matematica faculdade estacio-118

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91. Calcule a derivada de \( f(x) = \int_{0}^{x^2} e^{-t^2} \, dt \). 
 - Resposta: A derivada é \( f'(x) = 2xe^{-x^4} \). 
 - Explicação: Utilize o teorema fundamental do cálculo para derivar a integral definida. 
 
92. Determine a solução geral da equação diferencial \( y'' + 4y = 0 \). 
 - Resposta: A solução geral é \( y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-2x} \). 
 - Explicação: Resolva a equação característica associada. 
 
93. Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \). 
 - Resposta: O limite é 0. 
 - Explicação: Utilize a regra de L'Hôpital ou compare os crescimentos das funções. 
 
94. Determine a área da região limitada pelas curvas \( y = x^2 \) e \( y = 4x - x^2 \). 
 - Resposta: A área é \( \frac{32}{3} \). 
 - Explicação: Encontre os pontos de interseção das curvas e calcule a integral da 
diferença entre elas. 
 
95. Encontre a derivada de \( f(x) = \int_{0}^{x^2} e^{-t^2} \, dt \). 
 - Resposta: A derivada é \( f'(x) = 2xe^{-x^4} \). 
 - Explicação: Utilize o teorema fundamental do cálculo para derivar a integral definida. 
 
96. Resolva a equação diferencial \( y'' + 4y = \cos(2x) 
 
 \). 
 - Resposta: A solução é \( y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) \). 
 - Explicação: Resolva a equação homogênea associada e utilize o método dos 
coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. 
 
97. Calcule a integral de linha \( \int_C (x^2 + y^2) \, ds \), onde \( C \) é o círculo \( x^2 + 
y^2 = 1 \) percorrido no sentido anti-horário. 
 - Resposta: A integral de linha é \( \pi \). 
 - Explicação: Utilize a parametrização do círculo e integre.