Cópia de Livro de Frac do Yew - Rosolen

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Mecânica do 
Fraturamento Hidráulico 
 
(Mechanics of 
Hidraulic Fracturing) 
 
 
 
 
 
Ching H. Yew 
 
 
 
 
 
 
Tradução: Marcos Antonio Rosolen 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gulf Publishing Company Houston, Texas 
 
 
 i
(cópia da ficha bibliográfica original) 
Mechanics of Hydraulic Fracturing 
 
Copyright © 1997 by Gulf Publishing Company, Houston, Texas. All rights reserved. This 
book, or parts thereof, may not be reproduced in any form without permission of the 
publisher. 
 
Gulf Publishing Company 
Book Division 
P.O. Box 2608 D Houston Texas 77252-2608 
 
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 
 
 
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data 
 
 
Yew, Ching H. 
 Mechanics of hydraulic fracturing / Ching H. Yew. 
 p. cm. 
 Includes bibliographical references and index. 
 ISBN 0-88415-474-2 (alk. paper) 
1. Rock mechanics. 2. Oil wells-Hydraulic fracturing. I. Title. 
TN870.56.Y48 1997 
622'.3382-dc21 
97-1978 
 CIP 
 
Printed on Acid-Free Paper (00) 
 
 
 
 
Dedicated to 
 
my wife ManLi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ii
ÍNDICE 
 
 
 
ÍNDICE..................................................................................................................................iii 
PREFÁCIO............................................................................................................................. v 
NOTAÇÕES..........................................................................................................................vi 
1 .............................................................................................................................................. 1 
FRATURAMENTO DE POÇO E MODELOS 2-D DE FRATURA .................................... 1 
INTRODUÇÃO.............................................................................................................. 1 
FRATURAMENTO DE UM POÇO.............................................................................. 1 
MODELOS DE FRATURA COM ALTURA CONSTANTE....................................... 4 
Modelo Khristianovic-Geertsma-de Klerk (KGD)..................................................... 5 
Modelo Perkins-Kern-Nordgren (PKN) ..................................................................... 7 
FRATURAS CIRCULARES ......................................................................................... 9 
CONSIDERAÇÃO DE ENERGIA.............................................................................. 12 
POROELASTICIDADE E REBOCO.......................................................................... 13 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 18 
2 ............................................................................................................................................ 20 
MODELAGEM TRI-DIMENSIONAL DE FRATURA...................................................... 20 
INTRODUÇÃO............................................................................................................ 20 
DESLOCAMENTO DO FLUIDO DENTRO DA FRATURA ................................... 20 
EQUAÇÃO DA ABERTURA DE FRATURA ........................................................... 24 
PROPAGAÇÃO DE UMA FRATURA HIDRÁULICA............................................. 26 
Discretização da Equação 2-14 no Domínio do Tempo ........................................... 27 
Procedimento para Resolver as Equações 2-24 e 2-29............................................. 28 
Movimento da Frente de Fratura .............................................................................. 28 
GERAÇÃO DE MALHA............................................................................................. 30 
Geração de Nós da Frente de Fratura ....................................................................... 30 
Geração de Nós Interiores ........................................................................................ 32 
Inserção de Nós no Interior do Domínio .................................................................. 33 
Construção de Elementos ......................................................................................... 34 
Interpolação entre Grades......................................................................................... 35 
RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................. 36 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 41 
3 ............................................................................................................................................ 42 
TRANSPORTE DE PROPANTE EM FRATURA 3-D ...................................................... 42 
INTRODUÇÃO............................................................................................................ 42 
EQUAÇÕES QUE GOVERNAM O FLUXO ............................................................. 43 
TRANSPORTE DE PROPANTE ................................................................................ 46 
FORMULAÇÃO EM ELEMENTOS FINITOS .......................................................... 47 
ANÁLISE DE FECHAMENTO .................................................................................. 48 
RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................. 49 
MODELOS PSEUDO 3-D ........................................................................................... 55 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 56 
 iii
4 ............................................................................................................................................ 57 
POÇOS DESVIADOS.......................................................................................................... 57 
INTRODUÇÃO............................................................................................................ 57 
DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES E INICIAÇÃO DE UMA FRATURA 
HIDRÁULICA ............................................................................................................. 58 
POÇO REVESTIDO E ESTRATÉGIA DE CANHONEIO ........................................ 67 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 74 
5 ............................................................................................................................................ 75 
CONEXÃO DE MINI-FRATURAS INDUZIDAS A PARTIR DOS CANHONEADOS..75 
INTRODUÇÃO............................................................................................................ 75 
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA............................................................................. 76 
MÉTODO DE SOLUÇÃO........................................................................................... 77 
CRESCIMENTO E CONEXÃO DA FRATURA........................................................ 79 
RESULTADOS E DISCUSSÃO ................................................................................. 80 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 85 
6 ............................................................................................................................................ 86 
DESVIO DE FRATURA EM UM POÇO DIRECIONAL.................................................. 86 
INTRODUÇÃO............................................................................................................ 86 
CRESCIMENTO ASSIMÉTRICO DE UMA FRATURA 2-D EM UM POÇO 
HORIZONTAL ............................................................................................................ 87 
O DESVIO DE UMA FRATURA HIDRÁULICA ..................................................... 91 
RESULTADOS E DISCUSSÃO .................................................................................94 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 99 
7 .......................................................................................................................................... 100 
ESTUDOS EXPERIMENTAIS ......................................................................................... 100 
INTRODUÇÃO.......................................................................................................... 100 
EXPERIMENTOS EFETUADOS EM LABORATÓRIO......................................... 100 
Pressão de Quebra de um Poço Aberto .................................................................. 101 
Propagação de Fratura e sua Contenção................................................................. 102 
Fratura Iniciada em Poços Desviados ou Horizontais ............................................ 102 
Forma da Fratura Hidráulica Próxima à Extremidade............................................ 103 
Simulação de um Fraturamento Hidráulico Massivo ............................................. 105 
Análise de Similaridade.......................................................................................... 107 
EXPERIMENTOS CONDUZIDOS EM CAMPO .................................................... 108 
Medição de Tensões In-situ.................................................................................... 109 
Aplicação da Curva de Pressão de Fundo Medida ................................................. 111 
Medição de Abertura de Fratura e Pressão............................................................. 112 
Método da Impedância Hidráulica ......................................................................... 114 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 115
 
ÍNDICE DE ASSUNTOS................................................................................................... 119 
ÍNDICE DE AUTORES..................................................................................................... 121 
 iv
PREFÁCIO 
 
Este livro pretende ser uma referência para pesquisas e estudos avançados nas 
engenharias de petróleo e mecânica. Por mais de quarenta anos, o fraturamento hidráulico 
tem sido empregado no aumento de produção de óleo e gás de reservatórios subterrâneos. O 
fraturamento hidráulico é uma operação complexa na qual um fluido é bombeado a alta 
pressão em trechos selecionados do poço produtor/injetor. Esta alta pressão cria uma fratura 
no poço que se estende pela formação rochosa contendo óleo ou gás. Um dos mais 
importantes aspectos de um projeto de fraturamento é a habilidade de prever a geometria e 
as características de uma fratura hidraulicamente induzida. Vários simuladores de 
fraturamento foram desenvolvidos com este propósito. Este livro discute os fundamentos 
mecânicos envolvidos na criação de uma fratura em um poço e sua propagação no 
reservatório. A propagação de fraturas hidráulicas em reservatórios a grandes 
profundidades é um fenômeno complexo. Devido às limitações nas instalações de testes e à 
falta de uma escala apropriada, é muito difícil simular a propagação de uma fratura em 
laboratório. Infelizmente, a confirmação das características e da geometria de uma fratura 
hidráulica a grandes profundidades só pode ser conseguida a um alto custo. A 
confiabilidade de um modelo de fratura depende, portanto, da qualidade da base teórica 
empregada em sua formulação. É opinião deste autor que, se a base teórica estiver correta, a 
previsão não deve se distanciar da realidade. 
O livro está dividido em três partes. A primeira, capítulos 1, 2 e 3, trata do 
desenvolvimento de simuladores de fratura para poços verticais. Importantes contribuições 
de vários autores são revistas nestes capítulos. O principal foco reside no modelo de fratura 
3-D desenvolvido na Universidade do Texas, em Austin. A segunda parte, capítulos 4, 5 e 
6, discute a iniciação e propagação de uma fratura hidráulica em poços desviados ou 
horizontais. O desenvolvimento de canhoneios direcionais, a conexão das mini-fraturas a 
partir dos canhoneados e o desvio das fratura hidráulicas são tratados nesta parte. A terceira 
parte do livro, capítulo 7, revê os resultados de importantes experimentos conduzidos em 
laboratório e em campo. Cada capítulo inclui uma lista de citações bibliográficas, contudo, 
uma lista completa das referências disponíveis é impraticável, por isso nos desculpamos por 
qualquer omissão. 
Eu tive a oportunidade de trabalhar com um talentoso grupo de estudantes, os 
doutores I. S. Ashour, H. N. Gu, M. G. Hsu, Y. Li, G. F. Liu, S. Ouyang, X. W. Weng, e C. 
H. Zhang. Na realidade, grande parte do material apresentado neste livro são coleções de 
nossos trabalhos conjuntos e de suas teses e dissertações. Gostaria de agradecer o apoio de 
meus amigos, doutores G. R. Coulter, W. C. Maurer, D. E. Nierode, C. M. Pearson, T. K. 
Perkins, R. W. Pittman, A. W. El Rabaa, J. H. Schmidt, e J. Shlyapobersky que atuam na 
indústria de óleo e gás. Foi Dr. Nierode quem me introduziu no fraturamento hidráulico 
quando eu era um membro visitante do curso de verão da Exxon Production Research 
Company em 1979. Agradeço ainda a meus colegas professores G. F. Carey, A. D. Hill e R. 
S. Schechter. Foi um prazer trabalhar com estes cavalheiros no Programa de Pesquisa em 
Estimulação, Perfilagem e Dano à Formação do Departamento de Engenharia de Petróleo 
da Universidade do Texas em Austin. 
Conforme mencionado no início, o livro pretende ser uma referência e não um texto. 
Assim, a descrição do fenômeno e a derivação das equações podem não ter a profundidade 
e o detalhe que o leitor poderia desejar. Contudo, se o leitor obtiver um quadro claro e uma 
boa compreensão da mecânica envolvida no fraturamento hidráulico, eu considero o livro 
 v
como um sucesso. Espero, sinceramente, que este livro possa inspirar algumas pesquisas e 
desenvolvimentos neste fascinante tema. 
 
 
NOTAÇÕES 
 
c 
cl
E 
G 
h 
KI
KII
KlC
L 
p 
pb
pp 
q 
Q 
r 
rw
t 
V 
w 
x,y,z 
α 
φ 
γ 
μ 
ν 
θ 
θaz
θinc
ρ 
τij
τHmin. 
τHmax
τVert
 
Concentração de Propante 
Coeficiente de Filtração 
Módulo de Young 
Módulo de de Rigidez 
Fracture Height 
Fator de Intensidade de Tensão – Primeiro Modo 
Fator de Intensidade de Tensão – Segundo Modo 
Fator Crítico de Intensidade de Tensão do Primeiro Modo 
Comprimento de fratura 
Pressão 
Pressão de Quebra de Poço 
Pressão de Poros 
Taxa de fluxo do fluido 
Vazão de Injeção 
Raio 
Raio de Poço 
Tempo 
Volume 
Abertura de Fratura 
Coordenadas 
Parâmetro Poroelástico de Biot 
Porosidade 
Ângulo de Inclinação da Fratura 
Viscosidade Newtoniana 
Módulo de Poisson 
Ângulo 
Ângulo de Azimute 
Ângulo de Inclination 
Massa Específica 
Componente de Tensão 
Tensão Mínima Horizontal In-situ 
Tensão Máxima Horizontal In-situ 
Tensão Vertical In-situ 
 
 
 vi
 FRATURAMENTO DE POÇO E MODELOS 2-D DE FRATURA 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
1 
 
O processo de fraturamento hidráulico tem sido empregado para aumentar a 
produção de óleo e gás de reservatórios subterrâneos desde os primórdios da Indústria do 
Petróleo. Neste processo, o fluido de fraturamento é bombeado a altas pressões em uma 
determinada seção do poço. Esta pressão hidráulica cria e propaga uma fratura no meio 
rochoso, que contém óleo ou gás. Como a operação de fraturamento é geralmente 
conduzida a uma grande profundidade, onde a mínima tensão compressiva in-situ está 
posicionada na direção horizontal, a fratura induzida hidraulicamente é uma fratura vertical. 
As características de dimensão e propagação de uma fratura hidráulica são 
importante informação para um projeto de fraturamento. O conhecimento das propriedades 
da rocha-reservatório, do fluido de fraturamento e da magnitude e direção das tensões in-
situ é fundamental para a previsão acurada das dimensões (abertura, comprimento e altura) 
da fratura hidraulicamente induzidaa uma dada vazão de injeção e tempo. Vários modelos 
de fratura foram desenvolvidos com este propósito. A iniciação de uma fratura hidráulica a 
partir de um poço e os modelos bi-dimensionais de fratura são discutidos nas próximas 
seções. 
 
FRATURAMENTO DE UM POÇO 
 
 Considere um poço vertical não-revestido (ou um poço aberto) sob a ação de 
tensões horizontais in-situ σmin e σmax conforme mostrado na Fig.1-1. Assumir que a rocha é 
um meio elástico e tem uma tensão de falha σT , denominada “resistência à tração” ou 
“limite de tração”. A pressão de quebra pb necessária para introduzir uma fratura na 
superfície de um poço pode ser calculada com base na Teoria da Elasticidade [1], obtendo-
se 
(1-1)pb = 3σmin - σmax + σT
onde 
σmin = tensão in-situ mínima 
σmax = tensão in-situ máxima 
σT = tensão de falha da rocha 
A fratura induzida hidraulicamente é uma fratura vertical, e o plano de fratura é 
perpendicular à mínima tensão horizontal in-situ σmin conforme mostrado. Note que a 
equação acima independe das dimensões do poço e dos módulos elásticos do meio rochoso. 
Para uma seção de poço a uma profundidade de 10.000 ft, os valores típicos de tensão 
horizontal mínima e máxima in-situ são aproximadamente 6.500 e 7.000 psi, 
respectivamente. A rocha tem uma tração de falha da ordem de 500 a 1.500 psi. A equação 
1-1 mostra claramente que a resistência à tração σT tem pouca influência na magnitude da 
 1
pressão de quebra, e esta está principalmente focada em superar a tensão compressiva que 
atua na parede do poço, produzida pelas tensões in-situ. 
 
 
Figura 1-1. Seção horizontal de poço vertical sob a ação de tensões in-situ e pressões. 
 
 A fratura hidráulica induzida no poço se propaga pelo reservatório enquanto o 
bombeio for mantido. Um típico registro de pressão de fundo (ou seja, a pressão medida no 
interior do poço, próximo à entrada da fratura) é mostrado na Fig. 1-2. Verifica-se que a 
pressão aplicada no poço primeiramente supera a pressão do reservatório (ou pressão de 
poros), e então ultrapassa a tensão compressiva alojada na parede do poço, causando uma 
tração em sua superfície. Quando esta tensão superficial supera a resistência à tração da 
rocha, uma fratura é iniciada. Esta fratura se propaga hidraulicamente pelo reservatório 
conforme o bombeio é mantido, e, ao mesmo tempo, parte do fluido de fraturamento é 
perdido para o meio rochoso circundante por filtração. É importante observar que a abertura 
da fratura é mantida pela diferença entre a pressão líquida (pressão do fluido menos a 
pressão do reservatório) e a tensão horizontal mínima efetiva, enquanto que a taxa de 
filtração pela superfície da fratura é causada somente pela pressão líquida. 
 Ainda com referência à Fig.1-2, a máxima pressão atingida no início do tratamento 
é a pressão inicial de quebra pb. A pressão cai (nem sempre, no campo) quando a fratura se 
inicia na superfície do poço. A porção quase constante da curva de pressão é a pressão de 
propagação pprog. Esta pressão causa a propagação da fratura hidráulica pelo reservatório. 
Quando o bombeio é interrompido, a pressão cai subitamente para um valor inferior, e 
continua a decrescer vagarosamente até a pressão do reservatório devido à filtração, 
conforme mostrado na figura. O ponto de transição é chamado de pressão de fechamento 
(shut-in) psi (ou pressão instantânea de fechamento, ISIP). Neste ponto, o fluxo de fluido 
pela fratura cessa, e não há, portanto, perda de carga devido a esse fluxo. Contudo, ele 
continua a filtrar pela superfície da fratura e sua abertura prossegue diminuindo. Após 
 2
algum tempo, a pressão do fluido no interior da fratura entra em equilíbrio com a tensão 
mínima in-situ σmin, e a fratura fecha. 
 
 
Figura 1-2. Registro de pressão de fundo. 
 
A pressão de fechamento da fratura, que pode ser determinada por meio da análise de 
declínio de pressão a ser discutida no cap. 7, é considerada uma medida da tensão mínima 
in-situ. Devido à facilidade de sua identificação e determinação numa curva pressão-tempo, 
a ISIP é geralmente usada para estimar a magnitude da tensão horizontal mínima in-situ 
pelos engenheiros de campo, embora seja ligeiramente superior à pressão de fechamento. 
Infelizmente, a situação pode se complicar em condições de campo. Os principais fatores 
de controle para este declínio de pressão foram discutidos por McLennan e Roegier [2]. 
A equação 1-1 é derivada a partir da hipótese de que a rocha é um meio elástico. 
Contudo, a maioria das rochas-reservatório são rochas porosas através das quais um fluido 
pode fluir. O diferencial de pressão entre a fratura e a formação provoca o fluxo do fluido 
da fratura para o reservatório, ou seja, o fluido filtra através da parede da fratura. Estudos 
experimentais realizados por Haimson e Fairhurst [3,4] e por Medlin e Masse [5] 
demonstraram que a porosidade e o fluido alojado nos poros influenciam na pressão de 
quebra do poço. Aplicando a Teoria da Poroelasticidade, Schmidt e Zoback [6] 
modificaram a Eq. 1-1 para a seguinte forma: 
Para uma formação impermeável ao fluido de fraturamento, 
(1-2)pTb pp φσσσ −+−= maxmin3 
Para uma formação permeável a este fluido, 
)
1
21(1
)
1
21(3 maxmin
ν
ναφ
ν
νασσσ
−
−
−+
−
−
−+−
=
pT
b
p
p (1-3)
onde 
pp = pressão de poros 
φ = porosidade 
ν = modulo de Poisson da amostra seca, e 
01,
matriz da aVolumétric Deformação de Módulo
seca amostra da aVolumétric Deformação de Módulo1 ≥≥−= αα 
 3
O parâmetro α é conhecido como parâmetro poroelástico de Biot, e se aproxima do limite 
superior para rochas complacentes e do inferior para rochas rígidas de baixa porosidade. 
Schmidt e Zoback [6] demonstraram que as Eqs. 1-2 e 1-3 fornecem uma previsão mais 
acurada para dados experimentais. As equações acima mostram claramente o efeito da 
porosidade da rocha e da pressão de poros na redução da pressão de quebra do poço. Eles 
também sugerem que esta pressão de quebra depende da capacidade de formação de reboco 
do fluido. 
 
 
Figura 1-3. Poço vertical revestido e canhoneado. 
 
A maioria dos poços candidatos a um fraturamento é revestida. Para se fraturar um 
poço revestido, ele é inicialmente canhoneado por intermédio de cargas ocas (shaped 
charges) de forma a se obter uma série de orifícios perfurados dispostos em forma de 
espiral ao longo da superfície do poço, conforme mostrado na Fig. 1-3. 
Os canhoneios possuem um espaçamento típico de 4 a 6 pol e um ângulo de fase de 
60 ou 120 graus conforme mostrado na figura. Quando o poço é pressurizado, os 
canhoneios na (ou próximos da) direção da máxima tensão horizontal in-situ (σmax) serão os 
primeiros a serem fraturados. 
A pressão de quebra pode ser calculada pela Eq. 1-1, substituindo-se a máxima 
tensão horizontal in-situ σmax pela tensão vertical σvert. As mini-fraturas geradas nos 
canhoneios podem ou não se conectar para formar uma grande fratura perpendicular à 
mínima tensão in-situ ao longo do eixo do poço. A conexão das mini-fraturas será discutida 
no capítulo 5. 
 
MODELOS DE FRATURA COM ALTURA CONSTANTE 
 
Como um poço é geralmente fraturado a grandes profundidades (> 5,000 ft) onde a 
tensão mínima in-situ está no plano horizontal, a fratura resultante é vertical, cujo plano é 
perpendicular a esta tensão mínima. Há dois fatores que controlam o crescimento vertical 
de uma fratura hidráulica: (1) o contraste entre as propriedades do material, e (2) o 
 4
contraste na distribuição vertical das tensões in-situ. Warpinski e co-autores [7, 8, 9] 
desenvolveram detalhados estudos sobre estes fatores tanto em laboratório quanto em 
campo. Eles concluíram que o contraste entre as tensões in-situ é o fator predominante que 
influencia o crescimento em altura de fraturas hidráulicas, e que o contraste entre as 
propriedades, a não ser que muito grande (cinco vezes ou mais), não é um fator dominante 
na contenção da fratura. Experimentos em laboratório demonstraram que um contraste de 
tensões da ordem de 400 psi é suficientepara conter o crescimento vertical de fratura 
hidráulicas. 
Como o plano da fratura hidráulica é perpendicular ao da mínima tensão horizontal 
in-situ, o crescimento da altura da fratura é controlado pela distribuição vertical da tensão 
horizontal in-situ mínima. Quando o contraste de tensões entre zonas adjacentes for alto, 
espera-se que o crescimento vertical da altura da fratura seja contido, conforme mostrado 
na Fig. 1-4. 
 
 
Figura 1-4. O crescimento vertical de fraturas hidráulicas é contido pelo contraste entre as 
tensões in-situ. 
 
Há dois modelos básicos de altura constante: o modelo de Khristianovic-Geertsma-
de Klerk, KGD [10], e o de Perkins-Kern-Nordgren, PKN [11]. A maioria das antigas 
operações de fraturamento hidráulica foi projetada aplicando-se um destes modelos. A 
fundamentação mecânica destes dois modelos apresenta diferenças significativas. 
 
Modelo Khristianovic-Geertsma-de Klerk (KGD) 
 
A Fig. 1-5 mostra uma asa de uma fratura KGD. Além da hipótese de altura 
constante, o modelo assume que: (1) a fratura está submetida à condição de deformação 
plana no plano horizontal; e (2) a extremidade (tip) da fratura é pontiaguda conforme 
formulação proposta por Barenblatt [12]. Esta hipótese remove a singularidade que ocorre 
na tensão na extremidade da fratura segundo a Teoria da Elasticidade. 
 
 5
 
Figura 1-5. Modelo KGD (altura constante). 
 
De acordo com Geertsma-de Klerk, a fratura é modelada por um canal de abertura 
w. A distribuição de pressão para o fluxo de um fluido viscoso (newtoniano) pela fratura 
pode ser escrita como 
∫=−
L
Lw
f
f
l
w w
df
h
QLpp 3
12μ (1-4)
onde 
fL = x/L, 
fLw = rw/L, 
h = altura da fratura, 
L = comprimento total da fratura, 
p = pressão, 
pw = pressão no poço, 
Q = vazão de injeção, 
rw = raio do poço, 
w = abertura da fratura, 
μ = viscosidade do fluido de fraturamento. 
Esta equação tem duas incógnitas, p e w. A solução proposta por England e Green 
[13] para uma fratura planar num meio elástico infinito estabelece a seguinte relação entre p 
e w 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
= ∫∫
2
0
2
min2
1
2
2
11
1
22
2
22 1
2
)()1(4 f
L
f L
f
ff
dffp
ff
dff
G
Lw
L
σπ
π
ν
(1-5)
onde, 
G e ν = módulos de cisalhamento e de Poisson, respectivamente, 
f1 e f2 = frações do comprimento de fratura (= x/L), 
σmin = mínima tensão in-situ. 
 6
Os comportamentos da abertura w(t) e pressão p(t) podem ser obtidos resolvendo-se 
as Eqs. 1-4 e 1-5 para condições de contorno apropriadas. Geertsma e de Klerk usaram a 
seguinte condição de suavização na extremidade proposta por Barenblatt [12] 
0
1
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=LfLdf
dw (1-6)
A mesma condição foi também usada por Khristianovic e Zheltov [14]. Note-se que a Eq.1-
5 foi derivada aplicando-se a Teoria da Elasticidade. As condições de contorno apropriadas 
na extremidade seriam fL = 1, w = 0, e não a proposta na Eq. 1-6. Portanto, há uma 
inconsistência matemática na extremidade da fratura. Geertsma e de Klerk argumentam 
que, como a extremidade é uma singularidade local da fratura, seu efeito em sua geometria 
global seria pequeno e que a solução proposta é uma boa aproximação para a abertura de 
fratura e seu comprimento global. Retornaremos ao problema da extremidade da fratura na 
discussão sobre as fraturas circulares ainda neste capítulo. 
Assumindo-se a existência de uma pequena área seca nas proximidades da 
extremidade da fratura, e que o formato desta área possa ser aproximado por uma elipse, as 
seguintes soluções aproximadas (sem filtração) foram obtidas por Geertsma e de Klerk 
Comprimento de fratura: 32
613
)1(
848.0 tGQL ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
μν
 (1-7)
Máxima abertura de fratura: 31
613
0
)1(832.1 t
G
Qw ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
μν (1-8)
Pressão no poço: 
41
23
3
min )1(
296.0 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+=
L
QGpw ν
μσ (1-9)
Verifica-se que a máxima abertura de fratura aumenta proporcionalmente a t1/3 e que 
a pressão no poço decresce com o aumento do comprimento da fratura, aproximando-se do 
valor in-situ de σmin para grandes valores de L. Por assumir a condição de deformação plana 
no plano horizontal, o modelo KGD modelo se adapta melhor a fraturas cuja relação 
comprimento/altura é próxima ou menor que a unidade. 
 
Modelo Perkins-Kern-Nordgren (PKN) 
 
A Fig. 1-6 ilustra uma fratura PKN. Além da hipótese de altura constante, o modelo 
assume que: (1) a fratura está submetida à condição de deformação plana no plano vertical 
e sua seção transversal é elíptica; e (2) a resistência à fratura (fracture toughness) não tem 
influência em sua geometria, ou seja, assume-se que o KIC do meio rochoso é nulo. 
Segundo Nordgren [11], a equação de continuidade para o fluxo de um fluido 
incompressível pela fratura pode ser escrita como 
0=
∂
∂
++
∂
∂
t
Aq
x
q
l , (1-10)
onde 
q(x,t) = vazão através da seção transversal da fratura. 
ql(x,t) = taxa de filtração por unidade de comprimento de fratura. 
A(x,t) = área transversal da fratura 
 7
 
 
Figura 1-6. Model PKN (altura constante). 
 
 A abertura (elíptica) de fratura w é diretamente proporcional à pressão líquida p 
conforme a equação 
22 41 zhp
G
w −
−
=
ν , (1-11)
Conhecendo-se a geometria da fratura, a área de sua seção transversal pode ser escrita 
como 
WhwdzA
h
h 4
2/
2/
π
== ∫
−
 (1-12)
onde W = wmzx é sua máxima abertura. 
A vazão de fluido q pode ser relacionada ao gradiente de pressão por meio da 
solução para o fluxo laminar de um fluido newtoniano em um tubo elíptico, 
x
phWq
∂
∂
−=
μ
π
64
3
 (1-13)
A taxa de filtração (ou perda) ql é expressa como 
)(
2
xt
hc
q l
l
τ−
= , (1-14)
onde 
cl = coeficiente de filtração 
τ(x) = tempo em que se inicia a filtração no ponto x. 
A substituição das Eqs. 1-12, 1-13 e 1-14 na Eq. 1-10 fornece a equação que 
governa a propagação de uma fratura hidraulicamente induzida, 
 8
t
W
xt
c
x
W
h
G l
∂
∂
+
−
=
∂
∂
− )(
8
)1(64 2
4
τπμν
. (1-15)
A condição inicial desta equação é 
W(x,0) = 0, (1-16)
E suas condições de contorno são 
W(x,t) = 0, em x ≥ L(t) [o comprimento de fratura pode ser determinado como parte da 
solução] 
Q
Gx
W
x π
μν )1(256
0
4 −
−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
=
 (1-17)
Estas equações foram resolvidas numericamente por Nordgren. É interessante notar que a 
pressão de poço prevista pelo modelo PKN, ao contrário do modelo KGD, cresce com o 
aumento do comprimento da fratura. Em casos extremos de pequena ou grande filtração, 
uma solução analítica pode ser derivada da Eq. 1-15 como a seguir: 
Para uma grande perda de fluido: 
Comprimento de fratura 2/1t
hc
QL
lπ
= (1-18)
Abertura de fratura 8/1
4/1
3
2
0
)1(24 t
hGc
Qw
l
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
π
μν (1-19)
Pressão líquida no poço 8/1
4/1
533
23
)1(
24 t
hc
QGp
l
w ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
νπ
μ (1-20)
Sem perda: 
Comprimento de fratura: 5/4
5/1
4
3
)1(
68,0 t
h
GQL ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
μν
 (1-21)
Abertura de fratura: 5/1
5/12
0
)1(5,2 t
Gh
Qw ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
μν (1-22)
Pressão líquida no poço: 5/1
5/1
64
24
)1(
5,2 t
h
QGpw ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
ν
μ (1-23)
Devido à hipótese de deformação plana no plano vertical, o modelo PKN tem sido 
geralmente considerado como o melhor modelo 2-D para fraturas com grande relação 
comprimento/altura. 
 
FRATURAS CIRCULARES 
 
Quando a distribuição vertical da tensão mínima in-situ é uniforme, a fratura 
hidráulica deve tomar uma forma circular. Geometricamente, uma fratura circular é uma 
fratura 3-D, embora seja matematicamente uma fratura 2-D, similar às fraturas de altura 
constante discutidas na seção anterior. Geertsma e de Klerk [10] mostraram que as 
equações que governam as fraturas de altura constante podem ser facilmente convertidas 
para tratar as fratura circulares como a seguir 
 9
∫=−
r
rw
f
f r
r
w wf
dfQpp 3
6
π
μ , (1-24)
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−
= ∫∫ 2
min2
1
2
2
111
22
2
2 1
2
)()1(4
r
r
f
ff
dffpf
ff
df
G
Lw σπ
π
ν (1-25)
onde, fr = r/R, frw = rw/R, e rw e R são os raios do poço e da fratura, respectivamente. 
As soluçõesaproximadas das equações acima [Geertsma de Klerk, 10] são: 
Raio de fratura: 9/4
9/13
548,0 tGQL ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
μ
 (1-26)
Máxima abertura de fratura: 9/1
9/1
2
32
0 21 t
G
Qw ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
μ (1-27)
Pressão líquida no poço: )ln(
4
5 0
min R
r
R
Gw
p w
w π
σ −= (1-28)
 
 
Figura 1-7. Fratura circular com uma zona seca. 
 
O mesmo problema foi estudado por Abe, Mura, e Keer [15] com um rigoroso 
tratamento para a extremidade da fratura. Com referência à Fig. 1-7 e observando-se que R1 
é o raio do domínio molhado pelo fluido, as equações que governam a propagação de uma 
fratura hidráulica circular podem ser escritas como: 
• Equação da continuidade para o fluido: 
0)(1)(
=
∂
∂
+
∂
∂
r
rq
rt
wρ
 • (1-29)
• Equação de movimento do fluido: 
3
12
w
q
r
p
ρ
μ
−=
∂
∂ • (1-30)
• Equação de abertura: 
 10
∫∫ −
−−
−
=
1
/
min1222
1
11
2
1
]),([
1
)1(8
rr
R
r w
dxrxp
x
x
rr
drr
E
w σ
π
ν
• (1-31)
• Fator de intensidade de tensão K na extremidade da fratura 
∫
−
−
=
R
rrw
rdr
rR
rp
KR
22
min2/1 )(
)
2
(
σ
π • (1-32)
• Equação global de conservação de fluido: 
∫ ∫=
1
0
R
r
t
w
w
dtQrrwdrρ • (1-33)
As condições de contorno para as equações acima são: 
p = p(r,t), R0≤ r ≤ R1 
p = 0, R1≤ r ≤ R (1-34) 
p(R1,t) = 0, em r = R1. 
Estas equações foram resolvidas numericamente pelos autores e os resultados 
obtidos geralmente se apresentam de acordo com os conseguidos usando-se o modelo 
KGD. A análise do comportamento da singularidade na extremidade da fratura é 
esclarecedora. Os resultados estão resumidos nos próximos parágrafos: 
Na extremidade da fratura, w = 0, o lado direito da Eq.1-30 apresenta uma 
singularidade. Da Teoria da Elasticidade segue que a abertura w próxima da extremidade da 
fratura pode ser expressa por 
(1-35)2/1,)( ≥−= γγrRCw 
onde C é uma constante não-nula. 
A teoria de Barenblatt requer que as faces opostas da fratura fechem suavemente 
nesta extremidade, tal que γ > 1. Se esta condição for satisfeita, a integração da Eq. 1-30 
para explicitar a pressão p não convergirá se a extremidade da fratura for incluída. Isso 
conduz à conclusão que a Eq. 1-30 é aplicável somente à região molhada, R0 ≤ r ≤ R1 < R, 
onde a abertura da fratura w é diferente de zero. 
Tomemos ua = dR1/dt como a velocidade do fluido na extremidade r = R1 (ou a 
velocidade de movimentação da zona molhada), a vazão pode ser escrita como q = ρwua. 
Então, em r = R1, o lado direito da Eq. 1-30 pode ser escrito como 
)1(O112
2
11
2 wdt
dR
dt
dR
w
=−
ρ
μ (1-36)
Portanto, 
0 if)1(O)( 1
21
≠=
∂
∂
= dt
dR
wr
p
Rr (1-37)
Isto implica que o fluido não pode penetrar em todo o raio da fratura se a velocidade ua não 
for zero, e tal impenetrabilidade é caracterizada pela Eq. 1-37. A condição para o raio 
molhado é dada pela terceira condição da Eq. 1-34. Por outro lado, se não há fluxo de 
fluido na fratura, o fluido pode atingir a extremidade e preencher completamente a fratura. 
Nos modelos KGD e PKN, a rigidez (stiffness) da fratura do meio rochoso é 
desconsiderada. De acordo com Barenblatt [12], a resistência à tração (tensile strength) da 
rocha pode ser desconsiderada para grandes fraturas devido à condição 
 11
min2
1
σ
π ICK
R
>> (1-38)
Esta condição tem sido adotada por vários autores. Contudo, em seu estudo de propagação 
de fraturas circulares, Abe, Mura e Keer [15] mostraram que, embora o comprimento da 
zona seca (R-R1) seja realmente muito pequeno, seu efeito na geometria da fratura não pode 
ser ignorado. Uma fórmula aproximada para a pressão média do fluido pa quando a razão 
R/rw é elevada foi derivada por estes autores como: 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+−
−−
=
−
min
21
21min
min
2
)(1
)(11
1
σ
π
σ
σ ICa K
RR
R
R
R
p
(1-39)
O segundo termo entre colchetes reflete o potencial de fratura (fracture strength) da rocha. 
Verifica-se que este termo não pode ser desprezado na propagação da fratura. A abertura da 
fratura é estabelecida principalmente pela pressão líquida (pa - σmin) que atua em seu 
interior. Para se obter uma solução aproximada, a seguinte condição deveria ser usada em 
substituição à Eq. 1-38: 
min
21
2
)(1
σ
π ICK
RR
R
>>− (1-40)
A razão R1/R é uma função crescente de R e é praticamente igual à unidade para grandes 
fraturas. Contudo, é praticamente impossível satisfazer a inequação 1-40. Portanto, os 
efeitos da zona seca e da resistência à fratura devem ser levados em conta na análise da 
propagação da fratura. A mesma conclusão foi apresentada por Jeffrey [16] e por Yew e 
Liu [17] usando o modelo KGD. 
 
CONSIDERAÇÃO DE ENERGIA 
 
Considere que uma fratura circular de raio R se propaga em regime de quase-
equilíbrio. A conservação de volume [Shlyapobersky, 18] fornece 
(1-41)tcvRQtwR lηππ 22 2−= 
onde w é a abertura média da fratura, Q é a vazão de bombeio, e vη, é uma constante (4/3 < 
vη < π/2) dependente do coeficiente de filtração cl e da viscosidade μ. 
 A taxa de dissipação de energia durante uma propagação em regime de quase-
equilíbrio pode ser escrita como: 
• Taxa de energia para criar uma nova superfície de fratura: 
w
QEc
Γ
=& • (1-42)
• Taxa de energia para abrir uma fratura circular no meio rochoso: 
ν
π
−
==
1
' onde ,'
32
3 eE
R
wQEEd
& • (1-43)
• Taxa de energia por perdas devido à dissipação viscosa no fluido: 
)ln(12
0
3
2
R
R
w
QE f
μ
π
=& , • (1-44)
 12
onde 2R0 é a altura do intervalo canhoneado. 
Para uma propagação em regime de quase-equilíbrio, a taxa total de energia deve ser 
mínima, ou seja, 
(1-45)0)( =++ fdcw EEE &&&δ 
Substituindo as Eqs.1-42, 1-43, e 1-44 na Eq.1-45 obtém-se a abertura média da 
fratura na forma: 
2/1
0
2
2 )ln(
'3
128
'3
16
'3
16
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Γ
+
Γ
=
R
R
E
QR
E
R
E
Rw μ
πππ
 (1-46)
As variações da abertura de fratura no tempo, w(t), e de seu raio R(t) podem ser 
obtidas resolvendo-se as Eqs. 1-41 e 1-46. A pressão líquida média pode ser calculada a 
partir da expressão 
w
R
Ep '
16
3π
=Δ . (1-47)
Medições de campo demonstram que a pressão (ou sobre-pressão) líquida é 
freqüentemente muito maior que a calculada pelos modelos de fratura. Shlyapobersky [18] 
atribui tal discrepância à (l) possibilidade da criação de um sistema de múltiplas fraturas 
muito mais complexo que a simples fratura planar assumida pelos modelos de fratura 
hidráulica, e (2) possibilidade da criação de uma camada de pequenas fissuras ao redor da 
fratura hidráulica principal. Desta forma, argumenta Shlyapobersky que a taxa de 
relaxamento da energia da fratura, Γ, durante sua propagação, não é constante conforme 
sugerido pela mecânica de fraturas convencional, e deve ser calibrada com base em 
medições de campo de forma a levar em conta o efeito de múltiplas fraturas e camadas de 
fissuras. Portanto, 
(1-48)
effIC RpEK )(' Δ=Γ= α 
onde Δp é a pressão líquida média, Reff é o raio efetivo da fratura, e α (= 1 para uma fratura 
circular) é uma fator de forma da fratura. Shlyapobersky demonstrou que o KIC calculado a 
partir da Eq. 1-48 pode ser algumas ordens de magnitude maior que o KIC determinado em 
laboratório. 
Modelando o meio rochoso como uma coleção de grãos rígidos, Bazant [19,20] 
demonstrou numericamente que uma fratura principal em um meio é formada pela conexão 
aleatória de micro-fissuras e que a abertura dessas micro-fissuras é aproximadamente três 
vezes maior que o tamanho dos grãos. Os resultados obtidos por Bazant sugerem 
claramente que a resistência à fratura de uma fratura hidráulica pode realmente ser afetada 
pela camada de micro-fissuras nas vizinhanças da fratura principal. 
 
POROELASTICIDADE E REBOCO 
 
A alta sobre-pressão observada no poço, em campo, poderia também ser causada 
pela infiltração de fluido pela rocha porosa. Similar aos problemas de termoelasticidade, o 
gradiente de pressão do fluxo de fluidos produz uma distribuição de forças de campo no 
meio poroso. Este problema foi estudado analiticamente por Cleary [21], Detournayet al. 
[22,23], Kurashige e Clifton [24], Clifton e Wang [25], e mais recentemente por Zhang 
[26]. Usando uma abordagem similar à desenvolvida por Kurashige e Clifton, as equações 
 13
para uma fratura KGD num meio poroso saturado por fluido foram derivadas por Zhang 
como: 
∫ ∫∫
ΩΩ
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
∂
∂−
−
∂
∂
∂
∂
−
−=−
t
xt
l dxdxqH
x
xw
R
xxHdx
x
txwR
x
Gtxp
)'('
12411min '),'()(
'
),'(')('
'
),'()(ln
)1(2
),( ττξτξ
νπ
σ
(1-49) 
∫ ∫∫
ΩΩ
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +
∂
∂−
−
∂
∂
∂
∂
−−Β
−
−=−
t
xt
l
u
u
p dxdxq
R
H
x
xw
R
xxHdx
x
txwR
x
c
ptxp
)'('
222421 '),'(1)(
'
),'(')('
'
),'()(ln
)1)(1(2
)(3
),( ττξτξ
ννκπ
νν
(1-50) 
onde σmin é a mínima tensão in-situ, pp é a pressão de poros, ν e νu são os módulos de 
Poisson drenado e sem dreno, respectivamente, G é o módulo de cisalhamento, Β é o 
coeficiente de pressão de poros de Skempton, κ é a permeabilidade do meio poroso, e 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
−=
−−Β
−
−=
++−
−−Β
−
−=
−−−
−−
−
−=
−+−=
−−
−+Β
=
−
−
−−
−−−
)(
)(
4
)(
)(
)1)(1(4
)(3
)(
)22(
)1)(1(4
)(3
)(
)288(
)1)(1(4
)(
)(
)'()'(
))(1(9
)1()1(2
4/2
22
4/4
2
21
4/24/
12
4/24/24/
11
2
22
2
11
22
2
2
22
222
τ
ξ
ξ
πκ
ξ
ξ
ννκπ
νν
ξ
ξ
ννκπ
νν
ξ
ξξ
ννπ
νν
ξ
ννν
ννκ
ξ
ξ
ξξ
ξξξ
tc
R
ecH
e
c
H
ee
c
H
eee
cG
H
xxxxR
G
c
u
u
u
u
u
u
uu
u
(1-51)
A primeira integral no lado direito das Eqs. 1-49 e 1-50 é similar à equação de 
abertura do modelo KGD. É a pressão necessária para a abertura de uma fratura no meio. 
As integrais duplas envolvendo as funções Hij são as tensões e pressões causadas pelo fluxo 
de fluido no meio poroso. Cleary [21] chamou essas contribuições de “backstress” e 
“backpressure”, respectivamente. 
A equação que governa o fluxo de fluidos durante a propagação de uma fratura 
hidráulica pode ser escrita como: 
0
12
3
=+
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
− lq
t
w
x
pw
x μ
 (1-52)
onde 
)(
2
xt
c
q l
l
τ−
= (1-53)
cl é o coeficiente de filtração e τ é o tempo no qual a filtração é iniciada no ponto x. 
As condições de contorno para as Eqs. l-49, 1-50, e 1-52 são 
 14
0at ,
12
3
==
∂
∂
− xQ
x
pw
μ
, (1-54)
)(at ,0
12
3
tLx
x
pw
==
∂
∂
μ
 (1-55)
As equações 1-49, 1-50, e 1-52 foram resolvidas numericamente por Zhang 
aplicando o método de elementos finitos. Usando os parâmetros listados na Tabela 1-1, as 
soluções que incluem o efeito poroelástico (das Eqs. 1-49, 1-50, e 1-52) são comparadas 
com aquelas sem este efeito (ou seja, das mesmas equações, porém com H11 = H12 = H21 = 
H22 = 0). 
 
Tabela 1-1: Parâmetros 
módulo de cisalhamento, G 8,702x105 psi 
0,2 módulo de Poisson drenado, ν 
0,33 módulo de Poisson não-drenado, νu 
0,62 coeficiente de Skempton, Β 
2 mD/cp coeficiente de permeabilidade, κ 
455 psi-in0,5Resistência à fratura, KIC 
1 cp viscosidade do fluido, μ 
4.000 psi tensão in-situ, σmin 
vazão de bombeio , Q 75 bb/min 
altura da fratura, h 100 ft 
coeficiente de filtração, cl 
0,00002425 ft/min0,5 a pp = 4.000 psi 
0,001823 ft/min0,5 a pp = 3.000 psi 
0,003432 ft/min0,5 a pp = 2.000 psi 
 
Para se obter uma solução para as equações acima, o primeiro passo é estabelecer 
uma relação entre o contraste entre a pressão no poço e a pressão de poros (ou seja, pw - pp) 
e o coeficiente de filtração do fluido cl. Aplicando-se uma pressão constante no poço de 
4.000 psi e assumindo uma pressão de poros pp de 4.000, 3.000 e 2.000 psi, o histórico da 
taxa de perda de fluido pode ser calculada por meio das equações [26]: 
,2
1 t
ppK
∂
∂
=∇ (1-56)
1
2
1 2
)1(
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
=
fKG
K φ
λ
ακ (1-57)
onde λ é a constante de Lamé, G é o módulo de cisalhamento, α é a constante de Biot, φ é a 
porosidade, κ é a permeabilidade, e Kf é a compressibilidade do fluido da formação. 
O coeficiente médio de filtração cl a diferentes contrastes de tensão pode ser 
estimado ajustando-se uma curva entre as curvas calculadas mostradas na Fig.1-8. 
Para os diferenciais pw - pp = 0, 1.000 e 2.000 psi estipulou-se os respectivos 
coeficientes de filtração 0,00002425, 0,001823, e 0,003432 ft/min1/2, conforme listados na 
Tab. 1-1. Estes coeficientes serão utilizados nos exercícios seguintes. 
 
 15
 
Figura 1-8. Taxa de filtração no poço a diferentes pressões de poro. 
 
Com os parâmetros listados na Tab. 1-1, os históricos em tempo calculados para a 
abertura e comprimento de fratura, e diferenciais de pressão de poço para diferentes valores 
de coeficiente de filtração estão plotados nas Figs. 1-9, 1-10, e 1-11, respectivamente. 
Nestas figuras, os rótulos "poroelastic" e "no poroelastic" representam soluções que 
incluem ou ignoram o efeito poroelástico. A diferença entre as soluções poroelástica e não-
poroelástica reflete o efeito direto do “backstress” e da “backpressure” na propagação de 
uma fratura hidráulica num meio poroso saturado com fluido. Note-se também que a 
solução não-poroelástica é essencialmente a solução KGD. Com base nestas figuras, as 
seguintes observações podem ser feitas: 
1. A magnitude do coeficiente de filtração aumenta com o contraste entre a pressão no 
fluido e a pressão de poros. 
2. A Fig. 1-9 mostra que o efeito da poroelasticidade na propagação da fratura 
hidráulica é a redução da abertura da fratura. É interessante notar, contudo, que o 
valor desta redução não parece ser muito sensível à taxa de perda. Este fenômeno 
também foi observado por Detournay, McLennan, and Roegiers [22] usando um 
modelo PKN. A redução da abertura da fratura aparentemente sugere que a 
“backstress” induzida pelo fluxo aumenta a aparente rigidez da fratura. 
3. O histórico de pressão líquida de poço a diferentes taxas de perda está plotado na 
Fig. 1-10. Verifica-se que o efeito da poroelasticidade impacta diretamente a 
pressão líquida de poço. A uma baixa taxa de filtração, o efeito é pequeno. Contudo, 
a uma alta taxa de perda, a poroelasticidade induz um significativo efeito na pressão 
do poço. Para um cl = 0.003432 ft/minl/2, a poroelasticidade proporciona cerca de 
80% de aumento na pressão líquida de poço. A mesma observação foi reportada por 
Clifton and Wang [25] usando uma taxa de filtração assumida. 
 
 16
Figura 1-9. Histórico de abertura de fratura. Figura 1-10. Histórico da pressão líquida de 
poço. 
 
Na seção anterior, Shlyapobersky [18] atribuiu a alta pressão líquida de poço 
observada à existência de uma camada de pequenas fissuras nas proximidades da fratura 
principal e à tortuosidade da superfície da fratura. A análise realizada nesta seção 
demonstra que, se a taxa de perda é elevada, o efeito de poroelasticidade pode também 
contribuir para a alta pressão líquida de poço observada. A depender das propriedades do 
fluido, um reboco (filter-cake) pode se formar na superfície da fratura enquanto o fluido se 
infiltra pelo meio poroso. A formação de reboco e a invasão de finos no meio poroso têm os 
seguintes efeitos: (1) Porque o reboco é uma camada de partículas compactadas, espera-se 
que o mesmo tenha menores porosidade e permeabilidade que a própria rocha. (2) A 
invasão de finos no meio poroso pode formar uma camada menos porosa e permeável 
adjacente às faces da fratura e esta camada de rocha “danificada” pode ter diferentes 
propriedades em relação ao meio poroso. A existência de uma fina camada de reboco e 
rocha danificada na superfície da fratura não deve impactar significativamente a relação 
pressão-abertura da fratura. Contudo, eles afetam o comportamento de uma fratura 
hidráulica em propagação. Mayerhofer et al. [27] mostraram que em uma operação de 
fraturamento hidráulico o reboco é o mecanismo de controle de filtração dominante. Estes 
autores demonstraram experimentalmente que a taxa de filtração do fluido diminui com o 
aumento da pressão devido à compactação do reboco durante o estágio de bombeio, e a 
filtração aumenta ligeiramente devido à relaxação deste reboco durante o estágio de 
fechamento da fratura. 
Recente estudo experimental[Willson, Rylance, e Last, 28] sobre a propagação de 
uma fratura hidráulica em uma rocha porosa sub-consolidada mostrou que a pressão de 
quebra de poço (hole breakdown pressure) e a pressão de propagação da fratura são muito 
maiores que as previstas pela análise elástica. A abertura da fratura parece ser muito maior 
e a extremidade da fratura mais rombuda que numa fratura elástica. Além disso, a formação 
de reboco ao redor do poço e ao longo da superfície da fratura parece sugerir que a invasão 
de sólidos na matriz da rocha e a desintegração desta nas proximidades da superfície da 
 17
fratura podem desempenhar importante papel na propagação de uma fratura hidráulica. 
Estas evidências experimentais indicam fortemente que uma fratura hidráulica não pode ser 
analisada a partir da aplicação da análise elástica discutida nas seções anteriores, e que mais 
estudos são necessários. Fechando este capítulo, gostaríamos de salientar que os efeitos de 
poroelasticidade e outros importantes fatores como a aspereza da rocha e a tortuosidade, as 
perdas por fricção do fluido na entrada da fratura, a dilatação (dilatancy) da rocha, e os 
efeitos do reboco não estão incluídos nos presentes modelos de fratura de uma forma 
rigorosa. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
1. Timoshenko, S. e Goodier, N. J. (1951), Theory of Elasticity, 2a. ed. McGraw Hill, New 
York 
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Exhibition of the SPE and AIME em New Orleans, LA. outubro. 
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Minimum Horizontal Principal Stress in Hydraulic Fracturing Tests - A Proposed 
Breakdown Equation Employing a Modified Effective Stress Relation for Tensile Failure", 
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26, no. 6, pp. 499-506. 
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SPE/DOE Symposium on Unconventional Gas Recovery, Pittsburgh, PA, maio. 
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Investigation on the Effect of In-situ Stress on Hydraulic Fracture Containment", Society of 
Petroleum Engineers Journal, June, pp. 333-340. 
9. Teufel, L. W. e Clark J A (1981). "Hydraulic Fracture Propagation in Layered Rock 
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1571-1581. 
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Petroleum Engineers Journal, vol. 12, pp. 306-314. 
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Materials", Advances in Applied Mechanics, vol. 7, editado por Dryden, H. L. e von 
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 18
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14. Khristianovic, S. A. e Zheltov, Y. P. (1955), "Formation of Vertical Fractures by Means 
of Highly Viscous Liquid." Proceedings, Fourth World Petroleum Congress, Roma, Italia, 
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15. Abe, H. Mura, T. e Keer, L. M. (1976), "Growth Rate of a Penny-Shaped Crack in 
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19. Bazant, Z. P. (1986), “Mechanics of Distributed Cracking”, Applied Mechanics Review, 
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20. Bazant, Z. P. e Kazemi, M. T. (1990), "Determination of Fracture Energy, Process Zone 
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International Journal of Solids and Structures, vol. 13, pp. 785-806. 
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Explains Some of the Hydraulic Fracturing Mechanism", SPE 15262, Unconventional Gas 
Technology of SPE, Louisvelle, KY, março. 
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Technology, Trans. ASME, vol. 112, pp. 224-230. 
24. Kurashige, M. e Clifton, R. J. (1992), "Integral Equations for the Problems of a Three 
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Related Problems", Ph.D. dissertation, Department of Engineering Mechanics, The 
University of Texas em Austin. 
27. Mayerhofer, M. J., Economides, M. J., e Nolte, K. G. (1991), "An Experimental and 
Fundamental Interpretation of Fracturing Filter-Cake Fluid Loss", SPE 22873, 66th Annual 
Fall Technical Conference and Exhibition of the SPE, Dallas. TX, outubro. 
28. Wilson, S. M., Rylance, M. e Last, N. C. (1993), "Fracture Mechanics Issues Relating 
to Cuttings Re-injection a Shallow Depth', SPE/IADC 25756, 1993 SPE/IADC Drilling 
Conference, Amsterdam, Netherlands, fevereiro. 
 19
 MODELAGEM TRI-DIMENSIONAL DE FRATURA 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
2 
 
O primeiro modelo tri-dimensional de fratura real foi desenvolvido por Clifton e 
Abou-Sayed [1,2]. O modelo é conhecido por código TerraFrac. Recentemente o código 
foi expandido para incluir múltiplos fluidos, transporte de propante, efeito térmico e 
formação estratificada com diferentes módulos elásticos [3,4]. O modelo tem sido usado 
como um benchmark na verificação de outros modelos de fratura de vários autores. 
Posteriormente, modelos 3-D de fratura baseados no mesmo sistema de equações, mas com 
diferentes metodologias de solução, foram desenvolvidos por Cleary, Kavvadas, e Lam [5] 
e por Gu e Yew [6,7]. O modelo de fratura 3-D GY (Gu e Yew) foi desenvolvido sob o 
patrocínio do Programa de Pesquisa em Estimulação, Perfilagem e Dano à Formação da 
Universidade do Texas em Austin. Recentemente, o esquema de geração de malha do 
código foi modificado para acomodar a propagação de uma fratura hidráulica sob uma 
complexa distribuição de tensões in-situ. O código foi renomeado GYCO-1. Ele não se 
pretende um código comercial, tendo sido desenvolvido para uso interno em pesquisas 
sobrefraturamento hidráulico e para o uso dos membros consorciados ao projeto. O código 
GYCO-1 será inteiramente descrito ao longo deste capítulo. 
 
DESLOCAMENTO DO FLUIDO DENTRO DA FRATURA 
 
Devido às dimensões da fratura hidráulica mostrada na Fig. 2-1, o fluido de 
fraturamento flui dentro de um extenso canal com uma abertura muito estreita. A descrição 
a seguir assume que o fluido é newtoniano e incompressível. Embora o código adote fluido 
não-newtoniano de potência, a consideração de fluido newtoniano simplifica a formulação 
e permite uma compreensão física clara do fenômeno de fluxo. 
Devido ao perfil delgado da fratura, a variação da pressão do fluido ao longo de sua 
abertura (direção z) pode ser desprezada, e as derivadas do componente de velocidade no 
plano x-y com respeito a z são muito maiores que as demais derivadas. Ignorando-se os 
efeitos da inércia e das forças de corpo, a equação de Navier-Stokes para o movimento do 
fluido pode ser escrita como: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
v
zx
p xμ (2-1)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
v
zy
p yμ (2-2)
 
 20
 
Figura 2-1. Fratura hidráulica 3-D. 
 
Integrando as equações acima duas vezes com relação a z e observando a condição de não-
escorregamento pelas superfícies da fratura, ou seja, 
vx = 0, a z = ± w/2, 
vy = 0, a z = ± w/2, (2-3 ) 
w = abertura da fratura, 
os perfis de velocidade ao longo da abertura da fratura podem ser expressos por 
x
pzwvx ∂
∂
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−= 22)
2
(
2
1
μ
 (2-4)
y
pzwvy ∂
∂
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −−= 22)
2
(
2
1
μ
 (2-5)
A vazão de fluido por unidade de comprimento é 
dzvq
w
w
∫
−
=
2/
2/
rr (2-6)
Considere um volume de controle de lados Δx e Δy conforme mostrado na Fig. 2-2. 
A conservação de fluxo conduz à equação 
t
wq
y
q
x
q
l
yx
∂
∂
=−
∂
∂
−
∂
∂
− (2-7)
Nesta equação o termo ∂w/∂t fornece a taxa de aumento de volume e o termo 
),(
2
yxt
c
q l
l τ−
= , (2-8)
é a taxa de filtração de fluido através das faces da fratura. Na Eq. 2-8, a constante cl é um 
coeficiente de filtração empírico, e τ(x,y) é o tempo em que a filtração no ponto (x,y) da 
face da fratura é iniciada. 
 
 21
 
Figura 2-2. Conservação de fluxo em um volume de controle. 
 
A substituição das Eqs. 2-4 e 2-5 na Eq. 2-6 e o resultado na Eq. 2-7 gera a seguinte 
equação que governa o movimento do fluido dentro da fratura: 
),(
2
)
12
()
12
(
33
yxt
c
t
w
y
pw
yx
pw
x
l
τμμ −∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂ (2-9)
De acordo com a Fig. 2-3, a condição de contorno para a equação acima pode ser 
escrita como: 
1. Ao longo da seção ∂Ωp (entrada da fratura), o fluido de fraturamento é bombeado 
para a fratura através desta seção. A condição é 
Q
n
pw
=
∂
∂
− )(
12
3
μ
 (2-10)
onde Q é a vazão por unidade de comprimento na seção de entrada (assumindo que 
as mini-fraturas induzidas nos canhoneados tenham coalescido), e é o vetor 
normal externo ao contorno da fratura conforme mostrado. 
nr
 22
2. A seção ∂Ωc é uma linha de simetria. A condição é 
0)(
12
3
=
∂
∂
−
n
pw
μ
 (2-11)
3. A seção ∂Ωf é a frente de fratura. A condição é 
0)(
12
3
=
∂
∂
−
n
pw
μ
 (2-12)
A posição e o formato do contorno ∂Ωf não é conhecido a priori. Ele é considerado 
como parte da solução. 
 
 
Figura 2-3. Contorno do domínio de fluxo. 
 
A equação de fluxo acima pode ser discretizada pela aplicação do método de 
Galerkin para elementos finitos [8]. Tomando Ω como o campo de fluxo no plano x-y, a 
distribuição de pressão de fluido no domínio pode ser aproximada por 
∑
=
=
N
i
ii pyxyxp
1
),(),( φ , (2-13)
onde pi são os valores nodais de pressão de fluido e φi são funções de base. A construção 
das funções de base e a malha de elementos finitos serão discutidas na próxima seção em 
conjunto com a geometria da superfície da fratura. 
Multiplicando ambos os lados da Eq. 2-9 pela função de base φi e integrando sobre o 
domínio Ω, a Eq. 2-9 se reduz às seguintes equações matriciais após algumas manipulações 
algébricas: 
[ ]{ } { } { } { }pwL fffpK +−−= , (2-14)
onde 
∫
Ω ∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
= dxdy
yyxx
wK jiji
ij )(
12
3 φφφφ
μ
 (2-15)
 23
∫
Ω −
= dxdy
t
c
f i
l
Li φ
τ
2
 (2-16)
∫
Ω ∂
∂
= dxdy
t
wf iwi φ (2-17)
∫
Ω∂
=
p
dsQf ipi φ (2-18)
Como a Eq. 2-9 deve ter uma única solução, uma condição necessária é a 
conservação global da vazão. Esta condição pode ser escrita como 
0=+
∂
∂
−− ∫∫∫
Ω∂ΩΩ p
Qdsdxdy
t
wdxdyqL (2-19)
A forma discretizada desta equação é 
0=+−− ∑∑∑
i
pi
i
wi
i
Li fff (2-20)
Será mostrado posteriormente que a equação acima é usada para determinar o incremento 
de tempo no cálculo do crescimento da fratura. 
Em resumo, o fluxo do fluido de fraturamento dentro da fratura é governado pela 
equação de movimento (Eq. 2-14), pelas condições de contorno (Eqs. 2-10, 2-11 e 2-12), e 
pela restrição dada pela Eq. 2-20. A equação de movimento possui duas incógnitas, w e p. 
Uma equação adicional (a equação da abertura de fratura) é necessária para completar o 
problema. 
 
EQUAÇÃO DA ABERTURA DE FRATURA 
 
A equação de deslocamento da abertura para uma fratura modo-I de forma arbitrária 
num meio elástico infinito foi derivada por vários autores usando diferentes métodos. A 
equação tem a seguinte forma [Bui, 9]: 
∫
Ω
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
= ''
'
)1(
'
)1(
)1(4
),( dydx
y
w
ryx
w
rx
GyxT
νπ
 (2-21)
onde 
r = [(x – x’)2 + (y - y')2]1/2 
T(x,y) = -[ p(x,y) - σmin(x,y)], 
p(x,y) = pressão do fluido 
σmin(x,y) = distribuição de tensão in-situ 
G, ν = módulos de rigidez e de Poisson, respectivamente. 
Por ser uma equação integral de uma superfície bi-dimensional, somente a 
superfície da fratura precisa ser dividida em elementos para a avaliação numérica desta 
equação. Contudo, a integral converge somente no sentido de um valor principal de 
Cauchy. É difícil se obter uma solução numérica acurada e eficiente desta equação na 
presente forma. Além disso, para se obter essa convergência, é necessário que a função 
w(x,y) tenha derivadas (∂w/∂x e ∂w/∂y) contínuas. Esta condição aumenta a complexidade 
da discretização numérica. Gu and Yew [6] demonstraram que a equação acima pode ser 
convenientemente transformada transferindo-se a diferenciação do termo singular 1/r para a 
função de teste. Então, a integral passa a ser escrita da seguinte forma 
 24
∫ ∫∫
Ω ΩΩ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
−= ''
''
1
)1(4
),(),( dydxdydx
y
w
y
v
x
w
x
v
r
GdxdyyxvyxT
νπ
(2-22)
onde a função de teste v(x,y) é uma função contínua que satisfaz a condição de abertura 
nula na frente de fratura. 
Nesta equação integral, a integral interna do lado direito é uma integral imprópria 
com uma singularidade removível. Como conseqüência, a ordem da singularidade é 
reduzida. Quando transformada para um sistema de coordenadas polares com a origem da 
coordenada posicionada no ponto singular, o termo 1/r é cancelado pelo Jacobiano (= r) na 
transformação. É, portanto, possível se obter uma integração numérica precisa. Além disso, 
a condição de regularidade da função w(x,y) é relaxada. Para a integral interna do lado 
direito da Eq. 2-22 existir, é necessário que w(x,y) seja contínua. Uma simples função de 
interpolação de Lagrange pode ser usada na discretização numérica. 
O método de Galerkin [8] é usado para discretizar a Eq. 2-22. A função w(x,y) é 
representada por uma combinação linear de funções de base φi(x,y), i = 1, 2,...N, ou seja, 
∑
=
=
N
j
ji wyxyxw
1
),()','( φ (2-23)
Substituindo-se a Eq. 2-23 na Eq. 2-22 obtém-se a seguinte equação matricial: 
[A]{w} = {f}, (2-24)
onde 
∫ ∫
Ω Ω
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
−
= dxdydydx
yyxxr
GA jiji
ij ''
''
1
)1(4
φφφφ
νπ
 (2-25)
∫
Ω
−= dxdyyxyxTf ii ),(),( φ (2-26)
Na formulação de elementos finitos, a função de base φi(x,y) na Eq. 2-23 pode ser 
construída a partir da função de forma de elemento finito ψi(x,y). A superfície da fratura é 
dividida em elementos. Em cada elemento, o deslocamento da abertura de fratura é 
expressopor 
∑
=
=
N
i
ii wyxw
1
),(ψ , (2-27)
onde wi é o valor nodal de w, e ψi é a função de forma. 
 
 
Figura 2-4. Arranjo de elementos. 
 
 25
As funções de base φi são definidas pela adaptação das funções de forma aos nós 
comuns. As matrizes globais na Eq. 2-24 são formadas pela somatória de todos os 
elementos matriciais. Dois tipos de elemento são usados: um é o elemento triangular linear 
regular e o outro é o elemento quadrilateral com uma função de forma em raiz quadrada 
para simular a condição da extremidade da fratura. O arranjo destes elementos e a grade 
(grid) básica de elementos finitos são mostrados nas Figs. 2-4 e 2-5, respectivamente. O 
cálculo dos elementos matricias é apresentado em Gu e Yew, [6, 7]. 
 
 
Figura 2-5. Grade de elementos finitos. 
 
PROPAGAÇÃO DE UMA FRATURA HIDRÁULICA 
 
As equações 2-14 e 2-24, que governam o processo de fraturamento hidráulico, são 
não-lineares, dependentes do tempo, e têm fronteiras móveis. As equações podem ser 
resolvidas numericamente pela aplicação do método de elementos finitos. A grade básica 
de elementos finitos mostrada na Fig. 2-5 é usada por ambas as equações. A grade tem 82 
elementos e 59 nós. Uma solução a partir destas equações é obtida pela aplicação do 
processo incremental descrito a seguir. 
A propagação de uma fratura hidraulicamente induzida é aproximada pelo processo 
incremental. Assume-se que a fratura é temporariamente dominada pela resistência à fratura 
(KIC) ou pelo contraste entre as tensões in-situ; e que a frente de fratura é estacionária por 
um pequeno período de tempo. Durante este período, o fluido de fraturamento é bombeado 
para o interior da fratura produzindo um aumento na pressão, na abertura de fratura e no 
fator de intensidade de tensão nesta frente. Quando o fator de intensidade de tensão excede 
a resistência à fratura, a frente de fratura avança uma pequena distância. Esta distância é 
determinada pela diferença entre o fator de intensidade de tensão calculado, KI, e o fator 
 26
crítico de intensidade de tensão (KIC) do meio rochoso (um valor assumido). Um método 
iterativo baseado neste processo incremental está descrito nos parágrafos seguintes. 
 
Discretização da Equação 2-14 no Domínio do Tempo 
 
Assuma que a posição da frente de fratura ∂Ωtn-Δt e sua abertura w(n-1) no tempo tn-Δt 
e a posição da frente de fratura ∂Ωtn no tempo tn são conhecidas conforme mostrado na Fig. 
2-6. 
A derivada no tempo da Eq. 2-14 é aproximadamente dada por 
t
ww
t
w nn
Δ
−
=
∂
∂ − )1()(
, (2-28)
onde w(n-1) e w(n) são as aberturas da fratura nos tempos tn-Δt e tn, respectivamente. 
A equação 2-14 se torna 
[ ]{ } { } { } { } { }p
n
w
n
wn
L
nn f
t
ff
fpwK +
Δ
−
−−=
− )1()(
)()()( )( (2-29)
onde 
∫
Ω
=
tn
dxdywf i
nn
w φ)()( (2-30)
 
 
Figura 2-6. Propagação da fratura. 
 
Para se obter uma solução da Eq 2-29, é necessário determinar o incremento de 
tempo Δt, que não pode ser arbitrariamente assumido. A condição de conservação global de 
volume é usada para determinar o incremento de tempo nesta equação. Substituindo a Eq. 
2-28 na Eq. 2-20, o incremento de tempo necessário pode ser escrito como 
 27
∑∑
∑∑
−
−
=Δ
−
i
n
Li
i
pi
i
n
wi
i
n
wi
ff
ff
t )(
)1()(
 (2-31)
O incremento de tempo pode ser calculado desta equação aplicando-se o método iterativo 
de Picard (substituições successivas). Note que quando este incremento de tempo é usado 
na solução da Eq. 2-29, a condição de conservação global de volume é automaticamente 
satisfeita. 
 
Procedimento para Resolver as Equações 2-24 e 2-29 
 
Este par de equações é resolvido aplicando-se o método iterativo de Picard como a 
seguir: 
1. Um valor inicial de w0
(n) é obtido resolvendo-se a Eq. 2-14 com a pressão p(n-1) aplicada 
à superfície de fratura Ωn. Usando esta w0
(n) inicial, uma p1
(n) correspondente é obtida da 
Eq. 2-29. Uma nova w1
(n) é então obtida resolvendo-se Eq. 2.14 usando p1
(n). O processo 
iterativo é descrito a seguir: 
Se wk
(n) é a abertura de fratura obtida na k-ésima iteração, a abertura wk+1
(n) é calculada 
pela formula 
10,)1()( )()()(
1 ≤<−+=+ ααα n
k
n
k
n
k wwFw (2-32)
onde o símbolo F( ) representa o processo de substituição de wk
(n) na Eq. 2-14, resolvida 
para pk
(n), e uso deste pk
(n) na Eq. 2-29 para se encontrar uma nova abertura de fratura. O 
parâmetro α (= 0,2) é usado para determinar a convergência da iteração. 
2. O procedimento acima é repetido até que uma abertura de fratura convirja 
satisfatoriamente. O critério de convergência é 
ε<
−
∑
∑
+
+
)(
,1
)(
,
)(
,1
n
ik
n
ik
n
ik
w
ww
 (2-33)
onde ε é uma tolerância assumida. 
A abertura de fratura calculada wk+1
(n) e a pressão pk+1
(n) são as soluções das Eqs. 2-
14 e 2-29 no tempo t = tn quando o critério acima for satisfeito. Passa-se então para a 
iteração do próximo passo de tempo e o processo é continuado até se atingir o tempo total 
de bombeio. 
Deve-se mencionar que a Eq. 2-29 é um tipo especial de equação denominado 
equação de Neumann. A solução da equação com a condição Eq. 2-31 é determinada em 
função de uma constante, ou seja, uma solução da Eq. 2-29 somada a uma constante 
arbitrária é também uma solução daquela equação. Logo, a solução da Eq. 2-29 pode ser 
obtida tomando-se a pressão num ponto nodal arbitrário igual a zero. A pressão do fluido é 
obtida adicionando-se uma pressão constante à solução da Eq. 2-29, tornando a pressão em 
todos os nós igual ou maior que o valor da tensão local in-situ. 
 
Movimento da Frente de Fratura 
 
 28
O fator de intensidade de tensão KI na extremidade da fratura pode ser calculado 
pela fórmula 
)()2(
)1(4
2/1 rw
r
GK I
π
ν−
= (2-34)
onde r é a distância normal interna (para dentro) a partir da frente de fratura. 
Com referência à Fig. 2-6, a distância incremental Δd varrida pela fronteira móvel 
da fratura se relaciona com o fator de intensidade de tensão KI calculado e com o fator de 
intensidade de tensão KIC do meio rochoso pelo seguinte critério modificado de propagação 
de fratura proposto por Mastorjannis, Keer and Mura [10]: 
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<=Δ
>
+
−
=Δ
ICI
ICI
IC
ICI
KKd
KK
h
HK
KK
d
for ,0
for ,
σ (2-35)
onde 
σ = tensão local in-situ na frente de fratura, 
H = altura local de fratura, 
h = penetração da fratura na camada de maior tensão in-situ. 
Deve-se mencionar que a equação não tem significado físico. Usando-se esta 
equação, o avanço da frente de fratura é controlado pela tensão in-situ e pela penetração da 
fratura na zona de alta tensão. 
A implementação numérica do movimento da frente é a seguinte: 
1. Calcular o fator de intensidade de tensão em todos os pontos nodais da frente de fratura 
∂Ωtn-Δt, pela Eq. 2-34. 
2. Considerar o incremento de deslocamento frontal Δdmax de um ponto que tem o máximo 
fator de intensidade de tensão como 
Δdmax = 0,1 d, para d ≤ 100 ft 
Δdmax = 10 ft, para d > 100 ft 
onde d é a distância entre tal ponto e a origem do sistema de coordenadas. 
 
 
Figura 2-7. Movimento da frente da fratura. 
 
O incremento de deslocamento frontal Δdi nos outros nós é calculado pela Eq. 2-35. A 
direção do movimento do ponto de incremento frontal é tomada ao longo da bissetriz 
externa do ângulo entre a frente de dois elementos adjacentes conforme mostrado na 
Fig. 2-7. 
 29
3. As coordenadas dos nós frontais na nova fronteira de fratura ∂Ωtn são então calculadas e 
uma nova malha da superfície de fratura ∂Ωtn é gerada. Os valores nodais da nova 
abertura de fratura, as pressões de fluido e os tempos iniciais de filtração são 
interpolados da malha velha para a nova. 
 
GERAÇÃO DE MALHA 
 
Um esquema de geração de malha automático e adaptado ao domínio é descrito 
nesta seção. Este esquema é capaz de reformatar qualquer domínio de formato irregular que 
possa ocorrer enquanto a fratura propaga. Além disso, o esquema pode adicionar novos 
pontos nodais e novos elementos à malha quando o domínio da fratura se torna altamente 
contido ou se modificasignificativamente. Esta propriedade de adicionar novos nós ao 
domínio previne efetivamente que o tamanho do elemento se torne muito grande ou 
distorcido. Uma grade bem adaptada ao domínio, com elementos regulares, garante a 
precisão da solução [Carey, 11]. 
 
Geração de Nós da Frente de Fratura 
 
Conforme a fratura se propaga, os nós do contorno da fratura se movem do velho 
domínio ∂Ωtn-1 para o novo, ∂Ωtn, com um deslocamento incremental Δd a cada passo de 
tempo. A Fig. 2-7 mostra como os pontos nodais da fratura anterior no passo de 
tempo t
1−Ωn
f
(n-1) são reposicionados no novo contorno no passo de tempo tn
fΩ (n). 
 
 
Figura 2-8. Inserção de um novo nó no contorno. 
 
Durante a propagação da frente de fratura, os nós de contorno podem avançar de 
modo não-uniforme ao longo da frente. Para evitar uma distorção excessiva e imperfeições 
nos elementos do contorno, o espaçamento dos nós de contorno é monitorado após o 
deslocamento para determinar a necessidade de um refinamento. O critério é o seguinte: 
 30
De acordo com a Fig. 2-8, o espaçamento dos nós hi é definido como a distância 
entre dois nós adjacentes i e (i+1), ou seja, 
1,...2,1,)()( 2
1
2
1 −=−+−= ++ biiiii Niyyxxh (2-37)
Seja hmin o mínimo espaçamento de nós ao longo do contorno. O critério para o 
refinamento da frente de fratura é que se (h/hmin) > βcr, um novo nó será inserido no centro 
do segmento entre os nós i e (i+1), onde βcr é um parâmetro de controle de espaçamento. 
Após a inserção de um novo nó no contorno, os gradientes do espaçamento entre 
nós são verificados para garantir a suavidade do contorno. O gradiente é definido como a 
razão do espaçamento dos nós entre dois nós adjacentes, ou seja, 
1,...2,1,
1
−==
+
b
i
i
i Ni
h
h
ρ (2-38)
 
 
Figura 2-9. Suavizando nós do contorno. 
 
Da Fig. 2-9, dois parâmetros de gradiente de nós, e , são usados para 
determinar a necessidade de suavização. O seguinte critério é usado: 
cr
minρ cr
maxρ
1) Se , não há necessidade de suavização. crcrcr
maxmin ρρρ ≤≤
1. Se , o nó i é avançado para o nó i' por meio das seguintes equações [Fig. 2-
9a]: 
cr
i maxρρ >
⎩
⎨
⎧
−+=
−+=
+
+
).(
),(
1
1
old
i
old
i
old
i
new
i
old
i
old
i
old
i
new
i
yyyy
xxxx
θ
θ
 (2-39)
2. Se , o nó i é retardado para o nó i' por meio das seguintes equações [Fig. 2-
9b]: 
cr
i minρρ <
⎩
⎨
⎧
−−=
−−=
+
+
).(
),(
1
1
old
i
old
i
old
i
new
i
old
i
old
i
old
i
new
i
yyyy
xxxx
θ
θ
 (2-40)
onde θ é um parâmetros de suavização de nós de contorno definido para controlar o 
grau de ajuste. 
 31
 
Geração de Nós Interiores 
 
Conforme a fratura avança, uma nova região, mostrada como uma região hachurada 
na Fig. 2-6, é adicionada à região anterior. Para incluir esta nova região na malha, um novo 
nó deve ser gerado nesta região hachurada. 
 
 
Figura 2-10. Convecção de nós interiores. 
 
A melhor forma de implementar isto é redistribuindo os pontos nodais existentes e 
inserindo novos pontos no domínio, quando necessário. O processo é conhecido como 
"convecção de nós". Da Fig. 2-10, a nova posição do nó i é calculada pela equação 
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
∑
∑
=
=
j
j
N
j
jji
N
j
jji
yy
xx
1
1
,
ω
ω
 (2-41)
onde Nj é o número de nós conectados ao nó i na posição (xi, yi), e {xj, yj} são as 
coordenadas dos nós conectados ao nó i. O fator angular de ponderação ωj é definido como 
1,...2,1),
2
(
2
1 1 −=
+
= +
j
jj
j Nj
αα
π
ω (2-42)
onde αj é o ângulo inscrito entre os nós i-j e i-(j+1) conforme mostrado na Fig. 2-10. 
 
 32
 
Figura 2-11. Grades antes e após a convecção de nós. 
 
No procedimento de convecção de nós acima, a redistribuição de nós e a 
reconstrução de elementos são mecanismos acoplados. A implementação do deslocamento 
de nós e construção de elementos devem ser feitas iterativamente até que uma grade de boa 
qualidade seja obtida. A Fig. 2-11 mostra como os pontos nodais são redistribuídos e 
suavizados para uma melhor triangulação de uma região densamente povoada. 
 
Inserção de Nós no Interior do Domínio 
 
Para uma fratura altamente contida, os elementos próximos à frente de fratura 
devem ser muito maiores que os próximos ao poço. Também, conforme a fratura se 
propaga, a área dos elementos em algumas regiões pode se tornar muito grande. A inserção 
de um novo nó dentro deste elemento se torna necessária para garantir a precisão 
computacional. A técnica para se conseguir isto consiste em dividir um grande elemento 
triangular em três triângulos menores pela introdução de um novo ponto nodal no centro 
deste grande triângulo, conforme ilustrado na Fig. 2-12. 
O procedimento é o seguinte: 
1) Calcular a área SI, (I = 1, 2,...N) de todos os elementos do domínio e identificar a menor 
área Smin. 
2) Calcular a razão entre áreas, qi = Si/Smin. 
3) Comparar os valores de qi. Se qi > qCR , adicionar novo nó (numerado como Ni+ 1) no 
centro do elemento i por meio da equação 
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++=
++=
+
+
)(
3
1
),(
3
1
3211
3211
iiiN
iiiN
yyyy
xxxx
i
i
 (2-43)
onde qcr é um fator de controle do incremento de novos nós no domínio. O subscrito i 
especifica o número do elemento e os subscritos 1, 2 e 3 especificam os vértices do 
elemento triangular. 
 33
 
 
Figura 2-12. Refinamento de nós e elementos interiores. 
 
 
Construção de Elementos 
 
Após a inserção de um novo nó, novos elementos podem ser construídos. Há dois tipos 
de elementos no domínio: 
 
 
Figura 2-13. Elementos quadrilaterais na frente de fratura. 
 
1) Os elementos ao longo da frente de fratura são quadrilaterais. Da Fig. 2-13, um 
conjunto de pontos nodais interiores B próximo à frente de fratura é criado do ponto 
nodal A na frente de fratura. Verifica-se que há uma correspondência um-para-um entre 
 34
os pontos nodais A e B, e o ponto nodal B se localiza na direção da seção normal 
interna da frente de fratura A, a uma distância constante. Os elementos quadrilaterais 
podem ser construídos usando-se dois conjuntos de pontos nodais. 
2) Os elementos na região interna da fratura são triangulares. Estes elementos são 
construídos pela aplicação do método de triangulação de Delaunay [11]. A essência do 
método pode ser entendida por meio da Fig. 2-14. Há duas formas de usar quatro pontos 
nodais - A, B, C, e P – para construir dois triângulos. A triangulação de Delaunay é 
obtida pelo sucessivo mapeamento das diagonais dos quadriláteros ABCP, tomando-se 
o triângulo que apresentar a menor diferença entre seus ângulos internos. Isso é 
implementado por meio do algoritmo de Bowyer [12]. Da Fig. 2-14a, a circunscrição do 
triângulo ABC inclui o vértice P do triângulo adjacente ACP. A triangulação da Fig. 2-
14a é rejeitada e substituída pelo triângulo ABP pela mudança de diagonais, como 
mostrado na Fig. 2-14b, na qual o vértice C do triângulo BCP cai fora da circunscrição 
ABP. A triangulação da Fig.2-14b é aceita. 
 
 
Figura 2-14. Triangulação por troca de diagonais. 
 
Interpolação entre Grades 
 
Após a construção de uma nova malha, os valores nodais da abertura de fratura, do 
início do tempo de filtração do fluido e da pressão de fluido são interpolados da velha para 
a nova malha. Antes, é necessário determinar que elemento da velha malha contém um nó 
da nova malha. Isso é feito calculando-se os Jacobianos dos triângulos formados pela união 
do novo nó e os vértices de um elemento antigo. Se o Jacobiano é positivo, o nó se encontra 
dentro ou sobre o lado do elemento; caso contrário, o nó está fora do elemento. 
O próximo passo é calcular a coordenada local (ζ, η) do nó de sua coordenada 
global (x, y). Para elementos triangulares, a coordenada (ζ, η) pode ser calculada 
diretamente da função de forma 
 35
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−−−−−=
−−−−−−=
−−−−−=
)])(())((
)])(())(([1
)])(())([(1
12131312
112112
113113
yyxxyyxxJ
yyxxxxyy
J
yyxxxxyy
J
η
ζ
 (2-44)
Para elementos bi-lineares, a relação funcional entre (ζ, η) e (x, y) é não-linear e 
implícita em ζ e η conforme: