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Lógica Matemática: Funções de 1º grau, 2º grau e polinomial ACH 4521 Lógica Matemática - Marketing Prof. Andrea Lucchesi 16.04.2020 Agenda 1. Função de 1º grau: continuação 2. Função de 2º grau 3. Função Polinomial 4. Leitura e exercícios para a próxima aula EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT Agenda 1. Função de 1º grau: continuação 2. Função de 2º grau 3. Função Polinomial 4. Leitura e exercícios para a próxima aula Referência: Cap 3: MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012. EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT 1. Função de 1º grau: coeficiente angular EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT É toda função do tipo y = mx + b, em que m e b 𝜖 𝑅 e a ≠ 0. (alternativamente pode ser descrita como y = ax + b) m = coeficiente angular b = intercepto no eixo y Ex: y = 3x + 2 => m = 3 e b = 2 Coeficiente angular = taxa média de variação da função = tg 𝛼2 1. Função de 1º grau: coeficiente angular (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT Coeficiente angular => se ∆𝑥=1 então m = ∆𝑦 (ou taxa média de variação da função) Exemplo 1: y = 2x + 1 m = 2 m = 2 = ∆𝑦 ∆𝑥 Supondo ∆𝑥=1 , então 2 = ∆𝒚 𝟏 e, portanto, ∆𝒚 = 2 => interpretação: a cada unidade de aumento em x, y aumenta duas unidades. 1. Função de 1º grau: coeficiente angular (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT Verificação: • Seja 𝑥1 = 3 e a função y = 2x + 1 • Substituindo na função, encontra-se o valor de 𝑦1 => 𝑦1 = 2𝑥1 + 1 => 𝑦1 = 2.3 + 1 = 7 • Portanto, tem-se o par ordenado (3, 7) • Se x aumentar em 1 unidade, ou seja, ∆𝑥=1, então 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 => 𝑥2= 3 + 1 = 4 • Para encontrar 𝑦2, substituímos na função 𝑦2 = 2𝑥2 + 1 => 𝑦2 = 2.4 + 1 = 9 • Ou seja, ao aumentar x em uma unidade, de 3 para 4, o y aumentou em duas unidades, de 7 para 9. Exemplo 2: y = 1 3 x - 2 m = 1 3 = ∆𝑦 ∆𝑥 Supondo ∆𝑥=1 , então 1 3 = ∆𝒚 𝟏 e, portanto, ∆𝒚 = 1 3 => interpretação: a cada unidade de aumento em x, y aumenta 𝟏 𝟑 de unidade. (faça a verificação quando 𝑥1 = 2 e ∆𝑥=1) 1. Função de 1º grau: coeficiente angular (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT • Quando m > 0 => a função de 1º grau é crescente, ou seja, x e y “andam” sempre no mesmo sentido ( se x aumenta, y aumenta e se x diminui, y diminui); • Quando m < 0 => a função de 1º grau é decrescente , ou seja, x e y “andam” em sentidos opostos ( se x aumenta, y diminui e se x diminui, y aumenta); • Quando m = 0 => a função de 1º grau é constante, ou seja, o valor de y será sempre o mesmo, independente do valor de x. Ex: y = 5 (exercício: calcule o m dessa função) 1. Função de 1º grau EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT • Se conhecermos um ponto da função (𝑥1, 𝑦1) e seu coeficiente angular (m), é possível obter a função de 1º grau: 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 = (𝑦2 − 𝑦1) 𝑦2 = 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦1 Ou (𝑦 − 𝑦0) = 𝑚 𝑥 − 𝑥0 Exemplo: seja m = 4 e (𝑥1, 𝑦1) = (1,2) 4(𝑥2 - 1) = (𝑦2 - 2) 𝑦2 = 4𝑥2 - 4 + 2 = 4𝑥2 - 2 Ou y = 4x – 2 1. Função de 1º grau (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT • De forma análoga, se conhecermos dois pontos por onde passam a reta do gráfico da função de 1º grau, é possível obter a função: 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 = (𝑦2 − 𝑦1) 𝑦2 = 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦1 Ou (𝑦 − 𝑦0) = 𝑚 𝑥 − 𝑥0 Exemplo: Seja (𝑥1, 𝑦1) = (1,2) e (𝑥2, 𝑦2) = (-3,6) dois pontos por onde passa a reta de uma dada função de 1º grau. Encontre a função. m = 6 −2 −3 −1 = 4 −4 = −1 Utilizando 𝑦2 = 𝑚 𝑥2 − 𝑥1 + 𝑦1 e m = - 1: 𝑦2 = -1 (𝑥2 - 1) + 2 𝑦2 = -1𝑥2 + 1 + 2 𝑦2 = -𝑥2 + 3 ou y = - x + 3 Agenda 1. Função de 1º grau: continuação 2. Função de 2º grau 3. Função Polinomial 4. Leitura e exercícios para a próxima aula Referência: Cap 3: MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012. EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT 2. Função de 2º grau EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT • É toda função do tipo: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 em que a, b e c são constantes reais e 𝑎 ≠ 0. O gráfico da função de 2º grau é uma parábola com concavidade voltada para cima se 𝑎 > 0 e concavidade voltada para baixo se 𝑎 < 0. (o ponto V dos gráficos abaixo é o ponto de vértice). 2. Função de 2º grau (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT • As raízes (𝑥1 𝑒 𝑥2) da função de 2º grau (ou interceptos no eixo x) podem ser encontradas utilizando Bhaskara: ∆ = 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐 𝑥1 = (−𝑏 + ∆)/ 2a 𝑥2 = (−𝑏 − ∆)/ 2a • Se ∆ > 0 => 𝑥1 𝑒 𝑥2 são diferentes (dois pontos de intersecção no eixo) • Se ∆ = 0 => 𝑥1 𝑒 𝑥2 são iguais • Se ∆ < 0 => não existem raízes reais (não tem intersecção no eixo x) 2. Função de 2º grau (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT • A figura abaixo ilustra as situações possíveis combinado ∆> 0 , ∆< 0 e ∆ = 0 com o sinal de a (a > 0 ou a <0): 2. Função de 2º grau (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT O estudo da função de 2º grau: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 a) Domínio da função: 𝐷𝑓 = 𝑅 b) Interceptos: • para encontrar os interceptos no eixo x utilizar Bhaskara; para encontrar o intercepto no eixo y, fazer x = 0 e substituir na função (ou seja y = c). c) Intervalos de crescimento e decrescimento • deverá ser analisado a partir do vértice da função e concavidade: • se a> 0: Se x > 𝑥𝑉 => f(x) é crescente e Se x < 𝑥𝑉 => f(x) é decrescente • se a < 0 Se x > 𝑥𝑉 => f(x) é decrescente e Se x < 𝑥𝑉 => f(x) é crescente • Lembrando que o vértice pode ser calculado como: 𝑥𝑉= − 𝑏/2𝑎 e 𝑦𝑉 = −∆/4𝑎 2. Função de 2º grau (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT O estudo da função de 2º grau: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 d) Estudo do sinal da função (sinal do y) • irá depender do sinal de a e do sinal de ∆: • quando ∆ > 0 e a < 0 => se x > 𝑥2=> y < 0 ; se x < 𝑥1 => y < 0 e se 𝑥1< x < 𝑥2 => y > 0 • quando ∆ > 0 e a > 0 => se x > 𝑥2=> y > 0 ; se x < 𝑥1 => y > 0 e se 𝑥1< x < 𝑥2 => y < 0 2. Função de 2º grau (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT O estudo da função de 2º grau: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 d) Estudo do sinal da função (estudo do y) • irá depender do sinal de a e do sinal de ∆: • se ∆ = 0 e a > 0 => y > 0 para ∀ x ≠ 𝑥2 (ou para ∀ x ≠ 𝑥1 , lembre-se que 𝑥1= 𝑥2) • se ∆ = 0 e a < 0 => y < 0 se para ∀ x ≠ 𝑥2 (ou para ∀ x ≠ 𝑥1 , lembre-se que 𝑥1= 𝑥2) • se ∆ < 0 e a > 0 => y > 0 se para ∀ x • se ∆ < 0 e a < 0 => y < 0 se para ∀ x e) Gráfico da função Já visto em slide anterior Agenda 1. Função de 1º grau: continuação 2. Função de 2º grau 3. Função Polinomial 4. Leitura e exercícios para a próxima aula Referência: Cap 3: MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012. EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT 3. Função Polinomial EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT • É toda função cuja imagem é um polinômio da variável x, isto é, f(x) é uma função polinomial de grau n se: 𝑓 𝑥 = 𝑎0𝑥 𝑛 + 𝑎1𝑥 𝑛−1 + 𝑎2𝑥 𝑛−2 + …+ 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 em que 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 são números reais e 𝑎0 ≠ 0. Ex: 𝑓 𝑥 = 3𝑥5 + 7𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1 : função polinomial de grau 5 i) função polinomial de grau zero (n=0): função constante Exemplo: f(x) = 4 => reta horizontal paralela ao eixo x 3. Função Polinomial (continuação) EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT ii) função polinomial de grau 1 (n=1): função de 1º grau Exemplo: f(x) = 2x + 4 => gráfico é uma reta iii) função polinomial de grau 2 (n=2): função de 2º grau Exemplo: f(x) = 𝑥2+ 2x – 3 => gráfico é uma parábola iv) função polinomial de grau 3 (n=3): função de 3º grau Exemplo: f(x) = 2𝑥3+ 6𝑥2 − 7x + 9 => gráfico não é feito com recursos elementares, utilizar limites e derivadas. Agenda 1. Função de 1º grau: continuação 2. Função de 2º grau 3. Função Polinomial 4. Leitura e exercícios para a próxima aula Referência: Cap 3: MORETTIN, P.A.; HAZZAN, S. e BUSSAB, W.O. Cálculo – Funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 3ª ed, 2012. EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática _ MKT 4. Leitura e exercícios para a próxima aula EACH_1º sem 2020ACH 4521 – Lógica Matemática_ MKT • Leitura: seção 3.5.7 “Função quadrática” , 3.5.8 “Funções receita e lucro quadráticas” e seção 3.5.9 “Função Polinomial do Cap 3 do livro de Cálculo do Bussab e Morettin. • Exercícios: 87 (pag 78) e lista de exercícios enviada
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