Operações e Propriedades de Matrizes

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Álgebra Linear Prof. M. C. Fenille
Primeira Lista de Exerćıcios
Álgebra Linear
1. Sejam A uma matriz m×n e B uma matriz r× s. Determine as condições que m, n, r e s devem
satisfazer para que as operações entre A e B a seguir sejam posśıveis e, em cada caso, determine
o tamanho da matriz resultante.
(a) A+B (b) A− 2B (c) AB (d) BA (e) At +B (f) AtB.
2. Dadas I =
[
1 0
0 1
]
e A =
[
2 1
1 3
]
, encontre a matriz A2 − 5A+ 2I2.
3. Considere a matriz A =

1 x− 5 −8
2y 2 −y
z3 2x 3
. Determine x, y e z para que A seja simétrica.
4. Considere as matrizes A = (aij)4×3 definida por aij = i − j, B = (bij)3×5 definida por bij = i, e
C = (cij)4×5 definida por C = AB. Determine a entrada c32.
5. Determine todas as matrizes 3× 3 que comutam com a matriz A =

a 1 0
0 a 1
0 0 a
 .
6. Seja B uma matriz que comuta com A =
[
1 2
0 3
]
. Mostre que B = aA+ bI2 com a, b ∈ R.
7. Dadas A =
[
2 1
3 −1
]
, B =
[
−1 2
1 0
]
e C =
[
4 −1
2 1
]
, resolva a equação
X −A
2
=
B +X
3
+C.
8. Decida se cada asserção a seguir é verdadeira ou falsa e justifique sua resposta (provando, caso
seja verdadeira, e apresentando um contra-exemplo, caso seja falsa).
(a) Se A e B são matrizes tais que AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
(b) Se A,B e C são matrizes tais que AB = AC, então B = C.
(c) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
(d) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem tais que AB = 0, então BA = 0.
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9. Chama-se traço de uma matriz quadrada A = (aij)n×n a soma dos elementos da diagonal principal
de A. Em śımbolos: tr(A) =
∑n
i=1 aii. Prove:
(a) tr(A±B) = tr(A)± tr(B) (b) tr(λA) = λtr(A) (c) tr(AB) = tr(BA).
10. Prove que não existem matrizes quadradas A e B que satisfaçam a equação AB −BA = I.
11. Prove: (a) Para toda matriz quadrada A, a matriz A+At é simétrica e A−At é antissimétrica.
(b) Toda matriz quadrada é a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antis-
simétrica.
(c) Para toda matriz A, o produto AAt está definido e é uma matriz simétrica.
12. (a) Prove que se A é uma matriz antissimétrica de ordem ı́mpar, então det(A) = 0.
(b) Responda e justifique: existe uma matriz antissimétrica A tal que det(A) = 2024 ?
13. Calcule os determinantes a seguir.
(a)
∣∣∣∣∣ 1 logb a
loga b 1
∣∣∣∣∣ (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 2 cos2(a/2) sen a
1 2 cos2(b/2) sen b
1 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ (c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x a b c
x x d e
x x x f
x x x x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
14. Sejam A e B matrizes 2× 2 com det(A) = p e det(B) = q, onde p e q são reais não nulos dados.
Calcule cada determinante a seguir, utilizando as propriedades da função determinante:
(a) det(−3AB) (b) det(AB2) (c) det(−A−1) (d) det((AB)−1) (e) det(AtB−1)
15. A matriz A =

1 2 3
0 x z
0 0 y
 tem traço 9 e determinante 15. Determine x e y.
16. (a) Responda e justifique: existe uma matriz invert́ıvel A tal que A2 = 0 ?
(b) Prove que se A2 = 0, então I −A é invert́ıvel e sua inversa é I +A.
17. Prove: se A é matriz invert́ıvel, então adjA também é invert́ıvel e (adjA)−1 = adj(A−1).
18. Considere A =

1 1 1
2 3 x
x 2 2
. Determine:
(a) os valores reais de x que tornam A invert́ıvel.
(b) A−1 para todos os valores de x do item (a).
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19. Verifique quais das seguintes matrizes são invert́ıveis e determine as inversas respectivas:
A =
[
1 2
2 2
]
B =

1 0 1
1 1 0
0 2 1
 C =

0 0 1 1
1 0 0 1
1 1 1 −1
0 2 0 3

20. Encontre a inversa da matriz A e a utilize para resolver o sistema linear AX = B, sendo:
A =

1 2 1
2 3 1
0 1 2
 e B =

1
2
3

21. Use inversão de matriz para resolver a equação AX+B = X, sendo A =
[
5 1
3 2
]
e B =
[
6 2
2 4
]
.
22. Resolva os sistemas lineares a seguir:
(a)

x+ 2y + 3z = 14
4y + 5z = 23
6z = 18
(b)

x+ y − z = 1
−x+ y + z = 3
x− y + z = 5
(c)

x+ 2y − z = −1
−x+ y + 4z = 1
2x+ y + 3z = 6
(d)

x+ 3y + z = 0
2x+ 6y + 2z = 0
−x− 3y − z = 0
(e)
{
x+ 2y + z + w = 1
x+ 3y − z + 2w = 3
(f)

x+ y + z + w + v = 2
x+ y + z + 2w + 2v = 3
x+ y + z + 2w + 3v = 2
23. Discuta os sistemas lineares a seguir em termos do parâmetro real k.
(a)
{
x− y − z = 2
kx+ y + z = 1
(b)

x + y + z = 0
2x− 5y + 2z = 0
2x + kz = 5
(c)

x + 2y − 3z = 4
3x − y + 5z = 2
4x+ y + (k2 − 14)z = k + 2
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