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Unidade III
Unidade III
5 ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória é a área da estatística que permite que respondamos a perguntas como: 
“tenho 10 canetas vermelhas e 7 pretas. Pegando 3 canetas aleatoriamente, qual é a probabilidade de 
pegar uma única caneta preta?”
Figura 29 – Caneta vermelha
Disponível em: https://cutt.ly/5McVj7m. Acesso em: 14 nov. 2022.
Em outras palavras, a análise combinatória permite que criemos grupos com um número finito de 
elementos e, ainda, sob certas condições.
Para compreender a análise combinatória, precisamos estudar antes alguns conceitos matemáticos, 
como fatorial, binômio de Newton, coeficientes binomiais, somatório e triângulo de Pascal.
5.1 Binômio de Newton
Antes de chegarmos ao binômio de Newton, vamos abordar alguns conceitos matemáticos úteis.
5.1.1 Fatorial de um número
O fatorial de um número é representado pelo símbolo ! e é calculado apenas para números 
naturais (números inteiros não negativos). Por sua vez, o cálculo do fatorial de um número consiste em 
sucessivas multiplicações, diminuindo esse número de uma unidade, até chegar ao elemento neutro da 
multiplicação: o número 1.
91
ESTATÍSTICA
Matematicamente, sendo n um número inteiro e não nulo, temos:
n! = n. (n - 1).(n-2).(n-3)...3.2.1
Exemplo de aplicação
Neste exemplo, será ilustrado o cálculo do fatorial do número 5; ou seja, vamos calcular 5!
5! 5.4.3.2.1=
5! 20.6.1=
5! 1 20=
Logo, 5! 1 20= . Note que, no cálculo, foram multiplicados os números dois a dois apenas 
para facilitar o processo, mas é possível multiplicar todos os números de uma só vez usando 
uma calculadora.
Por definição:
0! 1=
1! 1=
Exemplo de aplicação
Mais adiante, será calculada a razão de dois fatoriais. Então, é interessante detalhar o processo 
desse cálculo.
Considere a expressão a seguir:
6!
4!
A primeira abordagem que vem à mente é calcular tanto o fatorial “de cima” quanto o fatorial “de 
baixo”. Mas, agindo dessa forma, o processo será mais trabalhoso. A ideia nesse tipo de cálculo é escrever 
o maior dos fatoriais como uma série de produtos, mas sem chegar até o final, parando quando chegar 
ao fatorial menor. Olhando para , temos o seguinte:
6! 6.5.4.3.2.1=
92
Unidade III
Mas as últimas parcelas do produto são iguais a 5!, pois 5! = 5.4.3.2.1. Logo:
6! 6.5!=
De forma equivalente:
6! 6.5.4!=
Voltando à fração, temos:
6! 6.5.4!
4! 4!
=
Como temos 4! tanto no numerador quanto no denominador da fração, é possível cancelar 4! 
e chega‑se a:
6!
6.5 30
4!
= =
 Saiba mais
Para ver um exemplo de um código de programação para calcular o 
fatorial de um número, acesse:
GASPAR, W. Faça um algoritmo para calcular o fatorial de um número em 
Portugol. Wagner Gaspar, 24 fev. 2021. Disponível em: https://cutt.ly/GMOh9Ff. 
Acesso em: 14 nov. 2022.
5.1.2 Coeficientes binomiais
Os coeficientes binomiais, ou números binomiais, são o par de valores com n e p sendo números 
inteiros e p
n� � , calculados por:
( )
n n!
p p!. n p !
 
=  − 
Lê‑se p
n� � como o binomial de n sobre p, e chama‑se n de numerador do binomial e p de denominador 
do binomial.
93
ESTATÍSTICA
Exemplo de aplicação
Como exemplo, pode‑se calcular o binomial de 5 sobre 2. Da definição de coeficiente binomial, com 
n = 5 e p = 2, temos:
( )
5 5!
2 2!. 5 2 !
 
=  − 
5 5!
2 2!.3!
 
= 
 
Calculando o fatorial de 5, obtém‑se:
5! 5.4.3!=
Então temos o seguinte:
5 5.4.3!
2 2!.3!
 
= 
 
5 5.4
2 2!
 
= 
 
5 5.4
2 2.1
 
= 
 
5 20
2 2
 
= 
 
5
10
2
 
= 
 
Logo, o binomial de 5 sobre 2 é igual a 10.
Da definição de coeficiente binomial, com n inteiro, temos as propriedades mostradas a seguir:
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Unidade III
( )
n n!
1
0 0!. n 0 ! 1.n!
 
= = =  − 
( )
( )
( )
n n. n 1 !n!
n
1 1!. n 1 ! 1. n 1 !
− 
= = =  − − 
( )
n n! n! 1
1
n n!. n n ! n!.0! 1
 
= = = =  − 
 Lembrete
Lembre‑se de que:
0! = 1
1! 1 =
5.1.3 Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal, também conhecido como triângulo de Tartaglia, é uma forma de organizar os 
coeficientes binomiais. Como critério para essa organização, colocam‑se os coeficientes binomiais de 
mesmo numerador em uma mesma linha e os coeficientes binomiais de mesmo denominador em uma 
mesma coluna.
A seguir, destacam‑se os coeficientes binomiais organizados em um triângulo de Pascal:
0
0
 
 
 
1 1
0 1
  
  
  
2 2 2
0 1 2
   
   
   
3 3 3 3
0 1 2 3
    
    
    
95
ESTATÍSTICA
 � � � � �
n n n n n
0 1 2 3 n
      
…      
      
Ao calcular cada coeficiente binomial, o triângulo de Pascal fica:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮⋱
Note que o triângulo de Pascal com os resultados dos coeficientes binomiais apresenta algumas 
características interessantes. Os elementos das pontas de todas as linhas são iguais a 1, e as linhas são 
simétricas na direção horizontal (o segundo elemento é igual ao penúltimo, o terceiro elemento é igual 
ao antepenúltimo etc.).
 Lembrete
Vimos que somatório é um operador matemático indicado por Σ e é 
usado para somas sucessivas. No somatório, indica‑se um índice com seu 
valor inicial e final, e esse índice é incrementado de uma unidade a cada 
parcela somada. Matematicamente, tem‑se o seguinte:
n
i 1 2 3 n 1 n
i 0
x x x x x x−
=
= + + +…+ +∑
Embaixo do símbolo de somatório, é definido o índice que será 
incrementado e é passado o seu valor inicial. Sobre o símbolo de somatório, 
coloca‑se o valor final do índice. Neste caso, o valor inicial do índice i é 0 e 
o valor final é n. Então, somam‑se as parcelas de x desde o índice inicial 0 
até o índice final n.
É usual adotar as letras i ou j como índices de somatórios.
96
Unidade III
5.1.4 Teorema binomial
O teorema binomial, também conhecido como binômio de Newton, permite desenvolver expressões 
do tipo ( )nx y+ , sendo n um número inteiro.
O binômio de Newton é expresso matematicamente por:
( )
n
n n i i
i 0
n
x y .x .y
i
−
=
 
+ =  
 
∑
Exemplo de aplicação
Use o teorema binomial para calcular a expressão .
Do teorema binomial, para n = 2 e y = 1, temos o seguinte:
( )
n
n n i i
i 0
n
x y .x .y
i
−
=
 
+ =  
 
∑
( )
2
2 2 i i
i 0
2
x 1 .x .1
i
−
=
 
+ =  
 
∑
Desenvolvendo o somatório, para i de 0 até 2, temos:
( )2 2 0 0 2 1 1 2 2 2
2 2 2
x 1 .x .1 .x .1 .x .1
0 1 2
− − −     + = + +     
     
Como todo número elevado à potência zero é igual a 1 e como 1 elevado a qualquer potência resulta 
em 1, ficamos com:
( )2 2 1 0
2 2 2
x 1 .x .1 .x .1 .x .1
0 1 2
     
+ = + +     
     
( )2 2 1 0
2 2 2
x 1 .x .x .x
0 1 2
     
+ = + +     
     
( )2 2
2 2 2
x 1 .x .x .1
0 1 2
     
+ = + +     
     
97
ESTATÍSTICA
Precisamos calcular os coeficientes binomiais, o que faremos separadamente.
( )
n n!
p p!. n p !
 
=  − 
( )
2 2! 2!
1
0 0!. 2 0 ! 1.2!
 
= = =  − 
( )
2 2! 2! 2.1
2
1 1!. 2 1 ! 1.1! 1
 
= = = =  − 
( )
2 2! 2! 2!
1
2 2!. 2 2 ! 2!.0! 2!.1
 
= = = =  − 
Voltando ao cálculo anterior e substituindo o resultado dos coeficientes binomiais, temos 
o seguinte:
( )2 2
2 2 2
x 1 .x .x .1
0 1 2
     
+ = + +     
     
( )2 2x 1 1.x 2.x 1.1+ = + +
( )2 2x 1 x 2.x 1+ = + +
Logo, ( )2 2x 1 x 2.x 1+ = + +
 Observação
Outra forma de calcularmos expressões do tipo é usando o produto 
notável conhecido como “quadrado da soma de dois termos”, em que 
a expressão é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o 
produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo 
termo. O “primeiro” é o primeiro termo da soma dentro da potência e o 
“segundo” é o segundo termo da soma.
Matematicamente, o quadrado da soma de dois termos é dado por:
( )2 2 2a b a 2.a.b b+ = + +
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Unidade III
5.1.5 Termo geral do binômio
O termo geraldo binômio é a expressão que permite calcular qualquer termo de ordem p + 1 do 
binômio de (n + y)n, e é dado por:
p n p
p 1
n
T .y .x
p
−
+
 
=  
 
Exemplo de aplicação
Calcule o termo de ordem 3 do binômio de Newton para n = 6, p = 2 e y = 1.
Da expressão do termo geral, para calcular T3, temos:
p 1 3+ =
p 3 1= −
p 2=
Então:
p n p
p 1
n
T .y .x
p
−
+
 
=  
 
2 6 2
2 1
6
T .1 .x
2
−
+
 
=  
 
4
3
6
T .1.x
2
 
=  
 
4
3
6
T .x
2
 
=  
 
Calculando o coeficiente binomial, ficamos com:
( )
n n!
p p!. n p !
 
=  − 
99
ESTATÍSTICA
( )
6 6!
2 2!. 6 2 !
 
=  − 
6 6!
2 2!.4!
 
= 
 
6 6.5.4!
2 2!.4!
 
= 
 
6 6.5
2 2.1
 
= 
 
6 30
2 2
 
= 
 
6
15
2
 
= 
 
Assim, chegamos a:
Logo, o termo de ordem 3 do binômio de Newton para n = 6, p = 2 e y = 1 é T3 = 15.x4.
 Saiba mais
Para saber mais sobre as principais descobertas de Newton, assista:
ISAAC Newton | Ilustrando História. 2016. 1 vídeo (3:00). Publicado por: 
Ilustrando História. 
Disponível em: https://cutt.ly/UMOl0Gm. Acesso em: 14 nov. 2022.
5.2. Análise combinatória
Agora que já foram apresentados os conceitos matemáticos para o estudo de análise combinatória, 
vamos partir para alguns conceitos específicos do assunto.
100
Unidade III
5.2.1 Princípio fundamental da contagem (PFC)
O princípio fundamental da contagem (PFC) é um método algébrico usado para determinar o 
número de possibilidades de ocorrência de um acontecimento sem que precisemos listar todas as 
possibilidades envolvidas.
Se dado evento ocorrer em uma série de etapas sucessivas e independentes, o número total de 
possibilidades de tal evento ocorrer será dado pelo produto das possibilidades de ocorrência em cada 
uma das etapas.
De outra forma, sendo p1 o número de possibilidades de um evento ocorrer na primeira etapa e 
p2 o número de possibilidades de o evento ocorrer na segunda etapa (etapas essas independentes 
e sucessivas), o número total de possibilidades de ocorrência do evento é dado por:
total 1 2p p .p=
Exemplo de aplicação
As placas de moto em dado país são compostas apenas por algarismos, de 0 a 9, e pode haver a 
repetição desses algarismos. Qual é o número total de placas disponíveis para motos, considerando que 
há 3 dígitos na placa?
Figura 30 – Moto
Disponível em: https://cutt.ly/QMcBQZM. Acesso em: 14 nov. 2022.
101
ESTATÍSTICA
São 3 dígitos na placa, que podem ser ocupados por algarismos de 0 a 9, ou seja, totalizam 
10 possibilidades diferentes de algarismos para cada posição. Como pode haver repetição (placa 003, 
por exemplo, ou, ainda, 141), as possibilidades são iguais em cada uma das posições.
Multiplicando a possibilidade em cada uma das posições, tem‑se:
total posição1 posição2 posição3p p .p .p=
totalp = 10.10.10
totalp 1 000=
Logo, o método de emplacamento de motos adotado no país em análise permite o emplacamento 
de até 1000 motos.
Exemplo de aplicação
Os números de celulares iniciam com o algarismo 9 e são compostos por 9 dígitos, e o segundo 
dígito não pode ser igual a zero. Quantos números de celular diferentes são possíveis, usando 
esse método?
Figura 31 – Celular
Disponível em: https://cutt.ly/UMcBGdI. Acesso em: 27 nov. 2022.
102
Unidade III
O primeiro dígito é sempre igual a 9. Logo, para essa posição, há apenas uma possibilidade. 
O segundo dígito pode assumir valores de 1 a 9, portanto, são 9 possibilidades diferentes. Os demais 
dígitos podem assumir valores de 0 a 9 sem restrição, portanto, 10 possibilidades.
O número total de telefones celulares é dado pelo produto das diferentes possibilidades para cada 
um dos 9 dígitos:
total 1 2 3 4 5 6 7 8 9N p .p .p .p .p .p .p .p .p=
totalN 1.9.10.10.10.10.10.10.10=
totalN 90.000.000=
Logo, esse método de geração de números de telefone celular permite a existência de 90.000.000 de 
números de celular.
5.2.2 Arranjos simples
Definimos arranjo como o tipo de agrupamento em que um grupo é diferente dos demais pela 
ordem ou pela natureza dos seus elementos.
Como exemplo de arranjo, vamos analisar quantos números de 2 dígitos podemos formar com os 
algarismos 1, 2 e 3, sem repetição dos algarismos.
Tabela 43 – Quantidade de números de 2 algarismos podemos formar 
com os algarismos 1, 2 e 3, sem repetição dos algarismos
Primeiro 
algarismo
Segundo 
algarismo
Número 
gerado
1
2 12
3 13
2
1 21
3 23
3
1 31
2 32
Vê‑se na tabela 43 que existem três possibilidades para o primeiro dígito e, para cada uma dessas 
possibilidades, duas possibilidades para o segundo dígito, com o total de seis possibilidades de números 
formados por esses algarismos.
103
ESTATÍSTICA
Repare que os números gerados dessa forma distinguem‑se quanto à ordem (13 é diferente de 31) 
e quanto à natureza (13 é diferente de 21).
O que foi feito na tabela foi contar o número de arranjos de 3 elementos (os 3 algarismos, 1, 2 e 3), 
tomados 2 a 2 (números compostos por 2 dígitos). Esse arranjo é indicado por A3,2.
O arranjo simples de n elementos, tomados k a k, é dado pela seguinte expressão:
( )n,k
n!
A
n k !
=
−
Na equação, n e k são números naturais.
Exemplo de aplicação
Usando a expressão matemática para arranjos simples, podemos conferir se nenhuma possibilidade 
foi esquecida quando tratamos de arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2 na tabela 43.
Da expressão do arranjo simples, para n = 3 e k = 2, temos:
( )n,k
n!
A
n k !
=
−
( )3,2
3!
A
3 2 !
=
−
3,2
3!
A
1!
=
3,2
3.2.1
A
1
=
3,2A 6=
Logo, temos 6 possibilidades para o arranjo de 3 elementos tomados 2 a 2 – exatamente o 
número de números gerados pela combinação dos algarismos 1, 2 e 3, tomados 2 a 2, listados 
na tabela 43.
104
Unidade III
5.2.3 Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados considerando todos os elementos disponíveis. 
A permutação de n elementos é indicada por Pn.
A permutação é um caso particular do arranjo simples, em que todos os elementos são considerados, 
ou seja, n n,nP A= .
O número de permutações possíveis para n elementos é dada por:
nP n!
Exemplo de aplicação
Quantos números de 3 dígitos podem ser formados com os algarismos 1, 2 e 3?
Temos 3 algarismos disponíveis para formar um número de 3 dígitos. Logo, trata‑se de um problema 
de permutação.
Calculando a permutação simples dos 3 números, temos:
3P 3!=
3P 3.2.1=
3P 6=
Logo, pode‑se gerar 6 números de 3 dígitos usando os algarismos 1, 2 e 3.
5.2.4 Combinações
As combinações simples são agrupamentos em que certo grupo é diferente dos demais apenas pela 
natureza dos elementos, mas não pela ordem – por exemplo, quais seriam as distintas combinações 
dos algarismos 1, 2 e 3 para formar números com 2 dígitos. Vale notar que os números 12 e 21 são 
combinações equivalentes e contam como uma única combinação.
O número de combinações de n elementos em grupos de p elementos é dado pela seguinte expressão:
( )n,p
n!
C
p!. n p !
=
−
Na equação, n e p são números inteiros. Lê‑se Cn,p como a combinação de n elementos tomados p a p.
105
ESTATÍSTICA
 Lembrete
O coeficiente binomial de numerador n e denominador p é dado por:
( )
n n!
p p!. n p !
 
=  − 
Outra forma de representar a combinação de n elementos em grupo de p elementos é usando a 
notação de coeficiente binomial:
( )n,p
n n!
C
p p!. n p !
 
= =  − 
Exemplo de aplicação
Um time de futebol de salão é composto por 5 pessoas, uma delas o goleiro. Em um grupo de 
12 pessoas, quantos times de futebol de salão distintos podem ser formados?
Como a ordem que as pessoas são escolhidas para o time (alguém pode ser o primeiro jogador 
a ser chamado ou o último) é indiferente para a composição do time, trata‑se de um problema 
de combinação.
Calculando a combinação simples de 12 pessoas tomadas 5 a 5, temos o seguinte:
( )n,p
n!
C
p!. n p !
=
−
( )12,5
12!
C
5!. 12 5 !
=
−
12,5
12!
C
5!.7!
=
Expandindo 12! até chegar a 7!, temos:
12,5
12.11.10.9.8.7!
C
5!.7!
=
106
Unidade III
12,512.11.10.9.8
C
5!
=
12,5
12.11.10.9.8
C
5.4.3.2.1
=
12,5
95040
C
120
=
12,5C 792=
Logo, com um grupo de 12 pessoas, é possível formar 792 times de futebol de salão distintos.
6 PROBABILIDADES
Segundo o dicionário Michaelis on‑line, probabilidade é um substantivo feminino definido como 
segue:
1. Qualidade do que é provável.
2. Perspectiva positiva de que alguma coisa aconteça ou seja factível; 
chance, possibilidade: “[…] era escusado lembrar ao leitor que eu só 
afirmo certas leis quando as possuo deveras; em relação a outras 
restrinjo‑me à admissão da probabilidade” (MA3).
3. Possibilidade extremamente favorável da realização de um 
acontecimento, entre inúmeros possíveis, baseada na frequência 
relativa dos acontecimentos do mesmo tipo numa sequência de 
tentativas: Com base nos tempos que ele tem feito nos treinos, creio 
que há grande probabilidade de vencer a corrida.
4. Número positivo entre zero e a unidade, relacionado a um evento 
aleatório e que é medido pela frequência relativa da sua ocorrência, 
numa longa sucessão de eventos.
5. Número, coeficiente ou resultado provável correspondente a alguma 
coisa, calculado estatisticamente (PROBABILIDADE…, 2022).
A seguir, discutiremos alguns conceitos básicos para o estudo de probabilidades.
107
ESTATÍSTICA
6.1 Conceitos básicos
Para o estudo de probabilidade, é necessário primeiro compreender alguns conceitos, como: 
experimento aleatório, espaço amostral e evento.
6.1.1 Experimento aleatório
Podemos classificar os experimentos em duas categorias:
• experimentos determinísticos;
• experimentos aleatórios.
Os experimentos determinísticos são aqueles cujos resultados são previstos antes mesmo de 
sua realização. Molhar‑se após derramar um copo de água sobre si é um exemplo de experimento 
determinístico.
Já os experimentos aleatórios são aqueles cujos resultados exatos não podem ser previstos antes de 
sua realização. Jogar na loteria é um exemplo de experimento aleatório, já que se pode ganhar o prêmio 
ou, mais provavelmente, não ganhar o prêmio.
6.1.2 Espaço amostral
Define‑se espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
aleatório. O espaço amostral é denotado pela letra U.
Por exemplo, considere uma moeda: ela tem duas faces, cara e coroa (figura 32). Ao lançarmos uma 
moeda para o alto, ela cairá com uma das faces para cima. O espaço amostral desse experimento é:
U = {cara, coroa}
Figura 32 – Moeda com a face conhecida como coroa ou reverso, em que é indicado o valor da 
moeda. A face conhecida como cara ou anverso é a face oposta à face do valor, que geralmente 
apresenta um escudo, um rosto ou um emblema
Disponível em: https://cutt.ly/kMcNMU3. Acesso em: 14 nov. 2022.
108
Unidade III
Exemplo de aplicação
Considere como experimento aleatório o lançamento de um dado de 6 faces, contendo os números 
de 1 a 6 em cada face.
O espaço amostral desse experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis:
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemplo de aplicação
Considere como experimento aleatório o lançamento de um dado de 6 faces, contendo os números 
de 1 a 6 em cada face, e o lançamento de uma moeda.
O espaço amostral desse experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis para o dado e 
para a moeda:
U = {1 e cara, 2 e cara, 3 e cara, 4 e cara, 5 e cara, 6 e cara, 1 e coroa, 2 e coroa, 3 e coroa, 4 e coroa, 
5 e coroa, 6 e coroa}
6.1.3 Evento
Chamamos de evento qualquer subconjunto do espaço amostral. Logo, obter coroa como resultado 
do lançamento de uma moeda é um evento.
6.2 Regras do cálculo de probabilidades
Considere dado experimento aleatório, em que o espaço amostral tem n(U) elementos, e dado evento 
A, que tem n(A) elementos. A probabilidade de ocorrência do evento P(A) é dada por:
( ) ( )( )
n A
P A 
n U
=
É importante notar que esse método para o cálculo de probabilidades é válido apenas no caso em 
que o espaço amostral U é equiprobabilístico – ou seja, todos os eventos do espaço amostral precisam 
ter a mesma probabilidade.
Da expressão para o cálculo da probabilidade de um evento A, P(A), essa probabilidade é um número 
entre 0 e 1, ou, de forma equivalente, entre 0 e 100%. É possível representar probabilidades tanto na 
forma unitária quanto na forma percentual.
109
ESTATÍSTICA
 Observação
Para converter um valor unitário em porcentagem, basta multiplicá‑lo 
por 100%.
Se dado evento tem probabilidade igual a 0,4 de ocorrência, essa 
probabilidade é equivalente a:
0,4 .1 00% 40%=
Exemplo de aplicação
Considere que o metrô de uma grande cidade apresentou falha no funcionamento no início  da 
manhã em 3 dias de uma semana. Qual é a probabilidade de falha no início da manhã no dia seguinte?
Figura 33 – Metrô
Disponível em: https://cutt.ly/7McMjyo. Acesso em: 14 nov. 2022.
Calcula‑se a probabilidade como o número de ocorrência do evento dividido pelo número de 
ocorrências do espaço amostral. Neste caso, trabalha‑se com uma semana de dados, então o espaço 
amostral é igual a 7 dias. Então:
( )n U 7=
110
Unidade III
O evento de ocorrência de falha pela manhã ocorreu em 3 dias da semana. Logo, esse é o número de 
ocorrências do evento falha no metrô.
( )n falha no metrô 3=
Dividindo‑se o número de ocorrências do evento pelo número de elementos do espaço amostral, 
calcula‑se a probabilidade de ocorrência desse evento:
( ) ( )( )
n falha no metrô
P falha no metrô 
n U
=
( ) 3P falha no metrô 
7
=
( )P falha no metrô 0,43=
É possível representar essa probabilidade na forma de porcentagem, bastando, para isso, multiplicar 
a probabilidade por 100%:
( )P falha no metrô 0,43 .1 00%=
( )P falha no metrô 43%=
Logo, a probabilidade de falha no metrô no dia seguinte é de 43%.
Exemplo de aplicação
Considere um dado de 6 faces, com faces numeradas de 1 a 6. Qual é a probabilidade de se obter um 
número par em um lançamento desse dado?
111
ESTATÍSTICA
Figura 34 – Dados
Disponível em: https://cutt.ly/hMcMTtQ. Acesso em: 14 nov. 2022.
Em um dado de 6 faces, são 6 possibilidades distintas de face possíveis de se obter. Logo, o número 
de elementos do espaço amostral é igual a 6.
( )n U 6=
Dos resultados possíveis do lançamento desse dado, obtém‑se o espaço amostral, composto pelos 
números de 1 a 6.
{ }U 1,2,3,4,5,6=
Note que, no espaço amostral, tem‑se como resultados pares 2, 4 e 6. Logo, o número de ocorrências 
do evento “face par” é igual a 3.
( )n face par 3=
Calcula‑se a probabilidade de ocorrência do evento “face par” dividindo o número de elementos 
pares do espaço amostral pelo número total de elementos do espaço amostral:
( ) ( )( )
n face par 
P face par 
n U
=
( ) 3P face par 
6
=
112
Unidade III
( )P face par 0,5=
Representando essa probabilidade na forma de porcentagem, temos:
( )P face par 0,5 .1 00%=
( )P face par 50%=
Logo, a probabilidade de obtermos um número par em um lançamento de um dado de 6 faces, 
numeradas de 1 a 6, é de 50%.
Tratamos do cálculo da probabilidade de um evento, mas e se for preciso calcular a probabilidade de 
ocorrência de dois eventos?
É possível haver dois eventos cuja ocorrência é aditiva, ou seja, são conectados pela conjunção E. 
Nesse caso, as probabilidades individuais são multiplicadas para obtermos a probabilidade total. 
Como exemplo desse caso, pode‑se pensar na probabilidade de chover E de ser um dia de semana 
(segunda a sexta).
Dessa forma, para dois eventos A e B,
( ) ( ) ( )P A eB P A . P B=
É possível ter ainda dois eventos cuja ocorrência é disjuntiva, ou seja, conectados pela conjunção OU. 
Nesse caso, as probabilidades individuais são somadas para se obter a probabilidade total. Como exemplo 
desse caso, pode‑se pensar na probabilidade de chover OU de ser um dia de semana (segunda a sexta).
Dessa forma, para dois eventos A e B,
( ) ( ) ( )P A ouB P A P B= +
Exemplo de aplicação
Em dada cidade, 4 em cada 10 habitantes são mulheres. Nessa mesma cidade, 1 em cada 
10 habitantesconcluiu o nível superior. Qual é probabilidade de, escolhendo um habitante aleatório 
da cidade, ele ser uma mulher com nível superior? Considere que a escolaridade é a mesma para 
homens e mulheres.
113
ESTATÍSTICA
Se temos 4 mulheres para cada 10 habitantes, o número de ocorrência do evento “mulher” é 
igual a 4 em um espaço amostral com 10 elementos. A partir disso, calculamos a probabilidade de se 
escolher uma mulher.
( ) ( )( )
n mulher 
P mulher 
n U
=
( ) 4P mulher 
10
=
( )P mulher 0,4=
Se 1 em cada 10 habitantes tem nível superior, podemos calcular a probabilidade de se escolher uma 
pessoa com nível superior. Temos então 1 ocorrência do evento “nível superior” em um espaço amostral 
de 10 elementos, logo:
( ) 1P nível superior 
10
=
( )P nível superior 0,1=
Calcula‑se a probabilidade de ocorrência dos dois eventos simultâneos, de se escolher uma mulher 
E que tenha nível superior, bastando, para tanto, multiplicar as probabilidades.
( ) ( ) ( )P mulher e nível superior P mulher . P nível superior=
( )P mulher e nível superior 0,4 . 0,1=
( )P mulher e nível superior 0,04=
Representando esse resultado em forma de porcentagem, temos:
( )P mulher e nível superior 0,04.1 00%=
( )P mulher e nível superior 4%=
Logo, a probabilidade de se escolher uma mulher com nível superior nessa cidade é de 4%.
114
Unidade III
Exemplo de aplicação
Na linha de produção de uma indústria alimentícia, são produzidas 20.000 unidades por dia. Em um 
processo de análise de falhas na produção, verificou‑se que ocorreu falha na vedação da embalagem de 
52 produtos e falha na rotulagem de 26 produtos. Qual é a probabilidade de ocorrência de falha por dia 
nessa linha de produção por vedação da embalagem ou por rotulagem?
Calcula‑se primeiro a probabilidade de ocorrência de cada tipo de falha.
Para a falha de vedação, houve a ocorrência em 52 produtos das 20.000 unidades produzidas por 
dia. Logo, o número de eventos de falha de vedação por dia é:
( )n falha de vedação 52=
O espaço amostral é igual ao número de unidades produzidas por dia:
( )N U 20.000=
Calculando a probabilidade de ocorrência de falha de vedação, temos o seguinte:
( ) ( )( )
n falha de edação 
P falha de vedação 
n U
=
( ) 52P falha de vedação 
20.000
=
( )P falha de vedação 0,0026=
Para a falha de rotulagem, houve a ocorrência em 26 produtos das 20.000 unidades produzidas por 
dia. Logo, o número de eventos de falha de rotulagem por dia é:
( )n falha de rotulagem 26=
O espaço amostral é igual ao número de unidades produzidas por dia:
( )N U 20.000=
115
ESTATÍSTICA
Calculando a probabilidade de ocorrência de falha de rotulagem, tem‑se o seguinte:
( ) ( )( )
n falha de rotulagem
P falha de rotulagem 
n U
 
 =
( ) 26P falha de rotulagem 
20.000
 =
( )P falha de rotulagem 0,0013 =
Para calcular a probabilidade de falha de vedação ou falha de rotulagem, soma‑se as probabilidades 
individuais:
( ) ( ) ( )P falha de vedação ou rotulagem P f. de vedação P f. de rotulagem = + 
( )P falha de vedação ou rotulagem 0,0026 0,0013 = +
( )P falha de vedação ou rotulagem 0,0039 =
Essa probabilidade pode ser representada em porcentagem, bastando multiplicá‑la por 100%:
( )P falha de vedação ou rotulagem 0,0039 .1 00% =
( )P falha de vedação ou rotulagem 0,39% =
Logo, nas condições dadas, a probabilidade de falha por vedação ou por rotulagem é de 0,39%.
116
Unidade III
 Resumo
Vimos que o fatorial de um número é representado pelo símbolo ! e 
é calculado apenas para números naturais. O cálculo do fatorial é feito 
da seguinte forma:
( ) ( ) ( )n! n. n 1 . n 2 . n 3 ...3.2.1= − − −
Por definição, temos:
0! 1=
1! 1=
Os coeficientes binomiais (ou números binomiais) são o par de valores 
n
p
 
 
 
, com n e p números inteiros e p≤n, calculados por:
( )
n n!
p p!. n p !
 
=  − 
Lemos 
n
p
 
 
 
 como binomial de n sobre p, e chamamos n de numerador 
do binomial e p de denominador do binomial.
O triângulo de Pascal, também conhecido como triângulo de Tartaglia, é 
uma forma de organizar os coeficientes binomiais. Como critério para essa 
organização, colocamos os coeficientes binomiais de mesmo numerador 
em uma mesma linha e os coeficientes binomiais de mesmo denominador 
em uma mesma coluna.
O somatório é um operador matemático indicado por Σ e é usado 
para somas sucessivas. No somatório, indicamos um índice, com seu valor 
inicial e final, e esse índice é incrementado de uma unidade a cada parcela 
somada. Matematicamente, temos:
n
i 0 1 2 n 1 n
i 0
x x x x x x−
=
= + + +…+ +∑
117
ESTATÍSTICA
Um dos usos do somatório é expressar o binômio de Newton. O binômio 
de Newton é expresso matematicamente por:
( )
n
n n i i
i 0
n
x y .x .y
i
−
=
 
+ =  
 
∑
O termo geral do binômio é a expressão que permite que calculemos 
qualquer termo de ordem p+1 do binômio de e é dado por:
p n p
p 1
n
T .y .x
p
−
+
 
=  
 
Iniciamos o estudo de análise combinatória apresentando alguns 
conceitos importantes, resumidos a seguir.
O princípio fundamental da contagem (PFC) é um método algébrico 
usado para determinar o número de possibilidades de ocorrência de 
um acontecimento, sem que precisemos listar todas as possibilidades 
envolvidas. Sendo p1 o número de possibilidades de um evento ocorrer 
na primeira etapa e p2 o número de possibilidades de o evento ocorrer na 
segunda etapa, etapas essas independentes e sucessivas, a possibilidade 
total de ocorrência do evento é dada por:
total 1 2p p .p=
Definimos arranjo como o tipo de agrupamento em que um 
grupo é diferente dos demais pela ordem ou pela natureza de seus 
elementos. O arranjo simples de n elementos, tomados k a k, é dado pela 
seguinte expressão:
( )n,k
n!
A
n k !
=
−
Na equação, n e k são números inteiros.
As permutações são agrupamentos ordenados que consideram todos 
os elementos disponíveis. A permutação de n elementos é indicada por Pn. 
A permutação é um caso particular do arranjo simples, em que todos os 
elementos são considerados, ou seja, n n,nP A= . O número de permutações 
possíveis para n elementos é dada por:
nP n!=
118
Unidade III
As combinações simples são o agrupamento em que dado grupo é 
diferente dos demais apenas pela natureza dos elementos, mas não pela 
ordem. O número de combinações de n elementos em grupos de p elementos 
é dada pela seguinte expressão:
( )n,p
n!
C
p!. n p !
=
−
Na equação, n e p são números inteiros. Lemos Cn,p como a combinação 
de n elementos tomados p a p.
Na sequência, partimos para o estudo de probabilidades. A probabilidade 
é definida como a chance de ocorrência de dado evento.
Iniciamos o estudo de probabilidade apresentando alguns conceitos:
• Experimentos determinísticos são aqueles cujo resultado é previsto 
antes mesmo de sua realização.
• Experimentos aleatórios são aqueles cujo resultado exato não pode 
ser previsto antes de sua realização.
• Espaço amostral U é o conjunto de todos os resultados possíveis de 
um experimento aleatório
• Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.
Considere dado experimento aleatório, em que o espaço amostral tem 
n(U) elementos, e dado evento A, em que o espaço amostral tem n(A) 
elementos. Então, a probabilidade de ocorrência do evento P(A) é dada por:
( ) ( )( )
n A
P A 
n U
=
É importante notar que esse método para o cálculo de probabilidades 
é válido apenas no caso em que o espaço amostral U é equiprobabilístico.
A probabilidade é um número entre 0 e 1, ou, de forma equivalente, 
entre 0 e 100%.
119
ESTATÍSTICA
Para dois eventos A e B, temos:
( ) ( ) ( )P A eB P A . P B=
Para dois eventos A e B, temos:
( ) ( ) ( )P A ouB P A P B= +
120
Unidade III
 Exercícios
Questão 1. Imagine que você tenha de fazer uma avaliação sobre a disciplina Estatística. Essa 
avaliação é composta por 6 testes, sendo cada teste formado por 5 alternativas (alternativas A, B,C, D 
e E), conforme mostrado a seguir:
Tabela 44
A B C D E
Teste 1
Teste 2
Teste 3
Teste 4
Teste 5
Teste 6
Assinale a alternativa que mostra corretamente a quantidade de possibilidades distintas de 
gabaritos para a avaliação da disciplina Estatística:
A) 5
B) 30
C) 15.625
D) 32.768
E) 390.625
Resposta correta: alternativa C.
Análise da questão
Aqui temos um experimento dado pela contagem dos gabaritos possíveis para uma avaliação de 
Estatística composta por 6 testes, sendo cada teste formado por 5 alternativas.
Cada etapa desse experimento, que é a resposta dada ao teste, tem 5 possibilidades de ocorrência 
(alternativas A, B, C, D ou E).
Assim, a quantidade Q de modos diferentes com que o experimento pode ser feito é dada pela 
multiplicação dos modos diferentes com que cada etapa pode ocorrer. Logo:
Q = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 15.625
121
ESTATÍSTICA
Concluímos que há 15.625 gabaritos possíveis para uma prova de Estatística composta por 6 testes, 
sendo cada teste formado por 5 alternativas.
Questão 2. (Enade 2017, adaptada) Seis estudantes se inscreveram para um campeonato escolar 
de xadrez: três meninas, das quais duas são irmãs gêmeas, e três meninos. Na primeira rodada, serão 
formadas as três duplas de adversários por sorteio da seguinte forma:
• o primeiro jogador é sorteado entre os seis participantes;
• o segundo jogador é sorteado entre os cinco restantes;
• o terceiro jogador é sorteado entre os quatro restantes;
• o quarto jogador é sorteado entre os três restantes;
• a primeira dupla é formada pelo primeiro e pelo segundo sorteados;
• a segunda dupla é formada pelo terceiro e pelo quarto sorteados;
• a terceira dupla é formada pelos dois últimos que não foram sorteados.
Considerando essas condições a respeito da formação das duplas de adversários na primeira rodada 
do campeonato, avalie as afirmativas.
I – A probabilidade de as gêmeas se enfrentarem é de 1/15.
II – A probabilidade de a primeira dupla sorteada ser de meninos é de 1/5.
III – A probabilidade de a primeira dupla sorteada ser composta por uma menina e um menino é 
de 3/5.
É correto o que se afirma em:
A) I, apenas.
B) II, apenas.
C) I e III, apenas.
D) II e III, apenas.
E) I, II e III.
Reposta correta: alternativa D.
122
Unidade III
Análise das afirmativas
Temos 6 crianças, sendo 3 meninos e 3 meninas e, entre essas 3 meninas, 2 meninas são gêmeas.
I – Afirmativa incorreta.
Justificativa: calculamos primeiramente a probabilidade de serem sorteadas as gêmeas na primeira 
dupla. No primeiro sorteio, temos 2 sucessos (sorteio de uma das gêmeas) entre 6 tentativas (número 
total de crianças), ou seja: 
° = =1 gêmea
2 1
P
6 3
A probabilidade de ser sorteada a outra gêmea no segundo sorteio, no qual temos apenas 1 sucesso 
restante em 5 tentativas, é: 
° =2 gêmea
1
P
5
Como precisamos que esses dois casos ocorram, devemos multiplicar as probabilidades. Logo, a 
probabilidade de serem sorteadas as 2 gêmeas nos 2 primeiros sorteios é:
° ° = =1 gêmea e 2 gêmea
1 1 1
P .
3 5 15
As gêmeas também se enfrentariam se fossem sorteadas nos 3o e 4o sorteios.
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas no primeiro sorteio é o complementar da 
probabilidade de uma delas ser sorteada, ou seja:
°
   = − = − = =   
   
1 não gêmea
2 6 2 4 2
P 1
6 6 6 6 3
Calculamos, da mesma forma, a probabilidade de não ser sorteada uma gêmea no segundo sorteio, 
dado que nenhuma gêmea tenha sido sorteada no primeiro sorteio. Nesse caso, temos 2 sucessos em 
5 possibilidades. Logo: 
°
   = − = − =   
   
2 não gêmea
2 5 2 3
P 1
5 5 5 5
123
ESTATÍSTICA
Calculamos a probabilidade de ser sorteada uma das gêmeas no terceiro sorteio, dado que nenhuma 
gêmea tenha sido sorteada no primeiro sorteio.
Nesse caso, temos 2 sucessos em 4 possibilidades. Logo:
° = =3 gêmea
2 1
P
4 2
Calculamos a probabilidade de ser sorteada a outra gêmea no quarto sorteio, dado que uma delas 
tenha sido sorteada anteriormente.
Nesse caso, temos 1 sucesso em 3 possibilidades. Logo: 
° =4 gêmea
1
P
3
Todas essas condições devem ocorrer para termos as gêmeas no 3º e 4º sorteios. Logo, devemos 
multiplicar as probabilidades, e ficamos com:
° ° = = =3 gêmea e 4 gêmea
2 3 2 1 12 1
P . . .
3 5 4 3 15.12 15
Chegamos à mesma probabilidade de serem sorteadas as gêmeas na primeira e na segunda tentativas.
Resta calcularmos a probabilidade de serem sorteadas as gêmeas nos dois últimos sorteios.
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na primeira tentativa é igual à probabilidade 
do caso anterior. Logo:
°
   = − = − = =   
   
1 não gêmea
2 6 2 4 2
P 1
6 6 6 6 3
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na segunda tentativa é:
°
   = − = − =   
   
2 não gêmea
2 5 2 3
P 1
5 5 5 5
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na terceira tentativa é:
°
   = − = − = =   
   
3 não gêmea
2 4 2 2 1
P 1
4 4 4 4 2
124
Unidade III
A probabilidade de não ser sorteada uma das gêmeas na quarta tentativa é:
°
   = − = − =   
   
4 não gêmea
2 3 2 1
P 1
3 3 3 3
Dessa forma, temos as gêmeas sorteadas nas duas últimas tentativas.
Como todas as condições devem ser satisfeitas, devemos multiplicar as probabilidades. Logo: 
° ° = = =5 gêmea e 6 gêmea
2 3 1 1 6 1
P . . .
3 5 2 3 15.6 15
Como o que é pedido é satisfeito sorteando‑se as gêmeas ou nas duas primeiras posições, ou 
na terceira e na quarta posições, ou nas duas últimas posições, devemos somar as probabilidades 
desses eventos.
Logo, a probabilidade de as gêmeas se enfrentarem é:
= + + = =confronto de gêmeas
1 1 1 3 1
P
15 15 15 15 5
II – Afirmativa correta.
Justificativa: a probabilidade de ser sorteado um menino na primeira tentativa é dada pela razão do 
número de sucessos pelo número de possibilidades. Logo: 
° =1 menino
3
P
6
A probabilidade de ser sorteado um menino na segunda tentativa é calculada da mesma forma, mas 
temos apenas 2 meninos para serem sorteados em 5 crianças restantes. Logo:
° =2 menino
2
P
5
Como queremos que o primeiro sorteado seja um menino e que o segundo sorteado também seja 
um menino, devemos multiplicar as probabilidades. Logo:
° ° = = =1 menino e 2 menino
3 2 6 1
P .
6 5 30 5
125
ESTATÍSTICA
III – Afirmativa correta.
Justificativa: a probabilidade de ser sorteada uma menina na primeira tentativa é dada pela razão do 
número de sucessos pelo número de possibilidades, ou seja:
° =1 menina
3
P
6
A probabilidade de ser sorteado um menino na segunda tentativa é calculada da mesma forma, mas 
temos 3 meninos para serem sorteados em 5 crianças restantes. Logo:
° =2 menino
3
P
5
Como queremos que a primeira criança sorteada seja uma menina e que o segundo sorteado seja um 
menino, devemos multiplicar as probabilidades. Logo:
° ° = = =1 menina e 2 menino
3 3 9 3
P .
6 5 30 10
Precisamos calcular a probabilidade de a dupla ser sorteada de forma invertida, ou seja, antes o 
menino e depois a menina.
A probabilidade de ser sorteado um menino na primeira tentativa, com 3 meninos entre 6 
crianças, é:
° =1 menino
3
P
6
A probabilidade de a segunda criança sorteada ser uma menina, com 3 meninas entre as 5 crianças 
restantes, é:
° =2 menina
3
P
5
A probabilidade de ser sorteado um menino e, em seguida, de ser sorteada uma menina é dada pelo 
produto dessas duas probabilidades. Logo: 
° ° = = =1 menino e 2 menina
3 3 9 3
P .
6 5 30 10
126
Unidade III
Vemos que as probabilidades são as mesmas, independentemente da ordem obtida.
Como o primeiro caso ou o segundo caso atende ao solicitado, precisamos somar as duas 
probabilidades. Logo:
° = + = =menino e menina na 1 dupla
3 3 6 3
P
10 10 10 5