EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA - RESOLUÇÃO 1

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Equações Diferenciais Exatas: 
(rápido conceito e exemplo 1)
As equações diferenciais exatas são dadas da seguinte forma geral:
onde M e N são as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y respectivamente, de uma função fórmula= C, expressas da seguinte maneira:
= M e fórmula= N
Para ser uma diferencial exata deve satisfazer a seguinte condição: 
fórmula= fórmula
E haverá uma função primitiva tal que:
 e 
Assim, sendo dados M(x,y) e N(x,y), é possível encontrarmos a função primitiva através de integração e derivação parcial.
Vejamos o exemplo:
 Verifique se a equação diferencial1 BASSANEZI, Rodney Carlos, FERREIRA JR, Wilson Castro. Equações Diferenciais com aplicações, pág.95 – Exemplo 1 – HARBRA, 1988) é exata e resolva: 
		
1o. passo: deixar a equação diferencial na forma geral:
da equação fórmula, temos:
, logo: 
. 
Distribuindo o sinal (-) , resulta: 
fórmula= forma geral da equação diferencial, onde
 		e 		
2o. passo: verificar se trata-se ou não de uma equação diferencial exata:
Para tanto devemos diferenciar M(x,y) em relação a y e N(x,y) em relação a x, resultando:
 fórmula= fórmula, ondee 
Então, fazendo a derivação: 
fórmula= fórmula= 1
e
fórmula= fórmula= 1
Satisfeita, portanto a condição de fórmula= fórmula= 1
3o. passo: devemos encontrar a função primitiva, integrando M em relação a dx ou N em relação a dy. 
Lembre-se que 
fórmula ou fórmula
Por conveniência, vamos fazer fórmula(você pode tentar com fórmulae chegará no mesmo resultado ao final)
Assim,
fórmula= fórmula = 
Obs: a constante C, considerada nas integrais indefinidas, será tida como uma função h(y), que é uma constante em relação à variável x.
4o. passo: Podemos agora recordar que fórmula= N. Então, derivando o resultado da integração fórmulaem relação a y :
fórmula= fórmula= fórmula = 
Mas, da equação diferencial na forma geral, temos que fórmula.
Igualando ambos os valores de fórmularesulta: 
fórmula=fórmula
Logo resulta que: 
5o. passo: facilmente agora podemos encontrar h(y), bastando para isso integrar h’(y) em relação a dy, restando:
fórmula==
= 
Assim encontramos a função primitiva F(x,y):
fórmula= fórmula
A resposta para nosso problema será: 
fórmula=