Lista 8_gabarito

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Disciplina: ACH4552 – Matemática Aplicada I 
Profa Dra. Andrea Lucchesi 
 
Lista 8 Exercícios - Gabarito 
 
 
1. Estima-se que a produção semanal de uma certa fábrica seja de Q(x)= −𝑥2 + 2100 𝑥 unidades, em 
que x é o número de operários empregados. 
 
a) Use a análise marginal para estimar o efeito na produção semanal, ao se empregar um operário 
adicional; 
Q’(x) = -2x + 2100 
Usualmente na análise marginal fixa-se ∆x = 1. Então se substituímos ∆x = 1 na expressão da 
derivada tem-se que: f’(x) = 
∆y
∆x
 => f’(x) = ∆y ou no caso aplicado aqui tem-se que Q’(x) = 
∆Q
∆x
 
=> Q’(x) = ∆Q Assim, -2x + 2100 = ∆Q, o que significa que se for empregado um operário 
adicional (∆x = 1), a variação na produção semanal será de -2x + 2100 unidades. 
 
b) Como podemos expressar a Produtividade marginal nesse caso? 
Pmg(x) = Q’(x) 
Pmg(x) = -2x + 2100 
Como x é o número de operários, a derivada desta função produção se refere à Produtividade 
marginal do trabalho. 
 
c) Calcule a variação real na produção semanal, ao se empregar um operário adicional. 
Q(x+1) – Q(x) = -(x+1)2 + 2100(x+1) + x2 – 2100 
Q(x+1) – Q(x) = -x2 + 2098x + 2099 + x2 – 2100 
Q(x+1) – Q(x) = -2x + 2099 
 
d) Suponha que a fábrica conta atualmente com 10 operários. Calcule os itens a) e c). 
a) Q’(10) = -2(10) + 2100 = 2080 
b) Q(11) – Q(10) = -2(10) + 2099 = 2079 OU Q(11) –Q(10) = 22979 – 20900 = 2079 
 
2. O custo total de fabricação de um certo produto é de C(q) = 0,1𝑞3 − 0,5𝑞2 + 500𝑞 + 200 reais, em 
que q é o número de unidades produzidas. Atualmente a fábrica produz 3 unidades. 
 
a) Use a análise marginal para estimar o custo de fabricação da 4ª unidade; 
C’(q) = 0,3q2 – q + 500 = 
∆C
∆q
. Como ∆q =1, tem-se que: 
∆C = C’(3) = 0,3(3)2 – 3 + 500 = 2,7 – 3 + 500 = 499,7 
O custo de fabricação da 4ª unidade é de R$ 499,7 (NÂO é o custo de se produzir 4 unidades) 
b) Qual é o CMg(3)? 
Cmg(q) = 0,3q2 – q + 500 
Cmg(3) = 499,7 
c) Calcule a custo real de fabricação da 4ª unidade. 
C(4) – C(3) = 0,1(4)3 – 0,5(4)2 + 500(4) + 200 - 0,1(3)3 + 0,5(3)2 - 500(3) – 200 
C(4) – C(3) = 2198,4 – 1698,2 = 500,2 
 
3. A receita total mensal proveniente da fabricação de determinado produto é de R(q) = 250 𝑞 − 0,10𝑞2, 
em que q representa o número de unidades produzidas no mês. Atualmente o fabricante produz 25 
unidades por mês e pretende passar a produzir 26 unidades por mês. 
 
 
 
 
 
a) Use a análise marginal para estimar a receita adicional gerada pela produção e venda da 26ª 
unidade; 
R’(q) = 250 – 0,2q = 
∆R
∆q
 . Como ∆q =1, tem-se que: 
 
∆R = R’(25) = 250 – 0,2(25) = 250 – 5 = 245 
A receita adicional gerada pela venda da 26ª unidade é de R$ 245. 
 
b) Calcule a receita adicional real decorrente da venda da 26ª unidade. 
R(26) – R(25) = 250(26) – 0,10(26)2 - 250(25) + 0,10(25)2 
R(26) – R(25) = 6432,4 – 6187,5 = 244,9 
A receita adicional real gerada pela venda da 26ª unidade é de R$ 244,9. 
 
c) Qual é a receita marginal decorrente da venda da 31ª unidade? 
R’(30) = 250 – 0,2(30) = 250 – 6 = 244 
A receita adicional gerada pela venda da 31ª unidade é de R$ 244. 
 
4. A produção diária de uma fábrica é de Q(L) = 360 𝐿
1
3 unidades, em que L representa o número de 
operários. Atualmente a fábrica emprega 1000 operários. Use a análise marginal para avaliar o efeito que 
um operário adicional acarreta na produção diária. Qual é a produtividade marginal do trabalho nesse 
caso? Resposta corrigida 
 
Q’(L) = 120𝐿
−2
3 . Como ∆L =1, tem-se que: 
Q’(1000) = 120(1000)
−2
3 = 120(1/100) = 1,2 
O efeito de um operário adicional, ou seja, passar de 1000 funcionários para 1001 funcionários é um 
aumento de 1,2 unidades na produção diária da fábrica. 
 
O produto marginal do trabalho - PMg(L) - é de: 
PMg(L) = Q’(L) 
PMg(L)= 120(1000)
−2
3 
 
PMg(1000)=1,2 unidades por dia 
 
A produtividade marginal do trabalho PMg(L) nesse caso é de 1,2 unidades por dia. 
 
5. Um economista está interessado em saber como o preço de uma certa mercadoria afeta suas vendas. 
Suponha que, a um preço p, é vendida uma quantidade 𝑞 de mercadoria, ou seja, a função demanda é 
dada por 𝑞 = 𝑓(𝑝). Explique o significado das afirmações 𝑓(10) = 240.000 e 𝑓’(10) = −29.000 
f(10) = ao preço de R$ 10, vende-se 240.000 mercadorias. 
f’(10) = taxa de variação média da demanda = quando o preço é R$ 10, ao aumentar o preço em uma 
unidade (ou seja, ir para R$ 11), as vendas caem em 29.000 mercadorias. 
 
 
6. O custo para produzir q itens é dado pela seguinte função custo: 𝐶(𝑞) = 0,08𝑞³ + 75𝑞 + 1000 
 
 
 
a. Ache a função de custo marginal 𝐶′(𝑞) = 0,24q² + 75 
b. Ache 𝐶(50) e 𝐶’(50). Explique o que cada um está lhe dizendo sobre os custos de produção 
C(50) = 14.750 o custo de produzir 50 itens é de R$ 14.750 
C’(50) = 675 Quando a produção é de 50 itens, ao aumentar a produção em uma unidade (para 
51), o custo sobe em R$ 675. (ou o custo de produção da 51a unidade é de R$ 675). 
7. Uma companhia produz transmissores automáticos para automóveis. O custo semanal total (em reais) 
de produzir 𝑥 transmissores é dado por: 
 𝐶(𝑥) = 50,000 + 600𝑥 − 0,75𝑥² 
a. Encontre a função custo marginal C’(x) = 600 - 1,5x 
b. Encontre o custo marginal a um nível de produção de 200 transmissores por semana, e 
interprete os resultados. C’(200) = 300. A um nível de produção de 200 transmissores, o custo 
total irá aumentar a uma taxa de $300 por transmissor 
c. Encontre o custo exato de produzir o 201º transmissor C(201) - C(200) = $299,25 
 
8. Seja a função demanda dada por Q(P) = 
20−𝑃
10
 , obtenha a elasticidade preço da demanda para 𝑃0 = 5 
e interprete o resultado. 
 
𝜀𝑃,𝐷 = 
∆%𝑄
∆%𝑃
 = Q’(P).
𝑃0
𝑄0
 
 
Q’(P) = − 
1
10
 
 
Q(5) = 
15
10
 = 𝑄0 
 
 
𝜀𝑃,𝐷 = 
5
1,5
 . (-0,1) = - 0,33 
 
Quando o preço aumenta 1%, a quantidade demandada do produto cai em 0,33%. 
Como a elasticidade está -1 < 𝜀𝑃,𝐷 < 0, a demanda por esse produto é inelática, ou seja, é pouco sensível 
a variações de preço. 
 
9. A elasticidade preço da demanda de um determinado produto é -0,4. Qual a variação percentual na 
quantidade demandada desse produto quando: a) o preço aumenta 1%; b) o preço diminui 2%; c) o preço 
aumenta 5%. Interprete cada um dos resultados. (suponha, em todos os casos, que a análise está sendo 
realizada a partir do 𝑃0) 
 
a) 𝜀𝑃,𝐷 = 
∆%𝑄
∆%𝑃
 => -0,4 = 
∆%𝑄
1%
 => ∆%𝑄 = -0,4% 
quando o preço aumenta 1% a quantidade demandada cai 0,4% 
 
 
 
 
b) 𝜀𝑃,𝐷 = 
∆%𝑄
∆%𝑃
 => -0,4 = 
∆%𝑄
−2%
 => ∆%𝑄 = 0,8% 
quando o preço cai 2% a quantidade demandada sobe 0,8% 
 
c) 𝜀𝑃,𝐷 = 
∆%𝑄
∆%𝑃
 => -0,4 = 
∆%𝑄
5%
 => ∆%𝑄 = -2% 
quando o preço aumenta 5% a quantidade demandada cai 2% 
 
 
10. Admita que a quantidade demandada Q e o preço P de um certo produto estejam relacionados pela 
equação linear Q(P) = 240 – 2P, em que 0 < P < 120. 
 
a) Exprima a elasticidade preço da demanda em função de P. 
𝜀𝑃,𝐷 = Q’(P) .
𝑃0
𝑄0
 
 
Q’(P) = -2 
 
𝑄0 = Q(𝑃0) = 240 - 2𝑃0 
 
𝜀𝑃,𝐷 = 
𝑃0
240−2𝑃0
 . (-2) 
 
𝜀𝑃,𝐷 = − 
𝑃0
120−𝑃0
 
 
b) Calcule a elasticidade preço da demanda quando 𝑃0=100. Interprete sua resposta. 
𝜀𝑃,𝐷 = − 
100
120−100
 = - 5 
 
Nesse trecho da curva de demanda (𝑃0=100) a demanda é elástica, ou seja, a quantidade 
demandada por esse produto é muito sensível a variações de preço: se o preço aumentar em 
1%, a quantidade demandada irá cair em 5%. 
 
c) Calcule a elasticidade preço da demanda quando 𝑃0= 50. Interprete sua resposta. 
𝜀𝑃,𝐷 = − 
100
120−50
 = - 1,42 
 
Nesse trecho da curva de demanda (𝑃0=50) a demanda é elástica, ou seja, a quantidade 
demandada por esse produto é muito sensível a variações de preço: se o preço aumentar em 
1%, a quantidade demandada irá cair em 1,42%. 
 
 
d) Para que preço a elasticidade preço da demanda é igual a -1? Interprete esse resultado. 
−1 = − 
100
120−𝑃0
 
 
𝑃0 = 20 
 
Quando o preço inicial (𝑃0) é 20 reais, seo preço aumentar 1% a quantidade demandada desse 
produto irá cair em 1%, ou seja, irá cair na mesma proporção (em módulo) que a elevação de 
preço. 
 
 
 
 
11. Suponha que a função demanda de determinado produto seja Q(P) = 300 - 𝑃2. 
 
a) Determine para qual preço a demanda é unitária; 
𝜀 = Q’(P) 
𝑃0
𝑄0
 
 
Q’(P) = -2P 
Q(𝑃0) = 300 – (𝑃0)2 
-1 = 
𝑃0
300 – (𝑃0)2
 . (-2𝑃0) 
 
𝑃0 = 10