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Problemas de Cálculo

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- Resposta: \( x = \frac{\pi}{6} \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} \) (ou qualquer \( \frac{\pi}{6} + 2\pi 
n \) onde \( n \) é um inteiro). Explicação: Esses são os ângulos em que o seno é \( 
\frac{1}{2} \). 
 
78. Calcule a derivada de \( f(x) = \cos(4x) \). 
 - Resposta: \( f'(x) = -4\sin(4x) \). Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar a 
função trigonométrica composta. 
 
79. Qual é a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo x no intervalo \( [0, 
\frac{\pi}{2}] \)? 
 - Resposta: \( 1 \) unidade quadrada. Explicação: Integramos \( \sin(x) \) de \( 0 \) a \( 
\frac{\pi}{2} \). 
 
80. Determine a solução para a equação \( e^{5x} = 4 \). 
 - Resposta: \( x = \frac{\ln(4)}{5} \). Explicação: Tomamos o logaritmo natural em ambos 
os lados para resolver a exponencial. 
 
81. Encontre a derivada de \( f(x) = \sqrt{\ln(x)} \). 
 - Resposta: \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}} \cdot \frac{1}{x} \). Explicação: Usamos a regra 
da cadeia para derivar a raiz quadrada de \( \ln(x) \). 
 
82. Qual é o valor de \( \arccos(-\frac{1}{2}) \)? 
 - Resposta: \( \frac{2\pi}{3} \). Explicação: \( \arccos(-\frac{1}{2}) \) é o ângulo cujo 
cosseno é \( -\frac{1}{2} \). 
 
83. Determine a solução para a equação \( \log(x) = 5 \). 
 - Resposta: \( x = 100000 \). Explicação: \( 10^5 = 100000 \), então \( x = 100000 \). 
 
84. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \). 
 - Resposta: \( 1 \). Explicação: Este é um limite fundamental que pode ser encontrado 
usando a regra de L'Hôpital ou geometria. 
 
85.

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