Operações com Matrizes

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OPERAÇÕES COM MATRIZES: 
 
 Adição de Matrizes: A soma de duas matrizes de mesmo tamanho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
e 
𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
 é definida como sendo a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
 tal que 𝐶 = 𝐴 + 𝐵, obtida 
somando-se os elementos correspondentes de 𝐴 e 𝐵, ou seja, 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗, para 𝑖 =
 1, . . . , 𝑚 e 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Escrevemos também [𝐴 + 𝐵]𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗. 
Exemplo: 
Considere as matrizes: 𝐴 = [
1 2 −3
3 4 0
] e 𝐵 = [
−2 1 5
0 3 −4
]. Se chamarmos de 𝐶 
a soma das duas matrizes 𝐴 e 𝐵, então temos: 
 
𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = [
1 2 −3
3 4 0
] + [
−2 1 5
0 3 −4
] = 
 
= [
1 − 2 2 + 1 −3 + 5
3 + 0 4 + 3 0 − 4
] = [
−1 3 2
3 7 −4
] 
 
 
 Subtração de Matrizes: A subtração de duas matrizes de mesmo tamanho 𝐴 =
(𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
 é definida como sendo a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
 tal que 𝐶 = 𝐴 −
 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵), obtida somando-se os elementos correspondentes de 𝐴 com o oposto 
dos elementos correspondentes de 𝐵, ou seja, 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + (−𝑏𝑖𝑗), para 𝑖 = 1, . . . , 𝑚 e 
𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Escrevemos também [𝐴 + 𝐵]𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + (−𝑏𝑖𝑗). 
Exemplo: 
Considere as matrizes: 𝐴 = [
1 2 −3
3 4 0
] e 𝐵 = [
−2 1 5
0 3 −4
]. Se chamarmos de 𝐶 
a subtração das duas matrizes 𝐴 e 𝐵, então temos: 
 
𝐶 = 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) = 
 
𝐶 = [
1 2 −3
3 4 0
] − [
−2 1 5
0 3 −4
] = [
1 2 −3
3 4 0
] + [
+2 −1 −5
0 −3 +4
] = 
 
= [
1 + 2 2 − 1 −3 − 5
3 + 0 4 − 3 0 + 4
] = [
3 1 −8
3 1 4
] 
 
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 Multiplicação de uma matriz por um escalar: A multiplicação de uma matriz 𝐴 =
(𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
 por um escalar (número) 𝛼 é definida pela matriz 𝑚𝑥𝑛 𝐵 = 𝛼𝐴 obtida 
multiplicando-se cada elemento da matriz 𝐴 pelo escalar 𝛼, ou seja, 𝑏𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗, para 𝑖 =
 1, . . . , 𝑚 e 𝑗 = 1, . . . , 𝑛. Escrevemos também [𝛼𝐴 ]𝑖𝑗 = 𝛼𝑎𝑖𝑗. 
Dizemos que a matriz 𝐵 é um múltiplo escalar da matriz 𝐴. 
Exemplos: 
1) O produto da matriz 𝐴 = [
−2 1
0 3
5 −4
] pelo escalar 3 é dado por: 
3𝐴 = [
3 . (−2) 3 . 1
3 . 0 3 . 3
3 . 5 3 . (−4)
] = [
−6 3
0 9
15 −12
] 
 
2) O produto da matriz 𝐴 = [
−2 1
0 3
5 −4
] pelo escalar −2 é dado por: 
−2𝐴 = [
−2 . (−2) −2 . 1
−2 . 0 −2 . 3
−2 . 5 −2 . (−4)
] = [
4 −2
0 −6
−10 8
] 
 
3) O produto da matriz 𝐴 = [
−2 1
0 3
5 −4
] pelo escalar 1 2⁄ é dado por: 
1
2
𝐴 =
[
 
 
 
 
 
1
2
 . (−2)
1
2
 . 1
1
2
 . 0
1
2
 . 3
1
2
 . 5
1
2
 . (−4)]
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
 −1
1
2
0
3
2
5
2
−2]
 
 
 
 
 
 𝑜𝑢 
[
 
 
 −1 1
2⁄
0 3
2⁄
5
2⁄ −2]
 
 
 
 
 
4) O produto da matriz 𝐴 = [
−2 1
0 3
5 −4
] pelo escalar 2 3⁄ é dado por: 
2
3
𝐴 =
[
 
 
 
 
 
2
3
 . (−2)
2
3
 . 1
2
3
 . 0
2
3
 . 3
2
3
 . 5
2
3
 . (−4)]
 
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 −
4
3
2
3
0 2
10
3
−
8
3]
 
 
 
 
 𝑜𝑢 [
−4
3⁄
2
3⁄
0 2
10
3⁄ −8
3⁄
] 
 
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 Matriz transposta de uma matriz: Seja uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
, denomina-se a matriz 
transposta de 𝐴 (indica-se por 𝐴𝑡) a matriz 𝑚𝑥𝑛 cujas linhas são, ordenadamente, as 
colunas de 𝐴. 
Exemplos: 
1) 𝐴 = [
4 2 1
0 5 8
−3 2 10
] ⇒ 𝐴𝑡 = [
4 0 −3
2 5 2
1 8 10
] 
 
2) 𝐵 = [
3 12 −1
0 −2 6
] ⇒ 𝐵𝑡 = [
3 0
12 −2
−1 6
] 
 
 
 Multiplicação de matrizes: A multiplicação de duas matrizes é definida se o número de 
colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, ou seja, 
dadas as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛
e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑝
 o produto destas matrizes é definido como 
sendo a matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑝
 tal que 𝐶 = 𝐴𝐵, obtida multiplicando-se ordenadamente os 
elementos da linha 𝑖, da matriz 𝐴, pelos elementos da coluna 𝑗, da matriz 𝐵, e somando-
se os produtos obtidos. A matriz 𝐶 é do tipo 𝑚𝑥𝑝, ou seja, tem a quantidade de linhas da 
primeira matriz e a quantidade de colunas da segunda matriz. 
Exemplos: 
1) Durante a primeira fase da Copa do Mundo de futebol, realizada no Japão e na Coréia 
do Sul em 2002, o grupo C era formado por quatro países: Brasil, Turquia, Costa Rica e 
China. Observe os resultados (número de vitórias, empates e derrotas) de cada um, 
registrados em uma tabela e em uma matriz 𝐴, de ordem 4𝑥3. 
 
 Vitórias Empates Derrotas 
Brasil 3 0 0 
Turquia 1 1 1 
Costa Rica 1 1 1 
China 0 0 3 
 
𝐴4𝑥3 = [
3 0 0
1 1 1
1 1 1
0 0 3
] 
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Pelo regulamento da Copa, cada resultado (vitória, empate e derrota) tem pontuação 
correspondente (3 pontos, 1 ponto e 0 ponto). Veja este fato registrado em uma tabela e 
em uma matriz 𝐵, de ordem 3𝑥1. 
Número de Pontos 
Vitória 3 
Empate 1 
Derrota 0 
 
𝐵3𝑥1 = [
3
1
0
] 
 
Terminada a primeira fase, foi verificado o total de pontos feitos por cada país. Essa 
pontuação pode ser registrada numa matriz que é representada por 𝐴𝐵 (produto de 𝐴 
por 𝐵). Veja como é obtida a matriz da pontuação. 
Brasil: 3.3 + 0.1 + 0.0 = 9 
Turquia: 1.3 + 1.1 + 1.0 = 4 
Costa Rica: 1.3 + 1.1 + 1.0 = 4 
China: 0.3 + 0.1 + 3.0 = 0 
𝐴𝐵4𝑥1 = [
9
4
4
0
] 
 
2) Considere as matrizes: 𝐴3𝑥2 = [
3 2
5 0
1 4
] e 𝐵2𝑥2 = [
3 1
6 2
]. Se chamarmos de 𝐴𝐵3𝑥2 o 
produto das duas matrizes 𝐴 e 𝐵, então temos: 
 
𝐴𝐵 = [
3 2
5 0
1 4
] . [
3 1
6 2
] = [
3.3 + 2.6 3.1 + 2.2
5.3 + 0.6 5.1 + 0.2
1.3 + 4.6 1.1 + 4.2
] = [
9 + 12 3 + 4
15 + 0 5 + 0
3 + 24 1 + 8
] = [
21 7
15 5
27 9
] 
 
 Matriz Inversa: Dada uma matriz quadrada 𝐴, de ordem 𝑛, se 𝑋 é uma matriz tal que 
𝐴𝑋 = 𝐼𝑛 e 𝑋𝐴 = 𝐼𝑛, então 𝑋 é denominada matriz inversa de 𝐴 e é indicada por 𝐴−1. 
Quando existe a matriz inversa de 𝐴, dizemos que 𝐴 é uma matriz invertível. 
Exemplo: 
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Dada a matriz 𝐴 = (
5 8
2 3
), verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a 
matriz inversa de 𝐴. 
Vamos considerar a matriz 𝑋 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
). Assim temos: 
 𝐴𝑋 = 𝐼2 
(
5 8
2 3
) (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
Efetuando a multiplicação, temos: 
(
5. 𝑎 + 8. 𝑐 5. 𝑏 + 8. 𝑑
2. 𝑎 + 3. 𝑐 2. 𝑏 + 3. 𝑑
) = (
1 0
0 1
) 
Pela igualdade de duas matrizes, temos: 
{
5𝑎 + 8𝑐 = 1
5𝑏 + 8𝑑 = 0
2𝑎 + 3𝑐 = 0
2𝑏 + 3𝑑 = 1
 
Separando em dois sistemas e resolvendo-os, temos: 
 
 {
5𝑎 + 8𝑐 = 1
2𝑎 + 3𝑐 = 0
 {
5𝑏 + 8𝑑 = 0
2𝑏 + 3𝑑 = 1
 
{
5𝑎 + 8𝑐 = 1 . 2
2𝑎 + 3𝑐 = 0 . (−5)
 {
5𝑏 + 8𝑑 = 0 . (−2)
2𝑏 + 3𝑑 = 1 . 5
 
+{
 10𝑎 + 16𝑐 = 2
−10𝑎 − 15𝑐 = 0
 +{
−10𝑏 − 16𝑑 = 0
 10𝑏 + 15𝑑 = 5
 
 𝑐 = 2 −𝑑 = 5 
 𝑑 = −5 
2𝑎 + 3𝑐 = 0 2𝑏 + 3𝑑 = 1 
2𝑎 + 3 . 2 = 0 2𝑏 + 3. (−5) = 1 
2𝑎 + 6 = 0 2𝑏 − 15 = 1 
2𝑎 = −6 2𝑏 = 1 + 15 
𝑎 =
−6
2
 2𝑏 = 16 
𝑎 = −3 𝑏 =
16
2
 
 𝑏 = 8 
 
Logo, a matriz 𝑋 é dada por: 𝑋 = (
−3 8
2 −5
) . 
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Observação: Podemos verificar se a matriz 𝑋 encontrada é realmente a matriz inversa 
da matriz 𝐴, para isso, o produto 𝑋𝐴 tem que resultar na matriz identidade 𝐼2. Neste 
exemplo, temos: 
(
5 8
2 3
) (
−3 8
2 −5
) = (
5 . (−3) + 8 . 2 5 . 8 + 8 . (−5)
2 . (− 3) + 3 . 2 2 . 8 + 3 . (−5)
) = (
−15 + 16 40 − 40
−6 + 6 16 − 15
) = (
1 0
0 1
) 
 
 
 Equações Matriciais: Equações matriciaissão as equações cujas incógnitas são 
matrizes. 
Exemplos: 
1) Sendo 𝐴 = (
1 −3
1 5
2 0
) e 𝐵 = (
−1 −3
1 −5
2 4
), obtenha a matriz 𝑋 tal que 𝑋 + 𝐴 = 𝐵. 
 
𝑋 + 𝐴 = 𝐵 
𝑋 + 𝐴 − 𝐴 = 𝐵 − 𝐴 
𝑋 = 𝐵 − 𝐴 
 
𝑋 = 𝐵 − 𝐴 = (
−1 −3
1 −5
2 4
) − (
1 −3
1 5
2 0
) = (
−1 −3
1 −5
2 4
) + (
−1 +3
−1 −5
−2 0
) = (
−1 − 1 −3 + 3
1 − 1 −5 − 5
2 − 2 4 + 0
) 
 
𝑋 = (
−2 0
0 −10
0 4
) 
 
2) Sendo 𝐴 = (
3
2
−1
) e 𝐵 = (
7
4
−3
), obtenha a matriz 𝑋 tal que 2𝑋 + 𝐴 = 3𝐵. 
 
2𝑋 + 𝐴 = 3𝐵 
2𝑋 + 𝐴 − 𝐴 = 3𝐵 − 𝐴 
2𝑋 = 3𝐵 − 𝐴 
𝑋 =
1
2
(3𝐵 − 𝐴) 
 
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3𝐵 = (
3.7
3.4
3. (−3)
) = (
21
12
−9
) 
 
3𝐵 − 𝐴 = (
21
12
−9
) − (
3
2
−1
) = (
21
12
−9
) + (
−3
−2
+1
) = (
21 − 3
12 − 2
−9 + 1
) = (
18
10
−8
) 
 
𝑋 =
1
2
(3𝐵 − 𝐴) =
(
 
 
 
1
2
. 18
1
2
. 10
1
2
. (−8))
 
 
 
=
(
 
 
 
18
2
10
2
−8
2 )
 
 
 
 
 
𝑋 = (
9
5
−4
) 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Dadas as matrizes 𝐴 = (
2 3 −1
5 3 2
), 𝐵 = (
1 3 4
−3 0 2
), 𝐶 = (
−2 3 1
4 1 2
) e 𝐷 =
(
1 1 3
2 1 0
), calcule: 
 
a) 𝐴 + 𝐵 d) 𝐷 + 𝐶 g) 𝐵 + 𝐷 j) 𝐴 + 𝐷 m) 𝐴 − 𝐵 
b) 𝐷 − 𝐶 e) 𝐵 − 𝐷 h) 𝐴 − 𝐷 k) 5𝐴 n) −2𝐵 
c) 12𝐶 f) 10𝐷 i) 5𝐴 − 2𝐵 l) 12𝐶 + 10𝐷 o)5𝐴 + 10𝐷 
 
2) Dadas as matrizes 𝐴 = (
1 0 −1
2 5 −7
−3 2 4
), 𝐵 = (
2 −1 2
3 −2 4
1 5 −3
) e 𝐶 = (
−1 2 3
3 −2 1
2 0 −5
), 
determine: 
a) 𝐴 + 𝐵 d) B+𝐶 g) 𝐴 − 𝐶 j) 𝐵 − 𝐴 m) 𝐴 + 𝐶 
b) 𝐴 − 𝐵 e) 𝐶 − 𝐵 h) 𝐵 − 𝐶 k) 𝐶 − 𝐴 n) 
5
3
𝐵 
c) −8𝐵 f) −3𝐶 i) 
1
2
𝐴 l) 2𝐴 − 5𝐵 o)3𝐵 + 7𝐶 
 
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3) Dadas as matrizes 𝐴 = [
2 1
0 −1
], 𝐵 = [
−1 2
3 5
] e 𝐶 = [
7 −1
4 6
], determine: 
 
a) 2𝐴 + 𝐵 − 𝐶 c) 3𝐶 + 2(𝐵 − 𝐶) + 𝐴 
b) 2𝐴 − 3(𝐵 − 𝐴) d) 𝐴 − 2(𝐵 − 𝐴) + 4(𝐴 − 𝐶) 
 
4) Escreva a matriz transposta das seguintes matrizes: 
a) 𝐴1𝑥3 = [5 2 6] b) 𝐵3𝑋2 = (
2 5
−1 4
0 6
) 
 
c) 𝑐2𝑋2 = [
−4 2
5 −1
] d) 𝐷3𝑥3 = (
1 3 2
0 0 5
−1 4 3
) 
 
5) Sendo 𝐴 = (
2 1
3 2
) e 𝐵 = (
1 5
2 −2
), determine: 
a) 𝐴𝑡 d) 𝐴𝑡 + 𝐵 g) 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 j) (2𝐵)𝑡 
b) 𝐵𝑡 e) 𝐴 + 𝐵𝑡 h) (5𝐴 − 𝐵)𝑡 k) (3𝐴)𝑡−) 3 . 𝐴𝑡 
c) 3 . 𝐴𝑡 f) 2 . 𝐵𝑡 i) (3𝐴)𝑡 l) −(𝐴𝑡 + 𝐵𝑡) 
 
6) Determine o produto 𝐴𝐵 quando: 
 
a) 𝐴2𝑥2 = (
4 1
8 2
) e 𝐵2𝑥2 = (
−3 5
12 −20
) 
 
b) 𝐴2𝑥3 = (
2 4 3
0 1 2
) e 𝐵3𝑥3 = (
3 1 3
1 −1 2
0 1 4
) 
 
c) 𝐴2𝑥2 = (
5 1
10 2
) e 𝐵2𝑥2 = (
3 −2
−15 10
) 
 
d) 𝐴3𝑥1 = (
1
5
3
) e 𝐵1𝑥3 = (2 −2 7) 
 
e) 𝐴2𝑥2 = (
5 −1
3 2
) e 𝐵2𝑥2 = (
3 0
−1 5
) 
 
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f) 𝐴3𝑥3 = (
2 1 3
−2 0 4
1 −1 −3
) e 𝐵3𝑥1 = (
2
−1
0
) 
 
g) 𝐴3𝑥3 = (
1 2 1
3 1 2
2 1 3
) e 𝐵3𝑥3 = (
2 1 0
0 0 1
3 1 2
) 
 
h)𝐴3𝑥3 = (
2 1 0
0 0 1
3 1 2
) e 𝐵3𝑥3 = (
1 2 1
3 1 2
2 1 3
) 
 
7) Dadas as matrizes 𝐴 = (
2 3
5 1
), 𝐵 = (
3 1
2 1
), 𝐶 = (
2 3
1 4
) e 𝐷 = (
1 −1
2 5
), determine: 
a) 𝐴2 = 𝐴𝐴 e) 2𝐴𝐵 i) 𝐶2 = 𝐶𝐶 m) 2𝐶𝐷 
b) 𝐵2 = 𝐵𝐵 f) 𝐴 + 𝐵 j) 𝐷2 = 𝐷𝐷 n) 𝐶 + 𝐷 
c) 𝐴𝐵 g) 𝐴 − 𝐵 k) 𝐶𝐷 o) 𝐶 − 𝐷 
d) 𝐵𝐴 h) (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) l) 𝐷𝐶 p) (𝐶 + 𝐷)(𝐶 − 𝐷) 
 
8) Para a fabricação de caminhões, uma indústria montadora precisa de eixos e rodas 
para seus três modelos de caminhões, com a seguinte especificação: 
 Modelos 
Componentes A B C 
Eixos 2 3 4 
Rodas 4 6 8 
 
Para os dois primeiros meses do ano, a produção da fábrica deverá seguir a tabela 
abaixo: 
 Meses 
Modelos Janeiro Fevereiro 
A 30 20 
B 25 18 
C 20 15 
 
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Usando a multiplicação de matrizes, responda: nessas condições, quantos eixos e 
quantas rodas são necessários em cada um dos meses para que a montadora atinja a 
produção planejada? 
9) Calcule a matriz inversa de cada matriz dada abaixo: 
a) 𝐴 = (
4 3
5 4
) d) 𝐴 = (
1 3
0 2
) g) 𝐴 = (
2 3
4 5
) 
b) 𝐴 = (
1 2
1 3
) e) 𝐴 = (
2 −3
−1 2
) h) 𝐴 = (
1 2
2 1
) 
c) 𝐴 = (
−4 −1
15 4
) f) 𝐴 = (
1 3
2 8
) i) 𝐴 = (
3 2
7 5
) 
 
10) Dadas as matrizes 𝐴 = (
1 3 4
2 5 1
), 𝐵 = (
2 −1 −1
0 −2 3
) e 𝐶 = (
1 3 1
2 0 1
), determine a 
matriz 𝑋 tal que: 
a) 𝐴 + 𝑋 = 𝐵 + 𝐶 d) 𝐴 + 𝑋 = 𝐵 − 𝐶 g) 𝐵 − 𝑋 = 𝐴 − 𝐶 
b) 𝐶 − 𝐴 = 𝐵 + 𝑋 e) 𝑋 + 2𝐵 = 𝐴 h) 𝑋 + 3𝐶 = 𝐵 
c) 𝑋 − 5𝐴 = 𝐶 f) 𝑋 − 2𝐶 = 𝐴 − 𝐵 i) 𝑋 − 4𝐴 = 3𝐵 
 
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