matematica_basica_2023_1

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Matemática Básica
DENISE CANDAL
1ª Edição
Brasília/DF - 2023
Autora
Denise Candal
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e 
Editoração
Sumário
Organização do Livro Didático....................................................................................................................................... 4
Introdução ............................................................................................................................................................................. 6
Capítulo 1
Conjuntos, Números e Operações ........................................................................................................................... 9
Capítulo 2
Pensamentos e Aplicações em Grandezas Proporcionais .............................................................................32
Capítulo 3
Regra de Três e Porcentagem .................................................................................................................................44
Capítulo 4
Noções Básicas de Matemática Financeira ........................................................................................................57
Capítulo 5
Raciocínio Matemático e suas Aplicações .........................................................................................................69
Capítulo 6
Elementos e Interpretações Gráficas ...................................................................................................................84
Referências ..........................................................................................................................................................................93
4
Organização do Livro Didático
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em capítulos, de forma didática, objetiva e 
coerente. Eles serão abordados por meio de textos básicos, com questões para reflexão, entre outros 
recursos editoriais que visam tornar sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, 
fontes de consulta para aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização do Livro Didático.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a 
síntese/conclusão do assunto abordado.
Cuidado
Importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o 
aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado.
Importante
Indicado para ressaltar trechos importantes do texto.
Observe a Lei
Conjunto de normas que dispõem sobre determinada matéria, ou seja, ela é origem, 
a fonte primária sobre um determinado assunto.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa 
e reflita sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. 
É importante que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus 
sentimentos. As reflexões são o ponto de partida para a construção de suas 
conclusões.
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ORGANIzAçãO DO LIvRO DIDáTICO
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes 
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor 
conteudista.
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões 
sobre o assunto abordado.
Gotas de Conhecimento
Partes pequenas de informações, concisas e claras. Na literatura há outras 
terminologias para esse termo, como: microlearning, pílulas de conhecimento, 
cápsulas de conhecimento etc.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o 
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, 
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Posicionamento do autor
Importante para diferenciar ideias e/ou conceitos, assim como ressaltar para o 
aluno noções que usualmente são objeto de dúvida ou entendimento equivocado.
6
Introdução
Seja bem-vindo à disciplina de Matemática Básica. 
É extremamente importante que o ensino da Matemática, principalmente o ensino da Matemática 
Básica, seja realizado de forma contextualizada, vinculado, sempre que possível, ao dia a dia, às 
experiências das pessoas. É necessário estabelecer um elo, uma relação que faça sentido, entre 
o referencial teórico dos livros e a realidade dos indivíduos. Dessa forma, a aprendizagem ocorre 
de forma mais natural e permanente. 
Nesta disciplina abordaremos alguns conceitos que servem de embasamento ou ferramentas para 
desenvolvermos o raciocínio matemático, a análise e a resolução de problemas e a consequente 
tomada de decisão.
Iniciaremos nosso estudo trabalhando com conceitos básicos de conjuntos, números e operações. 
Sempre buscando a contextualização, trabalharemos com os conceitos teóricos associados à 
prática. 
A seguir, desenvolveremos conceitos básicos de razões e proporções, além de introduzirmos 
algumas razões que chamaremos de especiais e aplicações relevantes. 
Como consequência natural ao estudo de razões e proporções, abordaremos, então, a regra de 
três e as questões relacionadas ao conceito de porcentagens, sempre estabelecendo a necessidade 
de contextualização dos problemas. 
Trabalharemos, então, os conceitos iniciais da Matemática Financeira, os juros simples e os juros 
compostos, tão relevantes não só para profissionais que gerenciam empresas, mas também para 
pessoas físicas, principalmente em termos de tomada de decisão. 
A resolução de problemas de nosso cotidiano e mesmo problemas mais complexos baseiam-se 
no raciocínio lógico e no conhecimento dos conceitos matemáticos. A ideia é compreender a 
questão, transformar esse problema em um problema matemático e, então, buscar uma solução. 
Nesse sentido, as unidades de medida também são relevantes para essas resoluções. 
Finalizando, a compreensão de dados, sua organização e exposição e análise são habilidades 
muito relevantes para complementar a resolução de problemas. Trataremos com a leitura e a 
interpretação de gráficos e tabelas, associados às noções abordadas ao longo do curso. 
Você vai descobrir aspectos importantes das nossas discussões e, desde já, propomos que aproveite 
bem o material disponibilizado, incluindo os textos e o material audiovisual.
7
INTRODuçãO
Sugerimos que você se organize para ler o material com calma, realizar as atividades e assistir 
às videoaulas dentro de prazo estabelecido. Em caso de dúvidas, você pode (e deve!) consultar 
o professor tutor da disciplina.
Objetivos
 » Desenvolver o raciocínio matemático estruturado por meio de uma abordagem 
contextualizada.
 » Associar a teoria à prática. 
 » Compreender conceitos e utilizá-los como instrumentos da matemática. 
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Introdução
Pensando em termos de nosso cotidiano, os números aparecem em diversas situações: para 
realizarmos uma contagem, expressarmos uma medida, como, por exemplo, o tempo; para 
formar um código ou mesmo para expressar a ordem de elementos. Na verdade, os números 
existem para atender a uma necessidade dos seres humanos, havendo, inclusive uma história e 
uma construção lógicas. 
O ser humano precisa lidar com números e contagens e vem fazendo isso sempre ao longo dos 
tempos, seja o pastor de ovelhas, para identificar a quantidade de seu rebanho, saber se perdeu 
alguma ovelha e checar se todas estão voltando do pasto; seja um pesquisador quando está 
realizando seu experimento, ou mesmo um gestor que precisa analisar e realizar uma transação 
comercial ou tomada de decisão.
Mas observe que, em termos históricos, podemos dizer que a contagem antecede os números, pois 
quando desejamos contar os elementos de um conjunto, basta criarmos uma correspondência 
um a um entre os elementos de outro conjunto. 
Bem, aí temos outra noção importante em Matemática: a noção de Conjunto.
Objetivos
 » Descrevere representar conjuntos.
 » Diferenciar e determinar as relações de pertinência e inclusão.
 » Determinar a solução de problemas envolvendo conjuntos e suas operações.
 » Reconhecer e operar com os conjuntos numéricos.
 » Reconhecer e operar com frações.
1CAPÍTULO
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
10
CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
1.1 Conjuntos e suas representações
As noções de Conjunto e Elemento são conceitos primitivos, não definidos, no entanto podemos 
pensar nos conjuntos como uma coleção. 
Exemplo:
Uma coleção de livros pode ser encarada como um conjunto; enquanto cada livro é um elemento 
desse conjunto.
Usualmente utilizamos letras maiúsculas A, B, C, ... para representar os conjuntos.
É possível representar os conjuntos de várias formas. Em nosso estudo, trabalharemos com as 
representações: tabular, Diagrama de Venn e propriedade comum. 
Na representação tabular, os elementos são representados entre chaves e separados por vírgulas.
Como exemplo, temos o conjunto das vogais: A = {a, e, i, o, u}.
Na representação por meio de diagramas de Venn, os elementos são representados dentro de 
uma região limitada por uma linha fechada simples não entrelaçada, por pontos. 
O mesmo conjunto das vogais pode ser representado pelo diagrama de Venn.
Figura 1. Exemplo de Representação Diagrama de venn.
Fonte: elaborada pela autora.
Na representação por meio de uma propriedade, os elementos são representados por intermédio 
de uma propriedade p comum a todos os elementos do conjunto
A = {x | x tem a propriedade p}.
Utilizando o mesmo exemplo das vogais, com a representação pela propriedade: A = {x | x é vogal}.
Tipos de conjunto
É possível classificar os conjuntos de acordo com a quantidade de elementos. Veja alguns dos 
tipos de conjunto que existem:
11
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
O conjunto vazio φ ou { } é aquele que não possui elemento.
Exemplos:
{ }| é ú 0 10M x x n mero e x φ= = = 
{ }| N x xé um país da América do Sul quecomececomY φ= = 
O conjunto unitário é aquele formado por um único elemento.
Exemplo: { }2 P = 
O conjunto finito é aquele formado por uma quantidade limitada de elementos. Um conjunto 
finito pode ter seus elementos contados e chegamos ao fim dessa contagem. 
Exemplos:
{ }2,4,6,8B =
{ }| é é C x x jogador do time do Am rica Futebol Clube=
{ }| é ãC x x morador do Jap o=
O conjunto infinito é aquele formado por uma quantidade ilimitada de elementos. Em um 
conjunto infinito, não chegamos ao final da contagem, se nos propusermos a contar seus 
elementos um a um. 
Exemplos:
O conjunto dos números Naturais: { }0,1,2,3,4,5,6,7,=  .
O conjunto dos números Naturais ímpares: { }1,3,5,7, .
Conjuntos iguais são formados pelos mesmos elementos. 
Observe os conjuntos formados pelas letras das palavras ramo, amor e roma:
{ }, , ,A r a m o= ; { }, , ,B a m o r= ; { }, , ,C r o m a=
Esses conjuntos possuem os mesmos elementos. A ordem que os elementos são colocados dentro 
das chaves não altera o conjunto. Os conjuntos A, B e C são iguais. 
Dois conjuntos D e que não são iguais, são ditos diferentes ≠D E , naturalmente. 
Se tivermos repetições de letras dentro das chaves, estas não alteram o conjunto em si. 
{ } { }, , , , , , , ,a a a b b c a b c=
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CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
O conjunto Universo (U) é aquele formado por todos os elementos do estudo em questão, todos 
os elementos com os quais se deseja trabalhar.
O conjunto Universo é um conceito relativo, pois está condicionado ao contexto da situação ou 
do estudo. Por exemplo, se estamos sob o contexto de times brasileiros de futebol, o conjunto 
Universo serão todos os times brasileiros de futebol. 
1.2 Relações de pertinência e de inclusão
Eventualmente precisamos determinar se determinados elementos fazem parte ou não de uma 
coleção, ou seja, se o elemento pertence ou não a um conjunto. Utilizamos os símbolos pertence 
∈ ou não pertence ∉ .
Se consideramos um elemento e um conjunto, só existem estas duas opções: ou o elemento 
pertence ao conjunto ou não pertence. 
Exemplo:
Considere o conjunto das vogais: { }, , , ,A a e i o u= .
O elemento a pertence ao conjunto A: a A∈
O elemento b não pertence ao conjunto A: b A∉
Subconjunto
Consideremos dois conjuntos A e B. Dizemos que A é subconjunto de B se, e somente se, todo 
elemento de A pertence a B.
Indicamos que A é subconjunto de B, ou A está contido em B por: A B⊂ .
Podemos também dizer que B contém A por B A⊃ .
A “boca” do símbolo estará sempre voltada para o “maior” conjunto.
Exemplo:
Observe os conjuntos { }2,3,5M = e { }1,2,3,4,5,6N = .
Temos que: { } { }2,3,5 1,2,3,4,5,6⊂ , ou ainda, M N⊂ .
Atenção
Para relacionarmos elemento e conjunto, devemos utilizar os símbolos: pertence ∈ ou não pertence ∉ .
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CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
O 2 é elemento do conjunto M e, também, é elemento do conjunto N.
O mesmo ocorre com o 3 e com o 5. 
Mas repare que não podemos dizer que N M⊂ , pois existem elementos em N que não estão 
em M.
Exercício resolvido
Considere o conjunto { } { }{ }1,2, 3,4 , 5M = e as afirmativas abaixo. Identifique cada afirmativa 
como verdadeira ou falsa. 
(a) 2 M∈ . Verdadeiro. De fato, 2 é um elemento do conjunto M. Note que ele precisa aparecer 
exatamente dessa forma dentro do conjunto.
{ } { }{ }1,2, 3,4 , 5
(b) { }1 . M∈ Falso. Note que para um elemento, no caso,{ }1 ser elemento do conjunto M, ele 
precisaria aparecer exatamente assim dentro do conjunto. No entanto, o que aparece é 1 e 
não { }1 . 
O que poderíamos afirmar seria que { } { } { }{ }1 1,2, 3,4 , 5⊂ , pois nesse caso estaríamos relacionando 
dois conjuntos e precisaríamos somente observar que o único elemento do primeiro conjunto 
é elemento do segundo. 
(c) { }3,4 .M∈ Verdadeiro. O “conjunto” { }3,4 assume papel de elemento no conjunto 
{ } { }{ }1,2, 3,4 , 5M = . 
Atenção
Há duas propriedades envolvendo subconjuntos que são muito importantes. 
Propriedade 1. O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. Aφ ⊂ , qualquer que seja o conjunto A.
Propriedade 2. Todo conjunto é subconjunto de si mesmo: A A⊂ , qualquer que seja o conjunto A.
Importante
Relação de inclusão x relação de pertinência
1. A Inclusão (⊂ ) relaciona dois conjuntos, por exemplo, um subconjunto P de um conjunto Q : P Q⊂ .
2. A Pertinência (∈ ) relacionar um elemento x com um conjunto A, por exemplo, no caso de x ser elemento do conjunto A: 
x A∈ .
14
CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
1.3 Operações com conjuntos
Estudamos as operações entre conjuntos porque estas operações facilitam a resolução de diversos 
problemas numéricos do dia a dia, principalmente quando utilizamos os Diagramas de Venn. 
Trataremos neste estudo das operações de União, Interseção, Diferença e Complementar. 
UNIÃO (∪ ): Dados dois conjuntos A e B, chamamos união (ou reunião) de A com B o conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a ou pertencem a B.
{ }| A B x x A ou x B∪ = ∈ ∈
Figura 2. união.
Fonte: elaborada pela autora.
Exemplo:
Considere os conjuntos { }1,2,3,5,7A = e { }2,6,7,8B = . Representamos estes conjuntos por 
intermédio do Diagrama de Venn a seguir.
Figura 3. Diagrama de venn do exemplo. 
Fonte: elaborada pela autora.
A união dos dois conjuntos consiste em “pegarmos” todos os elementos dos dois conjuntos: 
{ }1,2,3,5,6,7,8A B∪ = .
Figura 4. Exemplo união.
Fonte: Elaborada pela autora.
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CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
INTERSEÇÃO (∩ ): Dados dois conjuntos A e B, chamamos interseção de A com B o conjunto 
formado pelos elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B, os elementos que pertencem 
aos dois conjuntos simultaneamente.
{ }| A B x x A e x B∩ = ∈ ∈
Figura 5. Interseção.
Fonte: elaborada pela autora.
Voltando ao exemplo que utilizamos para união, vamos determinar agora a interseção dos dois 
conjuntos: os conjuntos { }1,2,3,5,7A = e { }2,6,7,8B = . O queprecisamos fazer é determinar 
os elementos que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo. 
Figura 6. Exemplo Interseção.
Fonte: elaborada pela autora.
{ }2,7A B∩ =
DIFERENÇA (− ): Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B o conjunto formado 
pelos elementos de A que não pertencem a B. É como se “retirássemos” o conjunto B.
{ }| A B x x A e x B− = ∈ ∉
Figura 7. Diferença.
Fonte: elaborada pela autora.
Voltando ao nosso exemplo, vamos determinar a diferença { }1,3,5A B− =
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CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
Figura 8. Exemplo Diferença.
Fonte: elaborada pela autora.
E se quisermos determinar agora B – A. Queremos, então, o conjunto cujos elementos estão em 
B e não estão em A.
{ }| B A x x B e x A− = ∈ ∉
Figura 9. Diferença.
Fonte: elaborada pela autora.
No exemplo, ficaríamos com { }6,8B A− =
Figura 10. Exemplo Diferença.
Fonte: elaborada pela autora.
COMPLEMENTAR ( BC A ): Se A e B são conjuntos tais que A B⊂ , então a diferença B A− é o 
que chamamos de complementar de A em B, ou seja, o que falta em A para que ele fique igual a B. 
{ }| , BC A x x B e x A onde A B= ∈ ∉ ⊂
Figura 11. Complementar.
Fonte: elaborada pela autora.
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CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
Exercícios resolvidos
1. Considerando a representação de dois conjuntos M e N abaixo e analisando as afirmativas, 
podemos descrever a região colorida como: 
Figura 12. Representação de dois conjuntos M e N;
Fonte: elaborada pela autora.
 (a) São os elementos que pertencem ao conjunto A.
 (b) São os elementos que pertencem à intersecção de A com B.
 (c) São os elementos que pertencem somente ao conjunto A.
 (d) São os elementos que pertencem ao complementar de A.
 (e) São os elementos que não pertencem ao conjunto A.
 Resposta: (c) São os elementos que pertencem somente ao conjunto A.
 Comentários: Observe que a palavra “somente” é a que fará a diferença nesse caso. A 
região colorida corresponde aos elementos que pertencem somente ao conjunto A. 
 A opção (a) diz “elementos que pertencem ao conjunto A”. Nesse caso, estamos incluindo 
os elementos da interseção também. 
2. Considere os conjuntos { }1,2,3,7,9,10P = e { }2,3,6,7,12,13Q = . Determine os conjuntos: 
P Q∪ ; P Q∩ ; P Q− e Q P− .
 Resolução:
 (a) { }1,2,3,6,7,9,10,12,13P Q∪ = . Aqui precisamos da reunião dos elementos dos dois 
conjuntos. 
 (b) { }2,3,7P Q∩ = . Nesse caso, buscamos a interseção, ou seja, os elementos que 
figuram nos dois conjuntos ao mesmo tempo. 
 (c) { }1,9,10P Q− = . Agora precisamos dos elementos que estão no conjunto P e não 
estão no conjunto Q.
 (d) { }6,12,13Q P− = . Buscamos agora os elementos que estão no conjunto Q e não 
estão no conjunto P.
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CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
1.4 Conjuntos numéricos e suas operações 
Quando os elementos de um conjunto são números, dizemos que são conjuntos numéricos.
Vamos trabalhar agora com os cinco conjuntos numéricos fundamentais: Conjunto dos Naturais, 
dos Inteiros, dos Racionais, dos Irracionais e dos Reais. Além desses, temos o Conjunto dos 
Números Complexos, que não abordaremos neste estudo. 
1.4.1 Conjunto dos Números Naturais
O Conjunto dos Números Naturais pode ser considerado como o mais básico dos conjuntos 
numéricos. Esse conjunto nos possibilita, por exemplo, registrar quantidades. 
Conjunto dos Números Naturais: { }0,1,2,3,4,5,6,7,=  .
Se precisarmos expressar o conjunto sem o número zero, utilizamos um asterisco ao lado da letra. 
Esse conjunto denominamos Conjunto dos Números Naturais não nulos: { }1,2,3,4,5,6,7,= * .
Operações no Conjunto dos Números Naturais 
São definidas apenas as operações de adição e multiplicação. Isso é possível, pois se temos dois 
números naturais a e b , a soma deles a b+ e o produto a b também são números naturais. 
Essa é a propriedade que denominamos de fechamento. A soma e a multiplicação são fechadas 
em relação a adição. 
As operações de divisão e subtração não podem ser consideradas no Conjunto dos Números Naturais 
 . De fato, nem sempre a subtração de dois números naturais é um número natural. Se você tem 
R$ 3,00 e está devendo R$ 4,00, não consegue representar essa quantia no Conjunto dos Números 
Naturais  . Percebemos, então, a necessidade de “ampliar” o Conjunto dos Números Naturais.
1.4.2 Conjunto dos Números Inteiros
O Conjunto dos Números Inteiros  surge, então, para suprir essa necessidade. 
Na realidade, podemos também perceber a necessidade desse conjunto, para além do algebrismo, 
se pensarmos nas temperaturas negativas, no frio intenso. 
Conjunto dos Números Inteiros: { }5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,= − − − − −  
É relevante considerarmos alguns subconjuntos do Conjunto dos Números Inteiros  . 
O Conjunto dos Números Inteiros não negativos é aquele em que retiramos os negativos, 
como o próprio nome já diz. Este conjunto é igual ao conjunto dos números naturais: 
{ }0,1, 2,3,4,5,+ = = 
19
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
O Conjunto dos Números Inteiros não positivos é aquele conjunto em que figuram todos os números 
inteiros que não são positivos (o nome já sinaliza isso também): { }5, 4, 3, 2, 1,0− = − − − − −
Podemos precisar excluir o zero nesses conjuntos.
O Conjunto dos Números Inteiros não negativos e não nulos é o conjunto nosso conhecido 
{ }0,1,2,3, 4,5,+ =  excluindo o zero. { }1,2,3,4,5,+ = * . Observe que esse conjunto é igual 
ao Conjunto dos Números Naturais sem o zero. + = * *
O Conjunto dos Números Inteiros não positivos e não nulos é o nosso conjunto 
{ }5, 4, 3, 2, 1,0− = − − − − − excluindo o zero: { }5, 4, 3, 2, 1− = − − − − −* .
Operações no Conjunto dos Números Inteiros 
São definidas as operações de adição, multiplicação e a subtração. Isso é possível pois se temos 
dois números inteiros a e b , a soma deles a b+ , o produto a b e a diferença a b− também 
são números inteiros. Essa é a propriedade que denominamos de fechamento. A soma e a 
multiplicação são fechadas em relação à adição. 
Para operar dois números em termos de adição ou subtração, podemos pensar que quando temos 
números com o mesmo sinal, basta conservar esse sinal e adicionar os números; quando temos 
sinais contrários, o que fazemos é subtrair o menor deles do maior e dar o sinal do maior deles. 
Repare que nem sempre a divisão de dois números inteiros é um número inteiro. Se tentarmos 
dividir o número (-5) por (+2) não temos como dar essa resposta dentro do conjunto dos números 
inteiros. 
Percebemos então nova necessidade, agora a de ampliação do Conjunto dos Números Inteiros  . 
1.4.3 Conjunto dos Números Racionais
Conjunto dos Números Racionais  surge para suprir essa necessidade. 
O Conjunto dos Números Racionais  é aquele em que todos os números podem ser expressos 
na forma de fração. Note que os números naturais e os inteiros podem ser expressos sob a forma 
de frações também (por exemplo 84
2
= ), além das frações. As dízimas periódicas, que são os 
números decimais infinitos periódicos, também podem ser incluídas nesse conjunto, uma vez 
que podemos transformá-las na fração geratriz (por exemplo, 20,22222
9
= )
Conjunto dos Números Racionais , = ∈ ∈ 
 
  *a com a e b 
b
Note que precisamos sinalizar que o denominador da fração não pode ser zero, pois não dividimos 
por zero. Por esse motivo utilizamos o conjunto * .
A utilização da letra  deve-se ao fato de esse conjunto ser composto pelo quociente de dois números. 
20
CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
Da mesma forma que fizemos para o Conjunto dos Números Inteiros, podemos pensar nos 
conjuntos *, e+ −   .
Ainda podemos pensar na mesma situação da temperatura que mencionamos quando falamos dos 
números Inteiros. As temperaturas não mudam diretamente de 10oC para 11oC. No termômetro, 
você percebe marcações menores, de décimos em décimos. Todos esses números são decimais 
e são números racionais. Repare que o número decimal 20,2
10
= .
Operaçõesno Conjunto dos Números Racionais 
Podemos realizar todas as operações válidas para o Conjunto dos Números Inteiros e mais a 
divisão no conjunto * , que é definida como .a c a d
b d b c
÷ = 
Existem alguns números que não conseguimos escrever sob a forma de frações: são os números 
irracionais. 
1.4.4 Conjunto dos Números Irracionais 
Conjunto dos Números Irracionais  : números decimais infinitos não periódicos. 
Exemplos: 
O número π (pi) que vale 3,14159265 ... e é o resultado da divisão do perímetro de uma 
circunferência pelo seu diâmetro é um número irracional. 
As raízes não exatas, como, por exemplo, 2 1,4142135= …
Observe que estes números possuem infinitas casas decimais e não são dízimas periódicas (que 
podem ser expressas sob a forma de uma fração geratriz), pois não há repetições regulares. 
1.4.5 Conjunto dos Números Reais
Chegamos, enfim, ao Conjunto dos Números Reais  . Este conjunto é a união do conjunto dos 
números Racionais com o conjunto dos números Irracionais.
A Reta Real
O conjunto dos números Reais pode ser representado geometricamente por uma linha geométrica, 
de forma que todo número real pode ser associado a um ponto da reta e a cada ponto da reta 
podemos associar um número real. 
Por convenção, definimos uma origem O nessa reta e associamos a este ponto o zero. 
Ainda adotamos uma unidade e um sentido positivo para essa reta. Temos, então, uma reta 
orientada. 
21
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
Figura 13. Reta Real.
Fonte: elaborada pela autora.
Intervalos na Reta Real
Às vezes precisamos trabalhar com alguns subconjuntos do conjunto dos Números Reais que 
chamamos de Intervalos. Para esse estudo, consideraremos dois números reais a e b , com 
a b< . 
Na verdade, os intervalos reais exprimem, e acabam por representar, uma quantidade infinita 
de números existentes entre dois números do conjunto numérico dos reais. 
Intervalo fechado: são os números reais maiores ou iguais a a e menores ou iguais a b . Em 
notação de conjunto, temos { }|x a x b∈ ≤ ≤ , e em notação de intervalo, temos [ ],a b . Note que 
nesse caso entram todos os números entre a e b , inclusive o a e b . 
Figura 14. Intervalo fechado.
Fonte: elaborada pela autora.
Intervalo aberto: são os números reais maiores do que a e menores do que b . Em notação 
de conjunto, temos { }x a x b∈ < < , e em notação de intervalo, temos ] [,a b . Note que 
nesse caso entram todos os números entre a e b , no entanto, o a e b não pertencem a esse 
intervalo. 
Figura 15. Intervalo aberto.
Fonte: elaborada pela autora.
Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita: são os números reais maiores ou iguais a a e 
menores do que b . Em notação de conjunto, temos { }|x a x b∈ ≤ < , e em notação de intervalo, 
temos [ [,a b . Note que nesse caso entram todos os números entre a e b , o a pertence ao intervalo, 
no entanto o b não pertence a esse intervalo. 
22
CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
Figura 16. Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita.
Fonte: elaborada pela autora.
Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda: são os números reais maiores que a e menores 
ou iguais a b . Em notação de conjunto, temos { }|x a x b∈ < ≤ , e em notação de intervalo, 
temos ] ],a b . Note que nesse caso entram todos os números entre a e b , o a não pertence ao 
intervalo, no entanto o b pertence a esse intervalo. 
Figura 17. Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda.
Fonte: elaborada pela autora.
Semirreta esquerda, fechada, de origem b: são os números reais menores ou iguais a b . Em 
notação de conjunto, temos { }|x x b∈ ≤ , e em notação de intervalo, temos ] ], b−∞ .
Figura 18. Semirreta esquerda, fechada, de origem b.
Fonte: elaborada pela autora.
Semirreta esquerda, aberta, de origem b: são os números reais menores que b . Em notação de 
conjunto, temos { }|x x b∈ < , e em notação de intervalo, temos ] [, b−∞ .
Figura 19. Semirreta esquerda, aberta, de origem b.
Fonte: elaborada pela autora.
Semirreta direita, fechada, de origem a: são os números reais maiores ou iguais a a . Em notação 
de conjunto, temos { }|x x a∈ ≥ , e em notação de intervalo, temos [ [,a ∞+ .
Figura 20. Semirreta direita, fechada, de origem a.
Fonte: elaborada pela autora.
Semirreta direita, aberta, de origem a: são os números reais maiores que a . Em notação de 
conjunto, temos { }|x x a∈ > , e em notação de intervalo, temos ] [,a ∞+ .
23
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
Figura 21. Semirreta direita, aberta, de origem a.
Fonte: elaborada pela autora.
Exercícios resolvidos
1. Represente, sob a notação de intervalos reais, o conjunto dos números:
 (a) maiores que 3 
 (b) menores ou iguais a – 1 
 (c) maiores ou iguais a 
2
1
 e menores que 5
 Gabarito: (a) ] [3,∞+ (b) ] ], 1−∞ − (c) 1 ,5
2
 
  
2. Represente na reta real os seguintes subconjuntos de IR:
 (a) ] ]3,0− (b) [ ]1,3 
 
 Dados os conjuntos reais ] ]1, 2A = − e ] [0,3B = , determine os conjuntos:
 
 (a) ] [1,3A B∪ = − 
 
 (b) ] ]0,2A B∩ = 
 
Contextualizando as operações
Vamos agora resolver problemas utilizando os conceitos até então estudados, ou seja, contextualizar 
a teoria.
Problema 1. Sabe-se que, em uma sala de aula de um Colégio de Ensino Médio, 7 alunos praticam 
basquete e futebol, 15 alunos jogam somente basquete e 25 jogam somente futebol. Determine 
quantos alunos há nessa sala, considerando que todos optaram pelo menos por um dos dois 
esportes. 
24
CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
Resolução:
Figura 22. Conjuntos Basquete e Futebol.
Fonte: elaborada pela autora.
O Diagrama de Venn nos fornece a visualização do problema de modo mais claro. Agora, para 
sabermos quantos alunos há nessa sala, basta somarmos os valores 15+ 7+25 =47.
Problema 2. Foi realizada uma pesquisa, em um bairro, sobre a preferência em relação a duas 
revistas: “Arraso” e “Brilho”. Como resultado, temos que 180 pessoas leem a revista “Arraso”, 160 
leem a revista “Brilho”, 60 leem “Arraso” e “Brilho” e 40 não leem nenhuma das duas revistas. 
Quantas pessoas foram consultadas nessa pesquisa?
Resolução:
Figura 23. Conjuntos “Arraso” e “Brilho”.
Fonte: elaborada pela autora.
Para construir o Diagrama de Venn, começamos sempre pela interseção, no caso a quantidade 
de pessoas que leem as duas revistas: 60. A partir daí, precisamos determinar quantas pessoas 
leem somente a revista “Arraso” e quantas leem somente a revista “Brilho”. Repare que precisamos 
retirar as pessoas que já foram contadas quando sinalizamos aquelas que leem as duas revistas. 
Precisamos retirar 60 das 180 pessoas que leem “Arraso”, pois estaríamos contando duas vezes 
essas pessoas se não o fizermos. 
Foram consultadas então: 120 + 60 + 100 + 40 = 320.
Problema 3. Realizou-se uma pesquisa na qual foram consultadas 500 pessoas. A pesquisa se 
propunha a saber a que emissoras as pessoas habitualmente assistem. O resultado da pesquisa 
25
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
foi que 300 pessoas assistem ao canal ZUM, 270 assistem ao canal WOW e 80 assistem a outros 
canais distintos de ZUM e WOW. Quantas pessoas assistem aos dois canais?
Resolução:
Figura 24. Conjuntos zuM e WOW.
Fonte: elaborada pela autora.
Como não sabemos qual o valor da interseção, utilizamos “x”. Devemos realizar a retirada das 
“x” pessoas para determinar quantas pessoas assistem “apenas” cada uma das revistas, para que 
estas pessoas não sejam contadas duas vezes. 
Sabemos que foram entrevistadas 500 pessoas. Sendo assim, 
300 270 80 500x x x− + + − + =
650 500x− =
650 500 x− =
150x =
Problema 4. Um clube resolveu ofertar cursos livres durante as férias escolares aos seus associados. 
O clube ofertou cursos de Word básico (W), Excel básico (E) e Power Point básico (P). As pessoas 
se inscreveram de acordo com a tabela a seguir: 
Tabela 1. Cursos.
Curso(s) WordExcel Power 
Point
Word 
e 
Excel
Word e 
Power 
Point
Excel e 
Power 
Point
Word, Excel 
e Power 
Point
Nenhum
Inscritos 100 37 87 25 35 22 20 30
Fonte: elaborada pela autora.
Pergunta-se:
(a) Quantas pessoas esse clube possui?
(b) Quantas pessoas fizeram somente um curso?
26
CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
(c) Quantas pessoas não fizeram o curso de Word? 
Resolução:
A princípio, precisamos montar o diagrama de Venn. Começamos sempre pela interseção, quando 
temos três conjuntos, iniciamos pela interseção dos três conjuntos e passamos, então, para as 
interseções de dois conjuntos, sempre lembrando de retirar as “pessoas” que já foram contadas 
anteriormente. 
Figura 25. Diagrama venn Cursos.
Fonte: elaborada pela autora.
(a) Quantas pessoas esse clube possui?
Basta somar todos os valores das regiões: 60 + 20 + 15 + 10 + 2 +50 + 30 = 187
(b) Quantas pessoas fizeram somente um curso? 60 + 10 + 50 = 120
Figura 26. Diagrama Cursos item b.
Fonte: elaborada pela autora.
(c) Quantas pessoas não fizeram o curso de Word? 10 + 2 + 50 + 30 = 110
27
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
Figura 27. Diagrama Cursos item c.
Fonte: elaborada pela autora.
1.6 Conversando sobre frações
O manuseio de frações é muito importante em diversos problemas do cotidiano. Frequentemente 
tornamos tão abstrato o conceito de fração que esquecemos do conceito básico. Vamos agora 
relembrar algumas noções e operações utilizando as frações. 
Frações são números expressos pela razão de dois números inteiros. Representamos as frações, 
de modo genérico, por a
b
 , com 0b ≠ , onde a é dito numerador e representa a quantidade de 
partes tomadas do inteiro e b é dito denominador e representa a quantidade de partes em que 
o inteiro foi dividido.
Considere que temos uma barra de chocolate que precisa ser dividida por 3 pessoas. Cada pessoa 
ficará com 1/3 do chocolate. 
Figura 28. Fração.
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos pensar nas frações como parte de um todo (parte de um inteiro), como uma divisão 
ou como um número racional.
28
CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
A fração pensada como partes de um todo (inteiro) é representação de uma ou de mais partes de 
algo que foi dividido em partes iguais, por exemplo, se temos uma pizza e dividimos essa pizza 
em 4 partes e comermos uma parte, teremos a representação 1
4
.
Figura 29. Frações.
Fonte: https://pixabay.com/pt/vectors/gr%c3%a1fico-de-setores-gr%c3%a1ficos-c%c3%adrculos-7408997/. Acesso em: 6 
abr. 2023.
Pensando na fração como uma divisão, o numerador equivale ao dividendo e o denominador 
equivale ao divisor. 
Observando a fração 4
5
, podemos efetuar a divisão de 4 por 5, resultando em 0,8. 
Figura 30. Termos da divisão.
Fonte: elaborada pela autora.
Podemos identificar algumas características das frações e classificá-las. As classificações nos 
auxiliam na resolução dos problemas. 
A fração própria é aquela em que o numerador é menor que denominador. De fato, este tipo de 
fração representa parte de um inteiro onde o seu valor é maior do que zero e menor do que um. 
Veja o exemplo da “pizza” que dividimos em 4 partes e tomamos uma parte: 1
4
.
29
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
Figura 31. Fração 1/4.
Fonte: elaborada pela autora.
A fração imprópria é aquela em que o numerador é maior ou igual ao denominador. Esse tipo 
de fração é maior que a unidade. 
Vamos analisar a fração 5
2
. Pensando em termos ainda da pizza, como o denominador é 2, 
desejamos dividir a pizza em 2 partes. Para que possamos tomar 5 partes, precisaremos de mais 
de uma pizza. 
Figura 32. Fração imprópria.
Fonte: elaborada pela autora.
O número misto é aquele formado por uma ou mais partes inteiras além de uma parte fracionária. 
A fração imprópria pode ser transformada em número misto e vice-versa. No exemplo anterior 
da fração imprópria 5
2
, podemos observar que se trata de 2 inteiros e 1
2
.
A fração aparente é aquela cujo numerador é múltiplo do denominador. De fato, estas frações 
podem ser consideradas como um caso particular de frações impróprias. Repare que se trata de 
um número inteiro. Por exemplo, 8 2
4
= .
Figura 33. Fração aparente.
Fonte: elaborada pela autora.
30
CAPÍTULO 1 • CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES
As frações equivalentes são aquelas que representam o mesmo número racional.
Figura 34. Frações equivalentes.
Fonte: elaborada pela autora.
Para encontrarmos frações equivalentes a uma fração, basta multiplicar o numerador e o 
denominador pelo mesmo número, para que ela não se altere. 
Ainda na questão de frações equivalentes, podemos simplificar frações, e, nesse caso, dividimos 
o numerador e o denominador pelo mesmo número. 
A partir da fração 4
8
, por exemplo, podemos dividir o numerador e o denominador por 4, obtendo 
a fração, dita irredutível, 1
2
.
Operações com frações
Para efetuar a multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores e, a seguir, os denominadores. 
2 4 8
3 5 15
=
Para efetuar a divisão de frações, é necessário transformarmos a divisão em uma multiplicação. 
Para isso, conservamos a primeira fração e invertemos a segunda fração. Basta, então, multiplicar.
1 7 1 3 1
3 3 3 7 7
÷ = ⋅ =
Para adicionar e subtrair frações, precisamos considerar dois casos: quando os denominadores 
são iguais e quando são diferentes. 
Quando os denominadores são iguais, somamos ou subtraímos o numerador, mantendo o 
denominador. 
2 1 3
5 5 5
+ = ou ainda 7 3 4
13 13 13
− =
Quando os denominadores são diferentes, precisamos transformar as frações, deixando-as com 
o mesmo denominador, para, então, procedermos à soma ou subtração de mesmo denominador. 
Precisaremos achar as frações equivalentes, com o mesmo denominador. 
31
CONJuNTOS, NÚMEROS E OPERAçÕES • CAPÍTULO 1
2 3 14 15 29
5 7 35 35 35
+ = + =
Note que precisamos determinar o menor múltiplo comum entre 5 e 7, ( ). . 5,7 35m m c = . 
Transformamos, então, cada uma das frações para frações equivalentes às originais, mas com 
denominador 35. 
Para calcularmos a potenciação ou radiciação de uma fração, basta calcular a potência ou a raiz 
do numerador e do denominador separadamente. 
2 2
2
2 2 4
3 3 9
  = = 
 
Exercícios resolvidos
1. Em uma empresa, dos 117 colaboradores, 8
9
 são destros. Quantas pessoas destras há 
nessa empresa?
Resolução:
Precisamos determinar 
8 8 117 : 117 104
9 9
de =
1. (Enem/2011). O pantanal é um dos mais valiosos patrimônios naturais do Brasil. É a maior 
área úmida continental do planeta – com aproximadamente 210 mil km2, sendo 140 mil 
km2 em território brasileiro, cobrindo parte dos estados de Mato Grosso e Mato Grosso do 
Sul. As chuvas fortes são comuns nesta região. O equilíbrio desse ecossistema depende, 
basicamente, do fluxo de entrada e saída de enchentes. As cheias chegam a cobrir até 
2/3 da área pantaneira. Durante o período chuvoso, a área alagada pelas enchentes pode 
chegar a um valor aproximado de:
Resolução:
210 mil km2: total da área e 2/3 é o valor que as cheias cobrem dessa área.
Precisamos determinar 2/3 de 210 mil km2: 22 420.000210.000 140.000 
3 3
km= = .
Sintetizando
Neste capítulo, trabalhamos com os conjuntos e suas operações. Ainda, resolvemos problemas contextualizados envolvendo 
Diagrama de Venn e relembramos os conceitos relacionados com as frações e suas operações. 
32
Introdução
Encontramos as razões e as proporções em diversas áreas de atuação dos profissionais e em 
muitas situações cotidianas. 
Nos mapas, temos um exemplo clássico de uso de razões. As distâncias nos mapas estão em 
escala menor que a real, e escala é a razão entre a medida do desenho e a medida real. 
Em vários elementos da natureza, encontramos a proporção áurea, a qual se costuma associar 
aos conceitos de perfeição e de beleza. Essa proporção áurea é bem conhecida nas áreas de 
arquitetura, arte e design. 
Neste capítulo, então, estudaremos os conceitos básicos das razões e proporções e algumas 
aplicaçõesrelevantes. Trabalharemos ainda com algumas razões especiais como as escalas, 
velocidade, densidade demográfica e densidade de material, bem como conheceremos o Homem 
Vitruviano de Da Vinci e a razão áurea. 
Objetivos
 » Reconhecer o conceito de razão entre duas grandezas.
 » Resolver problemas envolvendo razões especiais como velocidade média, escala, 
densidade demográfica e densidade de materiais. 
 » Identificar proporções como igualdade de duas razões.
 » Calcular o termo desconhecido de uma proporção.
 » Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações.
 » Diferenciar grandezas direta e inversamente proporcionais.
2
CAPÍTULO
PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM 
GRANDEzAS PROPORCIONAIS
33
PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS • CAPÍTULO 2
2.1 Razões 
Uma razão, em matemática, indica uma relação entre duas grandezas. 
A razão entre dois números racionais a e b , 0b ≠ , é o quociente a k
b
= . 
A razão compara quantidades, calculando o quociente entre estas quantidades. 
“Lemos” a razão como: “a está para b”.
Os números a e b são os termos da razão. 
O numerador a é o antecedente e o denominador b é o consequente da razão.
Imagine que você tem uma casa com 1.200m² de área construída em um terreno com uma área 
total de 4.800m². Se desejarmos descobrir qual a razão da área construída, ou seja, a área da casa, 
para a área total do terreno, temos que utilizar a noção de razão. 
2
2
 1.200 1 
 4.800 4
áreaconstruída mrazão
áreatotal m
= = =
2.1.1 Razões equivalentes 
Duas ou mais razões são equivalentes quando as frações que as representam são equivalentes. 
Exemplo: 3 12
5 20
=
2.1.2 Razões inversas 
Duas razões são inversas quando o antecedente da primeira é igual ao consequente da segunda 
e vice-versa. 
Exemplo: 2
5
 e 5
2
.
Exercício resolvido
Numa determinada cidade do interior de São Paulo, foi realizada uma pesquisa sobre o número de 
leitores que leem regularmente determinados jornais. A cidade tem 200.000 habitantes, sendo que 
2.000 pessoas leem o jornal X, 8.000 leem o jornal Y e 190.000 não leem nenhum jornal. Pergunta-se:
(a) qual a razão entre o número de leitores do jornal X e o número de habitantes dessa cidade?
(b) qual a razão entre o número de leitores do jornal Y com relação ao do jornal X?
(c) qual a razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal, em relação ao total de 
habitantes da cidade?
34
CAPÍTULO 2 • PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS
Resolução: 
a. Precisamos fazer o quociente entre o número de leitores do jornal X e o número de 
habitantes dessa cidade, ou seja: 2.000 2 1
200.000 200 100
= = . Isso significa que um a cada 
100 habitantes leem o jornal X.
b. Para se descobrir a razão entre o número de leitores do jornal Y com relação ao do Jornal 
X, basta fazer o quociente entre os dois valores, ou seja: 8.000 4
2.000
= . Isso significa que o 
jornal Y tem 4 vezes mais leitores do que o jornal X.
c. A razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal, em relação ao total de 
habitantes da cidade é dada por: 10.000 1
200.000 20
= , ou seja, apenas 1 em cada 20 habitantes 
dessa cidade tem o hábito de ler jornal.
2.1.3 Razões especiais
velocidade média
O cálculo da velocidade média é realizado por meio de uma razão. De fato, a velocidade média 
é uma grandeza cujo valor é a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrer 
essa distância. De modo geral, a distância, ou espaço percorrido, é expresso em quilômetros ou 
metros, e o tempo é expresso em horas, minutos ou segundos.
 
 média
Distância percorridaVELOCIDADE MÉDIA v
Tempo gasto
= =
Exemplo:
Você precisa percorrer uma distância de 200 metros e o faz em 20 segundos. Qual foi a sua 
velocidade média nesse percurso?
200 10 10 /
20 média
metros metrosv m s
segundos segundos
= = =
Escala
Imagine que você é um engenheiro e precise fazer a planta de um prédio. Não seria viável fazer no 
tamanho real. Assim, é feita uma redução proporcional das medidas reais para que seja possível 
representá-las nessa planta. Essa redução segue um parâmetro (escala) definido pelo engenheiro. 
 
 
Comprimentono DesenhoESCALA
Comprimento Real
=
Exemplo: 
Em uma planta de uma sala comercial, ao medirem uma das paredes, obtiveram 2,0cm. 
Considerando que a escala do desenho é 1:500, determine a medida real dessa parede. 
 1
 500
Comprimentono Desenho
Comprimento Real
=
35
PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS • CAPÍTULO 2
1 2,0
400 x
=
800x =
A parede tem 800cm, ou seja, 8m.
Densidade populacional ou densidade demográfica
A densidade demográfica é a relação entre a população e a superfície do território, sendo expressa, 
de modo geral, em habitantes por quilômetro quadrado.
 
 
númerodehabitantesdensidadedemográfica
áreatotal
=
Exemplo:
De acordo com dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE),o Brasil, em 2020, 
possui 211.755.692 pessoas em uma área de 8.510.345,538km². Dessa forma, o Brasil possui uma 
densidade demográfica de 24,88 habitantes/km2. (IBGE, 2020)
De fato, para encontrarmos esse valor, basta que determinemos a razão entre número de habitantes 
e a área total do Brasil. 
2
2
211.755.692 24,88 /
8.510.345,538 
habitantesdensidadedemográfica habitantes km
km
= =
Densidade de um material
A densidade de um material é a razão entre a massa de um corpo e o volume que ele 
ocupa. A proposta é determinar a quantidade de matéria presente em determinada unidade 
de volume, ou ainda, uma forma de se transformar em linguagem numérica o conceito de 
matéria, de modo a que possamos estudar o comportamento da matéria numericamente. 
Em tempo, matéria é tudo aquilo que possui massa e volume, enfim, tudo aquilo que ocupa 
espaço. 
 massadensidade
volume
=
Quando se é perguntado o que “pesa” mais, se 1kg de algodão ou 1kg de chumbo, o que se 
pergunta não é o “peso”, uma vez que o peso tanto do algodão quanto do chumbo é o mesmo, 
1kg. Lembrando que o peso P é a massa m vezes a gravidade g ( )P mg= . De modo geral, 
para facilitar as contas, calculamos o peso como a massa vezes 10, pois consideramos uma 
aproximação 210 /m s da gravidade na superfície da terra, que vale 29,8 /m s . A diferença desses 
“pesos” reside na densidade dos materiais algodão e chumbo. 
É fato que 1kg de chumbo ocupa um espaço muito menor que 1kg de algodão, dizemos que 1kg 
de chumbo é mais denso que 1kg de algodão.
36
CAPÍTULO 2 • PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS
2.2 Proporção
Chamamos de proporção à igualdade entre razões, ou ainda, quando duas razões possuem o 
mesmo “resultado” quando efetuamos a divisão
a c k
b d
= =
Sendo a, b, c, d números reais com b e d diferentes de zero.
Dizemos que k é constante da proporção, a e d de extremos da proporção, e b e c de meios 
da proporção. 
2.2.1 Propriedades das proporções
É importante que estudemos algumas propriedades das proporções para que possamos resolver 
problemas relacionados às proporções. Consideremos para as propriedades a seguir a proporção 
a c
b d
= .
1. Propriedade fundamental da proporção: o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos. 
a d c b= 
2. A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
a c c
b d d
+
=
+
 ou a c a
b d b
+
=
+
3. Troca dos meios
 a
d
=
c
b
 a
d
=
b
c
4. Troca dos extremos
 c
b
=
a
d
 c
b
=
d
a
5. Inversão das razões
b d
a c
=
Exemplo:
É fato conhecido que, às 8 horas da manhã, a razão entre a altura de um edifício vertical e a 
medida da sombra desse edifício é de 20 para 4. Qual a altura desse edifício se, nesse momento, 
sabemos que a sombra mede 5 metros?
37
PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS • CAPÍTULO 2
Resolução:
A fração das duas razões deve ser estruturada com a medida do prédio no numerador e a medida 
da sombra no denominador. O que queremos encontraré a medida do prédio, que chamaremos 
de x, quando a sombra mede 4m.
 20
 4 5
altura do prédio x
medida da sombra
= =
Utilizaremos a propriedade fundamental das proporções: o produto dos meios é igual ao produto 
dos extremos.
4 20 5x = 
100
4
x =
25x =
Dessa forma, o prédio possui 25 metros de altura.
Exercícios resolvidos
1. Deseja-se saber qual a idade de duas amigas, Morgana e Ana. Sabemos que a idade de 
Morgana está para a idade de Ana, assim como 5 está para 6. Sabemos também que, 
somadas, as duas idades totalizam 55 anos.
 Resolução:
 Consideremos a idade de Morgana como x anos. Uma vez que a soma das duas idades 
precisa ser 55, temos que a idade de Ana pode ser expressa como 55 x− . Importante que 
utilizemos a ordem na qual o problema expressa a proporção: a idade de Morgana está 
para a idade de Ana, assim como 5 está para 6. Trabalharemos com idade de Morgana
idade de Ana .
x 5
55 x 6
=
−
6x 275 5x= −
6x 5x 275+ =
11x 275=
x 25=
 Dessa forma, Morgana tem 25 anos e Ana tem 30 (55 – 25) anos. 
2. Antônio, Bruna e Carla são amigos de longa data e resolveram formar uma sociedade, 
sendo que cada um entrou com uma quantia diferente, de acordo com o que cada 
um podia arcar. Antônio entrou com R$ 24.000,00; Bruna entrou com R$ 30.000,00 e 
38
CAPÍTULO 2 • PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS
Carla entrou com R$ 36.000,00. Passados três meses, a empresa obteve um lucro de R$ 
60.000,00. Considerando a proporção dos valores com que cada um entrou na sociedade, 
determine o lucro que cada um dos sócios amigos obteve.
 Resolução:
 A = Antônio
 B = Bruna 
 C = Carla
 Total investido: 90.000
 Lucro total: 60.000
 Calculamos o valor de cada um dos sócios:
Tabela 2. valor de cada sócio.
60.000
90.000 24.000
A
=
2
3 24.000
A
=
3 48.000A =
16.000A =
60.000
90.000 30.000
B
=
2
3 30.000
B
=
3 60.000B =
20.000A =
60.000
90.000 36.000
C
=
2
3 36.000
C
=
3 72.000C =
24.000C =
Fonte: elaborada pela autora.
2.3 Grandezas proporcionais
Grandeza é o que podemos contar e medir, por exemplo, comprimento de uma mesa, preço de 
um produto, velocidade de um carro, temperatura de uma localidade, entre outros. 
A relação entre grandezas pode se dar de forma diretamente proporcional ou inversamente 
proporcional.
2.3.1 Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais são aquelas nas quais a variação de uma das grandezas 
ocasiona a variação da outra grandeza na mesma proporção. Se uma grandeza triplica de valor, 
a outra também triplica; se uma das grandezas é dividida à metade, a outra também é dividida 
à metade e assim por diante.
Podemos visualizar o comportamento da variação diretamente proporcional de uma grandeza 
em relação à outra. Trata-se de uma reta que passa pela origem com equação y = k.x, onde k é 
uma constante. Por exemplo, 4y x= .
39
PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS • CAPÍTULO 2
Se um produto custa R$ 20,00 a unidade e quisermos comprar duas unidades, se não houver 
nenhum desconto por comprarmos mais que uma unidade, teremos que pagar R$ 40,00. 
Comprando três unidades, pagaremos R$ 60,00, e assim por diante. Graficamente, podemos 
visualizar o cenário:
Gráfico 1. Gráfico do exemplo.
Fonte: elaborado pela autora.
As grandezas “quantidade de produtos” e “preço pago” são diretamente proporcionais. 
No exemplo acima, temos: 1 2 3
20 40 60
= = .
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma 
delas por um número positivo, o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número 
positivo.
2.3.2 Grandezas inversamente proporcionais
Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais quando observamos que o aumento 
de uma das grandezas ocasiona a redução da outra, na mesma proporção. 
Se uma grandeza triplica de valor, a outra ficará dividida por três; se uma das grandezas é dividida 
à metade, a outra dobrará, e assim por diante.
Podemos visualizar o comportamento da variação inversamente proporcional de uma grandeza 
em relação à outra. Trata-se de uma hipérbole com equação ky
x
= onde k é uma constante.
Por exemplo, 4y
x
= . Observe que podemos considerar que 4y x =
40
CAPÍTULO 2 • PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS
Gráfico 2. Gráfico do exemplo.
Fonte: elaborado pela autora.
Assim, duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, ao multiplicarmos o valor 
de uma delas por um número positivo, temos que o valor da outra ficará dividido por esse mesmo 
número positivo. 
Veja outro exemplo. As casas de duas amigas distam 240km uma da outra. Se elas desejarem ir da 
casa de uma delas para a casa da outra a uma velocidade média de 24km/h, sabem que levarão 
10 horas para chegar ao destino. Caso resolvam percorrer o mesmo trecho, agora com velocidade 
média de 48km/h, levarão cinco horas para chegar ao destino, e assim por diante. 
Tabela 3. velocidade e tempo.
Velocidade média (km/h) Tempo (h)
24 10
48 5
Fonte: elaborada pela autora.
Observe que o produto dos valores de velocidade pelo tempo é 240: 24 10 48 5 240= = 
Temos que: 24 5 1
48 10 2
= =
2.4 O Homem vitruviano e a Proporção áurea 
Uma das obras mais famosas de Leonardo da Vinci é o “Homem Vitruviano”, conhecido como 
o modelo das proporções. Trata-se do desenho de um corpo humano em suas proporções 
matemáticas tidas como ideais. Da Vinci utilizou o conceito de homem perfeito da obra de 
Marcus Vitruvius Pollio, “De Archictetura”. Vitruvius, como era conhecido, foi um arquiteto e 
41
PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS • CAPÍTULO 2
engenheiro romano, que apresentou o conceito do homem perfeito, com seus cálculos, utilizando 
proporções, mas não o desenhou. 
Vitrúvio, o arquiteto, afirma em sua obra sobre arquitetura que as medidas do 
corpo humano são as seguintes: 4 dedos foram 1 palmo e 4 palmos formam 1 
pé, 6 palmos formam um côvado (medida de comprimento antiga, equivalente 
a 66 cm); e 4 côvados formam a altura de um homem. E 4 côvados formam 1 
passo, e 24 palmos formam um homem. O comprimento dos braços estendidos 
de um homem é igual à sua altura. Das raízes de seus cabelos à ponta do seu 
queixo é a décima parte da altura do homem; da ponta do queixo até o topo da 
cabeça é um oitavo da sua altura; do topo do peito às raízes do cabelo será a 
sétima parte do homem inteiro. Dos mamilos ao topo da cabeça será a quarta 
parte do homem. A maior largura dos ombros contém em si a quarta parte do 
homem. Do cotovelo até a ponta da mão será a quinta parte do homem; e do 
cotovelo até o ângulo da axila será a oitava parte do homem. A mão inteira será 
a décima parte do homem. A distância da ponta o queixo até o nariz e das raízes 
dos cabelos até as sobrancelhas, é, em todos os casos, e como o ouvido, um terço 
da face. (IMBROISI; MARTINS, 2023)
Figura 35. Homem vitruviano.
Fonte: https://pixabay.com/pt/photos/humano-leonardo-da-vinci-62966/. Acesso em: 6 abr. 2023.
A obra revela o conhecimento profundo de proporções que Da Vinci possuía e retratava o ideal 
clássico de equilíbrio, de beleza, de harmonia nas proporções do corpo do homem. Esta proporção 
utilizada por Da Vinci é conhecida como proporção áurea.
Usada nas artes e na arquitetura, de modo geral, a proporção áurea é uma constante real algébrica 
irracional. Da Vinci, Botticelli e Salvador Dalí fizeram uso dessa proporção em suas criações com 
a proposta de retratar a beleza e a harmonia.
42
CAPÍTULO 2 • PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS
Por volta de 2300 anos atrás, a proporção áurea foi inicialmente abordada por Euclides, em sua 
obra “Os elementos”. Pensadores antigos, como Phidias e Platão descreviam essa proporção áurea 
como uma espiral perfeita. 
A proporção áurea é uma constante real irracional. Também chamada de número de ouro, esse 
valor é obtido quando dividimos uma linha reta em duas partes (a e b), de modo que a divisão de 
a por b seja igual ao resultado da divisão da linha inteira (a+ b) pela parte maior a. Como resultado 
dessa divisão, chegamos ao valor aproximado de 1,61803398....
Figura 36. Proporção áurea.
Fonte: elaborada pela autora.
1,16,1803398a a b
b a
ϕ+
= = …=
Uma das aplicações da proporção áurea é o retângulo dourado. Este retângulo pode ser dividido 
em um quadrado perfeito e um retângulo menor, sendo que, este retângulo menor precisa ter a 
mesma proporção do retângulo inicial. Dessa forma, é criada a espiral áurea. 
Figura 37. Espiral áurea.
Fonte: adaptada de https://pixabay.com/pt/vectors/espiral-de-fibonacci-propor%c3%a7%c3%a3o-%c3%a1urea-7225635/. 
Acesso em: 27 abr. 2023. 
Diversas obras utilizaram o número de ouro em suas composições, como, por exemplo, “ Partenon”, 
a “Mona Lisa”, de Da Vinci, “O nascimento de Vênus”, de Botticelli, entre outros. 
43
PENSAMENTOS E APLICAçÕES EM GRANDEzAS PROPORCIONAIS • CAPÍTULO 2
Sugestão de estudo
Leia os artigos: 
 » “O que é proporção áurea? Entenda como ela mudou a história da arquitetura”. Disponível em: https://www.vivadecora.
com.br/pro/proporcao-aurea/. 
 » “Menina de 10 anos faz protesto contra excesso de plástico no País de Gales”. Disponível em: https://engenharia360.com/
menina-de-10-anos-faz-protesto-contra-excesso-de-plastico-no-pais-de-gales/.
Sintetizando
Neste capítulo estudamos os conceitos básicos das razões e proporções, bem como reconhecemos algumas aplicações 
relevantes e razões especiais, como a velocidade média, a densidade demográfica, a densidade de material e a escala. 
Conhecemos ainda o Homem Vitruviano, de Da Vinci, e a razão áurea. 
44
Introdução
Em diversas situações no nosso cotidiano, ou em áreas específicas de profissionais, são utilizadas 
as noções de regra de três e de porcentagem. São dois conceitos com alta aplicabilidade. 
A regra de três consiste em um método para determinar valores desconhecidos, quando lidamos 
com grandezas direta ou inversamente proporcionais. De forma geral e básica, na regra de três 
buscamos determinar um valor desconhecido, utilizando outros três ou mais valores conhecidos. 
De fato, a porcentagem é um dos temas da matemática que mais utilizamos e dos mais familiares. 
Quando precisamos comparar grandezas, determinar um desconto, avaliar o crescimento, 
utilizamos as noções de porcentagem. Assim, trabalharemos nesse capítulo com os conceitos 
e aplicações de regra de três e de porcentagem.
Objetivos
 » Aplicar a regra de três simples ou composta, direta ou inversa, na resolução de problemas. 
 » Reconhecer o conceito de porcentagem.
 » Identificar e representar porcentagens.
 » Transformar porcentagens em frações e em decimais, e vice-versa.
 » Aplicar o conceito de porcentagens na resolução de problemas.
3.1 Regra de três simples
A regra de três simples é uma regra prática para determinar o quarto termo de uma proporção, 
conhecendo-se os outros três termos. Quando há somente duas grandezas, a regra é simples.
Para resolvermos a regra de três simples, a princípio, precisamos organizar os valores em uma 
tabela, de forma coerente, agrupando em colunas os valores de mesma natureza. A partir daí, é 
necessário que reconheçamos se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais.
3CAPÍTULO
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
45
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM • CAPÍTULO 3
Se as grandezas são diretamente proporcionais, mantemos as razões e montamos a proporção 
entre estas razões.
Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma das razões e montamos a 
proporção. 
Exemplo:
Uma artista concebe e produz duas bonecas em 20 minutos. Quantas bonecas ela conseguirá 
produzir, nas mesmas condições de trabalho, em oito horas?
Note que precisamos utilizar a mesma unidade de medida, dessa forma, temos que transformar 
as 8 horas em minutos. 
8 horas = 8 x 60 minutos = 480 minutos
Tabela 4. Bonecas e tempo.
Bonecas Tempo (min)
2 20
x 480
Fonte: elaborada pela autora.
Se temos mais tempo, poderemos fazer mais bonecas. As grandezas são, então, diretamente 
proporcionais e mantemos a razão. 
2 20
480x
=
2 480
20
x = 
48x =
Portanto, em oito horas, a artista conseguiria produzir 48 bonecos.
uma regra prática
Essa regra prática, na verdade, é até mais interessante quando formos trabalhar com a regra 
de três composta, mas é importante, desde já, nos habituarmos a ela, de modo que, quando a 
utilizarmos na regra de três composta, a prática ficará mais natural. 
Vamos resolver o exemplo agora utilizando essa regra prática. 
Depois de organizada a tabela, marcar o número que está na coluna do x (valor desconhecido). 
46
CAPÍTULO 3 • REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Tabela 5. Bonecas e tempo b.
Bonecas Tempo (min)
2 20
x 480
Fonte: elaborada pela autora.
A proposta agora é identificar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais. 
Se as grandezas são diretamente proporcionais, marcamos o valor que está na posição em x do 
valor marcado na coluna do x, do valor desconhecido. 
Se as grandezas forem inversamente proporcionais, marcamos o valor em linha do valor 
desconhecido. 
No nosso caso, se temos mais tempo disponível (20 minutos para 480 minutos), podemos produzir 
mais bonecas. Sendo assim, as grandezas são diretamente proporcionais e marcamos o valor na 
posição de x em relação ao valor marcado inicialmente. 
Tabela 6. Bonecas e tempo c. 
Bonecas Tempo (min) 
2 20 
x 480 
 
 Fonte: elaborada pela autora.
Agora basta calcularmos o valor de x como o quociente do produto dos valores marcados pelos 
valores não marcados. 
2 480
20
x = 
48x =
Exercícios resolvidos
1. Um trem de carga, deslocando-se a uma velocidade média de 200km/h, percorre 
determinada distância que separa duas cidades em cinco horas. Se o trem se deslocar 
com uma velocidade de 250km/h, quanto tempo levaria para ir de uma cidade para outra?
 Resolução: 
 Quando a velocidade aumenta, chegaremos mais rápido, ou seja, o tempo diminui.
47
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM • CAPÍTULO 3
Tabela 7. velocidade trem e tempo.
Velocidade km/h Tempo h
200 5
250 x
Aumentamos Diminuímos
Fonte: elaborada pela autora.
 As duas grandezas são inversamente proporcionais. Dessa forma, mantemos uma fração 
e invertemos a outra.
200
250 5
x
=
250 200 5x =
200 5
250
x = 
4x =
 Se o trem se deslocar com uma velocidade de 250km/h, o trem levará quatro horas para 
ir de uma cidade para outra.
2. Sabe-se que três pedreiros precisam de oito dias para construir um muro. Contratando-
se mais um pedreiro, nas mesmas condições, em quanto tempo os quatro pedreiros 
levarão para construir esse mesmo muro?
 Resolução: 
 Se temos maior mão de obra, o tempo para concluirmos a obra diminuirá. 
Tabela 8. Pedreiros e dias.
Pedreiros Dias
3 8
4 x
Aumentamos Diminuímos
Fonte: elaborada pela autora.
As duas grandezas são inversamente proporcionais. Dessa forma, mantemos uma fração e 
invertemos a outra.
3
4 8
x
=
4 3 8x = 
24
4
x =
48
CAPÍTULO 3 • REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
6x =
 Os quatro pedreiros, nas mesmas condições, levarão seis dias para construir o muro.
3. Para fabricar uma unidade de determinado produto, uma empresa utiliza, como matéria-
prima, seis peças de plástico. Se desejar fabricar 20 unidades desse produto, quantas 
peças de plástico precisará?
 Resolução: 
 Se precisamos fabricar mais produtos, precisaremos de mais matéria-prima. 
Tabela 9. Peças e produto.
Peças Produto
6 1
x 20
Aumentamos Aumentamos
Fonte: elaborada pela autora.
 As duas grandezas são diretamente proporcionais. Dessa forma, mantemos as duas frações. 
6 1
20x
=
6 20x = 
120x =
 Se desejar fabricar 20 unidades desse produto, a empresa precisará de 120 peças de plástico.
3.2 Regra de três composta 
A regra é dita composta quando envolve três ou mais grandezas, sejam elas diretas ou inversas.
O primeiro passo para resolvermos uma regra de três composta é, tal qual foi feito para a regra 
de três simples, organizar as grandezas em uma tabela. A proposta é colocarmos cada grandeza eseus valores em suas colunas, tomando cuidado com a organização. É absolutamente necessário 
que se agrupe nas colunas as grandezas correlatas. 
Sinalizamos, então, o valor conhecido que está na mesma coluna de x. A partir de agora, 
precisamos reconhecer se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcionais, 
sempre comparando cada grandeza com a grandeza cujo valor é desconhecido (x).
No caso de as grandezas serem diretamente proporcionais, devemos sinalizar o valor que está 
na direção cruzada em relação ao valor já sinalizado da coluna da grandeza desconhecida.
49
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM • CAPÍTULO 3
No caso de as grandezas serem inversamente proporcionais, devemos sinalizar o valor que está 
na mesma direção (em linha) do valor sinalizado da coluna da grandeza desconhecida. 
O cálculo do valor de x será o produto dos números marcados, divididos pelo produto dos 
números não marcados. 
Exemplo:
Uma equipe composta por 12 trabalhadores consegue realizar o serviço de carregar um caminhão 
com 100 caixas de um gênero alimentício, em cinco horas. Nas mesmas condições, para carregarem 
300 caixas, 20 trabalhadores precisarão de quantas horas para finalizar o serviço?
Resolução: 
Tabela 10. Trabalhadores, caixas e horas. 
Trabalhadores caixas horas 
12 100 5 
20 300 x 
 
Fonte: elaborada pela autora.
Após organizar a tabela, sempre colocando as grandezas correlatas na mesma coluna, sinalizamos 
o número que conhecemos (5) da coluna do valor desconhecido (x), no caso, das horas. 
Vamos, agora, comparar cada uma das duas primeiras colunas, de trabalhadores e de caixas, 
separadamente, com a coluna de horas. 
Comparando o número de trabalhadores, primeira coluna, com as horas trabalhadas, a última 
coluna, a partir do momento em que aumentamos o número de trabalhadores, podemos diminuir 
as horas trabalhadas. Note que quando pensamos nessa situação, não pensamos nas caixas, só 
avaliamos as duas grandezas em questão. 
Temos, então, que o número de trabalhadores e as horas trabalhadas são grandezas inversamente 
proporcionais. Assim, devemos sinalizar o valor que está na mesma linha do valor numérico 
sinalizado na coluna de x. 
Tabela 11. Trabalhadores, caixas e horas b.
Trabalhadores caixas horas 
12 100 5 
20 300 x 
Aumentando Diminui 
 
Fonte: elaborada pela autora.
50
CAPÍTULO 3 • REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Comparando agora a quantidade de caixas a serem carregadas (a segunda coluna) com o tempo 
de carregamento (última coluna). Pois bem, os trabalhadores que precisarem carregar mais 
caixas, precisarão aumentar a quantidade de horas trabalhadas. 
Temos, então, que a quantidade de caixas a serem carregadas e o tempo de carregamento são 
grandezas diretamente proporcionais. Assim, sinalizamos o valor na direção cruzada com o valor 
numérico sinalizado na coluna de x.
Tabela 12. Trabalhadores, caixas e horas c.
Trabalhadores caixas horas 
12 100 5 
20 300 x 
 Aumentando Aumenta 
 
Fonte: elaborada pela autora.
Em uma mesma tabela podemos observar da seguinte forma:
Tabela 13. Trabalhadores, caixas e horas d.
Trabalhadores caixas horas 
12 100 5 
20 300 x 
Aumentando 
----- 
---- 
Aumentando 
Diminui 
Aumenta 
 
Fonte: elaborada pela autora.
O valor do x será o quociente do produto dos valores sinalizados pelo produto dos valores não 
sinalizados. 
12 300 5 9
20 100
x = =
 

Assim, para 20 trabalhadores carregarem 300 caixas no caminhão serão necessárias nove horas 
de trabalho.
Exercícios resolvidos
1. Um tanque de 800m3 de capacidade precisa ser esvaziado. Para isso, dispõe-se de dois 
ralos. Nessas condições, o tanque leva 10 horas para ser completamente esvaziado. 
Se tivermos outro tanque, esse com 400m3 de capacidade, com cinco ralos, nas mesmas 
51
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM • CAPÍTULO 3
condições do primeiro, quantas horas seriam necessárias para esse novo tanque ser 
completamente esvaziado?
 Resolução: 
 Montamos a princípio a tabela e marcamos o número conhecido na coluna do termo 
desconhecido. 
Tabela 14. Capacidade do tanque, ralos e horas.
Capacidade do tanque (m3) Quantidade de ralos Tempo em horas
800 2 10
400 5 x
Diminuo ---- Diminuo
Fonte: elaborada pela autora.
 Se a capacidade do tanque é menor, ou seja, se temos menos água para escoar, levaremos 
menos tempo. São grandezas diretamente proporcionais e sinalizados em forma de X 
com relação ao termo já marcado. 
Tabela 15. Capacidade do tanque, ralos e horas.
Capacidade do tanque (m3) Quantidade de ralos Tempo em horas
800 2 10
400 5 x
Diminuo ---- Diminuo
Fonte: elaborada pela autora.
 Pensando agora na quantidade de ralos e no tempo, se temos mais ralos para escoar a 
água, o faremos em menos tempo. São grandezas diretamente proporcionais e marcamos 
na mesma linha do valor já marcado. 
Tabela 16. Capacidade do tanque, ralos e horas.
Capacidade do tanque (m3) Quantidade de ralos Tempo em horas
800 2 10
400 5 x
Diminuo
----
----
Aumento
Diminuo
Diminuo
Fonte: elaborada pela autora.
52
CAPÍTULO 3 • REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
 Agora, para determinar o valor de x, basta determinar o quociente do produto dos termos 
marcados, pelo quociente do produto dos termos não marcados. 
400 2 10
800 5
x =  

2x =
 Dessa forma, com cinco ralos poderíamos esvaziar o tanque de 400m3 em duas horas.
3.3 Porcentagem 
A porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100.
Considere uma folha quadriculada, dividida em 100 quadradinhos (10 quadradinhos na largura 
e 10 na altura). Colorindo 20 desses quadradinhos, temos coloridos 20 quadradinhos em 100. 
Teremos, então, em termos de fração, 20
100
. 
Em termos de porcentagem, dizemos 20 por cento e notamos 20%.
Figura 38. Folha quadriculada.
Fonte: elaborada pela autora.
Cada quadradinho será 1
100
 ou, em termos de porcentagem, 1%, dito “um por cento”. 
Considerando os 100 coloridos, teremos a unidade: 100 100%
100
=
Podemos representar uma fração com o denominador 100 sob forma fracionária, sob a forma 
decimal, ou sob a forma percentual. 
53
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM • CAPÍTULO 3
No exemplo dos quadradinhos, sob a forma fracionária, temos 20 ;
100
 sob a forma decimal ou taxa 
unitária, temos 0,20 (basta dividir o 20 por 100), ou sob a forma ou taxa percentual, temos 20%.
As porcentagens são também conhecidas como razão centesimal ou de percentual.
Transformações entre porcentagem, fração e números decimais
Para transformarmos a porcentagem em fração, temos que dividir o número que antecede o 
símbolo % por 100. 
Para transformarmos a fração em número decimal, precisamos efetuar a divisão. Caso o 
denominador seja 100, basta andar com a vírgula duas casas para a esquerda. 
22% 0,02
100
= =
Se temos um número decimal, para transformar em fração de denominador múltiplo de 10, 
basta verificar quantas casas há depois da vírgula. 
50,5
10
=
Agora, se desejarmos transformar essa fração em porcentagem, precisamos que o denominador 
seja 100. Utilizamos a noção de frações equivalentes, multiplicando o numerador e o denominador 
pelo mesmo número de forma que obtenhamos o denominador 100.
5 500,5 50%
10 100
= = =
Exercícios resolvidos
1. Calcule 30% de 500.
 Resolução: 
30 30 500500 150
100 100
= =


 No entanto, podemos resolver esse problema pensando que 30 0,3
100
= e basta, então, 
multiplicar 0,3 por 500. 
2. A cesta básica em um Estado do Brasil no mês de novembro custava R$ 700,00. 
Considerando que em dezembro sofreu um aumento de 10%, para quanto foi o valor 
dessa cesta básica?
 Resolução: 
 Precisamos determinar de quanto foi o aumento em termos de reais. Para isso, devemos 
calcular 10% de R$ 700,00.
10 700 70
100
=
54
CAPÍTULO 3 • REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
 O aumento, então, foi de R$ 70,00 e a cesta, em dezembro, passou a custar os R$ 700,00 
mais os R$ 70,00, totalizando R$ 770,00.
3. Considere que um produto custa R$ 200,00, mas que, se for vendido à vista, tem um 
desconto de 5% sobre esse valor original.Se desejarmos comprar o produto à vista, 
quanto pagaremos?
 Resolução: 
 Precisamos calcular 5% de 200: 5 200 10
100
= . Dessa forma, o produto terá um desconto 
de R$ 10,00, passando a custar R$ 190,00.
4. Uma mercadoria no Ceasa sofreu, em uma semana, um aumento de 40% e, na semana 
seguinte, outro aumento de 20%. Qual foi a taxa de aumento total dessa mercadoria?
 Resolução: 
 Quando o problema não nos dá o valor da mercadoria, podemos supor o valor como 
R$ 100 para facilitar os cálculos. 
 Se a mercadoria teve na primeira semana um aumento de 40%, temos que calcular 40% 
de 100.
40 100 40
100
=
 A mercadoria, ao final da primeira semana passou a custar R$ 140,00. 
 Na segunda semana, houve novo aumento, agora de 20% e sobre o novo valor de R$ 
140,00.
 Precisamos calcular, então, 20% de 140.
20 140 28
100
=
 A mercadoria, então, passou a custar 140 + 28 = 168.
 De R$ 100,00 iniciais, a mercadoria passou a custar R$ 168,00.
 Como queremos saber a taxa de aumento, queremos saber qual foi a porcentagem do 
aumento.
 Em termos absolutos, em reais, a mercadoria aumentou R$ 68,00.
 De fato, houve, então, um aumento de 68%.
 Para compreender isso, basta pensarmos na regra de três. Se a mercadoria tiver 100% 
de aumento, ela aumentará de R$ 100,00, mas teve um aumento de R$ 68,00.
$1 00,00 100%
$ 68,00
R
R x
−
−
55
REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM • CAPÍTULO 3
68 100 68
100
x = =

 Por isso utilizamos o valor de R$ 100,00, justamente para não precisarmos realizar a 
regra de três. 
5. João recebe R$ 3.000,00 como salário-base. Sobre esse salário, João recebe um adicional 
de 20% pela chefia, um adicional de 5% pela produtividade e tem um desconto de 6% 
de previdência. Quanto João recebe no final do mês?
 Resolução: 
 Calculando quanto João recebe pelo adicional da chefia, precisamos determinar 
2020% 3.000 3.000 600
100
de = =
 Calculando quanto João recebe pela produtividade, temos:
55% 3.000 3.000 150
100
de = =
 Calculando o desconto que João tem em seu salário referente a previdência:
66% 3.000 3.000 180
100
de = =
 Então, sobre o salário-base de João, R$ 3.000,00 precisamos adicionar R$ 600,00 pela 
chefia, adicionar R$ 150,00 pela produtividade e diminuir R$ 180,00 por conta da 
previdência.
3.000 600 150 180 3.570+ + − =
6. Um artigo em uma loja de departamentos teve um aumento de 20%, e agora custa R$ 
240,00. Determine o preço do artigo, antes desse aumento.
 Resolução: 
 O artigo teve um aumento de 20% no valor original, que consideraremos como x.
 O novo valor será o valor antigo mais os 20% de aumento sobre o preço antigo. 
20% 240,00de x x+ =
20 240
100
x x+ =
 Resolvendo a equação, com o auxílio do mmc, temos:
20 100 24.000x x+ =
120 24.000x =
200x =
56
CAPÍTULO 3 • REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
 Podemos pensar também, no lugar de usar o mmc, em multiplicar toda a equação por 
100, o que nos resultará na mesma equação a ser resolvida. 
Sintetizando
Neste capítulo, trabalhamos com a conceituação e as aplicações da regra de três simples ou composta, direta ou inversa. 
Ainda, reconhecemos e conceito de porcentagem e aplicamos este conceito na resolução de problemas. 
57
Introdução
O estudo da Matemática Financeira é relevante, não só para profissionais que gerenciam 
empresas, mas também para pessoas físicas. A relevância reside no fato de fornecer instrumentos 
de análise para tomada de decisão, buscando aumento de rendimentos, maximização de lucro, 
e gerenciamento do capital com sustentabilidade econômica e saúde financeira. 
A Matemática Financeira é importante também em situações cotidianas, como, por exemplo, 
na decisão de se comprar ou não um produto parcelado, em perceber se os juros referentes a 
prestação de imóvel cabem no seu bolso, em definir se aplica o seu dinheiro na poupança, entre 
outros... 
Neste capítulo abordaremos os conceitos iniciais da Matemática Financeira, os juros simples e 
os juros compostos. 
Objetivos
 » Reconhecer o significado dos principais conceitos da matemática financeira, como 
juros, taxa de juros, capital inicial e montante.
 » Aplicar os conceitos de juros simples, montante, o principal, o prazo e a taxa na resolução 
de problemas. 
 » Aplicar os conceitos de juros compostos, montante, o principal, o prazo e a taxa na 
resolução de problemas. 
4.1 Matemática Financeira: conceitos básicos
Iniciaremos apresentando alguns conceitos básicos que utilizaremos ao longo de nosso estudo, 
como capital, montante e juros. 
4
CAPÍTULO
NOçÕES BáSICAS DE MATEMáTICA 
FINANCEIRA
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CAPÍTULO 4 • NOçÕES BáSICAS DE MATEMáTICA FINANCEIRA
Capital
Chamamos de Capital (C) o valor que aplicamos em algum investimento ou tomamos emprestado 
em algum financiamento. Há outras nomenclaturas para o Capital, como Principal (P), Valor 
Atual, Valor Presente, Valor Aplicado.
Juros
O Juro (J) é a remuneração do capital empregado que é obtido em função do tempo. 
Taxa de juros
Taxa de juros percentual
Pensando em termos do credor, a taxa de juros ( i ) – interest rate – é a taxa de lucratividade que 
se recebe em um investimento, representa o percentual de ganho realizado quando se aplica o 
capital em um empreendimento. 
Exemplo:
Uma taxa de juros de 20% 
20 0,20
100
 = 
 
 ao ano significa 
que, a título de remuneração pelo uso do capital, para 
cada unidade monetária aplicada, um valor adicional de 
R$ 0,20 deve ser retornado após um ano. 
Taxa de juros unitária
As taxas de juros na forma unitária são utilizadas nas fórmulas e cálculos na resolução de 
problemas em Matemática Financeira. 
Exemplo: 
Dada a taxa percentual de 3%, podemos determinar a taxa unitária utilizando o conceito de 
porcentagem.
33% 0,03
100
= =
Atenção
Sob a visão do devedor (aquele que pede emprestado o dinheiro), os juros significam o valor do custo do dinheiro em função 
do tempo do empréstimo. Quando se toma dinheiro emprestado, os juros são o ônus financeiro. 
Sob a visão do credor (aquele que é o detentor do capital e que o empresta), os juros são o rendimento da aplicação ou do 
financiamento cedido, em função do tempo.
Importante
A taxa de juros sempre se refere a uma unidade 
de tempo, podendo ser fornecida em bases 
anuais, bases semestrais, trimestrais, mensais 
ou diárias.
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NOçÕES BáSICAS DE MATEMáTICA FINANCEIRA • CAPÍTULO 4
Podemos também definir taxa de juros como a razão entre os juros (que se cobra ou que se paga), 
no fim de um período de tempo, e o dinheiro que era devido, no início do período considerado. 
Utiliza-se o conceito taxa de juros quando se paga por um empréstimo, ao passo que o conceito 
taxa de retorno é utilizado quando se recebe pelo capital emprestado.
Montante
O Montante (M) é a soma do capital que inicialmente foi emprestado, ou aplicado, com os juros 
pagos ou recebidos. O montante também é conhecido como capital final ou valor futuro. 
M P J= +
Exemplo: 
Considerando que o capital inicial seja $ 100,00 e os juros sejam $ 50,00, o montante será $ 150,00.
Regimes de capitalização
Dizemos que a capitalização é o modo como o capital “rende”. Quando um capital é investido 
ou emprestado, considerando determinada taxa por período de tempo, ou mesmo por diversos 
períodos de tempo, o montante pode ser calculado de duas formas: regime de capitalização 
simples ou regime de capitalização composta. Eventualmente, a forma de capitalização pode 
ser realizada com condições mistas. 
No regime de capitalização simples, somente o principal ou o capital inicial rende juros, enquanto 
no regime de capitalização composta, após cada período, os juros são acrescentados ao capital 
anterior, são juros sobre juros. 
Capitalização simples
Os juros são calculados exclusivamente sobre o capital inicial, pelo período de capitalização, 
referente à taxa de juros dada. 
Capitalização composta
Ao final de um período, os juros produzidos são somados ao montante do início do período 
seguinte. Esta soma passa, então, a render juros no período seguinte, e