Lima é pesquisador do Instituto de Mate-
mática Pura e Aplicada (IMPA). Professor da Escola de Pós-Graduação 
em Economia da Fundação Getúlio Vargas, professor honoris causa da 
Universidade Federal do Ceará, membro titular da Academia Brasileira 
de Ciências e da Third World Academy of Sciences. É autor de vários 
livros de Topologia, Análise, Álgebra e Matemática Elementar. 
Este livro recebeu o Prêmio Jabuti de Ciências Exatas e Tecnologia de 1996.
É um livro introdutório de Álgebra Linear. Foi escrito, segundo o autor, 
a partir de experiências como professor e de reações de alunos.
Ele traz, além da teoria, diversas aplicações de Álgebra Linear.
LIVRO
Álgebra Linear
Autores: José Luiz Boldrini; Sueli I. Rodrigues Costa; Vera Lúcia Figueiredo; Henry G. Wetzler
Editora: Harbra
Sinopse: O livro é pensado para alunos de graduação e não possui 
como pré-requisito mais do que os conteúdos aprendidos no Ensino 
Médio. Foi escrito por professores da UNICAMP que se preocuparam 
em colocar ao longo do livro o uso dos conceitos discutidos. Possui 
exemplos geométricos e aplicações. 
É essencial em um curso na área da Matemática praticar os conceitos 
vistos, pois além de trazer uma teoria muito bem escrita, possui no 
final de cada capítulo muitos exercícios.
LIVRO
Geometria analítica
Autores: Alfredo Steimbruch e Paulo Winterle
Editora: Pearson
Sinopse: Originalmente publicado como Álgebra Linear e Geometria 
Analítica, este livro foi desmembrado em Geometria Analítica e Álgebra 
Linear. A simplificação do texto tornou a obra extremamente útil no 
processo de ensino-aprendizagem. O volume Geometria Analítica foi 
totalmente revisado, os conceitos foram reformulados e acrescidos 379 
problemas. Após cada exposição, há exercícios propostos e resolvidos.
103
REFERÊNCIAS
BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I. R.; FIGUEIREDO, V. L.; WETZIER, H. G. Álgebra linear. São 
Paulo: Harbra, 1986.
BOULOS, P. & CAMARGO, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial. 3a. ed. São 
Paulo: Prentice Hall, 2005.
STEINBRUCH, A. & WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2a. ed. São Paulo: Makron Books, 
1987.
VENTURI, Jacir J. Álgebra vetorial e geometria analítica. 10. ed., atual. Curitiba, PR. 2015
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
104
	Inicio
	Sumário
	Aula 1
	Aula 2
	Aula 3
	Aula 4
	Aula 5
	Aula 6
	Aula 7
	Aula 8
	Aula 9
	Aula 10
	Aula 11
	Aula 12
	Aula 13
	Aula 14
	Aula 15
	Aula 16
	Conclusão
	Referências

Outros materiais