Avaliação On-Line 3 (AOL 3) - Questionário

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Pergunta 1 -- /1
O estudo do Cálculo Diferencial é repleto de interpretações geométricas acerca das curvas de funções. 
Considerando as funções f left parenthesis x right parenthesis equals x squared plus x x over 2 plus 3 space
e g(x)=x³−3 e com base nos seus conhecimentos acerca de funções compostas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=½ é igual a 3/2. 
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de f(x). 
III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx². 
IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
 V, F, F, V. 
 V, V, V, F. 
F, F, F, V. 
Resposta corretaV, V, F, F. 
 F, V, V, F. 
Pergunta 2 -- /1
O estudo dos limites e de suas propriedades tem fundamental importância para o Cálculo, pois com esse conceito 
definimos a noção da derivada de uma função em um ponto por meio da aproximação de um intervalo infinitesimal em 
torno desse ponto, analisando sua taxa de variação. 
De acordo com essas informações e com seus conhecimentos sobre o significado da derivada como limite, seu uso em 
problemas da reta tangente e de velocidade instantânea, analise as afirmativas a seguir. 
I. A velocidade instantânea de um corpo em movimento uniformemente variado em determinado ponto de sua trajetória 
é sempre igual à sua velocidade média. 
II. A reta tangente à curva da função f(x) no ponto P(a,f(a)) tem seu coeficiente angular dado pelo limite de [f(x) − f(a)]/(x 
− a) quando x -> a. 
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III. O limite citado no item II pode ser entendido como uma taxa de variação, e no caso de um gráfico de velocidade por 
tempo, em seus pontos de máximo ou mínimo temos que a taxa de variação (aceleração) vale zero. 
IV. Em regiões crescentes de um gráfico, a derivada da função é maior que zero, e em regiões decrescentes, a 
derivada da função é negativa. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 II e III. 
I, e IV.
Resposta correta II, III e IV. 
 I, II e III. 
 II e IV. 
 
Pergunta 3 -- /1
A estudo de taxas de variação tem importantes aplicações em fenômenos físicos, como o do movimento de corpos, o 
do escoamento de líquidos, o do fluxo de campos magnéticos, entre outros. 
Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre o significado das taxas de variação e 
sua relação com o estudo do Cálculo, analise as afirmativas a seguir. 
I. O limite de 
fraction numerator left square bracket f left parenthesis a plus h right parenthesis minus f left parenthesis a right 
parenthesis right square bracket over denominator h end fraction
, quando h -> 0, é conhecido como a derivada da função f em x=a, caso a função seja diferenciável nesse ponto. 
II. Encontrando a derivada da função em um ponto P(a,f(a)), para encontrar uma equação da reta tangente é possível 
substituir as coordenadas dos pontos e o valor da derivada na equação da reta, que pode ser escrita como y−f(a)=f’(a)
(x−a). 
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma taxa de variação da função no ponto 
que representa o ângulo de inclinação da reta tangente à função nesse mesmo ponto. 
IV. A reta tangente af(x), que passa pelo ponto P(a,f(a)), tem inclinação igual a f’(a), que é a derivada de f(x), onde x=a. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
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 I, II e III. 
Incorreta: II e III. 
II e IV. 
 I, e IV. 
Resposta corretaI, II e IV. 
Pergunta 4 -- /1
O estudo das funções polinomiais é muito importante devido a uma série de aplicações que possui na vida real, como 
em funções que modelam custos de mercadorias, contas de energia e água, movimento de corpos e etc. 
Dessa forma, considerando a importância dessas funções e seus conhecimentos sobre a regra da derivada da potência 
de base x, analise as afirmativas a seguir. 
I. A derivada de uma função constante sempre é igual a zero. 
II. Dada uma função f(x)=x , sua derivada é f’(x)=(n−1)x . 
III. A derivada de uma função vezes uma constante é igual à derivada da função vezes a derivada da constante. 
IV. Dada a função f(x)=5(x³+2x²+5x), f’(x)=5(3x²+4x+5). 
Está correto apenas o que se afirma em: 
n n−1
 I, II, e IV. 
 I, II e III. 
II e III. 
 II e IV. 
Resposta corretaI e IV. 
Pergunta 5 -- /1
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Funções trigonométricas são aquelas definidas a partir do círculo unitário, e podem ser categorizadas entre dois 
grupos: aquelas que são diretas e aquelas que são inversas. As funções inversas referem-se ao arco seno, arco 
cosseno, arco tangente, entre outros. Cada uma dessas funções possui uma derivada particular, que seguem as suas 
propriedades específicas. 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das trigonométricas inversas e suas derivadas, analise 
as afirmações a seguir: 
I. Dada f(x)=sen x, tem se que 
f apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 1 
menos x ao quadrado fim da raiz fim da fração
II. sen x ≠ arcsen x. 
III. Todas as funções inversas são funções trigonométricas. 
IV. Dada f(x)=cos x tem-se que 
f apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito igual a menos numerador 1 sobre denominador raiz quadrada de 
1 menos x ao quadrado fim da raiz fim da fração
Está correto apenas o que se afirma em: 
−1 
−1
−1
 II e III. 
 I e III. 
Incorreta: II, III e IV. 
 I e II. 
Resposta correta I e IV. 
Pergunta 6 -- /1
As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de raio unitário, e relacionam-se entre si de 
diversas maneiras. A tangente, por exemplo, é a razão entre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos 
dentro desse círculo trigonométrico. Compreender e manipular suas derivadas é fundamental para o desenvolvimento 
dos estudos de Cálculo Diferencial e Integral. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, analise as 
afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A função trigonométrica f(x)=5cosx tem como derivada −5senx. 
II. ( ) A função f(x)=sen(cosx) é uma função trigonométrica composta, que pode ser derivada pela regra da cadeia. 
III. ( ) As derivadas de f(x)=cosxe g(x)=senx são iguais a, respectivamente, f’(x)=senx e g’(x)=cosx. 
IV. ( ) A função f(x)=sen(3x)+1 tem sua derivada definida por f’(x)=cos(3x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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 F, F, V, F. 
 V, V, F, V. 
 F, F, V, F. 
Resposta correta V, V, F, F. 
 V, F, V, V. 
Pergunta 7 -- /1
O estudo das funções trigonométricas é muito importante dentro do cálculo, sendo inclusive feitas substituições de 
variáveis por variáveis trigonométricas em cálculos de integrais muito complexas. Dessa forma, conhecer as regras de 
derivação para funções trigonométricas é essencial no estudo de Cálculo Diferencial e Integral. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções trigonométricas, associe as 
funções a seguir com suas respectivas derivadas. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
s(1)(1).png
Resposta correta 1, 3, 4, 2. 
 1, 2, 4, 3. 
1, 3, 2, 4. 
 3, 1, 4, 2. 
 3, 1, 2, 4. 
Pergunta 8 -- /1
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As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses 
conceitos em física ocorre no estudo das velocidades instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, 
velocidade (que é a taxa de variação da posição) e aceleração (que é a taxa de variação da velocidade). 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com seus conhecimentossobre 
funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites laterais coincidirem. 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g’(a)=(3a+1)². 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua velocidade quando t=2 é de -10m/s. 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
V, V, F, F. 
Resposta correta F, F, V, V. 
 F, V, F, V. 
 F, F, V, F. 
V, F, F, V.
Pergunta 9 -- /1
Para os estudos nas ciências exatas, é necessário que se saiba identificar quais métodos de derivação utilizar em cada 
situação e a teoria que fundamenta aquele método. 
Com base nessas informações e nos seus conhecimentos acerca da Regra da Cadeia, faça as associações a seguir: 
1) f(x)=cos(2x). 
2) f(x)=3x²+1. 
3) Regra da Cadeia. 
4) f(x)=(x+1)². 
( ) É útil na derivação de funções compostas. 
( ) É uma função composta que pode ser derivada pela Regra da Cadeia, mas também pela regra do produto. 
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( ) É uma função composta que pode ser diferenciável pela Regra da Cadeia. 
( ) Não é uma função composta, portanto, não há necessidade da aplicação da Regra da Cadeia. 
Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 1, 2, 4, 3. 
 2, 1, 3, 4. 
Resposta correta 3, 4, 1, 2. 
 1, 3, 2, 4. 
 3, 4, 2, 1. 
Pergunta 10 -- /1
As regras de derivação permitem uma manipulação algébrica mais rápida das expressões, tornando-se ferramentas 
importantes para o estudo do Cálculo Diferencial. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados a respeito da regra de derivação da diferença entre 
funções, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A derivada de uma função f(x)=x²−x−1 é f’(x)=2x−1. 
II. ( ) A regra é aplicável às funções algébricas e não algébricas. 
III. ( ) A função trigonométrica f(x)=cosx−2senx não é diferenciável pela regra de derivação da diferença entre funções. 
IV. ( ) Essa regra é representada pela relação [f(x)−g(x)]’=f’(x)–g’(x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Resposta correta V, V, F, V. 
 V, F, V, V. 
 F, F, V, V. 
 V, V, V, F. 
 V, F, F, F.