matematica faculdade estacio-117

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84. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \). 
 - Resposta: O limite é 0. 
 - Explicação: Utilize a regra de L'Hôpital ou compare os crescimentos das funções. 
 
85. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = \cos(x) \) e \( y = \sin(x) \) entre \( 
x = 0 \) e \( x = \pi \). 
 - Resposta: A área é \( 2 \). 
 - Explicação: Calcule a integral definida da função entre os limites dados. 
 
86. Encontre a derivada de \( f(x) = \int_{0}^{x^3} e^{-t^2} \, dt \). 
 - Resposta: A derivada é \( f'(x) = 3x^2e^{-x^9} \). 
 - Explicação: Utilize o teorema fundamental do cálculo para derivar a integral definida. 
 
87. Resolva a equação diferencial \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \). 
 - Resposta: A solução é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} \). 
 - Explicação: Resolva a equação homogênea associada e utilize o método dos 
coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
88. Calcule a integral de linha \( \int_C (x^2 + y^2) \, ds \), onde \( C \) é o segmento de 
linha que vai de \( (0, 0) \) a \( (1, 1) \). 
 - Resposta: A integral de linha é \( \sqrt{2} \). 
 - Explicação: Utilize a fórmula da integral de linha para calcular a integral ao longo do 
segmento de linha. 
 
89. Determine a equação da reta que passa pelos pontos \( (2, 1, -3) \) e \( (-1, 3, 2) \). 
 - Resposta: A equação da reta é \( x = 2 - 3t \), \( y = 1 + 2t \), \( z = -3 + 5t \). 
 - Explicação: Utilize a fórmula da equação da reta com dois pontos. 
 
90. Resolva a equação diferencial não homogênea \( y'' + y = \sin(x) \). 
 - Resposta: A solução é \( y(x) = C_1\cos(x) + C_2\sin(x) - \frac{1}{2}\cos(x) \). 
 - Explicação: Resolva a equação homogênea associada e utilize o método dos 
coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular.