03 Crescimento endogeno

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Crescimento endógeno
Prof. Pedro Hemsley
Descrição Apresentação do modelo de crescimento econômico de Romer.
Propósito Compreender o modelo de Romer, ferramenta básica para entender o
processo de crescimento econômico e sua relação com a inovação na
economia.
Objetivos
Módulo 1
Inovação e crescimento
econômico
Módulo 2
Microfundamentos do
modelo de Romer
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Descrever a relação entre inovação e
crescimento econômico.
Identificar os microfundamentos do modelo
de Romer.
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Um dos principais determinantes do padrão de vida de uma sociedade, o
crescimento econômico é estudado por cientistas sociais há séculos. Um
dos modelos mais importantes para entender o processo desse crescimento
é o modelo de Solow, que relaciona o aumento da renda à acumulação de
capital e ao avanço tecnológico.
Nesse modelo, a acumulação de capital só gera aumento da renda até
determinando momento: no longo prazo, a economia só cresce com novas
tecnologias. O modelo supõe que avanços tecnológicos sejam exógenos, e
assim explica o crescimento econômico.
Por isso, dizemos que o modelo de Solow é um modelo de crescimento
exógeno: a fonte de crescimento econômico (o avanço tecnológico) é um
elemento externo ao modelo.
Entretanto, novas tecnologias não caem do céu: elas são resultado de
trabalho e investimento, ou seja, há decisões econômicas envolvidas no
processo de geração de novas ideias.
Tendo isso em vista, podemos estudar o avanço tecnológico dentro do
modelo econômico de crescimento. É isso que faz do modelo de Romer o
principal modelo de crescimento econômico endógeno.
Neste conteúdo, estudaremos a relação entre inovação e crescimento
econômico, buscando identificar a taxa de crescimento da tecnologia.
Veremos que essa taxa depende do número de pessoas que trabalha no
setor de inovação e pesquisa. Além disso, falaremos sobre as escolhas
individuais que geram a produção e a inovação na economia.
Introdução
Luiz Eduardo Geoffroy
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1 - Inovação e crescimento econômico
Ao final deste módulo, você será capaz de descrever a relação entre inovação e crescimento
econômico.
O papel da inovação no crescimento
econômico
A ciência econômica sempre estudou o processo de crescimento econômico,
um dos fatores mais relevantes para explicar o padrão de vida de um país.
Sabemos que, em geral, países mais ricos apresentam menores taxas de
mortalidade infantil, maiores níveis educacionais e melhor acesso a serviços
diversos.
Um dos principais modelos de crescimento econômico é o modelo de Solow,
que mostra alguns resultados fundamentais. São eles:
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Esses resultados são fundamentais para se entender o pensamento econômico,
mas ainda falta compreender algo:
 I
A mera acumulação de capital não é suficiente para gerar
crescimento econômico de longo prazo, pois o capital tem
retornos decrescentes; a partir de determinado momento, o
investimento em capital só é suficiente para cobrir sua
depreciação.
 II
No longo prazo, o crescimento econômico é sustentado por
avanços da tecnologia, isto é, pela geração de novas ideias.
Luiz Eduardo Geoffroy
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O modelo de Solow toma a taxa de crescimento tecnológico como
exógena; portanto, ele não explica a dinâmica do fator que faz a
economia crescer. É como se os cientistas e os engenheiros vivessem
em uma “bolha” isolada do restante da economia, tendo novas ideias.
Para começarmos a preencher essa lacuna, precisamos inicialmente
observar que novas ideias (avanços tecnológicos) não caem do céu, ou
seja, não são exógenas à economia. Pelo contrário: para gerar ideias,
precisamos investir e trabalhar. Em outras palavras, há decisões
econômicas que afetam o processo de geração de ideias e avanço
tecnológico.
Para sermos mais claros: o progresso tecnológico ocorre quando
inventores (pessoas ou empresas) buscam lucro por meio da criação de
ideias e produtos. Em outros termos, passamos a modelar o setor de
inovação como modelamos qualquer outro setor econômico. Ou quase
isso: precisamos apenas prestar atenção a algumas peculiaridades do
setor de inovação.
Em primeiro lugar: ideias são não rivais. O que significa isso?
Uma mesma ideia pode ser usada por indivíduos diferentes no mesmo instante.
Por exemplo, se um inventor desenvolve um novo método de produção, esse
método pode ser aprendido e usado por pessoas em diferentes locais ao mesmo
tempo.
De onde vêm os avanços tecnológicos? 
Luiz Eduardo Geoffroy
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Note que isso é fundamentalmente
diferente dos bens típicos que
estudamos. Se João está usando uma
ferramenta em sua oficina, como um
martelo ou uma chave de fenda, José
não poderá usar a mesma ferramenta
naquele momento. Contudo, João e
José podem usá-la de acordo com um
mesmo método (uma ideia)
desenvolvido por alguém.
Isso tem uma implicação importante: o custo fixo para gerar uma ideia pode ser
alto, mas o custo marginal para utilizá-la é igual a zero. Depois que a ideia foi
gerada uma vez a determinado custo, não precisamos arcar com ele novamente
para usá-la duas, dez ou cem vezes.
Pense, por exemplo, em um programa
de computador, como os sistemas
operacionais que rodam nos
computadores Dell ou Apple. O custo
para seu desenvolvimento é altíssimo:
são necessários anos de trabalho e
experimentação de inúmeros
profissionais altamente qualificados.
Depois que o programa é gerado,
porém, produzir uma cópia tem custo
irrelevante.
No entanto, isso nos deixa com uma questão relevante:
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Lembre-se de que, sob competição perfeita, o preço é igual ao custo
marginal. Logo, o preço de uma nova ideia em uma economia competitiva
é igual a zero!
Se o preço é igual a zero, porém, ninguém trabalhará ou investirá em
novas ideias. Sem trabalho e novos investimentos, não haverá progresso
tecnológico nem - como consequência disso - crescimento econômico.
Como resolver esse problema? Vamos prestar atenção à sua estrutura lógica:
Se a economia for perfeitamente competitiva, então não
haverá incentivo econômico à geração de ideias (o preço é
zero).
Vamos analisar a contraposição dessa afirmativa:
Contraposição
Considere uma proposição na forma “Se A, então B”. Exemplo:
“se chove, então molha”. A contraposição é: “Se não temos B,
então, não temos A”. Seguindo o exemplo anterior: “Se não
molhou, é porque necessariamente não choveu”.
Se há incentivo à geração de ideias (o preço é maior que
zero), então a economia não é perfeitamente competitiva.
Essa é uma mudança fundamental do modelo de crescimento endógeno de
Romer em relação ao de crescimento exógeno de Solow.
Se um bem tem custo marginal igual a zero, o que acontece com
ele em uma economia competitiva? 
Luiz Eduardo Geoffroy
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Modelo de Solow
A economia é perfeitamente
competitiva; portanto, não é
possível explicar a geração
de ideias e o progresso
tecnológico.
Modelo de RomerA economia não é
perfeitamente competitiva;
portanto, essa é a chave
para se entender o
progresso tecnológico.
Se a economia de Romer não é perfeitamente competitiva, alguma empresa tem
poder de mercado e pode cobrar, desse modo, um preço acima do custo
marginal. E é exatamente tal diferença entre preço e custo marginal que será
usada para financiar o custo de gerar ideias! Especificamente, ela será usada
para comprar a patente que protege os inventores e permite que eles recebam
por suas ideias, que, afinal, custam muito para serem desenvolvidas.
Com isso, concluímos nossa teoria de crescimento econômico endógeno.
Sabemos que a mera acumulação de capital não é suficiente para sustentar o
crescimento econômico no longo prazo: é necessário compensar o retorno
decrescente do capital. Isso é feito por meio do avanço tecnológico, o qual, por
sua vez, é financiado a partir do poder de mercado das firmas na economia.
Isso tem implicações importantes para nosso entendimento
sobre o processo de crescimento econômico e, portanto,
sobre as maneiras de afetá-lo por meio de políticas públicas.
A economia cresce no longo prazo não por causa de
máquinas e matéria-prima, que podem apenas ajudar por
determinado período, e sim com base em conhecimento, o
qual, afinal, não tem limites.
Vamos apresentar a seguir o modelo de Romer e derivar a taxa de crescimento
da tecnologia (que também é a taxa de crescimento na economia). Tomaremos
inicialmente a proporção de trabalhadores no setor de inovação como dada.
Mais adiante, estudaremos como determinar essa proporção.

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Estrutura básica do modelo de Romer
A ideia básica do modelo de Romer é que a população total (L) é dividida em
dois grupos:
Empregados no setor
produtivo
Empregados no setor de
inovação
Assim, escrevemos:
Vamos explorar inicialmente o setor produtivo. Consideremos uma função de
produção que, além do número de trabalhadores, também utiliza capital K.
Temos, com isso, esta função de produção:
Ly

LA
L = Ly + LA
Ly
Y = K α(ALy)
1−α
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Em que:
Y = produção;
A = tecnologia disponível em determinado momento do tempo.
Vamos supor que o parâmetro α pertença ao intervalo (0,1).
Observe que, se considerarmos a tecnologia A um parâmetro exógeno, essa
função de produção apresentará retornos constantes de escala. Para verificar
isso, basta notar que há apenas dois insumos:

Capital

Trabalho
Se esses insumos forem multiplicados por determinada constante c, obteremos:
Em outros termos, ao multiplicarmos cada insumo por uma constante c, o
produto também será multiplicado por c, ou seja, a função apresenta retornos
constantes de escala. Uma maneira simples de ver isso é que os expoentes dos
insumos somam um!
Entretanto, se considerarmos que a tecnologia A também é um insumo, teremos
uma função com retornos crescentes de escala! Agora a conta será esta:
Isso reflete o fato de que as ideias são bens não rivais!
(cK)α(A (cLy))
1−α = cαK αA1−αc1−αL1−αy = c
α+1−αK αA1−αL1−αy = cK
α(ALy)
1−α
Y
=
(cK)α((cA) (cLy))
1−α = cαK αc1−αA1−αc1−αL1−αy = c
α+1−α+1−αK αA1−αL1−αy
= c2−αK α(ALy)
1−α
Y
= c2−αY > Y
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Uma vez compreendida a função de produção, precisamos entender a dinâmica
do capital, isto é, como ele muda ao longo do tempo. A equação de movimento
do capital é a seguinte:
Atenção à notação , que é a derivada do estoque de capital em
relação ao tempo. Essa é a variação do estoque de capital a cada instante - e ela
tem dois componentes.
O primeiro é a poupança : supomos que as pessoas poupem uma fração
 da renda total Y. O segundo é a depreciação : uma parcela δ do estoque
de capital se deprecia a cada instante (pense nas máquinas que deixam de
funcionar ou no custo para fazer a manutenção delas).
Imagine que, em determinado instante do tempo, a renda seja Y = 100 e o
estoque de capital, K=40. A taxa de poupança é = 10%; a taxa de depreciação,
δ = 20%. A variação do estoque de capital é
Renda total
Lembre-se de contas nacionais: a produção é igual à renda.
Portanto, podemos denotar ambas por Y.
A taxa de poupança é exógena, assim como no modelo de Solow.
A taxa de crescimento populacional é exógena, sendo dada por n:
K̇ = sKY − δK
K̇ = dK/dt
sKY
SK δK
sK
K̇ = sKY − δK = 0, 1 × 100 − 0, 2 × 40 = 10 − 8 = 2
L̇
L
= n
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Ou seja: . Isso significa que, se a população tem L pessoas em um
momento, surgirão nL pessoas nesse momento. Você pode interpretar isso
como a diferença entre nascimentos e óbitos ou como a diferença entre
imigração e emigração.
Agora podemos modelar a dinâmica da tecnologia A ao longo do tempo.
Dizemos que o modelo de Romer é um modelo de crescimento econômico
endógeno exatamente pelo fato de que a dinâmica da tecnologia é modelada de
forma explícita.
Vamos considerar inicialmente a seguinte equação de movimento para a
tecnologia:
Em outros termos, se temos pessoas empregadas no setor de inovação,
geramos, a cada período , novas ideias. Ou seja, a razão entre as novas
ideias ( ) e o número de empregados no setor de inovação ( ) é constante,
igual a . Essa é a versão mais simples do modelo, mas podemos modelar 
de maneiras diferentes. Será que a razão entre novas ideias e o tamanho do
setor de inovação é constante?
Há outra possibilidade: podemos dizer que depende das ideias
que já foram geradas.
L̇ = nL
Ȧ = δALA
LA
δALA
Ȧ LA
δA δA
δA
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Mas será que essa taxa é crescente ou decrescente no estoque de ideias já
existentes?
Os dois efeitos podem existir. Por um lado, talvez as ideias já existentes tornem
cada vez mais fácil gerar ideias; portanto, é crescente em A. Pense, por
exemplo, no desenvolvimento de métodos matemáticos que permitem a
resolução de problemas em engenharia de produção. Dizemos que esse é o
efeito “subir nos ombros”.
Por outro lado, talvez as ideias “fáceis” sejam descobertas inicialmente e seja
cada vez mais difícil gerar ideias: nesse caso, é decrescente em A. Pense, por
exemplo, que a matemática se torna cada vez mais sofisticada e difícil. Tal é o
efeito conhecido como “pisar nos pés”.
Podemos escrever:
Subir nos ombros
Expressão que vem de uma frase famosa do físico e
matemático inglês Isaac Newton (1643-1727): “Se enxerguei
mais longe, é porque subi nos ombros de gigantes”.
Nessa expressão, ϕ é um parâmetro exógeno, enquanto é um valor-base para
. Se ϕ = 0, então . Ou seja, voltamos ao caso básico em que
 é constante:
A geração de ideias é independente do estoque daquelas já
geradas. Os efeitos “subir nos ombros” e “pisar nos pés” se
cancelam.
δA
δA
δA = δ–A
ϕ
δ–
δA δA = δ–A
0 = δ–
δA
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Se ϕ > 0, então é
crescente em A:
O efeito “subir nos ombros”
é dominante.
Se ϕ < 0, então é
decrescente em A:
O efeito “pisar nos pés” é
dominante.
No restante deste conteúdo, vamos supor que o efeito “pisar nos pés” seja
dominante para simplificar nossas contas. Dessa forma, temos:
Por último, vamos permitir também que a relação entre novas ideias e o
número de empregados no setor de inovação seja não linear:
Para algum expoente λ possivelmente diferente de 1.
Evolução da tecnologia
A taxa de crescimento da renda per capita é, no estado estacionário, igual à de
crescimento da tecnologia: esse resultado é conhecido do modelo de Solow.
Precisamos, assim, entendera taxa relativa à tecnologia.
Vamos retomar a equação de movimento da tecnologia:
Dividindo os dois lados por A, obtemos:
δA

δA
Ȧ = δ–A
ϕLA
Ȧ
LA
Ȧ = δ–A
ϕLλA
Ȧ = δ–A
ϕLλA
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O lado esquerdo é exatamente a taxa de crescimento da tecnologia, que
denotaremos por . Ou seja:
Vamos tirar o logaritmo natural dos dois lados dessa equação:
Na segunda linha, usaremos a seguinte propriedade: para quaisquer x e y,
 Na terceira linha, usaremos o fato de que
 . Vamos agora tirar a derivada dos dois lados dessa equação
em relação ao tempo:
Note que podemos manter o sinal da igualdade após tirar a derivada, pois a
igualdade vale para todos os instantes de tempo. De forma geral, omitimos a
dependência em relação ao tempo para tornar a notação mais leve.
Agora vamos estudar a economia no estado estacionário. Portanto, a taxa de
crescimento da tecnologia é constante. Além disso, o parâmetro também é
constante. Logo, ambos têm derivada igual a zero.
Podemos reescrever a penúltima equação assim:
Ȧ
A
=
δ–A
ϕLλ
A
A
=
δ–L
λ
A
A1−ϕ
gA
gA =
δ–L
λ
A
A1−ϕ
ln (gA) = ln ( δ–LλA
A1−ϕ
) =
ln(δ–) + ln (L
λ
A) − ln (A
1−ϕ) =
ln(δ–) + λ ln (LA) − (1 − ϕ) ln(A)
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln (xy) = y ln(x)
d
dt
ln (gA) =
d
dt
[ln(δ–) + λ ln (LA) − (1 − ϕ) ln(A)]
gA δ–
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Na primeira igualdade, usamos o fato de que as derivadas de e de , em
relação ao tempo, são iguais a zero. Na última igualdade, usamos o fato de que
as constantes λ e (1 - ϕ) podem sair da derivada. Com isso, obtemos:
Observe agora que temos, dos dois lados da equação, a derivada em relação ao
tempo do logaritmo natural de uma variável que depende do tempo — seja a
população empregada no setor de pesquisa ( ) no lado esquerdo, seja a
tecnologia A no lado direito.
Para fazer a derivada, precisamos utilizar a regra da cadeia:
Setor de pesquisa
Neste conteúdo, vamos nos referir indistintamente a “setor de
pesquisa”, “setor de inovação” ou “setor de pesquisa e inovação”.
Para a apresentação do modelo de Romer, não há diferença
entre esses termos.
Dividindo os dois lados por (1 - ϕ), obtemos:
0 =
d
dt
[λ ln (LA)] −
d
dt
[(1 − ϕ) ln(A)] = λ
d
dt
[ln (LA)] − (1 − ϕ)
d
dt
[ln(A)]
gA δ–
λ
d
dt
[ln (LA)] = (1 − ϕ)
d
dt
[ln(A)]
LA
λ
1
LA
L̇A = (1 − ϕ)
1
A
Ȧ
Ȧ
A
=
λ
(1 − ϕ)
L̇A
LA
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Temos, desse modo, a taxa de crescimento da tecnologia em função da taxa de
crescimento da população empregada no setor de inovação. Mas que taxa é
essa?
Para obtê-la, vamos lembrar que a população total é dividida entre pessoas
empregadas na produção ( ) e aquelas empregadas em inovação ( ).
Observe que as taxas de crescimento em cada um desses grupos devem ser
iguais:
Caso contrário, a população em um setor (inovação ou produção) cresceria mais
rapidamente do que no outro; além disso, no longo prazo, a que crescesse a uma
taxa mais lenta ficaria com uma proporção próxima de zero na população total.
Ou seja, não seria mais verdade que
Se os dois subgrupos da população crescem à mesma taxa, ambos se elevam
simplesmente à taxa de crescimento populacional
Concluímos, portanto, que:
Com isso, a taxa de crescimento da tecnologia é:
Ly LA
L̇A
LA
=
L̇y
Ly
L = Ly + LA
L̇/L = n
L̇A
LA
=
L̇y
Ly
= n
gA =
Ȧ
A
=
λ
(1 − ϕ)
n
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Observamos o seguinte:
Observe que um aumento da fração populacional no setor de pesquisa e
inovação ( ) causa um impacto imediato na geração de ideias, o que aumenta
, pois é crescente em . Mas esse efeito é temporário: no
longo prazo, a taxa de crescimento da tecnologia retorna para , que não
depende do tamanho do setor de inovação. O nível de tecnologia, porém, será
maior do que seria na ausência do aumento em .
E se ϕ=1? Nesse caso, teremos um denominador igual a zero. Portanto, a
expressão acima não está definida.
Mas isso não é um problema. Para determinar a taxa de crescimento da
tecnologia, basta voltar à equação de movimento da tecnologia:
 I
A taxa de crescimento da população é crescente em λ:
quanto maior o impacto do número de pesquisadores 
sobre a geração de novas ideias , maior será a taxa de
crescimento da tecnologia.
LA
Ȧ
 II
Quanto maior a taxa de crescimento populacional n, maior
será a de crescimento da tecnologia, pois teremos mais
pessoas para gerar ideias a cada instante de tempo.
LA
Ȧ
A
Ȧ = δ–A
ϕLA LA
λ
(1−ϕ) n
LA
Ȧ = δ–A
ϕLλA
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Se ϕ = 1, podemos escrever:
Perceba que, nesse caso, a taxa de crescimento da tecnologia depende
diretamente do tamanho da população envolvida em pesquisa, e não apenas da
taxa de crescimento populacional. É importante registrar, porém, que esse
resultado é uma referência teórica útil, mas não tem suporte empírico: os dados
sugerem ϕ < 1.
Vamos considerar alguns casos particulares para entendermos a taxa de
crescimento da tecnologia ao longo do tempo.
Ȧ
A
= δ–L
λ
A
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Suponha que λ = 1 e ϕ = 0. Nesse caso, a geração de ideias é linear no
número de pesquisadores, sendo independente do estoque daquelas
existentes. Com isso, temos:
A taxa de crescimento da tecnologia é simplesmente a de crescimento
populacional, ou seja, a taxa de crescimento do número de empregados
no setor de inovação.
Suponha que λ = 1 e ϕ = 1. Sabemos que, como ϕ = 1, precisamos usar a
expressão:
Como λ = 1, essa expressão se torna:
Em outros termos, a taxa de crescimento da tecnologia depende
linearmente do tamanho do setor de inovação na economia. Isso ocorre
pelo fato de a produtividade da pesquisa aumentar ao longo do tempo,
mesmo que o número de pesquisadores seja constante.
Primeiro caso 
gA =
Ȧ
A
= n
Segundo caso 
Ȧ
A
= δ–LA
λ
Ȧ
A
= δ–LA
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O modelo de Romer apresenta efeito escala (que não está presente no de
Solow): quanto maior a população, maior o nível de renda. Isso é resultado da
não rivalidade de ideias: quanto maior o número de pessoas na economia, mais
pessoas poderão usar essas ideias. Portanto, a economia será mais rica.
Há um mercado maior para inovações. Além disso, uma economia com mais
pessoas pode alocar uma força de trabalho maior para o setor de pesquisa e
inovação.
Saiba mais
Para obter o efeito escala matematicamente, basta calcular a renda de longo
prazo (ou estado estacionário) na economia, que é crescente no tamanho da
população. Apesar de ser uma conta análoga à do modelo de Solow, não
apresentaremos aqui os detalhes. Se você estiver interessado no assunto,
sugerimos a leitura do capítulo 5 da obra de Jones (2000).
Aplicação numérica
Descubra mais sobre a teoria aprendida com a aplicação numérica.

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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Suponha que a geração de novas ideias seja dada pela expressão
. Isso significa que:Ȧ = A0.5L2A
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Parabéns! A alternativa A está correta.
O número de novas ideias ( ) é crescente no estoque de ideias (A), porque 
é crescente em A, o que podemos ver pelo expoente positivo de A na
expressão . Desse modo, oefeito “subir nos ombros” domina o
“pisar nos pés”, que pode até existir, mas não de forma suficiente para
inverter o sinal.
Questão 2
Considere uma taxa de crescimento tecnológico dada por
. Isso significa que:
A O efeito “subir nos ombros” domina o efeito “pisar nos pés”.
B O efeito “pisar nos pés” não existe.
C
O número de novas ideias a cada período é linear no número
de pesquisadores.
D A economia não apresentará crescimento de longo prazo.
E
O crescimento econômico é gerado pela acumulação de
capital.
Ȧ Ȧ
Ȧ = A0.5L2A
gA = ȦA =
λ
(1−ϕ) n
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Parabéns! A alternativa D está correta.
A taxa de crescimento econômico é igual à de crescimento da tecnologia no
longo prazo. Se o efeito “pisar nos ombros” cancela o “pisar nos pés”, então ϕ
= 0. Logo, .
A
A taxa de crescimento populacional não afeta o crescimento
econômico.
B
O tamanho da população afeta a taxa de crescimento
tecnológico.
C
A taxa de crescimento da economia diminui ao longo do
tempo.
D
Se o efeito “subir nos ombros” cancela exatamente o efeito
“pisar nos pés”, então a taxa de crescimento da economia é
igual a λn.
E
A fração da população envolvida em pesquisa é menor que
aquela envolvida em produção.
gA = λn
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2 - Microfundamentos do modelo de Romer
Ao final deste módulo, você será capaz de descrever os microfundamentos do modelo de Romer.
Economia de três setores
Vimos que o modelo de Romer gera crescimento econômico por meio da
geração de novas ideias, as quais, por sua vez, são resultado do trabalho da
população empregada no setor de inovação.
Mas o que determina a escolha das pessoas para trabalhar nesse
setor?
O modelo de Romer supõe que a economia seja composta de três setores:
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
Bens finais

Bens
intermediários

Pesquisa e
inovação
Os dois primeiros setores geram produtos; o último, ideias. O setor de pesquisa
gera os insumos necessários para o desenvolvimento de novos bens
intermediários, os quais, por sua vez, serão usados para produzir bens finais.
Vamos entender melhor esses setores da economia propostos no modelo de
Romer.
Setor de bens finais
Vamos supor que o setor de bens finais seja competitivo, tendo um grande
número de empresas pequenas que toma os preços de mercado como dados.
Essas empresas utilizam capital e trabalho para gerar um bem final homogêneo
Y de acordo com a seguinte função de produção:
Nesse modelo, cada representa um bem de capital distinto.
Supomos ainda que existam exatamente A bens de capital. Ou seja, nossa
medida de tecnologia é exatamente o número desses bens (ou bens
intermediários) existentes nessa economia.
Podemos ainda usar uma representação contínua para os bens de capital:
Y = L1−αY
A
∑
j=1
xαj
xj
Y = L1−αY ∫
A
j=1
xαj dj
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Em outras palavras, a tecnologia A mede a disponibilidade de bens
intermediários nessa economia. Essa gama de bens finais é representada pelo
intervalo real [0, A].
Vamos supor que o preço do bem final (único e homogêneo) Y seja igual a 1.
Estamos usando esse bem como bem numerário da economia. Por conta disso,
vamos interpretar os preços dos demais bens como razões de preços em
relação ao bem final.
O preço do bem de capital é e o do trabalho (ou seja, o salário) é w.
Uma firma no setor de bens finais vai escolher o quanto usar de cada bem de
capital para maximizar seus lucros:
O gasto total com mão de obra é e com bens de capital é .
Substituindo a função de produção no problema de maximização de lucro,
obtemos:
Agora vamos obter as condições de primeira ordem em relação a (a escolha
de mão de obra) e (a escolha pelo bem de capital j).
Condição de primeira ordem em relação à
mão de obra 
xj pj
xj
Maxxj,LY Y − wLY − ∫
A
j=1
pjx
α
j dj
wLY ∫
A
j=1
pjxαj dj
Maxxj,LY L
1−α
Y ∫
A
j=1
xαj
Y
− wLY − ∫
A
j=1
pjx
α
j dj
LY
xj
LY
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Quanto à escolha de mão de obra, temos:
Vamos multiplicar e dividir o lado esquerdo da última equação por :
Note agora que o trecho marcado em vermelho é simplesmente a função de
produção, que denotamos por Y. Podemos, dessa forma, escrever:
O lado esquerdo dessa equação é simplesmente o produto marginal do trabalho;
o direito, o custo marginal do trabalho, isto é, o salário. Essa equação nos
informa simplesmente que a empresa contrata trabalhadores até igualar o
produto marginal do trabalho a seu custo marginal. Esse é um resultado
tradicional em mercados competitivos.
Atenção!
Estritamente, deveríamos falar em receita marginal do trabalho em vez de
produto marginal do trabalho, mas não faz diferença em nosso contexto, já que
o preço do bem final é igual a 1. Portanto, o produto marginal é igual à receita
marginal.
(1 − α)LY 1−α−1 ∫
A
j=1
xj
α − w = 0 ⇒ (1 − α)LY −α ∫
A
j=1
xj
α = w
LY
LY
LY
(1 − α)L−αY ∫
A
j=1
xαj = w
(1 − α)
Y
LY 1−α ∫
A
j=1
xα
j
LY
= w

(1 − α)Y
LY
= w
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Condição de primeira ordem em relação
ao bem intermediário 
A derivada em relação a pode parecer mais complicada, porque temos uma
integral no caminho, mas não é muito diferente. Basta lembrar que uma integral
é apenas uma soma.
Para ajudá-lo a entender isso, vamos começar com uma versão bem simples,
tendo apenas dois bens de capital: e . O problema de maximização de
lucro se torna:
Podemos agora tirar a derivada em relação a , por exemplo. Construímos,
assim, a condição de primeira ordem:
Portanto:
Analogamente, podemos obter a condição de primeira ordem em relação a :
xj
xj
x1 x2
Maxx1,x2,Ly LY
1−α [x1α + x2α]
Y
− wLy − [p1x1α + p2x2α]
Maxx1,x2,Ly LY
1−αx1
α + LY 1−αx2α
Y
− wLy − [p1x1α + p2x2α]


x1
αL1−αY x
α−1
1 − p1 = 0
αL1−αY x
α−1
1 = p1
x2
αL1−αY x
α−1
2 = p2
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Note que não aparece na derivada em relação a , e vice-versa. Vale o
mesmo para qualquer na expressão original da função de produção. Logo, a
condição de primeira ordem para é simplesmente:
Ou ainda:
Nessa última passagem, simplesmente observamos que
A interpretação é semelhante à da condição de primeira ordem anterior: o lado
esquerdo é o produto marginal do bem de capital (ou, estritamente, sua
receita marginal), enquanto o direito é o custo marginal desse bem.
Setor de bens intermediários
Vamos supor que o setor de bens intermediários seja composto de empresas
monopolistas, isto é, cada uma tem o monopólio sobre o bem intermediário que
produz.
E de onde vem esse monopólio?
x2 x1
xj
xj
αL1−αY x
α−1
j
= pj
αLY
1−α
xj
1−α
= pj
xα−1
j
= 1/x1−αj
xj
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É simples: a empresa compra uma patente para produção de um bem de capital
no setor de pesquisa. Como as patentes são protegidas, cada bem de capital
pode ser produzido por uma única firma.
Vamos montar agora o problema de maximização de lucro de uma firma do
setor intermediário:
Nessa expressão, é a demanda (inversa) da firma j. Essa demanda vem
dos consumidores do bem intermediário, ou seja, é dada pelas empresas no
setor de bens finais.
Como vimos, a escolha ótima da firma produtora de bens finais implica:
Para deixar claro que essa é a função de demanda inversa, vamos escrevê-la da
seguinte forma (trata-seapenas de uma mudança de notação):
Essa é a demanda inversa enfrentada pela empresa produtora de bens de
capital. Além disso, r é simplesmente o custo de produzir o bem intermediário.
Podemos computar a condição de primeira ordem do problema da firma do setor
intermediário:
Maxxj pj (xj)xj − rxj
pj (xj)
αLY
1−α
xj
1−α
= pj
p (xj) =
αL1−αY
x1−α
j
p′ (xj) × xj + p (xj) − r = 0
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Talvez você já tenha visto essa equação: ela é simplesmente a condição que
caracteriza a escolha ótima de uma firma monopolista. Se a firma fosse
competitiva, sua escolha não teria impacto sobre o preço; portanto, teríamos
. Nesse caso, o preço seria igual ao custo marginal: .
Como a firma tem poder de mercado , vamos desenvolver a equação
anterior da seguinte forma:
Desenvolveremos agora a expressão em vermelho. Observe inicialmente que ela
é o inverso da elasticidade da demanda por bens de capital.
E como podemos obter essa elasticidade?
Vamos olhar para essa demanda (derivada a partir do problema de maximização
de lucro de uma firma de bens finais):
Podemos, com isso, obter a derivada:
Vamos agora obter a elasticidade:
p′ (xj) = 0 p (xj) = r
(p′ < 0)
p′ (xj) × xj + p (xj)
p
=
r
p
p′ (xj) × xj
p
+ 1 =
r
p
p =
r
p′(xj)×xj
p
+ 1
p (xj) =
αL1−αY
x1−α
j
= αL1−αY x
α−1
j
p′ (xj) = (α − 1)αL
1−α
Y x
α−1−1
j
= (α − 1)αL1−αY x
α−2
j
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Desse modo, o preço será:
Em suma:
Esse é o preço que cada monopolista cobra. Observe que o preço é o mesmo
para todas as firmas: afinal, a razão não depende de j, que é o índice que
identifica cada firma.
Concluímos, assim, que todas produzirão a mesma quantidade de bens de
capital: , que denotaremos simplesmente por x.
Podemos obter essa quantidade voltando à função de demanda inversa:
Vamos rearranjá-la e descartar o subscrito j, que já sabemos que é
desnecessário, pois preços e quantidades são iguais para todas as firmas:
p′ (xj) × xj
p
=
(α − 1)αL1−αY x
α−2
j
× xj
αL1−αY x
α−1
j
=
(α − 1)αL1−αY x
α−2+1
j
αL1−αY x
α−1
j
=
(α − 1)αL1−αY x
α−1
j
αL1−αY x
α−1
j
= (α − 1)
p =
r
p′(xj)×xj
p
+ 1
=
r
(α − 1) + 1
=
r
α
p =
r
α
r
α
xj = x (pj) = x(p)
p (xj) =
αL1−αY
x1−αj
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Agora vamos substituir :
Podemos elevar os dois lados dessa equação a :
Podemos obter agora o capital total produzido pelo setor intermediário (e
consumido pelo de bens finais):
Na passagem 1, substituímos por x, pois todas as firmas escolhem o mesmo
nível de capital. Na passagem 2, usamos o fato de que x é constante, podendo,
portanto, sair da integral. Na 3, observamos que apenas integramos a constante
1 no intervalo [0, A]. Temos, com isso, K = xA.
Desse modo:
x1−α =
αL1−αY
p
p = r
α
x1−α =
αL1−αY
r
α
=
α2L1−αY
r
= ( α2
r
)L1−αY
1
(1−α)
(x1−α)
1
(1−α) = (( α2
r
)LY 1 − α)
1
(1−α)
x
(1−α)× 1(1−α) = ( α2
r
)
1
(1−α)
LY (1 − α) ×
1
(1 − α)
x = ( α2
r
)
1
(1−α)
LY
xj
x =
K
A
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Vamos voltar à função de produção:
Em suma:
Mas sabemos que ; portanto, . Podemos substituir na
expressão anterior e obter isto:
Em suma:
Ou seja, conseguimos construir nossa função de produção a partir das decisões
dos agentes econômicos nos setores de bens finais e de bens intermediários.
Nosso último passo é encontrar o lucro das empresas do setor intermediário.
Esse lucro é importante, já que ele é exatamente a fonte de recursos para
financiar a inovação: as empresas do setor intermediário investirão o lucro na
compra de patentes.
A expressão do lucro é:
Y = L1−αY ∫
A
0
xαj dj = L
1−α
Y
∫ A
0
xαdj = L1−αY x
α ∫ A
0
dj = L1−αY x
α(A − 0) = L1−αY x
αA
Y = L1−αY x
αA
x = K
A
xα = K
α
Aα
Y = LY 1−α
K α
Aα
A = LY 1−αK αA1−α = K α(ALY )
1−α
Y = K α(ALY )
1−α
πj = pjxj − rxj = px − rx = (p − r)x
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Observe que o lado direito não depende de j, ou seja, é comum para todas as
firmas. Vamos escrever simplesmente:
Trabalharemos inicialmente com a expressão entre parênteses. Já temos o
preço ; portanto, 
Reescrevendo a expressão anterior, temos:
Vamos simplificar um pouco mais, usando uma expressão para px. Para isso,
voltaremos à demanda do setor de bens finais por bens intermediários:
Vamos usar esse valor de px na expressão do lucro:
Reorganizando um pouco, temos:
π = (p − r)x
p = r
α
r = αp
π = (p − αp)x = px(1 − α)
x1−α =
αL1−αY
p
⇒
x
xα
=
αL1−αY
p
⟹ px = αL1−αY x
α
x1−α =
αL1−αY
p
⇒
x
xα
=
αL1−αY
p
⟹ px = αL1−αY x
α
π = px(1 − α) = α(1 − α)L1−αY x
α
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Estamos quase lá. Precisamos agora encontrar uma expressão para o trecho em
vermelho.
Para isso, vamos voltar à função de produção que construímos:
Dividindo os dois lados por A, obtemos:
Mas também sabemos que . Logo, , que é exatamente o
trecho em vermelho que destacamos. Temos, assim, nossa expressão para o
lucro das firmas do setor intermediário:
Setor de pesquisa e inovação
No modelo de Romer, ideias são interpretadas como “manuais de instruções”
que ensinam a fazer bens intermediários, ou seja, a transformar uma unidade de
capital “bruto” em uma de um novo bem de capital. Por exemplo, um metal pode
ser transformado em um computador.
Y = K α(ALY )
1−α
Y
A
=
K α(ALY )
1−α
A
=
K αL1−αY
Aα
= ( K
A
)αL1−αY
K
A
= x Y
A
= xαL1−αY
π = α(1 − α)
Y
A
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Computador.
Mas como uma empresa do setor intermediário pode comprar uma
ideia?
Como discutimos anteriormente, isso significa que ela deve comprar uma
patente que dá direito exclusivo de uso dessa ideia - ao menos por determinado
período.
Vamos denotar o preço da patente por .
Suponhamos que, enquanto haja lucro econômico estritamente positivo no setor
intermediário, novas empresas possam entrar para adquirir uma patente e
produzir. Isso significa que a patente terá o maior preço possível, isto é, ela
esgotará o lucro econômico da empresa nesse setor.
Isso implica que o preço da patente é o valor presente do lucro de uma
empresa no setor intermediário.
Note que isso significa que o setor de bens intermediários funciona em
concorrência monopolística:
Há poder de mercado, mas, em equilíbrio, não existe lucro
econômico.
pa
pa
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Mas como determinar ? Para resolver isso, faremos um argumento de
arbitragem.
Pense que um investidor tem duas opções: ele pode investir em bens de capital
para alugá-lo a uma empresa do setor intermediário ou comprar uma patente.
Em outras palavras, ele pode atuar no setor de bens intermediários ou no de
inovação.
Atenção!
O setor de bens finais tem lucro econômico igual a zero, pois é perfeitamente
competitivo, e por isso não é relevante em nossa discussão.
Se o investidor compra um valor em bens de capital, ele tem um retorno de
. Lembre-se de que r é o custo que a empresa desse setor paga para poder
usar capital em sua produção.
Se o investidor usa esse valor para comprar uma patente, ele obtém o lucro
 que a patente gerará. Além disso, tem um ganho de capital
que é variação do valor da patente no tempo: . No total, ele ganha .
Por arbitragem, o retorno deve ser igual nos dois setores: caso contrário, não
haveria investimento em um deles.
Temos, com isso, a seguinte condição:
Precisamos encontraruma expressão para e substituí-la na expressão acima.
Vamos começar isolando r:
Podemos obter a razão entre lucro no setor intermediário e o preço da patente:
pa
pa
rpa
π = α(1 − α) Y
A
pa π + ṗa
rpa = π + ṗa
pȧ
r =
π + ṗa
pa
=
π
pa
+
ṗa
pa
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A razão é simplesmente a taxa de crescimento do preço da patente e deve
ser constante em uma trajetória de crescimento equilibrado. Da mesma forma, o
custo do capital r também tem de ser constante. O lado direito dessa equação,
portanto, é constante.
Dessa forma, o lado esquerdo também precisa ser constante, o que só ocorrerá
se o lucro π e o preço da patente crescerem à mesma taxa. Concluímos,
assim, que as taxas de crescimento de π e devem ser iguais:
Logo, precisamos obter 
Vamos começar recuperando a expressão de π, o lucro de uma empresa do setor
intermediário:
Podemos passar o logaritmo neperiano e derivar dos dois lados para obter:
Sabemos também que, em uma trajetória de crescimento equilibrado, a razão
 é constante. Dessa forma, o numerador e o denominador devem crescer à
mesma taxa:
π
pa
= r −
ṗa
pa
ṗa
pa
pa
pa
π̇
π
=
ṗa
pa
π̇
π
.
π = α(1 − α)
Y
A
π̇
π
=
Ẏ
Y
−
Ȧ
A
Y
AL
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Com isso, obtemos:
Portanto:
Ou ainda . Com isso, podemos obter o preço da patente. Vamos voltar
à condição de não arbitragem:
Substituindo o valor de , obtemos:
Reorganizando:
Esse é o preço da patente ao longo da trajetória de crescimento equilibrado.
Podemos interpretar esse resultado de outra forma. Note o seguinte:
Ẏ
Y
=
Ȧ
A
+
L̇
L
=
Ȧ
A
+ n ⇒
Ẏ
Y
−
Ȧ
A
= n
π̇
π
= n
ṗa
pa
= n
ṗa = npa
rpa = π + ṗa
ṗa
rpa = π + npa
pa =
π
r − n
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Ou seja, é a soma de uma progressão geométrica de razão .
Essa razão pode ser interpretada como a taxa de desconto dos lucros futuros
do investidor. Ela é decrescente em r, porque, quanto maior o preço do capital
usado no setor de bens intermediários, mais valerá investir nele em vez de em
patentes. Portanto, o preço da patente diminui.
Observe finalmente que, ao interpretarmos A como uma variável, e não como um
parâmetro, a função de produção passa a apresentar retornos crescentes de
escala. Esses retornos crescentes geram competição imperfeita, o que permite
lucro econômico, que é exatamente do que precisamos para financiar as ideias,
as quais, aliás, têm custo marginal igual a zero (e, portanto, teriam preço zero em
uma economia competitiva).
Saiba mais
No fim das contas, ninguém fica com lucro econômico estritamente positivo:
todo lucro é usado para remunerar algum fator de produção. O lucro econômico
obtido no setor de bens intermediários é inteiramente gasto com a aquisição de
ideias no setor de pesquisa e inovação.
Alocação de mão de obra
Vamos analisar agora a alocação de mão de obra. Em equilíbrio, os indivíduos
devem ser indiferentes quanto a trabalhar no setor de bens finais ou no de
pesquisa.
Atenção!
O setor de bens intermediários não emprega mão de obra e por isso não é
relevante para nossa discussão. Isso é uma simplificação que não afeta os
resultados principais do modelo.
π
r − n
= π + (1 − (r − n))π + (1 − (r − n))2π + ⋯
π
r−n (1 − (r − n))
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No setor de bens finais, o trabalhador ganha um salário igual ao produto
marginal do trabalho. Para obtê-lo, vamos retomar a função de produção:
Precisamos do produto marginal do trabalho, ou seja, a derivada da produção em
relação a :
Logo, o salário no setor de bens finais deve ser:
Vamos estudar agora o salário no setor de pesquisa. Comecemos supondo que
a produtividade da pesquisa seja dada por , que é fixa do ponto de vista do
próprio pesquisador. Ou seja, eles não consideram o impacto do estoque de
ideias ou do número de pesquisadores sobre a produtividade, o que significa que
há externalidades.
O salário dos pesquisadores é dado simplesmente por:
Y = L1−αY ∫
A
j=1
xαj dj
LY
∂Y
∂LY
= (1 − α)LY 1−α−1 ∫
A
j=1
xj
αdj = (1 − α)LY 1−α ∫
A
j=1
xj
αdj
Y
×
1
LY
= (1 − α)
Y
LY
wY
wY = (1 − α)
Y
LY
δA
wR = δApA
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Por exemplo, se , então cada pesquisador produz e vende duas patentes,
obtendo um salário 
Vamos usar nosso argumento de arbitragem mais uma vez: os salários nos dois
setores (bens finais e pesquisa) precisam ser iguais, ou seja, .
Portanto:
Sabemos o valor da patente:
Logo:
Lembrando que , podemos escrever .
Substituindo na equação anterior, temos:
Vamos rearranjar essa expressão:
δA = 2
2pA
wY = wR
(1 − α)
Y
LY
= δApA
pa =
π
r − n
(1 − α)
Y
LY
= δA ( πr − n )
LY + LA = L LY = L − LA
(1 − α)
Y
L − LA
= δA ( π
r − n
)
(1 − α)
Y
δA ( πr−n )
= L − LA
LA = L − (1 − α)
Y
δA ( πr−n )
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Vamos substituir o lucro nessa expressão:
Ou seja:
Vamos dividir os dois lados por L:
Essa é a proporção da população no setor de pesquisa e inovação. Obtemos,
com isso, o tamanho desse setor na economia.
Por último, observe que o equilíbrio de mercado do modelo de Romer não é
necessariamente eficiente: o mercado pode prover um investimento em
pesquisa abaixo do ótimo. A decisão econômica de pesquisar leva em
consideração o fluxo de lucros que poderá ser gerado com uma invenção, e não
o impacto sobre a produtividade da pesquisa dos demais trabalhadores do setor
de pesquisa e inovação.
Há uma externalidade positiva, o que, em geral, faz com que o equilíbrio de
mercado tenha uma produção menor que a eficiente. Isso abre espaço para
intervenção do setor público, que pode criar subsídios para pesquisa.
Aplicação numérica
π = α(1 − α) Y
A
LA = L − (1 − α)
Y
δA ( α(1−α) YAr−n )
= L −
1
δA ( α 1Ar−n )
= L −
1
δAα
A(r−n)
LA = L −
A(r − n)
δAα
LA
L
= 1 −
A
L
(r − n)
δAα

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Descubra mais sobre a teoria aprendida com a aplicação numérica.
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Assinale a alternativa correta a respeito do modelo de Romer.
Parabéns! A alternativa A está correta.
O custo marginal da inovação é igual a zero. Portanto, seu preço é igual a
zero em um mercado competitivo. Sua remuneração depende do poder de
A
A inovação é remunerada por meio do poder de mercado dos
usuários das patentes.
B
A economia é competitiva; portanto, o preço de todos os bens
é igual ao custo marginal de produção.
C Há poder de mercado no setor de bens finais.
D
O retorno no setor de bens intermediários é maior que no
setor de pesquisa.
E
A inovação não é remunerada, pois seu produto marginal é
igual a zero.
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mercado dos usuários das patentes, que podem cobrar um preço acima do
custo marginal e, com a diferença, pagar pelas patentes.
Questão 2
Marque a alternativa correta a respeito da alocação de mão de obra no
modelo de Romer.
Parabéns! A alternativa D está correta.
No modelo de Romer, o setor de bens intermediários não emprega mão de
obra e, portanto, não tem um salário definido. Os trabalhadores escolhem
entre o setor de bens finais e o de pesquisa, devendo ser indiferentes em
equilíbrio. Casocontrário, todos escolheriam o mesmo setor, enquanto o
A
O salário no setor de bens finais é maior que no setor de
pesquisa.
B
O salário no setor de pesquisa é menor que no setor de bens
intermediários.
C
Em equilíbrio, os trabalhadores são indiferentes quanto a
trabalhar no setor de bens intermediários ou no de bens finais.
D
Em equilíbrio, os trabalhadores são indiferentes entre
trabalhar no setor de bens finais ou no de pesquisa.
E
Em equilíbrio, os trabalhadores são indiferentes quanto a
trabalhar no setor de bens intermediários ou no de pesquisa.
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outro desapareceria (ou não haveria produção, ou não haveria inovação e
crescimento econômico).
Considerações finais
Neste conteúdo, estudamos o modelo de Romer, que explica como as inovações
geram crescimento econômico e como elas são resultado de escolhas
econômicas. Dessa forma, temos uma teoria de crescimento econômico
endógeno: o modelo mostra que a taxa de crescimento da economia é igual à de
crescimento da tecnologia. Além disso, ele explica como determinar essa taxa
relativa à tecnologia, considerando que a decisão de investir e trabalhar para
gerar ideias é uma decisão econômica como outra qualquer.
Também aprendemos que, dada a natureza não rival das ideias, o modelo
precisa supor algum poder de mercado a fim de gerar o lucro econômico usado
para comprar novas ideias e, portanto, incentivar seu desenvolvimento. Com
isso, nos afastamos de modelos de concorrência perfeita para explicar o
crescimento econômico, como, por exemplo, o modelo de Solow.
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Revisão
Ouça agora um resumo de tudo que você viu durante os módulos.
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Para se aprofundar em nosso estudo, sugerimos a leitura das seguintes obras:
Economic growth – a segunda edição do livro de Robert J. Barro e Xavier Sala-i-
Martin sobre crescimento econômico foi publicada em 2003 pelo
Massachussetts Institute of Technology.
Advanced macroeconomics – a quarta edição do livro de David Romer sobre
macroeconomia avançada foi publicada em 2012 pelo Business and Economics.
Referências
JONES, C. Introdução à teoria do crescimento econômico. 4. ed. Rio de Janeiro:
Campus, 2000.
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