Resolução - Lista 6

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Resoluções da Lista 6 
1) Equações Lineares são da forma: )()( xQyxP
x
y



 
a) 0
cot

x
gx
x
y
dx
dy
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
 0
cot

x
gx
x
y
dx
dy
  
x
gx
x
y
dx
dy cot
 
A equação agora está na forma de uma equação linear, onde
x
gx
xQ
x
xP
cot
)(
1
)(


 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  xeee
xLnxLnx
x




 . 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
x 0
cot







x
gx
x
y
dx
dy
x    0cot  yxxgxy 
gxyM cot xN  
 
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
1


y
M
 1


y
N
 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
xgxxy   cot  )(ygsenxLnxy  yx  )(xgxy  
 
Resposta final: 
 
R: CsenxLnxy   CsenxLnxy    CsenxLn
x
y 
1
 
 
 
b) 
x
y
x
x
y 22 


 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
 
x
y
x
x
y 22 


  2
2
x
x
y
x
y



 
A equação agora está na forma de uma equação linear, onde
2)(
2
)(
xxQ
x
xP


 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  2
2
2 2
xeee
xLnxLnx
x




 . 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
2x 0
2 2 








x
x
y
x
y
x    02 24  yxxxxy 
42 xxyM  2xN  
 
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
x
y
M
2


 x
y
N
2


 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
xxxxy  
42  )(
5
5
2 yg
x
yx   yx
2
 )(2 xgyx  
 
Resposta final: 
 
 C
x
yx 
5
5
2
 C
x
yx 
5
5
2
 





 C
x
x
y
5
1 5
2
 




 

5
51 5
2
Cx
x
y  
2
5
5x
Kx
y

 
 
c) 
x
y
x
dx
dy 45  
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
 
x
y
x
x
y 45 


  5
4
x
x
y
x
y



 
A equação agora está na forma de uma equação linear, onde
5)(
4
)(
xxQ
x
xP


 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  44
4 4
xeee
xLnxLnx
x




 . 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
4x 0
4 5 








x
x
y
x
y
x    04 493  yxxxyx 
934 xyxM  4xN  
 
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
34x
y
M



 
34x
y
N



 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
xxxxy  
934  )(
10
10
4 yg
x
yx   yx
4  )(
4 xgyx  
 
Resposta final: 
 
 C
x
yx 
10
10
4
 C
x
yx 
10
10
4
 






 C
x
x
y
10
1 10
4
 





 

10
101 10
4
Cx
x
y  
4
10
10x
Kx
y

 
 
d) xytgx
dx
dy
sec 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Ela já está na forma de uma Equação Linear, onde
xxQ
tgxxP
sec)(
)(


 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  xee
xLnxtgx
sec
sec


 . 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
xsec 0sec 





 xytgx
dx
dy
x    0secsecsec 2  yxxxxytgx 
xxytgxM 2secsec  xN sec 
 
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
xtgx
y
M
sec


 xtgx
y
N
sec


 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
xxxxtgxy  
2secsec  )(sec ygtgxxy  yxsec  )(sec xgxy  
 
Resposta final: 
 
 Ctgxxy sec  Ctgxxy sec  C
x
senx
x
y 
coscos
1
xcos  senxxCy  cos 
 
e) 4123 


y
x
y
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
 34123 


y
x
y
  
3
4
4 


y
x
y
 
A equação agora está na forma de uma equação linear, onde
3
4
)(
4)(


xQ
xP
 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  x
x
ee 4
4


 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
xe4 0
3
4
4 








y
x
y
x  0
3
4
4 444 





 yexeye xxx 
xx eyeM 44
3
4
4  
xeN 4 
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
xe
y
M 44


 
xe
y
N 44


 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
  xexey
xx 44
3
4
4  )(
3
1 44 ygeye xx  
ye
x4
 )(
4 xgye x  
 
Resposta final: 
 
 Ceye xx  44
3
1
 Ceye xx  44
3
1
 Ceye xx  44
3
1 xe 4  xCey 4
3
1  
 
g) 02 


y
x
y
 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
Já se encontra nessa forma. 
A equação agora está na forma de uma equação linear, onde
0)(
2)(


xQ
xP
 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  x
x
ee 2
2


 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
xe2 02 








y
x
y
x  02
22  yexye xx 
xyeM 22 xeN 2 
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
xe
y
M 22


 
xe
y
N 22


 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
 xey
x22  )(
2 ygye x  
ye
x2
 )(
2 xgye x  
 
Resposta final: 
 
 Cye
x 2  Cye
x 2 xe 2  
xCey 2 
 
i) xyxsenxyx  )( 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
xyxsenxyx  )( xx  
x
yxsenx
x
y )( 



 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
 
x
yxsenx
x
y )( 



  senx
x
y
x
y



 
A equação agora está na forma de uma equação linear, onde
senxxQ
x
xP


)(
1
)(
 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  xeee xLnxLnx
x




 . 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
x 0








senx
x
y
x
y
x    0 yxxxsenxyxsenxyM  xN  
 
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
1


y
M
 1


y
N
 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
xxsenxxy    )(cos ygsenxxxxy  yx  )(xgxy  
 
 
Resposta final: 
senxxxxxsenx  cos 
   uvuvvu 
xvxsenxv
xuxu
cos


 
 
 Csenxxxxy  cos  senxxxCxy  cos x  
x
C
x
senx
xy  cos 
 
j) xxy
x
y
x 

 34 
 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
 )(4 3 xxxy
x
y
x 


  1
4 2 


xy
xx
y
 
A equação agora está na forma de uma equação linear, onde
1)(
4
)(
2 

xxQ
x
xP
 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  44
4 4
xeee LnxLnxx
x




 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
4x 








01
4 2xy
xx
y
x    04 4463  yxxxxyx 
4634 xxyxM  4xN  
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
34x
y
M



 
34x
y
N



 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
  xxxxxxy
4634  )(
57
57
4 yg
xx
yx  
 yx
4
 )(
4 xgyx  
 
Resposta final: 
 
 C
xx
yx 
57
57
4
 
57
57
4 xxCyx  4 x  
57
3
4 xxCxy   
 
k) ye
x
y x 

 3 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
A equação já está na forma de 
x
y


. 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
 ye
x
y x 

 3  xey
x
y 3


 
A equação agora está na forma de uma equação linear, onde
xexQ
xP
3)(
1)(


 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  x
x
ee 

 . 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
xe 0
3 







 xey
x
y
x    04  yexeye xxx 
xx eyeM 4 xeN  
 
Derivando os valores de M e N, temos respectivamente: 
xe
y
M



 xe
y
N



 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 
xexey xx  
4
 )(
4
4
yg
e
ye
x
x  ye
x  )(xgye x  
 
Resposta final: 
 
 C
e
ye
x
x 
4
4
 C
e
ye
x
x 
4
4
 x
x
x eC
e
ye 






4
4
 x
x
Ce
e
y 
4
3
 
l) arctgxy
dx
dy
x  )1( 2 
Primeiro passo: 
Escrever a equação na forma 
x
y


. 
 )1()1( 22 xarctgxy
dx
dy
x   
)1()1( 22 x
arctgx
x
y
dx
dy



 . 
Segundo Passo: 
Devemos deixar a equação na forma de uma equação linear. 
A equação já está na forma de uma equação linear, onde
)1(
)(
)1(
)(
2
2
x
arctgx
xQ
x
y
xP




 
Terceiro Passo: 
 
Devemos achar o valor do fator integrante  , que é obtido pela fórmula 
xxP
e
)(
 . 

xxP
e
)(
  arctgxx
x
ee 

 

 )1(
2
. 
 
Quarto Passo: 
Devemos multiplicar toda a equação pelo fator de integração encontrado e tornar a equação exata 
0 yNxM . 
arctgxe 0
)1()1( 22










x
arctgx
x
y
dx
dy
x  0
)1(1 22









yex
x
arctgxe
x
ye arctgx
arctgxarctgx
 
xyxxM coscos  senxN  
 
Destacando os valores de M e N, temos respectivamente: 
)1(1 22 x
arctgxe
x
ye
M
arctgxarctgx



 arctgxeN  
Após destacar esses valores, derivamos M em função de y e N em função de x . 
 
21 x
e
y
M arctgx




 
21 x
e
x
N arctgx




, 
x
N
y
M





 Equação é exata. 
 
Como a equação é exata, podemos integrá-las, lembrando que M em função de x e N em função de 
y . 
 x
x
arctgxe
x
x
e
y
arctgxarctgx
 

 )1(1 22
  




)1(
)1.(
1
)1(
2
2
2
2
x
uxue
x
uxe
y
uu
 
 )()1( ygearctgxyeuueuey
arctgxarctgxuu   
 
 )(xgyeye
arctgxarctgx  
 
Resposta Final: 
 
Cearctgxeye arctgxarctgxarctgx  )1(  Cearctgxeye arctgxarctgxarctgx  )( arctgxe 
arctgxCearctgxy  1  1  arctgxCey arctgx 
 
Resposta Final: 1  arctgxCey arctgx 
 
 
Obs: 
 
  uu eue
u
'.


 
 
21
'
u
u
arctgx
u 



 
 
 
 
 
 
Obs: 
uxx
xx
u
arctgxu






)1(
1
1
2
2