Questionario 4 - Estatistica

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Curso
	ESTATÍSTICA
	Teste
	QUESTIONÁRIO UNIDADE IV
	Iniciado
	20/03/24 09:12
	Enviado
	20/03/24 09:14
	Status
	Completada
	Resultado da tentativa
	2 em 2,5 pontos  
	Tempo decorrido
	1 minuto
	Resultados exibidos
	Todas as respostas, Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários, Perguntas respondidas incorretamente
· Pergunta 1
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(FGV-2022) Suponha que X, uma variável aleatória discreta, assuma a seguinte distribuição de probabilidade:
 
 
O valor de K e o valor esperado de X são, respectivamente,
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	e. 
1/2 e 9/4.
	Respostas:
	a. 
0 e 3/4.
	
	b. 
1/4 e 3/2.
	
	c. 
1/2 e 3/4.
	
	d. 
1/2 e 3/2.
	
	e. 
1/2 e 9/4.
	Comentário da resposta:
	Resposta: E
Comentário: Quando a probabilidade de todos os possíveis resultados de uma variável aleatória discreta é expressa como uma taxa percentual, o resultado do somatório das probabilidades deve ser igual a 100%. Quando é expresso na forma unitária, o somatório das probabilidades deve ser igual a 1. Portanto, somando as probabilidades expostas na 2ª coluna da tabela do enunciado, temos a equação a seguir:
 
 
Isolando o K, temos:
 
 
 
Logo, sabemos que K = ½.
 
O valor esperado E(X), de uma variável discreta aleatória X, é calculado pela média ponderada dos valores xi assumidos pela variável, em que os pesos são as probabilidades unitárias p(xi):
 
 
 
No contexto do enunciado, temos o cálculo descrito a seguir:
 
	
	
	
· Pergunta 2
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(FGV-2022) Planeja-se selecionar quatro pessoas, com reposição, de uma pequena população composta por vinte pessoas, das quais dez foram acometidas por certa doença. Se X é a variável aleatória que contará o número de pessoas, entre as quatro, que foram acometidas pela referida doença, então a probabilidade de X ser igual a 2 é igual a:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
0,375.
	Respostas:
	a. 
0,375.
	
	b. 
0,425.
	
	c. 
0,475.
	
	d. 
0,5.
	
	e. 
0,525.
	Comentário da resposta:
	Resposta: A
Comentário: A questão aborda uma situação tratada como uma distribuição binomial. A distribuição binomial é uma distribuição discreta de probabilidades que se aplica sempre que o processo de amostragem tem as seguintes características:
 
● Em cada tentativa, há apenas dois resultados possíveis, chamados de sucesso e fracasso, que são mutuamente exclusivos. No contexto, há apenas a possibilidade de a pessoa ser acometida pela doença ou não ser acometida, e a ocorrência de uma exclui a outra.
● Os eventos de uma série de tentativas são independentes. No contexto, a amostra é selecionada com reposição, o que torna os eventos independentes entre si.
● O processo é estacionário, ou seja, a probabilidade de sucesso não varia entre uma tentativa e outra.
 
Chamando de p a probabilidade de sucesso de uma pessoa ser acometida pela doença, a probabilidade de fracasso q nessa mesma tentativa é dada por:
 
 
Pelo contexto, p (probabilidade de a pessoa ser acometida pela doença) é dado por:
 
Nesse caso, temos q (probabilidade de uma pessoa não ser acometida pela doença) dado como:
 
 
Ou seja, temos dois resultados possíveis e mutuamente exclusivos. O número 1, na expressão acima, indica a probabilidade de ocorrência de 100%.
A probabilidade P(X) de termos X sucessos em N tentativas é dada pela seguinte expressão:
 
 
Escrevendo explicitamente o binômio CN,X, temos:
 
 
No contexto, calcularemos a probabilidade de termos X = 2 pessoas acometidas pela doença em N = 4 tentativas (quantidade de pessoas da amostra).
 
 
Dessa forma, a probabilidade de haver 2 pessoas entre as 4 selecionadas que foram acometidas pela doença é de 0,375, ou 37,5%.
	
	
	
· Pergunta 3
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(IADES/2018) A variável normal padronizada Z é dada por Z = (X - µ)/σ, em que X é uma variável que tem distribuição normal de média µ e variância σ², conforme a figura apresentada.
 
Considerando uma variável X que tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25, assinale a alternativa que indica a probabilidade p(15 < X < 16,2).
 
Dado: Tabela – Áreas de uma distribuição normal padrão em relação à média.
 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
0,7698.
	Respostas:
	a. 
0,1151.
	
	b. 
0,2302.
	
	c. 
0,3849.
	
	d. 
0,7698.
	
	e. 
0,8849.
	Comentário da resposta:
	Resposta: D
Comentário: Temos, no contexto da questão, uma distribuição normal de probabilidades. Isso significa que as probabilidades seguem uma curva gaussiana, conforme exposto na figura do enunciado. A área abaixo da curva vale 1.
Podemos converter os valores X da distribuição em valores padronizados z, subtraindo o valor de X da média e dividindo o resultado pelo desvio-padrão. Usando a simbologia empregada na questão, temos a seguinte expressão:
 
 
 
Pela expressão, é possível deduzir que, em z = 0, temos um valor de distribuição igual ao valor médio, ou seja, X = µ. A um desvio-padrão da média, para o lado positivo da curva, temos z = 1 e, nesse caso, temos X = µ + σ. A um desvio-padrão da média, para o lado negativo da curva, temos z = –1 e, nesse caso, temos X = µ – σ. Essa correspondência pode ser vista na figura a seguir, em que os valores (em preto) do eixo horizontal correspondem aos valores de z, com a correspondência de X descrita logo a seguir (em azul):
 
 
Fonte: Adaptado de: TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Rio de Janeiro: LTC, 2017, p. 245.
 
Note que a área de z = 1 em relação à média (ponto z = 0) é igual à área de z = –1 em relação à média (ponto z = 0). Logo, valores simétricos em relação ao ponto central correspondem à mesma medida de área e, consequentemente, à mesma probabilidade, conforme ilustrado a seguir:
 
 
 
Para sabermos quanto vale a área de z = 1 até z = –1, basta que somemos as áreas destacadas nas figuras anteriores, ou multipliquemos 0,3413 por 2. 
Voltando aos dados do enunciado, sabemos que a variável X tem distribuição normal de média µ = 15,6 e variância σ² = 0,25. Para encontrarmos o valor do desvio-padrão σ, basta calcularmos a raiz quadrada da variância, conforme exposto a seguir:
 
 
Podemos, então, calcular o valor de z para 15 e para 16,2, que são os limites do intervalo da probabilidade a ser calculada na questão: P(15 < X < 16,2).
 
Para P = 15, temos:
 
 
Para P = 16,2, temos:
 
 
Pela tabela, sabemos que P(z = 1,2) = 0,3849. Para sabermos o valor da probabilidade pedida, basta que multipliquemos esse valor por 2, por se tratar de regiões simétricas no gráfico.
 
	
	
	
· Pergunta 4
0 em 0,25 pontos
	
	
	
	(PUC-PR/2019) O tempo médio de resolução de uma questão de Estatística de um concurso público é, normalmente, distribuído, com média de 5 minutos e desvio-padrão de 1 minuto. Nessas condições, em que os dados são, normalmente, distribuídos, qual é, então, a probabilidade de que um candidato leve mais de 6 minutos para resolver uma questão de Estatística? (Considere P(z=1) = 0,3413).
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
0,3413.
	Respostas:
	a. 
0,1587.
	
	b. 
0,3413.
	
	c. 
0,6587.
	
	d. 
0,6826.
	
	e. 
0,8413.
	
	
	
· Pergunta 5
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(CESPE-CEBRASPE/2022) Uma população de 100.000 indivíduos foi segmentada em faixas etárias, conforme mostra a tabela a seguir. Um levantamento estatístico será efetuado por amostragem, sorteando-se aleatoriamente 30, 60 e 10 indivíduos que se encontram, respectivamente, nas faixas etárias I, II, III.
 
 
Nessa situação hipotética, o desenho amostral descrito caracteriza-se como uma amostragem aleatória. 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
Estratificada.
	Respostas:
	a. 
Simples com reposição.
	
	b. 
Estratificada.
	
	c. 
Sistemática.
	
	d. 
Por conglomerados.
	
	e. 
Simples sem reposição.
	Comentário da resposta:
	Resposta: B
Comentário: A população foi dividida em subgrupos, levando em consideração a faixa etária dos indivíduos. Cada um desses subgrupos é um estrato, ou seja, um subgrupo homogêneo em relação a alguma característica (nesse caso, a idade). Posteriormente, foi feita uma amostragem aleatóriasimples de dentro de cada estrato. Esse procedimento leva o nome de amostragem aleatória estratificada.
	
	
	
· Pergunta 6
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(INSTITUTO AOCP/2018) Um biólogo pretendia determinar o tamanho médio de um tipo de vegetação rasteira. Para isso, realizou coletas ao acaso, tendo todas as plantas a mesma chance de serem escolhidas entre todas aquelas possíveis e que apresentavam, aparentemente, o mesmo tamanho. Qual foi o método de amostragem utilizado por esse biólogo?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
Amostragem aleatória simples.
	Respostas:
	a. 
Amostragem estratificada.
	
	b. 
Amostragem aleatória simples.
	
	c. 
Amostragem sistemática.
	
	d. 
Amostragem por conglomerados.
	
	e. 
Amostragem intencional.
	Comentário da resposta:
	Resposta: B
Comentário: Na amostragem aleatória simples, todos os elementos de uma população têm igual probabilidade de serem selecionados para a amostra. No contexto, a população era composta por plantas da vegetação rasteira que tinham a mesma chance de serem escolhidas.
	
	
	
· Pergunta 7
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	Considere uma amostra aleatória de 25 elementos, retirada de uma população infinita, distribuída de forma normal. Sabe-se que a média amostral tem valor 51,3, com desvio-padrão igual a 2.  Nesse caso, se o nível de confiança é de 95%, o limite inferior do intervalo de confiança para a média populacional será:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	a. 
50,52.
	Respostas:
	a. 
50,52.
	
	b. 
52,08.
	
	c. 
54,18.
	
	d. 
56,20.
	
	e. 
58,45.
	Comentário da resposta:
	Resposta: A
Comentário: Conforme vimos, um nível de confiança de 95% para uma população, normalmente, distribuída implica z = 1,96. Considerando que a população é infinita, calculamos o erro amostral c em função de z = 1,96, do desvio-padrão populacional σ = 2 (aproximado pelo desvio-padrão da amostra) e do número de elementos da amostra n = 25. A fórmula é apresentada a seguir:
 
 
 
O cálculo, portanto, segue o formato a seguir:
 
 
A probabilidade do intervalo de confiança da média populacional μ é dado considerando a média amostral x̅ e o erro amostral c, como:
 
 
 
Logo, o limite inferior do intervalo de confiança da média populacional é 50,516. Quando aproximado para duas casas decimais, chegamos ao valor 50,52.
	
	
	
· Pergunta 8
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	(Adaptado de: CESPE-CEBRASPE/2022) O coeficiente de correlação linear de Pearson dá uma medida do grau de correlação entre duas grandezas, além de fornecer o sinal dessa correlação, que diz se os dados são direta ou inversamente relacionados.
O coeficiente de correlação linear de Pearson é representado por r e pode ser calculado pela expressão a seguir:
 
  
 
Na equação:
 
  
 
Na simbologia, temos o que segue:
 
• xi é o um valor qualquer da variável x.
• yi é o um valor qualquer da variável y, correspondente a xi.
• n é o número de pares de dados.
 
Nesse contexto, considere oito pares de valores das variáveis x e y, tais que:
 
 
 
É correto afirmar que:
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	b. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente.
	Respostas:
	a. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será negativo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta decrescente.
	
	b. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente.
	
	c. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será negativo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta crescente.
	
	d. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será nulo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta horizontal.
	
	e. 
O coeficiente de correlação de Pearson para os valores apresentados será positivo, o que indica que a regressão linear será representada por uma reta decrescente.
	Comentário da resposta:
	Resposta: B
Comentário: Usando os dados do enunciado, vamos calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson para n = 8, já que se trata de 8 pares de valores x e y. Nesse caso, temos o que segue:
 
 
Nesse caso, temos um coeficiente de correlação linear positivo e próximo de 1, o que indica que há uma forte correlação direta entre os valores de x e os valores de y. Essa correlação se dará num formato crescente, já que o resultado é positivo.
	
	
	
· Pergunta 9
0 em 0,25 pontos
	
	
	
	O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x.
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma:
 
   
 
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coeficientes angular e linear dessa reta ajustada são dados, respectivamente, por:
 
  
 
 
 
Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y.
 
	xi
	yi
	1
	21
	2
	42
	3
	60
	4
	78
 
Nesse caso, qual o valor de Δ?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	c. 
12.
	Respostas:
	a. 
8.
	
	b. 
9.
	
	c. 
12.
	
	d. 
17.
	
	e. 
20.
	
	
	
· Pergunta 10
0,25 em 0,25 pontos
	
	
	
	O método de mínimos quadrados pode ser usado para ajustar dados de duas variáveis a uma reta de equação y = ax + b, em que a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear da função de 1º grau. Temos a variável y medida em função da variável x.
Para incertezas iguais σ associadas à variável y, o conjunto de n dados experimentais pode ser escrito da seguinte forma:
 
  
 
Ajustando sobre esses dados uma reta de equação y = ax + b, os coeficientes angular e linear dessa reta ajustada são dados, respectivamente, por:
 
 
  
 
Considere o seguinte conjunto de dados, em que temos incertezas σ = 1 para a variável y.
 
	xi
	yi
	1
	21
	2
	42
	3
	60
	4
	78
 
Nesse caso, qual o valor do coeficiente a, que representa o coeficiente angular?
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	d. 
18,9.
	Respostas:
	a. 
12,3.
	
	b. 
14,8.
	
	c. 
16,2.
	
	d. 
18,9.
	
	e. 
23,1.
	Comentário da resposta:
	Resposta: D
Comentário: Vamos começar calculando Sσ, sabendo que σ = 1 e que n = 4, já que há 4 pares de valores xy.
	
	
	
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