Matrizes

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Notas de aula de
Álgebra Linear e Geometria Analı́tica
Dário Rogério Júlio Maxaieie
Maputo, 2024
Conteúdo
1 Matrizes 2
1.1 Noção de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Igualdade de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Alguns casos a considerar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Matrizes determinadas por uma lei de formação . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Soma de matrizes e multiplicação de matriz por um escalar . . . . . . . . . 5
1.2.2 Multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Potenciação, polinómios e transposição de matrizes . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Propriedades das operações com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Propriedades da soma e multiplicação por escalar . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Propriedades da multiplicação de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Propriedades da transposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Matrizes Escalonadas e Operações Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7 Determinantes e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Matrizes Invertı́veis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1
Capı́tulo 1
Matrizes
1.1 Noção de matriz
Matriz
Uma matriz é um agrupamento rectangular de números, dispostos em linhas e colunas. Esses
números são chamados elementos, termos ou entradas da matriz.
Notação
Uma matriz, digamos A, com m linhas e n colunas é denotada como se segue:
A =

a11 a12 . . . aan
a21 a22 . . . a2n
...
...
...
...
am1 am2 . . . amn
 .
Paralelamente, para abreviar a notação acima, pode ser usada a notação A = [aij]. Cada aij
representa a entrada da linha i e coluna j.
Ordem da matriz
Para indicar que a matriz A tem m linhas e n colunas, usaremos a notação Am×n e diremos que A
é de ordem (ou de dimensão, ou ainda de tamanho ou do tipo) m× n.
2
Exemplo
São exemplos de matrizes as seguintes
A =
[
1 2
0 3
]
, B =
[√
2 −1 0
2 π 1
2
]
, C =

1
1
2
3
 , D =
[
2 4 17
]
, E =
 5, 1 1, 2 −16, 9 0 4, 4
−7, 3 9 8, 5
 .
Neste exemplo, as matrizes A,B,C,D e E são de ordem (2 × 2), (2 × 3), (4 × 1), (1 × 3) e
(3× 3), respectivamente.
1.1.1 Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A e B são iguais se têm a mesma ordem e possuem todos elementos da mesma
posição iguais. Isto é, A = [aij] e B = [bij] são iguais se aij = bij , para todos os pares i, j.
Exemplo
Considere as matrizes A =
[
a b
c d
]
, B =
[
2 3
0 1
]
e C =
[
2 0 x
5 3 y
]
.
É óbvio que nem A nem B podem ser iguais a C, independentemente dos valores de x e y. No
entanto, A = B se, e somente se, a = 2, b = 3, c = 0, d = 1. As matrizes L =
[
1 2 3
]
e
C =
12
3
, não são iguais (embora tenham elementos iguais). pois são de diferentes ordens.
1.1.2 Alguns casos a considerar
• Uma matriz com m = n diz-se matriz quadrada.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
an1 an2 . . . ann

• A matriz quadrada com os elementos fora da diagonal todos nulos é dita matriz diagonal.
D =

a11 0 . . . 0
0 a22 . . . 0
...
... . . .
...
0 0 . . . ann

3
• Uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal são iguais é chamada matriz
escalar.
D =

k 0 . . . 0
0 k . . . 0
...
... . . .
...
0 0 . . . k

• Uma matriz com todas entradas nulas diz-se nula. Por exemplo:
O =
[
0 0
]
, O =
[
0 0
0 0
]
, O =
0 0 00 0 0
0 0 0
 .
• A matriz identidade é uma matriz escalar cuja diagonal é composta apenas por 1.
I1 = [1], I2 =
[
1 0
0 1
]
, I3 =
1 0 00 1 0
0 0 1
 , In =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
... . . .
...
0 0 . . . 1
 .
1.1.3 Matrizes determinadas por uma lei de formação
Matrizes podem ser obtidas conhecendo as suas leis de formação. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo
A matriz A, de ordem 3× 2, é tal que aij = i+ j − 1. Encontre esta matriz.
Note-se que A tem a seguinte configuração A =
a11 a12a21 a22
a31 a32
 . Assim,
a11 = 1 + 1− 1 = 1, a12 = 1 + 2− 1 = 2
a21 = 2 + 1− 1 = 2, a22 = 2 + 2− 1 = 3
a31 = 3 + 1− 1 = 3, a32 = 3 + 2− 1 = 4.
Logo,
A =
1 22 3
3 4
 .
4
Exemplo
Determine uma matriz B, de ordem 4× 4, cujas entradas são dadas pela fórmula
bij =

−1, se i < j
0, se i = j
1, se i > j
.
É claro que a matriz B tem a configuração B =

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
.
Notemos que:
• os elementos do triângulo superior (i < j) são iguais à -1: a12 = a13 = a14 = a23 = a24 =
a34 = −1.
• os elementos da diagonal (i = j) são nulos: a11 = a22 = a33 = a44 = 0.
• os elementos do triângulo inferior (i > j) são iguais à 1: a21 = a31 = a32 = a41 = a42 =
a43 = 1.
Assim,
B =

0 −1 −1 −1
1 0 −1 −1
1 1 0 −1
1 1 1 0
 .
1.2 Operações com matrizes
1.2.1 Soma de matrizes e multiplicação de matriz por um escalar
Sejam A e B são matrizes da mesma ordem, m× n.
Adição e subtração de matrizes
A adição A + B é uma matriz, de ordem m × n, que resulta adicionando os elementos das duas
matrizes correspondentes à mesma posição. Isto é,
se A = [aij] e B = [bij], então A+B = [aij + bij].
Da mesma forma define-se A−B:
se A = [aij] e B = [bij], então A−B = [aij − bij].
5
Multiplicação por escalar
A multiplicação da matriz A = [aij] por um escalar r é a matriz obtida multiplicando todos os
elementos de A por r, isto é
rA = r[aij] = [raij].
Exemplos
Consideremos as matrizes A =
[
4 0 5
−1 3 2
]
, B =
[
1 1 1
3 5 7
]
e C =
[
2 −3
0 1
]
.
Verifica-se que A+B =
[
5 1 6
2 8 9
]
, no entanto A+C não está definida devido a diferença de
ordem.
Verifica-se que
2B = 2
[
1 1 1
3 5 7
]
=
[
2 2 2
6 10 14
]
.
A− 2B =
[
4 0 5
−1 3 2
]
−
[
2 2 2
6 10 14
]
=
[
2 −2 3
−7 −7 −12
]
.
1.2.2 Multiplicação de matrizes
Produto de uma matriz por uma coluna
Defina-se, primeiro, o produto de uma matriz A de ordem m× n e uma matriz X de ordem n× 1
(X é uma matriz coluna). Se a1, a2, . . . , an são as colunas da matriz A e x1, x2, . . . , xn são os
elementos da matriz X , escrevemos
A = [a1 a2 . . . an] e X =

x1
x2
...
xn
 .
O produto de A e X está definido e é dado por
AX = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn.
6
Exemplo
Seja dada a matriz A =
[
2 3
1 −5
]
e a matriz coluna X =
[
3
−2
]
. Então,
AX =
[
2 3
1 −5
][
3
−2
]
=
[
2
1
]
· 3 +
[
3
−5
]
· (−2)
=
[
6
3
]
+
[
−6
10
]
=
[
0
13
]
.
Caso geral
Sejam A uma matriz de ordem m× n e B uma matriz de ordem n× p (o número de colunas de A
é igual ao número de linhas de B). Denotemos as colunas de B por b1, b2, . . . , bp. Então, o produto
AB é uma matriz de ordem m× p cujas colunas são Ab1, Ab2, . . . , Abp. Ou seja,
AB = A[b1 b2 . . . bp] = [Ab1 Ab2 . . . Abp].
Exemplo
Calcule o produto AB, onde A =
[
2 3
1 −5
]
e B =
[
4 3 6
1 −2 3
]
.
• Como A é de ordem 2× 2 e B é de ordem 2× 3 temos que AB será de ordem 2× 3.
• As colunas de B são
b1 =
[
4
1
]
, b2 =
[
3
−2
]
, b3 =
[
6
3
]
.
• As colunas de AB serão dadas por
Ab1 =
[
2 3
1 −5
][
4
1
]
=
[
2
1
]
· 4 +
[
3
−5
]
· 1 =
[
11
−1
]
Ab2 =
[
2 3
1 −5
][
3
−2
]
=
[
2
1
]
· 3 +
[
3
−5
]
· (−2) =
[
0
13
]
Ab3 =
[
2 3
1 −5
][
6
3
]
=
[
2
1
]
· 6 +
[
3
−5
]
· 3 =
[
21
−9
]
7
• Portanto,
AB =
[
11 0 21
−1 13 −9
]
.
Cruzamento linha-coluna para o produto matricial
Estando definido o produto matricial AB, seuselementos são definidos por
cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + · · ·+ ainbnj.
Exemplo
Nas matrizes do exemplo anterior temos
c11 = 2 · 4 + 3 · 1 = 11
c12 = 2 · 3 + 3 · (−2) = 0
c13 = 2 · 6 + 3 · 3 = 21
c21 = 1 · 4 + (−5) · 1 = −1
c22 = 1 · 3 + (−5) · (−2) = 13
c23 = 1 · 6 + (−5) · 3 = −9
Logo,
AB =
[
11 0 21
−1 13 −9
]
.
1.2.3 Potenciação, polinómios e transposição de matrizes
Potências de matrizes
Seja A uma matriz quadrada de ordem n × n e k um número inteiro positivo. A potenciação de
matrizes é definida do seguinte modo:
A0 = In
A1 = A
A2 = AA
...
Ak = AA . . . A︸ ︷︷ ︸
k vezes
.
Exemplo
Calcule todas as potências de A, sendo A =
[
1 1
1 1
]
.
8
Tem-se que
A0 =
[
1 0
0 1
]
A1 = A =
[
1 1
1 1
]
A2 = AA =
[
1 1
1 1
][
1 1
1 1
]
=
[
2 2
2 2
]
A3 = A2A =
[
2 2
2 2
][
1 1
1 1
]
=
[
4 4
4 4
]
A4 = A3A =
[
4 4
4 4
][
1 1
1 1
]
=
[
8 8
8 8
]
...
Ak =
[
2k−1 2k−1
2k−1 2k−1
]
, k ≥ 1.
Polinómio de matrizes
Seja A uma matriz quadrada n× n e f(x) = amxm + am−1xm−1 + · · ·+ a1x+ a0 um polinómio
de grau m. Então,
f(A) = amA
m + am−1A
m−1 + · · ·+ a1A+ a0In.
Exemplo
Mostre que a matriz A =
[
1 1
1 1
]
é um zero do polinómio f(x) = x3 − 4x. Será A uma raı́z do
polinómio g(x) = x2 − 1?
Temos:
f(A) = A3 − 4A
=
[
4 4
4 4
]
− 4
[
1 1
1 1
]
=
[
4 4
4 4
]
−
[
4 4
4 4
]
= O.
g(A) = A2 − I2
=
[
2 2
2 2
]
−
[
1 0
0 1
]
=
[
1 2
2 1
]
.
Logo, A é uma raı́z do polinómio f(x) = x3 − 4x pois f(A) = 0. No entanto, A não é raı́z de
g(x) = x2 − 1 pois g(A) ̸= 0.
9
Transposta de uma matriz
Dada uma matriz qualquer A, a sua transposta denotada por AT é definida do seguinte modo: cada
linha de A é uma coluna de AT , vice-versa. Isto é:
Se A = [aij], então AT = [aji].
Simetria em matrizes quadradas
Diz-se que a matriz é simétrica se AT = A, ou seja se aij = aji para quaisquer i, j.
Diz-se que a matriz é antissimétrica se AT = −A, ou seja se aij = −aji para quaisquer i, j.
Diz-se que a matriz é assimétrica se não é simétrica ou antissimétrica.
Exemplo
Sejam
A =
[
1 3 2
5 0 1
]
, B =
[
a c
b d
]
e C =
[
5 −1 2
]
.
Então, suas transpostas são
AT =
1 53 0
2 1
 , BT = [a b
c d
]
e CT =
 5−1
2
 .
Exemplo
Sejam as matrizes quadradas
A =
1 2 32 5 0
3 0 4
 , B = [ 1 2
−1 3
]
, e C =
0 −1 −21 0 3
2 −3 0
 .
Verifica-se que:
• A matriz A satisfaz AT = A, logo A é simétrica.
• A matriz C satisfaz CT = −C, logo C é antissimétrica.
• Para a matriz B temos BT ̸= B e BT ̸= −B, o que significa que B é assimétrica.
10
1.3 Propriedades das operações com matrizes
1.3.1 Propriedades da soma e multiplicação por escalar
A soma de matrizes tem um comportamento semelhante ao da soma de números reais. A seguir
são apresentadas as propriedades da soma e da multiplicação por um escalar.
Sejam A,B e C matrizes de mesma ordem, e c e d, escalares. Então
• A+B = B + A (comutatividade)
• (A+B) + C = A+ (B + C) (Associativa)
• A+O = A
• A+ (−A) = A− A = O
• c(A+B) = cA+ cB (Distributiva)
• (c+ d)A = cA+ dA (Distributiva)
• c(dA) = (cd)A
• 1A = A
1.3.2 Propriedades da multiplicação de matrizes
A multiplicação de matrizes nem sempre se comportasse como a multiplicação de números reais.
Existem algumas diferenças significativas.
Consideremos as matrizes
A =
[
2 4
−1 −2
]
e B =
[
1 0
1 1
]
.
Multiplicando-as temos
AB =
[
2 4
−1 −2
][
1 0
1 1
]
=
[
6 4
−3 −2
]
e BA =
[
1 0
1 1
][
2 4
−1 −2
]
=
[
2 4
1 2
]
.
Portanto, AB ̸= BA. Assim, em contraste com a multiplicação de números reais, a multiplicação
de matrizes não é comutativa — a ordem dos fatores em um produto é importante!
Agora, calculando A2 tem-se
A2 = AA =
[
2 4
−1 −2
][
2 4
−1 −2
]
=
[
0 0
0 0
]
.
11
Assim, para matrizes, a equação A2 = O não implica que A = O (diferentemente da situação para
números reais, em que a equação x2 = 0 tem somente x = 0 como solução).
Seguem as propriedades da multiplicação de matrizes. Sejam A, B e C matrizes (cujas ordens
possibilitem que as operações indicadas sejam realizadas) e seja k um escalar. Então
• A(BC) = (AB)C (Associativa)
• A(B + C) = AB + AC (Distributiva à esquerda)
• (A+B)C = AC +BC (Distributiva à direita)
• k(AB) = (kA)B = A(kB)
• ImA = A = AIn, se A for m× n (Identidade da multiplicação)
1.3.3 Propriedades da transposta
Sejam A e B matrizes (cujas ordens são tais que as operações indicadas podem ser realizadas) e
seja k um escalar. Então
• (AT )T = A
• (A+B)T = AT +BT
• (kA)T = k(AT )
• (AB)T = BTAT
• (Ar)T = (AT )r
1.4 Exercı́cios
1. Em cada um dos casos a seguir, encontre a matriz A = [aij] de ordem 4 × 4 que satisfaz a
condição dada:
a) aij = (−1)i+j b) aij = j−i c) aij = (i−1)j d) aij = sin
(
(i+ j − 1)π
4
)
.
2. Em cada um dos casos a seguir, encontre a matriz A = [aij] de ordem 6 × 6 que satisfaz a
condição dada:
a) aij =
{
i+ j se i ≤ j
0 se i > j
b) aij =
{
1 se |i− j| ≤ 1
0 se |i− j| > 1
c) aij =
{
1 se 6 ≤ i+ j ≤ 8
0 nos outros casos
.
3. Dadas as matrizes A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
−1 0
1 1
]
, determine a matriz X se:
a) X − 2A+ 3B = O b) 2X = A−B
c) 2(A+ 2B) = 3X d) 2(A−B +X) = 3(X − A)
12
4. Sejam
A =
[
3 0
−1 5
]
, B =
[
4 −2 1
0 2 3
]
, C =
1 23 4
5 6

D =
[
0 −3
−2 1
]
, E =
[
4 2
]
, F =
[
−1
2
]
.
Calcule (se possı́vel):
a) A+ 2D b) B − C c) 3D − 2A d) C −BT e) AB f) BD g) D +BC
h) BBT i) E(AF ) j) F (DF ) k) FE l) EF m) BTCT − (CB)T n) DA−AD
o) A3 p) (I2 −D)2.
5. Seja A =
[
0 1
−1 1
]
.
a) Calcule A2, A3, . . . , A7.
b) Diga qual é a matriz A2024.
6. Seja B =
[
1√
2
− 1√
2
1√
2
1√
2
]
. Determine B2024.
7. Sendo A =
[
1 1
0 1
]
, encontre uma fórmula para An.
8. Seja A =
[
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
]
. Mostre que A2 =
[
cos 2θ − sin 2θ
sin 2θ cos 2θ
]
.
13
	Matrizes
	Noção de matriz
	Igualdade de Matrizes
	Alguns casos a considerar
	Matrizes determinadas por uma lei de formação
	Operações com matrizes
	Soma de matrizes e multiplicação de matriz por um escalar
	Multiplicação de matrizes
	Potenciação, polinómios e transposição de matrizes
	Propriedades das operações com matrizes
	Propriedades da soma e multiplicação por escalar
	Propriedades da multiplicação de matrizes
	Propriedades da transposta
	Exercícios
	Matrizes Escalonadas e Operações Elementares
	Exercícios
	Determinantes e suas propriedades
	Matrizes Invertíveis