A2 - Cálculo Aplicado - Uma Variável

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PERGUNTA 1 
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma: funções 
contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada,​ funções 
contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de classe 
. Toda função polinomial racional é uma função de classe , ou seja admite 
as derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale a 
alternativa que indique qual é o resultado obtido para . 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A derivada correta é igual a . Inicialmente, 
deve-se utilizar a regra do quociente para obter a primeira derivada, que é 
igual a: . Daí, deriva-se novamente para 
obter a segunda derivada, aplicando novamente a regra do quociente. 
Portanto, temos: 
 
 
 
Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
 Existem funções que são definidas na forma implícita, ou seja, a variável 
dependente y não se apresenta explicitamente como A forma 
implícita pode ser representada como . Nem sempre é possível 
explicitar a variável y na expressão implícita, portanto, deve-se derivar a 
função dada na forma implícita. 
Nesse contexto, dada a função , definida 
implicitamente, assinale a alternativa que determine o valor de . 
 
 
Resposta Selecionada: 
 . 
Resposta Correta: 
 . 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. Para derivar implicitamente, 
devem-se derivar ambos os lados da equação. 
Verifique os cálculos a seguir, que constatam 
que o valor da derivada é igual a De 
fato, temos: . 
 
 
 
 
Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
 Quando a indeterminação do limite é igual a 0/0, e a função é racional 
polinomial, recomenda-se utilizar artifícios matemáticos para simplificar a 
função. Nesse caso de funções racionais polinomiais, utiliza-se a fatoração 
do polinômio através da regra prática de Ruffini para facilitar os cálculos. 
 Nesse sentido, encontre o limite e assinale a alternativa que 
indique qual é o resultado obtido para o limite. 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é 
igual a 21/19. Inicialmente, verifica-se que, ao 
substituir a tendência do limite, a indeterminação é 
do tipo 0/0. Assim, pela regra de Ruffini, 
e 
 
, portanto, o 
valor do limite é igual a : 
. 
 
Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
 Ao derivar uma função composta, é necessário aplicar a regra da cadeia. 
Verifique que a função é uma composição da função 
seno com a função polinomial elevado a 2 (função potência). Assim, para 
derivar essa função, aplica-se inicialmente a derivada da função potência, em 
seguida, da função seno e, por fim, a função polinomial. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o valor de 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. De acordo com os 
cálculos a seguir, o valor correto é . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta 5 
0 em 1 pontos 
 
 Para derivar a função , é necessário conhecer a 
derivada da função tangente e a regra da cadeia, pois essa função é uma 
composição da função tangente, polinomial e potência. Assim, inicialmente, 
deve-se aplicar a derivada da função potência, depois da função tangente e, 
por fim, a função polinomial. 
 
 Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual o valor de 
 
 
Resposta Selecionada: 0 
Resposta Correta: 0 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta. Aplicando-se os 
passos evidenciados, a derivada da função 
potência, depois a derivada da tangente e, em 
seguida, a derivada da função polinomial, o 
seguinte cálculo mostra que . 
 
 
 
Pergunta 6 
0 em 1 pontos 
 
 Uma função, definida por várias sentenças pode ser derivada, 
respeitando-se a limitação do domínio para cada sentença e atendendo a 
condição para que a derivada de uma função exista num ponto : as 
derivadas laterais a direita, , e a derivada lateral à esquerda, 
, existem e são iguais. Segundo Fleming (2006) nem toda função 
contínua num ponto é derivável, no entanto, foi comprovado por teorema que 
toda função derivável num ponto é contínua. Considere a função f(x) a 
seguir, definida por várias sentenças: 
FLEMING, D. M. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006. 
 
 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A função é derivável em . 
II. ( ) A derivada de existe, pois as derivadas laterais são: 
. 
III. ( ) A função não é derivável em porque não é contínua em 
. 
IV. ( ) A função é derivável em , porque é contínua em . 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
 
Resposta Selecionada: ​V, V, V, 
V. 
Resposta Correta: ​F, F, V, 
F. 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Sua resposta está incorreta. A afirmativa I é falsa, 
sendo que é derivável em , logo, 
. De fato: 
 
. 
 
A afirmativa II é falsa, visto que a derivada de 
existe, pois , pois, 
. De fato: 
 
. 
A afirmativa III é verdadeira, dado que não é 
derivável em porque não é contínua em 
. De fato, , portanto, f não é 
derivável em x=2. 
 
 
Já a afirmativa IV é falsa, uma vez que é 
derivável em , porque é contínua em 
. O fato de uma função ser contínua não 
garante a sua derivabilidade. 
 
● 
● 
Pergunta 7 
● 1 em 1 pontos 
● 
 
 A derivada de uma função aplicada a um ponto P é igual 
ao coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto 
P. Sendo assim, é possível encontrar as equações da reta tangente e 
da reta normal . Nesse contexto, encontre as equações da reta 
tangente e da reta normal à curva , no 
ponto e analise as afirmativas a seguir. 
 
I. A equação da reta tangente é igual a 
II. A equação da reta normal é igual a​ 
III. O coeficiente angular da reta normal é o valor inverso do 
coeficiente angular da reta normal. 
IV. A derivada da função é igual à , 
portanto, o coeficiente angular da reta normal é igual a . 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: ​I e IV, 
apenas. 
Resposta Correta: ​I e IV, apenas
 
Feedback 
da 
respos
a: 
Resposta correta. De acordo com os 
cálculos a seguir: 
, 
equação da reta tangente é igual a 
Como o coeficiente da reta normal é 
igual ao valor oposto inverso do valor do
coeficiente angular da reta tangente, a 
equação da reta normal é igual a 
 
 
 
Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
 Ao calcular limites, pode ocorrer uma indeterminação matemática do tipo 0/0. 
Nesse caso, para determinar o limite, devemos utilizar artifícios matemáticos 
para simplificar a função. Para funções racionais polinomiais de grau 2, é 
recomendável utilizar a fatoração do polinômio, através da regra prática em 
que . Assim, basta encontrar as raízes 
do polinômio por Bhaskara. Isso facilita bastante os cálculos. Nesse sentido, 
encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
 
 
Resposta Selecionada: 
-2. 
Resposta Correta: 
-2. 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. O valor correto para o limite é 
igual a -2 . Para fatorar o polinômio , 
utiliza-se o quadrado da diferença, portanto: 
. Para fatorar o polinômio 
de grau 2, por Bhaskara, as raízes são -1 e -2, 
portanto . Assim, 
. 
 
 
Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
 
1. Seja a função espaço tempo , em que t representa o tempo. 
A velocidade média em um intervalo de tempo inicial (​ e tempo final 
é dada por . A derivada de uma função aplicada a um 
ponto pode ser vista como uma taxa de variação instantânea. Na cinemática, 
dizemos que a função velocidade é a derivada da função espaço 
em relação ao tempo , enquanto que a aceleração 
é a derivada da função velocidade em relaçãoao tempo 
. Com essas informações, considere a seguinte 
situação-problema: uma bola é atirada no ar com uma velocidade inicial de 
40 m/s e sua altura (em metros), após t segundos, é dada por 
 
Nesse contexto, analise as afirmativas a seguir: 
I. A velocidade média para o período de tempo que começa quando e 
dura é igual a -25,6 m/s. 
II. A velocidade instantânea quando é igual a . 
III. O instante em que a velocidade é nula é . 
IV. A altura máxima atingida pela bola é de 25 metros. 
 
Está correto o que se afirma em: 
 
 
Resposta Selecionada: ​I, III e IV, 
apenas. 
Resposta Correta: ​I, III e IV, 
apenas. 
 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. A afirmativa I é correta, visto 
que a velocidade média para o período de tempo 
que começa quando e dura é igual 
a -25,6 m/s. De fato: 
. A afirmativa II é incorreta, uma vez que a 
velocidade instantânea quando é igual a 
. 
A velocidade instantânea é dada por: 
 
A afirmativa III é correta, porque o instante em que 
a velocidade é nula é . De fato: 
Por fim, a afirmativa IV é incorreta, dado que a 
altura máxima atingida pela bola é de 25 metros. 
De fato, nesse caso, o tempo para atingir a altura 
máxima é de e . 
Portanto, a altura de máxima é de 
. 
 
Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
 Para derivar funções, é necessário saber como derivar as funções 
elementares, que são tabeladas, e também as regras operatórias: soma, 
produto e quociente. Para derivar a função ​, é necessário 
conhecer a derivada da função exponencial, logarítmica e a regra do 
quociente. Nesse sentido, assinale a alternativa que determine o valor de 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
. 
Resposta Correta: 
. 
 
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da 
respo
sta: 
Resposta correta. O valor correto é . Verifique os 
cálculos abaixo, em que inicialmente foi aplicada a 
regra operatória do quociente; em seguida, as 
derivadas da função logarítmica e potência. Após 
obter a , aplicou-se o ponto para alcançar 
o resultado. Cálculos: 
 
 
 
, 
desde quando