CÁLCULO APLICADO UMA VARIÁVEL

Prévia do material em texto

Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no 
círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, 
devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do 
ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume 
no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, mostrado na 
figura, determine o valor de 
 
 
Fonte: elaborada pela autora 
O valor encontrado é: 
 
Resposta Selecionada: 
 
√2/2 
 
Resposta Correta: 
 
 
Feedback da resposta: 
Resposta correta. 
 
 
 
Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
Em relação à limite e continuidade de uma função f(x) , sabemos que uma função é 
contínua num ponto P quando o valor do limite dessa função, quando x tende a esse ponto 
é igual ao valor da função no ponto P. Podemos fazer essa verificação analisando o gráfico 
da função. 
Nesse contexto, em relação a limite e continuidade de função, observe o gráfico da 
função f(x) , a seguir, e avalie as afirmativas a seguir: 
 
Fonte: elaborada pela autora 
 
 
 O limite lateral à direita de 2 é igual a 1. 
 A função f(x) é contínua em x = 2. 
 O limites laterais em x = 2 existem e são iguais. 
 A função f(x) é contínua em x=0. 
 
 
É correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
I e IV, apenas. 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. 
(Verdadeira) O limite lateral à direita de 2 é igual a 1. Vê-se 
graficamente. 
(Verdadeira) A função f(x) é contínua em x=0. Vê-se graficamente 
que , portanto a função é contínua nesse ponto. 
 
 
Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
Para derivar funções, é necessário conhecer e saber utilizar as suas regras operatórias: 
deriva da soma entre duas funções, derivada do produto entre duas ou mais funções, 
derivada do quociente entre duas funções, derivada da cadeia, para derivar as funções 
constantes. Neste contexto, associe tais regras com suas fórmulas: 
 
1 - Derivada do Produto. 
2 - Derivada do Quociente. 
3 - Derivada da Soma. 
4 - Derivada da Cadeia. 
 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
 
A partir das relações feitas anteriormente, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
2, 3, 1, 4. 
Resposta Correta: 
2, 3, 1, 4. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com as regras estudadas, temos 
que = Derivada do Quociente. = Derivada da Soma. 
= Derivada do Produto. = Derivada da Cadeia. 
 
 
 
Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Para determinarmos o cosseno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no 
círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, 
 
devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o cosseno do 
ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o cosseno 
assume no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, 
mostrado na figura, determine o valor de 
 
 
Fonte: elaborada pela autora 
O valor encontrado é: 
Resposta Selecionada: 
 
-1 
 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. , devido a projeção no eixo das 
abscissas. 
 
 
 
Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do 
movimento em metros, em segundos, velocidade instantânea e 
aceleração . Conhecendo-se a função velocidade, é possível determinar as funções 
espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio do cálculo diferencial e integral. Nesse 
contexto, considere a função e seu gráfico como suporte (figura a seguir) e analise 
as afirmativas a seguir. 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
I. Sabendo que e quando , a equação de s em função do tempo é 
dada por . 
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo e , se, para , é 
 
igual a integral 
III. A função aceleração da partícula no instante inicial é igual a . 
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os 
instantes e , em que . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
II, III e IV, apenas. 
Resposta Correta: 
II, III e IV, apenas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A resposta está correta, pois a alternativa I é 
verdadeira, uma vez que, por mudança de variável, fazendo , 
temos: 
, substituindo , . A alternativa II é verdadeira, pois o 
deslocamento é dado por É fácil ver que a aceleração é igual à 
derivada da função velocidade . Por fim, a alternativa é 
verdadeira, pois o deslocamento quando a função é toda positiva e a 
posição inicial é igual a zero, coincide com a distância percorrida. 
 
 
 
Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
A regra de L’Hospital é usada para resolver limites com a utilização da função derivada. 
Inicialmente, deve-se substituir a tendência do limite na variável x, para avaliar 
possivelmente o tipo de indeterminação. No caso de indeterminação 0/0, é possível utilizar 
a regra de L’Hospital diretamente. Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o valor 
do limite: . 
 
Resposta Selecionada: 
 
11/4 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois ao substituir a 
tendência do limite na variável x, constatou-se que a indeterminação é 
do tipo 0/0. Derivando-se ambos os termos da função polinomial 
racional (regra de L’Hospital) e resolvendo o limite obteve-se o 
resultado de 11/4. Verifique os cálculos a seguir: . 
 
 
Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
O cálculo de área de regiões planas é possível por meio do cálculo integral definido. Entre 
as regiões, podemos encontrar o valor exato da área de regiões limitadas por duas curvas, 
como, por exemplo, a região limitada simultaneamente pelas curvas e . Nesse 
sentido, encontre a área proposta, usando como suporte o gráfico da figura a seguir, e 
assinale a alternativa correta. 
 
Figura 4.1 - Região limitada pelas funções e 
 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
37/12 u.a 
 
 
Resposta Correta: 
. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, para encontrar a 
área proposta, resolvemos a integral , pois, de a , a 
função limita superiormente e, de a , 
 
a função limita superiormente. A região é limitada 
simultaneamente por ambas as funções. Portanto: 
 
 
Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, 
para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos para simplificar a função. 
Para funções racionais polinomiais de grau 2, é recomendável utilizar a fatoração do 
polinômio, através da regra prática em que . Assim, basta encontrar as raízes do 
polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, encontre o 
limite e assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido para o limite. 
 
Resposta Selecionada: 
-2. 
Resposta Correta: 
-2. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é igual a -2 . Para 
fatorar o polinômio , utiliza-se o quadrado da diferença, 
portanto: . Para fatorar o polinômio de grau 2, por Bhaskara, as 
raízes são -1 e -2, portanto . Assim, . 
 
 
 
Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Para usar a regra de L’Hospital diretamente, é necessário que a indeterminação seja do 
tipo ou . Quando isso não ocorre, devemos aplicar artifícios matemáticos para 
preparar a função e obter as indeterminações adequadas para aplicação da regra de 
L’Hospital. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao 
calcular . 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
 
-3 
 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta, poisapós preparar a 
função e utilizar a regra de L’Hospital, obteve-se o valor de -3 para o 
limite, como mostra os cálculos a seguir. 
 . 
. 
 
 
Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
Numa avaliação, um professor solicitou que os alunos encontrassem a derivada da 
seguinte função racional polinomial: . Chamou a atenção do professor a 
resolução do aluno Paulo, que derivou a função uma vez e fez as afirmações 
descritas nas asserções I e II, a seguir. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções I e II e a relação proposta entre 
elas. 
 
I. A derivada da função é igual 
Pois: 
II. para derivar nesse caso é necessário usar a regra do quociente. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
Resposta Correta: 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição 
verdadeira. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A asserção I é uma proposição falsa. De acordo 
com a regra do quociente, a derivada da função racional é igual 
a , diferentemente da derivada proposta na afirmativa I. É 
 
evidente que a afirmativa II é verdadeira, pois foi utilizada a regra do 
quociente para derivar.