matematica faculdade estacio-164

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Resposta: A área sob a curva \( y = \sin(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{4} \) é dada pela 
integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(x) \, dx \). Aplicando a regra da integral 
definida, obtemos \( \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\cos(\frac{\pi}{4}) - (-\cos(0)) 
= -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \) unidades quadradas. 
 
83. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\tan(2x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada da tangente em \( x = \in 
 
fty \), sabemos que \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\tan(2x)}{x} = 2 \). 
 
84. Questão: Resolva a equação \( 6^x = 36 \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos o logaritmo na base 6 em ambos os 
lados, resultando em \( x = \log_{6}(36) = 2 \). 
 
85. Questão: Se \( f(x) = \sin(3x) \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
 Resposta: A derivada de \( \sin(3x) \) em relação a \( x \) é \( 3\cos(3x) \). Isso pode ser 
obtido aplicando a regra da cadeia e a regra da derivada da função seno. 
 
86. Questão: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sqrt{x} \) e o eixo x de 
\( x = 0 \) a \( x = 9 \). 
 Resposta: A área sob a curva \( y = \sqrt{x} \) de \( x = 0 \) a \( x = 9 \) é dada pela integral 
definida \( \int_{0}^{9} \sqrt{x} \, dx \). Aplicando a regra da integral definida, obtemos \( 
\left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{9} = \frac{2}{3} \times 9^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} 
\times 27 = 18 \) unidades quadradas. 
 
87. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(4x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada da tangente em \( x = 0 \), sabemos que \( 
\lim_{{x \to 0}} \frac{\tan(4x)}{x} = 4 \). 
 
88. Questão: Resolva a equação \( \log_{8}(x) = \log_{8}(64) \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos a definição de logaritmo na base 8, 
resultando em \( x = 64 \). 
 
89. Questão: Se \( f(x) = e^{5x} \), qual é a derivada \( f'(x) \)?