matematica faculdade estacio-165

Prévia do material em texto

Resposta: A derivada de \( e^{5x} \) em relação a \( x \) é \( 5e^{5x} \). Isso ocorre porque 
a derivada da função exponencial é ela mesma multiplicada pelo coeficiente da variável 
independente. 
 
90. Questão: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = \sin(x) \) e o eixo x de 
\( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{6} \). 
 Resposta: A área sob a curva \( y = \sin(x) \) de \( x = 0 \) a \( x = \frac{\pi}{6} \) é dada pela 
integral definida \( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin(x) \, dx \). Aplicando a regra da integral 
definida, obtemos \( \left[ -\cos(x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} = -\cos(\frac{\pi}{6}) - (-\cos(0)) 
= -\frac{\sqrt{3}}{2} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} \) unidades quadradas. 
 
91. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\cos(3x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada do cosseno em \( x = \infty \), sabemos que 
\( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\cos(3x)}{x} = 0 \). 
 
92. Questão: Resolva a equação \( 9^x = 81 \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos o logaritmo na base 9 em ambos os 
lados, resultando em \( x = \log_{9}(81) = \frac{4}{2} = 2 \). 
 
93. Questão: Se \( f(x) = \ln(5x) \), qual é a derivada \( f'(x) \)? 
 Resposta: Para encontrar \( f'(x) \), aplicamos a regra da cadeia à função \( \ln(5x) \). A 
derivada é \( f'(x) = \frac{1}{5x} \). 
 
94. Questão: Determine a área da região delimitada pela curva \( y = e^x \) e o eixo x de \( x 
= 0 \) a \( x = \ln(4) \). 
 Resposta: A área sob a curva \( y = e^x \) de \( x = 0 \) a \( x = \ln(4) \) é dada pela integral 
definida \( \int_{0}^{\ln(4)} e^x \, dx \). Aplicando a regra da integral definida, obtemos \( 
\left[ e^x \right]_{0}^{\ln(4)} = e^{\ln(4)} - e^0 = 4 - 1 = 3 \) unidades quadradas. 
 
95. Questão: Qual é o valor de \( \lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin(4x)}{x} \)? 
 Resposta: Utilizando a definição de derivada do seno em \( x = \infty \), sabemos que \( 
\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin(4x)}{x} = 4 \). 
 
96. Questão: Resolva a equação \( \log_{10}(x) = 2 \). 
 Resposta: Para resolver a equação, aplicamos a definição de logaritmo na base 10, 
resultando em \( x = 10^2 = 100 \).