matematica faculdade estacio-105

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7. Resolva a equação exponencial \( 2^{3x - 1} = 16 \). 
 - Resposta: \( x = 1 \). 
 - Explicação: Isolando \( x \) na equação \( 2^{3x - 1} = 16 \), obtemos \( 3x - 1 = 4 \), então 
\( x = 1 \). 
 
8. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 - Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} \), onde \( C_1 \) e \( C_2 \) são 
constantes arbitrárias. 
 - Explicação: Resolva a equação característica associada e use o método da 
superposição para encontrar a solução geral. 
 
9. Calcule a integral imprópria \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx \). 
 - Resposta: A integral converge para 1. 
 - Explicação: Avaliando a integral definida, obtemos \( \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} 
\frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} = 1 \). 
 
10. Determine o ponto de máximo global da função \( f(x) = -2x^3 + 6x^2 - 36x + 7 \). 
 - Resposta: O ponto de máximo global é \( (3, 16) \). 
 - Explicação: Encontre os pontos críticos e determine se são máximos ou mínimos 
usando a segunda derivada. 
 
11. Encontre a inversa da função \( f(x) = 3x + 5 \). 
 - Resposta: A inversa é \( f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{3} \). 
 - Explicação: Troque \( f(x) \) por \( y \), troque \( x \) por \( f^{-1}(x) \) e resolva para \( f^{-
1}(x) \). 
 
12. Resolva a equação logarítmica \( \log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3 \). 
 - Resposta: \( x = 5 \). 
 - Explicação: Combine os logaritmos usando a propriedade dos logaritmos e resolva 
para \( x \). 
 
13. Calcule a derivada da função \( f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \). 
 - Resposta: A derivada é \( f'(x) = \frac{2}{(x^2 + 1)^{3/2}} \).