Funções (16 04 2020)

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Lógica Matemática: 
Funções de 1º grau, 2º grau e 
polinomial
ACH 4521 Lógica Matemática - Marketing
Prof. Andrea Lucchesi
16.04.2020 
Agenda
1. Função de 1º grau: continuação
2. Função de 2º grau
3. Função Polinomial
4. Leitura e exercícios para a próxima aula
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT
Agenda
1. Função de 1º grau: continuação
2. Função de 2º grau
3. Função Polinomial
4. Leitura e exercícios para a próxima aula
Referência: 
Cap 3: 
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT
1. Função de 1º grau: coeficiente angular
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É toda função do tipo y = mx + b, em que m e b 𝜖 𝑅 e a ≠ 0. (alternativamente pode ser descrita como y = ax + b)
m = coeficiente angular 
b = intercepto no eixo y
Ex: y = 3x + 2 => m = 3 e b = 2 
Coeficiente angular = taxa média de variação da função = tg 𝛼2
1. Função de 1º grau: coeficiente angular (continuação)
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Coeficiente angular => se ∆𝑥=1 então m = ∆𝑦 (ou taxa média de variação da função)
Exemplo 1: y = 2x + 1
m = 2 
m = 2 =
∆𝑦
∆𝑥
Supondo ∆𝑥=1 , então 2 = 
∆𝒚
𝟏
e, portanto, ∆𝒚 = 2 => interpretação: a cada unidade de aumento em x, y aumenta 
duas unidades.
1. Função de 1º grau: coeficiente angular (continuação)
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Verificação: 
• Seja 𝑥1 = 3 e a função y = 2x + 1
• Substituindo na função, encontra-se o valor de 𝑦1 => 𝑦1 = 2𝑥1 + 1 => 𝑦1 = 2.3 + 1 = 7
• Portanto, tem-se o par ordenado (3, 7)
• Se x aumentar em 1 unidade, ou seja, ∆𝑥=1, então 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 => 𝑥2= 3 + 1 = 4
• Para encontrar 𝑦2, substituímos na função 𝑦2 = 2𝑥2 + 1 => 𝑦2 = 2.4 + 1 = 9
• Ou seja, ao aumentar x em uma unidade, de 3 para 4, o y aumentou em duas unidades, de 7 para 9.
Exemplo 2: y = 
1
3
x - 2
m =
1
3
= 
∆𝑦
∆𝑥
Supondo ∆𝑥=1 , então 
1
3
= 
∆𝒚
𝟏
e, portanto, ∆𝒚 = 
1
3
=> interpretação: a cada unidade de 
aumento em x, y aumenta 
𝟏
𝟑
de unidade. (faça a verificação quando 𝑥1 = 2 e ∆𝑥=1)
1. Função de 1º grau: coeficiente angular (continuação)
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• Quando m > 0 => a função de 1º grau é crescente, ou seja, x e y “andam” sempre no mesmo sentido ( se x 
aumenta, y aumenta e se x diminui, y diminui);
• Quando m < 0 => a função de 1º grau é decrescente , ou seja, x e y “andam” em sentidos opostos ( se x aumenta, y 
diminui e se x diminui, y aumenta);
• Quando m = 0 => a função de 1º grau é 
constante, ou seja, o valor de y será sempre 
o mesmo, independente do valor de x.
Ex: y = 5 (exercício: calcule o m dessa função)
1. Função de 1º grau
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• Se conhecermos um ponto da função (𝑥1, 𝑦1) e seu coeficiente angular (m), é possível obter a função de 1º grau:
𝑚 𝑥2 − 𝑥1 = (𝑦2 − 𝑦1)
𝑦2 = 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦1
Ou (𝑦 − 𝑦0) = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
Exemplo: seja m = 4 e (𝑥1, 𝑦1) = (1,2)
4(𝑥2 - 1) = (𝑦2 - 2)
𝑦2 = 4𝑥2 - 4 + 2 = 4𝑥2 - 2
Ou y = 4x – 2
1. Função de 1º grau (continuação)
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• De forma análoga, se conhecermos dois pontos por onde passam a reta do gráfico da função de 1º grau, é possível 
obter a função:
𝑚 𝑥2 − 𝑥1 = (𝑦2 − 𝑦1)
𝑦2 = 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦1
Ou (𝑦 − 𝑦0) = 𝑚 𝑥 − 𝑥0
Exemplo: Seja (𝑥1, 𝑦1) = (1,2) e (𝑥2, 𝑦2) = (-3,6) dois 
pontos por onde passa a reta de uma dada função 
de 1º grau. Encontre a função.
m =
6 −2
−3 −1
= 
4
−4
= −1
Utilizando 𝑦2 = 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦1 e m = - 1:
𝑦2 = -1 (𝑥2 - 1) + 2
𝑦2 = -1𝑥2 + 1 + 2
𝑦2 = -𝑥2 + 3 ou y = - x + 3
Agenda
1. Função de 1º grau: continuação
2. Função de 2º grau
3. Função Polinomial
4. Leitura e exercícios para a próxima aula
Referência: 
Cap 3: 
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
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2. Função de 2º grau
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• É toda função do tipo:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
em que a, b e c são constantes reais e 𝑎 ≠ 0. O gráfico da função de 2º grau é uma parábola com concavidade 
voltada para cima se 𝑎 > 0 e concavidade voltada para baixo se 𝑎 < 0. (o ponto V dos gráficos abaixo é o ponto de 
vértice).
2. Função de 2º grau (continuação)
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• As raízes (𝑥1 𝑒 𝑥2) da função de 2º grau (ou interceptos no eixo x) podem ser encontradas utilizando Bhaskara:
∆ = 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐
𝑥1 = (−𝑏 + ∆)/ 2a
𝑥2 = (−𝑏 − ∆)/ 2a
• Se ∆ > 0 => 𝑥1 𝑒 𝑥2 são diferentes (dois pontos de intersecção no eixo)
• Se ∆ = 0 => 𝑥1 𝑒 𝑥2 são iguais
• Se ∆ < 0 => não existem raízes reais (não tem intersecção no eixo x)
2. Função de 2º grau (continuação)
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• A figura abaixo ilustra as situações possíveis combinado ∆> 0 , ∆< 0 e ∆ = 0 com o sinal de a (a > 0 ou a <0):
2. Função de 2º grau (continuação)
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O estudo da função de 2º grau: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
a) Domínio da função: 𝐷𝑓 = 𝑅
b) Interceptos: 
• para encontrar os interceptos no eixo x utilizar Bhaskara; para encontrar o intercepto no eixo y, fazer x = 0 e 
substituir na função (ou seja y = c).
c) Intervalos de crescimento e decrescimento
• deverá ser analisado a partir do vértice da função e concavidade:
• se a> 0:
Se x > 𝑥𝑉 => f(x) é crescente e Se x < 𝑥𝑉 => f(x) é decrescente 
• se a < 0
Se x > 𝑥𝑉 => f(x) é decrescente e Se x < 𝑥𝑉 => f(x) é crescente
• Lembrando que o vértice pode ser calculado como: 𝑥𝑉= − 𝑏/2𝑎 e 𝑦𝑉 = −∆/4𝑎
2. Função de 2º grau (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
O estudo da função de 2º grau: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
d) Estudo do sinal da função (sinal do y) 
• irá depender do sinal de a e do sinal de ∆:
• quando ∆ > 0 e a < 0 => se x > 𝑥2=> y < 0 ; se x < 𝑥1 => y < 0 e se 𝑥1< x < 𝑥2 => y > 0
• quando ∆ > 0 e a > 0 => se x > 𝑥2=> y > 0 ; se x < 𝑥1 => y > 0 e se 𝑥1< x < 𝑥2 => y < 0
2. Função de 2º grau (continuação)
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
O estudo da função de 2º grau: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
d) Estudo do sinal da função (estudo do y)
• irá depender do sinal de a e do sinal de ∆:
• se ∆ = 0 e a > 0 => y > 0 para ∀ x ≠ 𝑥2
(ou para ∀ x ≠ 𝑥1 , lembre-se que 𝑥1= 𝑥2)
• se ∆ = 0 e a < 0 => y < 0 se para ∀ x ≠ 𝑥2
(ou para ∀ x ≠ 𝑥1 , lembre-se que 𝑥1= 𝑥2)
• se ∆ < 0 e a > 0 => y > 0 se para ∀ x
• se ∆ < 0 e a < 0 => y < 0 se para ∀ x
e) Gráfico da função
Já visto em slide anterior
Agenda
1. Função de 1º grau: continuação
2. Função de 2º grau
3. Função Polinomial
4. Leitura e exercícios para a próxima aula
Referência: 
Cap 3: 
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
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3. Função Polinomial
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• É toda função cuja imagem é um polinômio da variável x, isto é, f(x) é uma função polinomial de grau n se:
𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑥
𝑛 + 𝑎1𝑥
𝑛−1 + 𝑎2𝑥
𝑛−2 + …+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
em que 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são números reais e 𝑎0 ≠ 0.
Ex: 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 + 7𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1 : função polinomial de grau 5
i) função polinomial de grau zero (n=0): função constante
Exemplo: f(x) = 4 => reta horizontal paralela ao eixo x
3. Função Polinomial (continuação)
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ii) função polinomial de grau 1 (n=1): função de 1º grau
Exemplo: f(x) = 2x + 4 => gráfico é uma reta
iii) função polinomial de grau 2 (n=2): função de 2º grau
Exemplo: f(x) = 𝑥2+ 2x – 3 => gráfico é uma parábola
iv) função polinomial de grau 3 (n=3): função de 3º grau
Exemplo: f(x) = 2𝑥3+ 6𝑥2 − 7x + 9 => gráfico não é feito com recursos elementares, utilizar limites e derivadas.
Agenda
1. Função de 1º grau: continuação
2. Função de 2º grau
3. Função Polinomial
4. Leitura e exercícios para a próxima aula
Referência: 
Cap 3: 
MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012.
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT
4. Leitura e exercícios para a próxima aula 
EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT
• Leitura: seção 3.5.7 “Função quadrática” , 3.5.8 “Funções receita e lucro quadráticas” e seção 3.5.9 “Função 
Polinomial do Cap 3 do livro de Cálculo do Bussab e Morettin.
• Exercícios: 87 (pag 78) e lista de exercícios enviada