PCslide-06

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Pré-Cálculo
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 6
Pré-Cálculo 1
A função afim
Pré-Cálculo 2
A função afim
Uma função f : R → R chama-se afim se existem constantes
a,b ∈ R tais que f (x) = a x + b para todo x ∈ R.
Definição
Exemplo de função afim:
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x + 3 .
Pré-Cálculo 3
Proposição
O gráfico de uma função afim f : x 7→ y = f (x) = a x + b é uma reta.
Demonstração. Basta verificarmos que três pontos quaisquer do gráfico de f são
colineares. Sejam, portanto,
P1 = (x1,ax1 + b), P2 = (x2,ax2 + b) e P3 = (x3,ax3 + b).
Para verificar que P1, P2 e P3 são colineares é necessário e suficiente que o maior dos
três números d(P1,P2), d(P2,P3) e d(P1,P3) seja igual à soma dos outros dois.
Sem perda de generalidade, podemos supor que as abscissas x1, x2 e x3 foram
ordenadas de modo que x1 < x2 < x3. A fórmula da distância entre dois pontos nos dá:
d(P1,P2) =
√
(x2 − x1)2 + a2(x2 − x1)2 = (x2 − x1)
√
1 + a2,
d(P2,P3) = (x3 − x2)
√
1 + a2,
d(P1,P3) = (x3 − x1)
√
1 + a2.
Daí se segue imediatamente que d(P1,P3) = d(P1,P2) + d(P2,P3).
Pré-Cálculo 4
Cuidado!
O gráfico de uma função afim é uma reta no plano cartesiano, mas
nem toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma função afim!
Pré-Cálculo 5
Observaçoes
O gráfico de uma função afim f (x) = a x + b é uma reta.
(1) a é o coeficiente angular (com relação ao eixo x) e b é o
coeficiente linear da reta.
(2) O coeficiente linear b é a ordenada do ponto de interseção da
reta com o eixo y .
Pré-Cálculo 6
A função afim
Se P(x1, y1) e Q(x2, y2) são dois pontos distintos do gráfico de f (x) = ax + b, então o
coeficiente angular é igual a variação em y dividida pela variação em x , ou seja
a =
y2 − y1
x2 − x1
Demonstração: Como P(x1, y1) e Q(x2, y2) são dois pontos distintos
do gráfico de y = ax + b, segue que y1 = ax1 + b e y2 =
ax2 + b. Logo:
y2 − y1 = ax2 + b − (ax1 + b)
⇐⇒ y2 − y1 = ax2 + b − ax1 − b
⇐⇒ y2 − y1 = a(x2 − x1)
⇐⇒ a = y2 − y1
x2 − x1
Portanto, o coeficiente angular é igual a variação em y dividida pela
variação em x .
Pré-Cálculo 7
Observação
O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: ele é igual a
tangente do ângulo entre a reta e o eixo x quando a mesma escala
foi usada nos dois eixos coordenados.
Pré-Cálculo 8
Exercícios
y = f (x) = a · x + b
(1) f é crescente se, e somente se, a > 0.
f é decrescente se, e somente se, a < 0.
(2) Estude a equação ax + b = 0 (isto é, f (x) = 0).
(3) Estude a inequação ax + b > 0 (isto é, f (x) > 0). A resposta
dependerá dos sinais de a e b.
Pré-Cálculo 9
A função afim
O gráfico de uma função afim f (x) = a x + b é uma reta.
-b�a
x
b
y
y=ax+b, a>0
-b�a
x
b
y
y=ax+b, a<0
Pré-Cálculo 10
Proposição
Dados arbitrariamente (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2, com x1 6= x2, existe uma, e somente uma,
função afim f : R→ R tal que
f (x1) = y1 e f (x2) = y2.
Demonstração. Observe que:{
f (x1) = y1,
f (x2) = y2,
⇔
{
a x1 + b = y1,
a x2 + b = y2.
Assim, existe uma única função afim f : R → R tal que f (x1) = y1 e f (x2) = y2 se, e
somente se, o sistema linear nas variáveis a e b{
a x1 + b = y1,
a x2 + b = y2,
possui uma única solução. Mas, como x1 6= x2, este é o caso,
a =
y2 − y1
x2 − x1
, b =
x2y1 − x1y2
x2 − x1
.
Pré-Cálculo 11
Atividade 1
Determine a expressão da função afim f : R → R, sabendo que os pontos (−1,2) e
(2,5) pertencem ao gráfico da função.
Solução: Como f é uma função afim, sua expressão é da forma f (x) = ax + b,
com a,b ∈ R.
Como os pontos (−1,2) e (2,5) pertencem ao gráfico da função, f (−1) = 2 e
f (2) = 5, assim, {
a · (−1) + b = 2
a · 2 + b = 5 logo
{
−a + b = 2
2a + b = 5
Somando a segunda equação com o dobro da primeira, temos 3b = 9, logo b = 3.
Substituindo b = 3 na primeira equação,
−a + 3 = 2 ∴ −a = −1 ∴ a = 1.
Com isso, f (x) = x + 3.
Pré-Cálculo 12
Atividade 1
Determine a expressão da função afim f : R → R, sabendo que os
pontos (−1,2) e (2,5) pertencem ao gráfico da função.
Outra Solução: Como f é uma função afim, sua expressão é
da forma f (x) = ax + b, com a,b ∈ R.
Como os pontos (−1,2) e (2,5) pertencem ao gráfico da função,
f (−1) = 2 e f (2) = 5, assim,
a =
f (2)− f (−1)
2− (−1)
=
5− 2
3
= 1
Sendo (x , y) um ponto qualquer da reta e sabendo que (2,5) também
é um ponto da reta, segue que sua equação é
y − 5 = 1(x − 2)⇐⇒ y = x + 3.
Com isso, f (x) = x + 3.
Pré-Cálculo 13
Atividade 2
Determine a expressão da função afim f : R → R, sabendo que os pontos (−1,2) e
(−1,5) pertencem ao gráfico da função.
Solução: Note que os pontos dados pertencem a uma mesma reta vertical,
logo não podem estar ambos no gráfico de uma função! Assim, não existe função
f : R→ R satisfazendo à condição.
Mas, se tivéssemos tentado resolver como na atividade anterior, supondo que
exista f (x) = ax + b passando pelos pontos, chegaríamos ao sistema{
a · (−1) + b = 2
a · (−1) + b = 5 logo
{
−a + b = 2
−a + b = 5
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos 0 = −3, que é um absurdo. Este
absurdo veio do fato de termos suposto que f (x) = ax +b, isto é, que existe uma função
linear cujo gráfico contenha os pontos dados.
Pré-Cálculo 14
A função linear
Pré-Cálculo 15
A função linear
Uma função f : R → R chama-se linear se existe constante
a ∈ R tal que f (x) = a x para todo x ∈ R.
Definição
Exemplo de função afim:
f : R → R
x 7→ f (x) = 2x .
Pré-Cálculo 16
Observação
Se y = f (x) = a x é uma função linear, então
i) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) para todo x1, x2 ∈ R
ii) f (cx) = c f (x) para todo c, x ∈ R.
Pré-Cálculo 17
Atividade 3
Se uma função afim f : R→ R é tal que f (0) = 0, prove que f é uma função linear.
Solução: Como f é uma função afim, sua expressão é da forma f (x) = ax + b,
com a,b ∈ R.
Pré-Cálculo 18
Atividade 4
Se uma função afim f : R→ R é impar, prove que f é uma função linear.
Solução: Como f é uma função afim, f (x) = ax + b, com a,b ∈ R.
Como f é ímpar, f (−1) = −f (1) (o 1 foi escolhido sem critério, poderíamos ter
utilizado, por exemplo, f (−2) = −f (2)). Assim,
a · (−1) + b = f (−1) = −f (1) = −(a · 1 + b),
Logo,
−a + b = −a− b,
e, portanto, b = −b, , que nos dá b = 0. Com isso, f é linear.
Pré-Cálculo 19
Problema 1
Uma empresa telefônica cobra R$ 0,60 por ligação de 15 minutos. Sabendo que o custo
da ligação é diretamente proporcional à duração da conversa, determine o custo de um
telefonema de t minutos.
Resolução: Como o custo da ligação (C) é diretamente proporcional à duração (t) da
conversa, segue que
C(t) = kt ,
onde k é a constante de proporcionalidade. Como a empresa telefônica cobra R$ 0,60
por ligação de 15 minutos
C(15) = k(15)⇐⇒ 0.60 = 15k ⇐⇒ k = 0,60 reais
15 min
= 0,04 reais/min ,
ou seja, 4 centavos por minuto. Assim, para uma ligação de t minutos, o custo, em reais,
é dado pela função
C(t) = 0,04 t
Usando essa função a companhia telefônica é capaz de calcular facilmente o valor de
qualquer ligação telefônica.
Pré-Cálculo 20
Problema 2
Em quase todos os países, a unidade de medida de temperatura é o grau Celsius (oC).
Entretanto, nos Estados Unidos e em algumas de suas possessões, a temperatura é
apresentada em graus Fahrenheit (oF). Escreva uma função afim que converta uma
temperatura em graus Fahrenheit para graus Celsius, sabendo que 32oF correspondem
a 0oC, e que 212oF correspondem a 100oC. Em seguida, trace o gráfico da função.
Resolução: O objetivo do problema é determinar a função C(t) = at + b que con-
verte uma temperatura t , em graus Fahrenheit para graus Celsius. Para que pos-
samos encontrar os coeficiente a e b, o enunciado nos fornece duas informações
C(32) = 0 e C(212) = 100. Com base nesses dados, escrevemos os pares orde-
nados (x1, y1) = (32,0) e (x2, y2) = (212,100), que nos permitem obter a inclinação da
reta
a =
y2 − y1
x2 − x1
=
100− 0
212− 32
=
100
180
=
5
9
,
donde obtemos C(t) = 59 t + b. Finalmente, lembrando que C(32) = 0, escrevemos
0 =
5
9
32 + b =⇒ b = −160
9
.
Assim, a função procurada é
C(t) =
5
9
t − 160
9
.
Pré-Cálculo 21
Problema 3
Vários tributose contas que pagamos têm fórmulas complexas, com várias faixas de
tarifas e alíquotas. Isso ocorre, por exemplo, com as contas de luz e telefone, com o
imposto de renda, e com os preços cobrados pelos Correios. Em casos assim, a função
que descreve o valor a ser pago é definida por partes, ou seja, há uma função para cada
intervalo de tarifa ou alíquota.
A tarifa mensal de um plano de telefonia fixa tem duas faixas de preço:
I Os clientes que gastam até 400 minutos mensais em ligações pagam o valor fixo
de R$ 42,00 por mês.
I Para cada minutos adicional (ou seja, que excede os 400 minutos), paga-se R$
0,04.
Determine a função que fornece o valor mensal da conta telefônica.
Pré-Cálculo 22
Problema 3
A tarifa mensal de um plano de telefonia fixa tem duas faixas de preço:
I Os clientes que gastam até 400 minutos mensais em ligações pagam o valor fixo
de R$ 42,00 por mês.
I Para cada minutos adicional (ou seja, que excede os 400 minutos), paga-se R$
0,04.
Determine a função que fornece o valor mensal da conta telefônica.
Resolução: Vamos supor que um cliente fale x minutos por mês. Nesse caso, se suas
ligações ultrapassarem os 400 minutos, o tempo adicional equivalerá a x − 400.
Para determinar a função f que fornece o valor da conta mensal, devemos considerar
as duas situações previstas no plano:
I se x ≤ 400, então f (x) = 42.
I Se x > 400,então f (x) = 42 + 0,04 (x − 400) .
Em resumo, temos a função definida por partes:
f (x) =
{
42, se x ≤ 400
42 + 0,04 (x − 400) se x > 400.
Pré-Cálculo 23
Exercício
Considere a função f (x) = 2x + |x + p|, definida para x real.
a) Reescreva f como uma função definida por partes.
b) A figura a seguir mostra o gráfico de f (x) para um valor específico de p. Determine
esse valor.
Pré-Cálculo 24
	A função afim
	A função linear