A02

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Universidade Federal da Bahia
Escola Politécnica
Departamento de Construção e Estruturas
DIRETRIZES PARA A ELABORAÇÃO DE 
UM PROJETO ESTRUTURAL E PRÉ-
DIMENSIONAMENTO (1ª PARTE)
ENG 298 – Estática das Construções
Apostila desenvolvida pelos professores Daniel de Souza
Machado, Tatiana Bittencourt Dumêt e Alex Alves Bandeira.
Monitor: Luiz Fernando Alves Macedo
Prof. Pós-Dr. Alex Alves Bandeira
Professor DE
ETAPAS DO PROJETO 
ESTRUTURAL
Estudo do projeto arquitetônico (formas e
utilização)
Verificação e compatibilização das cotas e
dimensões
Lançamento das fôrmas
Compatibilização com os projetos de instalações
Carregamento da estrutura
Cálculo dos esforços
Dimensionamento dos elementos da estrutura
Detalhamento
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VÍNCULOS
Vínculos de 1a ordem:
VA  0
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Vínculos de 2a ordem:
VA  0
HA  0
VÍNCULOS
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Vínculos de 3a ordem:
VA  0
HA  0
MA  0
VÍNCULOS
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ENG 298 Estática das Construções
VÍNCULOS
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ENG 298 Estática das Construções
VÍNCULOS
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ENG 298 Estática das Construções
VÍNCULOS
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ENG 298 Estática das Construções
VÍNCULOS
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ENG 298 Estática das Construções
VÍNCULOS
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ENG 298 Estática das Construções
ESTATICIDADE DAS ESTRUTURAS
Estruturas Hipostáticas:
O número de vínculos é inferior ao número
de equações de equilíbrio (estrutura
indeterminada).
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Estruturas Isostáticas:
O número de vínculos é igual ao número de
equações de equilíbrio.
ESTATICIDADE DAS ESTRUTURAS
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ENG 298 Estática das Construções
Estruturas Hiperestáticas:
O número de vínculos é superior ao número
de equações de equilíbrio.
ESTATICIDADE DAS ESTRUTURAS
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ENG 298 Estática das Construções
COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
“A característica principal destes elementos é que os
mesmos absorvem as ações externas por meio de
esforços normais de tração” (SALES et al, 1998).
“A elevada resistência à tração combinada com a
eficiência da tração simples, faz do cabo de aço o
elemento estrutural ideal para cobrir grandes distâncias.
Os cabos são flexíveis devido às suas pequenas
dimensões transversais em relação ao seu
comprimento. A flexibilidade indica uma limitada
resistência à flexão” (SILVA & SOUTO, 1997).
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
“Os fios e cabos possuem pequena resistência à
flexão e quase nenhuma resistência à
compressão. Para fins práticos costuma-se
desprezar estas resistências e só se considera a
resistência à tração. Devido a estas
características, estes elementos costumam
assumir como forma estrutural ou configuração
de equilíbrio, aquela determinada pelo tipo de
ação a que estão submetidas” (SALES et al,
1998).
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Equações de equilíbrio:
f4
.P
f
1
.
2
.
2
P
H0
2
.Vf.H
)forçadaaplicaçãodeponto(C
MprovocanãoHB
MprovocanãoHA
em0MM
2
P
VVV0F
HHH0F
BAV
BAH
lll











 



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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
“...cabe observar que a expressão que
determina o empuxo H, pode ser entendida
como o valor do momento que a força P
despertaria, em uma viga simplesmente apoiada
com o mesmo vão do cabo, dividido pela flecha
(f). Este é o PRINCÍPIO DA VIGA DE
SUBSTITUIÇÃO, que possui largo emprego
em problemas de engenharia” (SALES et al,
1998).
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Cálculo do esforço de tração no cabo (T):
f
L.V
sen
V
T
ou
HVTHVT 22222



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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
“...a tensão (no cabo) é inversamente
proporcional à flecha: quanto menor a flecha,
maior a tensão de tração e maior o esforço no
cabo e nos apoios. Economicamente, a flecha
ótima é aquela igual à metade da distância
entre apoios, correspondente a uma
configuração simétrica com um ângulo de 45º
no ponto de aplicação de carga e empuxo e
reação vertical iguais à metade desta” (SILVA &
SOUTO, 1997).
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Traçado mais econômico para cabo com 1
carga:
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Aumentando-se o número de cargas
aplicadas (cabo com mais de 1 carga):
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Cálculo do esforço de tração no cabo, no
apoio A (TA):



cos.
.
.
1 AC
AC
c
ACC
c
ACAA
A
L
L
f
sensenLf
f
LV
sen
V
T



l
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Cálculo do esforço de tração no cabo, no
apoio A (HA):
భ
ಲ಴
ಲ ಲ಴
೎
భ ಲ
೎ ೎
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Aumentando-se o número de cargas
aplicadas (cabo com mais de 1 carga):
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Analogamente, calcula-se:
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
“Continue aumentando o número de cargas, até o cabo
assumir a forma de um polígono funicular: é a forma
natural necessária para suportar cargas por tração. À
medida que aumenta o número de cargas, o polígono
funicular toma um número crescente de lados menores,
até chegar a uma curva uniforme; ele se converteu em
uma curva funicular, mais conhecida como parábola”
(SILVA & SOUTO, 1997).
“funicular: semelhante a ou que tem forma de corda ou
cordão; composto de cordas” (dicionário HOUAISS)
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
“Quando o número de forças aplicadas em um
cabo torna-se igual ou superior a dez, pode-se
considerar o cabo submetido a uma ação
distribuída segundo o vão ou segundo o seu
comprimento” (SALES et al, 1998).
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
Pelo Princípio da Viga de Substituição, tem-
se:


22
2
HVT
cte
f8
.p
f
M
H
2
.p
V
ll
Valor máximo, uma vez que V é 
o maior valor do cortante na viga 
de substituição.
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
“A flecha ótima para um cabo parabólico é igual
à terça parte do vão” (SILVA & SOUTO, 1997).
Cabos parabólicos: pontes pênseis (vãos de até
1300 m).
PROBLEMA: vento
Vento atuando junto com o carregamento:
dimensionamento adequado;
Vento atuando contra o peso próprio: perda de
estabilidade  diminuição da flecha inicial (linhas de
transmissão – flechas máximas de l/40 a l/50).
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Fios e Cabos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
“Invertendo-se a forma parabólica que toma um
cabo sobre o qual atuam cargas uniformemente
distribuídas, obtém-se a forma ideal de um arco
submetido a tensões de compressão. Os arcos são
utilizados há muito séculos. A forma ideal de um
arco é a de uma curva funicular invertida.
Estaticamente, a semicircunferência é a forma ideal
para resistir a cargas radiais.
Praticamente, a forma parabólica é a mais usada,
devido à facilidade de execução e estética”.
SILVA & SOUTO (1997)
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
Classificação dos arcos:
Arcos isostáticos:
Triarticulados.
Arcos hiperestáticos:
Com uma articulação;
Biarticulados;
Atirantados;
Engastados.
Hiperestáticos: mais econômicos, porém
sujeitos a variações de solicitações (recalque,
por exemplo).
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
Isostático
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
1 vez hiperestático
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
1 vez hiperestático
(atirantado)
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
3 vezes hiperestático
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
“Normalmente, a relação entre a
flecha f e o vão l varia em torno de
1/6 a 1/5. Entretanto, em alguns
casos particulares essa relação pode
aumentar até 1/2, ou diminuir até
1/20” (SALES et al, 1998).
Alturas (h) constantes ou variáveis.
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ENG 298 Estática das Construções
COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Arcos -
“Por serem elementos que trabalham sob
compressão, os arcos podem apresentar
problemas de instabilidade, tanto locais como
global:
Estabilidade Global: no plano do arco e fora
dele – aquela do arco como um todo;
Estabilidade Local: aquela relacionada a
barras isoladas (banzo, diagonal ou
montante) de um arco treliçado.
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
“As treliças servem para cobrir grandes vãos
quando dispostas paralelamente e podem ter
forma geométrica variada. Os materiais mais
convenientes para seu uso são o aço, o alumínio
e a madeira” (SILVA & SOUTO, 1997)
Inconveniente estático: a possibilidade de
ocorrência de flambagem nas barras
comprimidas, devido à sua pequena seção.
Inconveniente construtivo: a execução dos nós.
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
TIPO 1 TIPO 2
TIPO 3
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
TIPO 4 TIPO 5
TIPO 6
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
Tipo de 
modelo
Força de 
ruptura 
(kN)
Eficiência relativa 
(N/mm)x100
1 9,3 2,88
2 10,7 2,92
3 22,2 4,90
4 23,6 4,87
5 24,0 5,07
6 27,1 5,04
TIPO 4
TIPO 1
TIPO 5
TIPO 6
TIPO 2
TIPO 3
SALES et al (1998)
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
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COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
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ENG 298 Estática das Construções
COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
- Treliças -
Pode-se fazer as seguintes observações:
“Para materiais que trabalham melhor à compressão,
ou que permitam a execução de melhores detalhes
nas ligações para elementos comprimidos, como é o
caso, por exemplo, da madeira, o segundo esquema
pode ser mais econômico;
Para os materiais que permitem melhores soluções
quando tracionados, como o aço ou o alumínio, o
comportamento das diagonais sugere o primeiro
esquema, enquanto os banzos sugerem o segundo”.
SALES et al (1998)
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
“As vigas figuram entre os elementos estruturais de
uso mais comum. Como a maior parte das cargas são
verticais e a maioria das superfícies utilizadas são
horizontais, as vigas são abundantemente usadas para
transmitir, em direção horizontal, cargas verticais. Seu
mecanismo implica uma combinação de flexão e
cisalhamento” (SILVA & SOUTO, 1997)
“Foram usadas desde a antiguidade, em pedra ou em
madeira, e posteriormente em ferro fundido, na
construção de habitações, pontes, fortificações,
veículos e demais construções” (SALES et al, 1998).
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
“Como os efeitos máximos de compressão
e de tração ocorre nas partes extremas
superior e inferior da seção, parece lógico
concentrar mais material nessas áreas
extremas, pois qualquer material em
posição intermediária será menos
tensionado e conseqüentemente usado
menos eficientemente” (SALES et al,
1998).
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
“As tensões de flexão variam livremente desde
um valor máximo de tração na fibra inferior até
um valor máximo de compressão na superior,
passando pelo eixo neutro, onde seu valor é
nulo. Estas tensões tendem a girar a seção da
viga. Quanto maior é o braço da alavanca (ou
seja, a altura da viga), maior a resistência à
flexão. Portanto, um aumento de altura é mais
proveitoso que o de largura, ...” (SILVA &
SOUTO, 1997).
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
M


+
-
+
-
h


x
C
T
z
Mint = C . z = T . z (momento interno = momento 
resistente da peça)
Mint ≥ Mext (momento externo  carregamento 
externo da peça)
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
A altura também influencia mais do quea
largura no momento de inércia da peça, pois ele
cresce ao cubo. Quanto maior o momento de
inércia da seção, menor será a deformação.
Fonte: SILVA & SOUTO, 1997
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
“Concluímos, primeiramente, pois, que as vigas
devem ser bem mais altas do que largas. No
entanto, as vigas retangulares desperdiçam
material, uma vez que as tensões de flexão
variam. Próximo ao eixo neutro, a área da seção
pode diminuir proporcionalmente às seções. Essa
ineficiência pode ser remediada dispondo-se a
maior parte do material da viga próxima às partes
superior e inferior desta. Isso conduz a uma
seção I, com a maior parte dos materiais nas
mesas superior e inferior, unidas por uma “alma”
de pequena espessura” (SILVA & SOUTO, 1997).
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
Dependendo do material, as vigas têm seções
típicas diferentes, já consagradas pelo uso:
Aço e alumínio: elementos delgados e dimensões
pequenas (I, C, L, , etc...);
Madeira: material menos resistente e dificuldade maior
nas ligações ( , I, , etc...);
Concreto: não permite dimensões muito pequenas;
granulometria para preencher espaços vazios ( , I, ,
etc...).
“... é usual encontrar-se vigas formadas por elementos
finos, quando em aço ou alumínio, medianamente
espessos quando em madeira e bem mais robustas
quando em concreto armado” (SALES et al, 1998).
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
“As seções transversais empregadas podem ser
as mesmas, o que varia é a espessura dos seus
elementos e a forma de união entre os mesmos.
Dentre as seções mais empregadas, destacam-
se:
Seção retangular maciça;
Seção em I;
Seção caixão ou vazada.
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
Seções retangulares maciças
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Seção Retangular
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Seção I
MESA SUPERIOR
MESA INFERIOR
ALMA
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
Seções em I
Fonte: SALES et al, 1998
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Seção I
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Seção I
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Seção I
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Variações da Seção I
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Variações da Seção I
Seção T
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
Seções caixão ou vazadas
Fonte: SALES et al, 1998
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Seção Caixão
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Seção Caixão
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS – Seção Caixão
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
As vigas podem apresentar, de maneira
geral, uma relação altura (l) / vão (h) de
1/10 a 1/20, dependendo do material.
h
bw
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
Além dos efeitos de flexão, temos que
considerar, nas vigas, os efeitos de
cisalhamento.
Figura 1 – Esforço cortante em vigas
Fonte: SILVA & 
SOUTO, 1997
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS
“... a tendência ao cisalhamento aparece em todos os pontos
da viga, e é independente do seu comprimento. Podemos
realizar uma experiência (Figura 1 – slide anterior), tratando
de levantar uma fileira de livros: não poderemos levantá-los
se não os comprimirmos, criando entre eles um grau de
fricção que impeça o deslizamento. A função essencial da
alma em uma seção I, por exemplo, consiste em desenvolver
tensões de cisalhamento necessárias para que as duas mesas
trabalhem juntas. Sem alma, cada mesa atuaria como uma
viga independente, de pequena espessura. Vê-se, então, que
a transmissão dos esforços de corte através da alma é
fundamental para a seção de flexão das mesmas e que o
cisalhamento e a flexão são interdependentes”.
(SILVA & SOUTO, 1997)
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS EM BALANÇO
-
D. M. F.
M-
C
T
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS EM BALANÇO
“A deformação do extremo carregado aumenta
rapidamente com o comprimento livre. Ao duplicar-se o
comprimento, a deformação multiplica-se por 8, ou
seja, pelo cubo do comprimento;
As deformações são inversamente proporcionais ao lado
horizontal da seção e ao cubo de seu lado vertical;
As deformações são inversamente proporcionais aos
módulos de elasticidade dos materiais;
A deformação do extremo em balanço aumenta à
medida que a carga se desloca desde o engastamento
até o extremo”.
SILVA & SOUTO (1997)
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS EM BALANÇO
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS EM BALANÇO
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS BIAPOIADAS
Ou VIGAS SIMPLESMENTE APOIADAS;
“Diz-se que uma viga está simplesmente
apoiada quando esta se apoia em ambos
os extremos, de modo que esses
extremos têm liberdade de girar, e a viga
pode se dilatar ou se retrair em direção
longitudinal”. (SILVA & SOUTO, 1997)
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS BIAPOIADAS
D.M.F. (M)
+
-
D.E.C. (V)
+
p (kN/m)
b
w
h

Mmáx.
MM
tração
compressão
Tensões normais e 
flechas máximas no 
meio do vão
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS BIAPOIADAS
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS BIAPOIADAS
102 / 175
ENG 298 Estática das Construções
VIGAS BIENGASTADAS
p (kN/m)
+
+
-
máx.M
D.E.C. (V)

D.M.F. (M)
- -
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS BIENGASTADAS
“Uma viga engastada nos dois extremos e
carregada uniformemente apresenta as tensões
máximas de flexão nos extremos. Estas tensões
são iguais ao dobro das registradas no ponto
médio. Sempre que uma viga pode desenvolver
tensões de tração ou compressão em suas
partes superior e inferior, resistirá a uma carga
50% superior à que suporta uma viga idêntica
simplesmente apoiada, ou seja, sua flecha é 5
vezes menor” (SILVA & SOUTO, 1997).
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS BIENGASTADAS
“As vigas biengastadas apresentam a
vantagem adicional de maior resistência à
torção (flambagem lateral) quando
submetidas à compressão. Isso ocorre
porque as fibras superiores não estão
comprimidas ao longo de todo o
comprimento, diminuindo, portanto, o
comprimento de flambagem, onde os
extremos são engastados” (SILVA & SOUTO,
1997).
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ENG 298 Estática das Construções
VIGAS CONTÍNUAS
+ +
++
--
-
D.E.C.
D.M.F.
106 / 175
ENG 298 Estática das Construções
VIGAS CONTÍNUAS
“A continuidade de uma viga sobre vários apoios introduz
novas características em seu comportamento. Se cada
tramo estivesse simplesmente apoiado e só um deles
carregado, as tensões de flexão e corte neste tramo
resistiriam à carga. Ao restringir a rotação dos seus
extremos, a continuidade torna mais rígido o tramo
carregado. Toda a viga participa de um mecanismo
importante, e parte da carga pode-se considerar como
transmitida aos tramos não carregados. As tensões devidas
à continuidade vão se anulando (ou diminuindo) à medida
que aumenta a distância do tramo carregado (mais
carregado). A curvatura da viga contínua é máxima debaixo
da carga. A continuidade aumenta a resistência de uma viga
com cargas concentradas, mas seu efeito diminui com
rapidez, tornando-se desprezível a uns poucos apoios da
carga” (SILVA & SOUTO, 1997).
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VIGAS CONTÍNUAS
Exercício: calcular as reações da viga como
dois vãos biapoiados e contínua.
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VIGAS CONTÍNUAS
D.E.C.
D.M.F.
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VIGAS CONTÍNUAS
D.E.C.
D.M.F.
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VIGAS CONTÍNUAS
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VIGAS CONTÍNUAS
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GRELHAS
As vigas atendem isoladamente às
solicitações.
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GRELHAS
As vigas ajudam umas às outras a
resistirem aos esforços (GRELHA).
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GRELHAS
“Uma grelha consiste de dois ou mais sistemas
de vigas paralelas que se interceptam, sendo
cada sistema interligado ao outro. As direções
dos sistemas de vigas não necessitam, contudo,
ser paralelos aos elementos de apoio” (SALES et
al, 1998).
As grelhas transmitem os esforços em duas
direções.
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GRELHAS
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ENG 298 Estática das Construções
GRELHAS
“Os sistemas de grelhas retangulares podem se
projetar de forma econômica com a relação altura (h) /
vão (l) desde 1/30 até 1/40. Acumulada em um grande
número de pavimentos, essa redução implica uma
diminuição do custo da estrutura” (SILVA & SOUTO,
1997).
Para que a transmissão dos esforços nas duas direções
ocorra de forma eficiente, as vigas devem ter rigidezes
iguais ou próximas.
“Se uma das vigas é muito mais rígida que a outra,
absorve a maior parte da carga, e a transmissão se
produz quase que em uma só direção” (SILVA &
SOUTO, 1997).
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GRELHAS
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GRELHAS
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GRELHAS
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GRELHAS
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PILARES
“Este é mais um elemento estrutural conhecido
e utilizado desde os tempos mais remotos. Foi
empregado com arte e muito bom gosto nos
templos egípcios, gregos e romanos, e em
construções habitacionais. Executado
inicialmente com pedra e madeira, com o
advento do ferro, do aço e do concreto,
adquiriu novas formas e novas seções,
limitadas quase tão somente pela criatividade
do projetista” (SALES et al, 1998).
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PILARES
Seções:
Retangular;
Circular;
Em I;
Variações da seção I.
Cheias (normalmente em 
concreto) e vazadas 
(normalmente em aço)
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PILARES
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PILARES
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PILARES
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PÓRTICOS
“Há muito tempo, usa-se o sistema pilar-viga,
que é um sistema aporticado mais sensível, com
a separação das funções portante e protetora. A
viga suporta a carga de cobertura, e os pilares,
submetidos à compressão, suportam as cargas
transmitidas pela viga e as cargas horizontais
do vento, que provocam uma flexão lateral. Os
pilares transmitem as cargas às fundações
(sapatas, estacas, tubulões, etc.) e estas ao
solo” (SILVA & SOUTO, 1997).
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ENG 298 Estática das Construções
PÓRTICOS
“O sistema pilar-viga pode ser construído um
sobre o outro para levantar edifícios de muitos
pisos. Neste caso, as vigas apoiam-se em
colunas verticais ou em paredes de alvenaria.
Este último tipo de construção pode resistir bem
a cargas verticais; porém, não ocorre o mesmo
com as horizontais, pois os elementos de
alvenaria possuem escassa resistência à flexão,
e não se estabelece facilmente uma forte
conexão entre os elementos estruturais
horizontais e verticais” (SILVA & SOUTO, 1997).
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PÓRTICOS
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PÓRTICOS
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PÓRTICOS
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PÓRTICOS
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PÓRTICOS
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ELEMENTOS DE SUPERFÍCIE
Os elementos de superfície são divididos
em:
Placas (lajes);
Chapas (vigas-parede);
Membranas;
Cascas.
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PLACAS (Lajes)
"Uma placa ou laje é um elemento
estrutural monolítico de espessura
relativamente pequena, usado para
cobrir uma área geralmente de forma
retangular, conectadas em sua periferia.
A placa comporta-se como um conjunto
de vigas soldadas que transferem a carga
aos apoios mediante as menores tensões
possíveis" (SILVA & SOUTO, 1997).
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PLACAS (Lajes)
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PLACAS (Lajes)
As placas, ou lajes, podem ter formas
diversas, sendo as retangulares as mais
usuais.
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes)
Em cada ponto, as deformações nas duas
direções são iguais  compatibilidade das
deformações:
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PLACAS (Lajes)
As lajes recebem as cargas verticais e as
transferem para as vigas ou, diretamente,
para os pilares;
Para as lajes retangulares, apoiadas nos
quatro lados, quanto mais quadrada a
laje, mais uniforme a distribuição dos
esforços nas duas direções;
Quanto mais desiguais forem os lados,
mais carregado será o lado menor.
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PLACAS (Lajes)
p = carregamento da 
laje;
A1 = A2 = A3 = A4
A1
A4
A3
A2
l
l
¼ p
¼ p
¼ p
¼ p
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PLACAS (Lajes)
p = carregamento da laje A1 = A2 >> A3 = A4
A1
A4A3
A2
l1
l2
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes)
A menor direção, por ser mais rígida, suporta um
quinhão maior de carga.
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes)
Madeira (montagem de várias peças);
Aço;
Concreto:
Maciça (CA: vãos de 4,00 a 6,00m);
Nervurada (CA: vãos de 7,50m a 12,00m);
Plana (CA: vãos de 4,00 a 6,00m);
Cogumelo (CA: vãos de 6,00 a 9,00m).
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ENG 298 Estática das Construções
LAJES (madeira)
Fonte: www.orbitalestruturas.com.br 
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ENG 298 Estática das Construções
LAJES (madeira)
Fonte: www.orbitalestruturas.com.br 
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LAJES (madeira/concreto)
Fonte: www.orbitalestruturas.com.br 
Sistema misto
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LAJES (aço/concreto)
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LAJES (aço)
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes)
Laje Maciça (sistema convencional):
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PLACAS (Lajes)
Laje Nervurada
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes nervuradas)
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes nervuradas)
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes nervuradas)
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes nervuradas)
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ENG 298 Estática das ConstruçõesPLACAS (Lajes)
Laje Plana:
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PLACAS (Lajes)
Laje Cogumelo:
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ENG 298 Estática das Construções
PLACAS (Lajes)
Laje Cogumelo:
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CHAPAS
“As chapas, quando solicitadas por tensões
normais de compressão ou de cisalhamento,
podem perder a estabilidade, assim como
qualquer outro elemento comprimido” (SALES et
al, 1998).
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ENG 298 Estática das Construções
CHAPAS
As chapas apresentam flambagem no seu plano,
devido à compressão axial, e podem, também,
apresentar flexão no plano perpendicular, caso
sejam solicitadas, também, a esforços
perpendiculares ao seu plano médio.
Paredes de reservatórios
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MEMBRANAS
“Uma membrana é uma peça tão
delgada que, para todos os fins práticos,
não pode resistir à compressão, flexão e
corte, e somente resiste à tração” (SILVA
& SOUTO, 1997):
Lona de circo;
Guarda-chuva;
Cama elástica.
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ENG 298 Estática das Construções
MEMBRANAS
Problema: instabilidade (vibrações)
Utilização: coberturas (tetos)
“O emprego de membranas protendidas
permite criar tetos de formas interessantes,
pois são mais rígidos e mais estáveis”
“Os tetos de membranas são construídos
também em aço, alumínio e concreto armado.
As membranas metálicas adaptam-se muito
bem à transferência de cargas, mediante
tensões de tração, mas geralmente constituem
solução anti-econômica.”
(SILVA & SOUTO, 1997)
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MEMBRANAS
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MEMBRANAS
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MEMBRANAS
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ENG 298 Estática das Construções
MEMBRANAS
“Denominam-se estruturas resistentes
pela forma aquelas cuja resistência se
obtêm dando forma ao material, segundo
as cargas que deve suportar. As
membranas dependem da curvatura para
suportar cargas; pertencem à categoria
de estruturas na qual a forma permite
resistir a cargas de tração” (SOUTO &
SILVA, 1997).
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ENG 298 Estática das Construções
CASCAS
“As cascas delgadas são estruturas
resistentes pela forma, suficientemente
delgadas para não desenvolver tensões
apreciáveis de flexão, mas também
suficientemente grossas para resistir a
cargas de compressão. Devido à sua
forma, em certas situações, podem
resistir ao corte e à tração” (SOUTO &
SILVA, 1997).
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ENG 298 Estática das Construções
CASCAS
“A maioria das superfícies
geometricamente definidas, usadas nas
estruturas em casca, são geradas por um
dos processos básicos: a rotação ou
translação de uma curva”.
“No primeiro processo, uma curva girando
ao redor de uma linha chamada ‘eixo de
rotação’, gera as superfícies de
revolução”.
(SALES et al, 1998)
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ENG 298 Estática das Construções
CASCAS
“No segundo processo, a curva translada-
se paralelamente a si mesma, apoiando-
se constantemente numa curva diretriz,
gerando as superfícies de translação”.
“No caso de uma superfície de revolução,
quando o eixo da rotação é vertical, e a
curva intercepta este eixo, a superfície é
chamada de cúpula,...”
(SALES et al, 1998)
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ENG 298 Estática das Construções
CASCAS
“As cascas delgadas permitem a
construção econômica de cúpula e outros
tetos curvos de formas diversas, de
grande beleza e excepcional resistência
mecânica, devido à sua curvatura”.
(SOUTO & SILVA, 1997)
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ENG 298 Estática das Construções
CASCAS
“Como as tensões desenvolvidas por uma
cúpula são meramente de compressão e
tração, e as deformações correspondentes são
muito pequenas, as cúpulas circulares têm uma
rigidez excepcional. Essa rigidez se explica
porque é possível reduzir sua espessura da
ordem de 1:300 entre espessura e vão. As
cúpulas de aço atingem a relação 1:1000,
enquanto a do ovo alcança somente 1:30”.
(SOUTO & SILVA, 1997)
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CASCAS
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CASCAS
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CASCAS
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BIBLIOGRAFIA
MACHADO JR., E. F. (1999) – Introdução à
isostática. São Carlos: EESC-USP, 1999.
SILVA, D. M.; SOUTO, A. K. (1997) – Estruturas: uma
abordagem arquitetônica. Porto Alegre: Sagra:
Luzzatto, 1997.
SALES, J. J.; MALITE, M.; GONÇALVES, R. M. (1998) –
Sistemas estruturais: elementos estruturais. São
Carlos, EESC-USP, 1998.
https://nisee.berkeley.edu/elibrary/
http://www.greatbuildings.com
http://www.structurae.net
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DIRETRIZES PARA A 
ELABORAÇÃO DE UM PROJETO 
ESTRUTURAL
FIM
Escola Politécnica - Universidade Federal da Bahia
Departamento de Construção e Estruturas