Cap03_GCET226

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Métodos de Análises de Circuitos Elétricos
GCET226: Circuitos Elétricos I
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia
Introdução
Introdução
Os métodos de análises que serão vistos tem função de sistematizar a aplicação das
leis de Kirchhoff das tensões e das correntes. Possibilitando a análise de circuitos
mais complexos (com mais nós e malhas).
Com as técnicas de análises dos nós e das malhas é posśıvel solucionar os circuitos
através de equações simultâneas.
Com isso, é mais fácil aplicar métodos de resolução de equações da Álgebra Linear.
Também facilita o uso de ferramentas computacionais a favor das análises de cir-
cuitos elétricos.
2
Introdução
Os métodos de análises que serão vistos tem função de sistematizar a aplicação das
leis de Kirchhoff das tensões e das correntes. Possibilitando a análise de circuitos
mais complexos (com mais nós e malhas).
Com as técnicas de análises dos nós e das malhas é posśıvel solucionar os circuitos
através de equações simultâneas.
Com isso, é mais fácil aplicar métodos de resolução de equações da Álgebra Linear.
Também facilita o uso de ferramentas computacionais a favor das análises de cir-
cuitos elétricos.
2
Introdução
Os métodos de análises que serão vistos tem função de sistematizar a aplicação das
leis de Kirchhoff das tensões e das correntes. Possibilitando a análise de circuitos
mais complexos (com mais nós e malhas).
Com as técnicas de análises dos nós e das malhas é posśıvel solucionar os circuitos
através de equações simultâneas.
Com isso, é mais fácil aplicar métodos de resolução de equações da Álgebra Linear.
Também facilita o uso de ferramentas computacionais a favor das análises de cir-
cuitos elétricos.
2
Introdução
Os métodos de análises que serão vistos tem função de sistematizar a aplicação das
leis de Kirchhoff das tensões e das correntes. Possibilitando a análise de circuitos
mais complexos (com mais nós e malhas).
Com as técnicas de análises dos nós e das malhas é posśıvel solucionar os circuitos
através de equações simultâneas.
Com isso, é mais fácil aplicar métodos de resolução de equações da Álgebra Linear.
Também facilita o uso de ferramentas computacionais a favor das análises de cir-
cuitos elétricos.
2
Método dos Nós
Método dos Nós
O objetivo é determinar as tensões nos nós do circuito.
Apesar de ser um método para determinar tensões, ele é baseado na LKC.
A quantidade de tensões a ser determinada é igual ao número de nós menos um.
Passos:
identificar todos os nós do circuito;
escolher um nó como referência para tensão nula (geralmente o nó que possui mais
elementos conectados);
atribuir uma variável de tensão a cada um dos demais nós (v1, v2, ...);
aplicar a LKC em cada nó, exceto o referência.
3
Método dos Nós
Seja o circuito
is1 R1
R2
R3 is2
4
Método dos Nós
Definindo o nó de referência, tensões dos nós e sentido das correntes.
is1 R1
i1
R2i2
R3
i3
is2
v1 v2
0 V
5
Método dos Nós
Pela LKC, temos que:
Nó 1: is1 − i1 − i2 = 0⇒ i1 + i2 = is1 (1)
Nó 2: i2 − i3 − is2 = 0⇒ −i2 + i3 = −is2 (2)
Porém, pela lei de Ohm:
i1 =
v1 − 0
R1
=
v1
R1
i2 =
v1 − v2
R2
i3 =
v2 − 0
R3
=
v2
R3
6
Método dos Nós
Substituindo i1, i2 e i3 e rearranjando as equações dos nós 1 e 2, chega-se a(
1
R1
+
1
R2
)
v1 −
1
R2
v2 = is1 (3)
− 1
R2
v1 +
(
1
R2
+
1
R3
)
v2 = −is2 (4)
ou, escrevendo as equações lineares na forma matricial,[
1
R1
+ 1R2 −
1
R2
− 1R2
1
R2
+ 1R3
][
v1
v2
]
=
[
is1
−is2
]
(5)
7
Forma Genérica
Definindo:
Matriz condutância [G]: os termos gij , com i = j , são a soma dos valores das
condutâncias conectadas ao nó i . Os termos gij , com i 6= j , são os valores negativos
das condutâncias entre os nós i e j .
G =

g11 g12 · · · g1j
g21 g22 · · · g2j
...
...
. . .
...
gi1 gi2 · · · gij

Matriz tensão [V]: são as tensões de cada i -ésimo nó.
V =
[
v1 v2 · · · vi
]T
Matriz corrente [I]: soma algébrica dos valores das fontes de correntes conectadas ao
i -ésimo nó.
I =
[
is1 is2 · · · isi
]T
8
Forma Genérica
Assim, a forma matricial pode ser escrita genericamente como
g11 g12 · · · g1j
g21 g22 · · · g2j
...
...
. . .
...
gi1 gi2 · · · gij


v1
v2
...
vi
 =

is1
is2
...
isi
 (6)
G ·V = I
A forma matricial é útil para usar os métodos de resolução de equações lineares
vistos em Álgebra Linear.
9
Exemplo 1
Determine as tensões nodais.
10
Circuitos com Fontes de Tensão
A presença de uma fonte de tensão conectada a um nó de referência elimina a
determinação de uma tensão nodal. Por exemplo, no circuito abaixo v1 = vs ; logo,
precisamos determinar apenas v2.
−+vs R1
R2
R3
v1 v2
Se a fonte de tensão estiver conectadas a dois nós, em que nenhum deles é o nó de
referência, temos uma situação chamada de supernó.
11
Circuitos com Fontes de Tensão
A presença de uma fonte de tensão conectada a um nó de referência elimina a
determinação de uma tensão nodal. Por exemplo, no circuito abaixo v1 = vs ; logo,
precisamos determinar apenas v2.
−+vs R1
R2
R3
v1 v2
Se a fonte de tensão estiver conectadas a dois nós, em que nenhum deles é o nó de
referência, temos uma situação chamada de supernó.
11
Exemplo 2
Determine as tensões nodais.
12
Exemplo 3
Determine as tensões nodais.
13
Circuitos com Fontes Controladas
Quando há fontes controladas, trabalhamos de forma idêntica às fontes indepen-
dentes.
No entanto, temos que colocar as variável de controle (tensão ou corrente) em
função das tensões nodais.
14
Exemplo 4
Determine vx .
15
Método das Malhas
Método das Malhas
O objetivo é determinar as correntes das malhas do circuito.
Apesar de ser um método para determinar correntes, ele é baseado na LKT.
A quantidade de correntes a ser determinada é igual ao número de malhas.
Essa técnica só pode ser usada em circuitos planares, i.e., circuitos que podem ser
desenhados em um plano sem cruzamento entre os elementos.
Passos:
identificar todas as malhas do circuito;
escolher os caminhos das malhas e sentido das correntes;
atribuir uma variável de corrente a cada malha (i1, i2, ...);
aplicar a LKT em cada malha.
16
Método das Malhas
Seja o circuito
−+vs1
R1
R2
R3
−+ vs2
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Método das Malhas
Definindo as correntes de malha e polaridade das tensões
−+vs1
R1
+ −v1
R2
+
−
v2
R3
+ −v3
−+ vs2
i1 i2
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Método das Malhas
Pela LKT, temos que
Malha 1: vs1 − v1 − v2 = 0⇒ v1 + v2 = vs1 (7)
Malha 2: v2 − v3 − vs2 = 0⇒ −v2 + v3 = −vs2 (8)
Porém, pela lei de Ohm:
v1 = R1i1
v2 = R2(i1 − i2)
i3 = R3i2
19
Método das Malhas
Substituindo v1, v2 e v3 e rearranjando as equações 7 e 8, chega-se a
(R1 + R2)i1 − R2i2 = vs1 (9)
−R2i1 + (R2 + R3)i2 = −vs2 (10)
ou, escrevendo as equações lineares na forma matricial,[
R1 + R2 −R2
−R2 R2 + R3
][
i1
i2
]
=
[
vs1
−vs2
]
(11)
20
Forma Genérica
Definindo:
Matriz resistência [R]: os termos rij , com i = j , são a soma dos valores das resistência
da malha i . Os termos gij , com i 6= j , são a soma algébrica das resistências comuns
às malhas i e j , sendo positiva se as correntes estiverem no mesmo sentido e negativa,
caso sentido opostos.
R =

r11 r12 · · · r1j
r21 r22 · · · r2j
...
...
. . .
...
ri1 ri2 · · · rij

Matriz corrente [I]: são as correntes de cada i -ésima malha.
I =
[
i1 i2 · · · ii
]T
21
Forma Genérica
Matriz tensão [V]: soma algébrica dos valores das fontes de tensão da i -ésima
malha. Sendo positiva se estiver no sentido de crescimento da corrente e negativo,
no sentido contrário.
V =
[
vs1 vs2 · · · vsi
]T
Assim, a forma matricial pode ser escrita genericamente como
r11r12 · · · r1j
r21 r22 · · · r2j
...
...
. . .
...
ri1 ri2 · · · rij


i1
i2
...
ii
 =

vs1
vs2
...
vsi
 (12)
R · I = V
22
Exemplo 5
Determine as correntes de malha.
23
Exemplo 6
Determine as correntes de malha.
24
Circuito com Fontes de Corrente
A presença de fontes de correntes pode levar a uma corrente de malha a menos
para ser determinada.
O ideal é que correntes de malhas distintas não passem pela mesma fonte de cor-
rente.
Dessa forma, podemos associar uma única corrente de malha à fonte de corrente.
Muitas vezes essa situação só será posśıvel com o uso da supermalha.
25
Exemplo 7
Determine i .
26
Comparação entre os Métodos dos
Nós e das Malhas
Método dos Nós vs Método das Malhas
Não existe uma resposta única que indique qual melhor método usar em determinado
circuito.
A decisão de qual método usar depende da experiência do analista.
Algumas questões podem auxiliar no processo de escolha:
Um dos métodos resulta em menor número de equações?
O circuito possui supernós ou supermalhas?
Resolver só uma parte do circuito dá a solução desejada?
De todo modo, a grande vantagem desses métodos é resolver o circuito de forma
sistemática, o que requer organização no momento da análise.
27
Método dos Nós vs Método das Malhas
Não existe uma resposta única que indique qual melhor método usar em determinado
circuito.
A decisão de qual método usar depende da experiência do analista.
Algumas questões podem auxiliar no processo de escolha:
Um dos métodos resulta em menor número de equações?
O circuito possui supernós ou supermalhas?
Resolver só uma parte do circuito dá a solução desejada?
De todo modo, a grande vantagem desses métodos é resolver o circuito de forma
sistemática, o que requer organização no momento da análise.
27
Método dos Nós vs Método das Malhas
Não existe uma resposta única que indique qual melhor método usar em determinado
circuito.
A decisão de qual método usar depende da experiência do analista.
Algumas questões podem auxiliar no processo de escolha:
Um dos métodos resulta em menor número de equações?
O circuito possui supernós ou supermalhas?
Resolver só uma parte do circuito dá a solução desejada?
De todo modo, a grande vantagem desses métodos é resolver o circuito de forma
sistemática, o que requer organização no momento da análise.
27
Método dos Nós vs Método das Malhas
Não existe uma resposta única que indique qual melhor método usar em determinado
circuito.
A decisão de qual método usar depende da experiência do analista.
Algumas questões podem auxiliar no processo de escolha:
Um dos métodos resulta em menor número de equações?
O circuito possui supernós ou supermalhas?
Resolver só uma parte do circuito dá a solução desejada?
De todo modo, a grande vantagem desses métodos é resolver o circuito de forma
sistemática, o que requer organização no momento da análise.
27
Método dos Nós vs Método das Malhas
Não existe uma resposta única que indique qual melhor método usar em determinado
circuito.
A decisão de qual método usar depende da experiência do analista.
Algumas questões podem auxiliar no processo de escolha:
Um dos métodos resulta em menor número de equações?
O circuito possui supernós ou supermalhas?
Resolver só uma parte do circuito dá a solução desejada?
De todo modo, a grande vantagem desses métodos é resolver o circuito de forma
sistemática, o que requer organização no momento da análise.
27
Método dos Nós vs Método das Malhas
Não existe uma resposta única que indique qual melhor método usar em determinado
circuito.
A decisão de qual método usar depende da experiência do analista.
Algumas questões podem auxiliar no processo de escolha:
Um dos métodos resulta em menor número de equações?
O circuito possui supernós ou supermalhas?
Resolver só uma parte do circuito dá a solução desejada?
De todo modo, a grande vantagem desses métodos é resolver o circuito de forma
sistemática, o que requer organização no momento da análise.
27
Transformação de Fontes
Dualidade
Conceito de dualidade está ligado a reciprocidade existente nas análises de circuitos.
Por exemplo, a lei de Ohm pode ser escrita na forma v = Ri ou i = Gv .
Note que, essencialmente, as equações são as mesmas. Isso significa que os pares
v e i e R e G são duais.
Outros exemplos de dualidade em circuitos estão nas associações série e paralelo
ou nos métodos dos nós e das malhas.
No decorrer da disciplina, veremos outros exemplos de dualidade.
28
Dualidade
Conceito de dualidade está ligado a reciprocidade existente nas análises de circuitos.
Por exemplo, a lei de Ohm pode ser escrita na forma v = Ri ou i = Gv .
Note que, essencialmente, as equações são as mesmas. Isso significa que os pares
v e i e R e G são duais.
Outros exemplos de dualidade em circuitos estão nas associações série e paralelo
ou nos métodos dos nós e das malhas.
No decorrer da disciplina, veremos outros exemplos de dualidade.
28
Dualidade
Conceito de dualidade está ligado a reciprocidade existente nas análises de circuitos.
Por exemplo, a lei de Ohm pode ser escrita na forma v = Ri ou i = Gv .
Note que, essencialmente, as equações são as mesmas. Isso significa que os pares
v e i e R e G são duais.
Outros exemplos de dualidade em circuitos estão nas associações série e paralelo
ou nos métodos dos nós e das malhas.
No decorrer da disciplina, veremos outros exemplos de dualidade.
28
Dualidade
Conceito de dualidade está ligado a reciprocidade existente nas análises de circuitos.
Por exemplo, a lei de Ohm pode ser escrita na forma v = Ri ou i = Gv .
Note que, essencialmente, as equações são as mesmas. Isso significa que os pares
v e i e R e G são duais.
Outros exemplos de dualidade em circuitos estão nas associações série e paralelo
ou nos métodos dos nós e das malhas.
No decorrer da disciplina, veremos outros exemplos de dualidade.
28
Dualidade
Conceito de dualidade está ligado a reciprocidade existente nas análises de circuitos.
Por exemplo, a lei de Ohm pode ser escrita na forma v = Ri ou i = Gv .
Note que, essencialmente, as equações são as mesmas. Isso significa que os pares
v e i e R e G são duais.
Outros exemplos de dualidade em circuitos estão nas associações série e paralelo
ou nos métodos dos nós e das malhas.
No decorrer da disciplina, veremos outros exemplos de dualidade.
28
Transformação de Fontes
Baseado na dualidade podemos realizar uma transformação de fontes.
Uma fonte de tensão em série com uma resistência é equivalente a uma fonte de
corrente em paralelo com a mesma resistência, ou vice-versa.
29
Transformação de Fontes
Baseado na dualidade podemos realizar uma transformação de fontes.
Uma fonte de tensão em série com uma resistência é equivalente a uma fonte de
corrente em paralelo com a mesma resistência, ou vice-versa.
29
Transformação de Fontes
Baseado na dualidade podemos realizar uma transformação de fontes.
Uma fonte de tensão em série com uma resistência é equivalente a uma fonte de
corrente em paralelo com a mesma resistência, ou vice-versa.
29
Transformação de Fontes
Para substituir a fonte de tensão por uma de corrente fazemos
is =
vs
R
Para transformar a fonte de corrente em uma de tensão fazemos
vs = Ris
A transformação de fontes pode ser útil na aplicação do método dos nós ou das
malhas, já que você pode converter para um tipo de fonte que seja mais conveniente
para aplicação do método.
30
Transformação de Fontes
Para substituir a fonte de tensão por uma de corrente fazemos
is =
vs
R
Para transformar a fonte de corrente em uma de tensão fazemos
vs = Ris
A transformação de fontes pode ser útil na aplicação do métododos nós ou das
malhas, já que você pode converter para um tipo de fonte que seja mais conveniente
para aplicação do método.
30
Transformação de Fontes
Para substituir a fonte de tensão por uma de corrente fazemos
is =
vs
R
Para transformar a fonte de corrente em uma de tensão fazemos
vs = Ris
A transformação de fontes pode ser útil na aplicação do método dos nós ou das
malhas, já que você pode converter para um tipo de fonte que seja mais conveniente
para aplicação do método.
30
Exemplo 8
Dado o circuito
is R1
R2
R3
R4
−+ vs
Determine:
a) As equações das tensões dos nós.
b) As equações das correntes de malha.
31
Referências
Referências
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos. 10. ed. Pearson Prentice-Hall,
2015.
Caṕıtulo 4 (Seções 4.1 a 4.9)
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed.
AMGH, 2013. Caṕıtulo 3.
DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos circuitos elétricos. 7. ed. LTC, 2008.
Caṕıtulo 4.
JOHNSON, D. E; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de
circuitos elétricos. 4. ed. LTC, 1994. Caṕıtulo 4.
32
	Introdução
	Método dos Nós
	Circuitos com Fontes de Corrente
	Circuitos com Fontes de Tensão
	Circuitos com Fontes Controladas
	Método das Malhas
	Circuitos com Fontes de Tensão
	Circuitos com Fontes de Correntes
	Comparação entre os Métodos dos Nós e das Malhas
	Transformação de Fontes
	Referências