FUNÇÃO AFIM

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 ALUNO(A):___________________ 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM 
 
Definição: Chama-se função polinomial do 1º 
grau, ou função afim, a qualquer função 𝑓 de 
ℝ em ℝ na forma 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
onde a e b são números reais e 𝑎 ≠ 0. 
Em que: 
a é chamado de coeficiente angular 
b é chamado de coeficiente linear 
 
Exemplos: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 6, onde 𝑎 = 2 e 𝑏 = 6; 
 
b) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 +
4
5
, onde 𝑎 = −3 e 𝑏 =
4
5
; 
 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥, onde 𝑎 = 2 e 𝑏 = 0. 
 
Observações: 
1. O domínio da função afim é o conjunto dos 
números reais: 𝐷(𝑓) = ℝ; 
2. O conjunto imagem da função afim é o 
conjunto dos números reais: 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ; 
3. A função afim em que o termo b é nulo (𝑏 =
0), é dita função linear e tem a forma 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥; 
Exemplos: 𝑓(𝑥) = 3𝑥, 𝑓(𝑥) = −
2
3
𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑥 
4. A função afim em que o termo b é nulo (𝑏 =
0) e 𝑎 = 1, é dita função identidade e tem a 
forma 𝑓(𝑥) = 𝑥; 
5. Caso o termo a seja nulo na expressão 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑏 ∈ ℝ, a função 𝑓 não é afim. 
𝑓 é dita função constante e tem a forma 
𝑓(𝑥) = 𝑏. 
 
ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO AFIM 
 
Chama-se zero ou raiz da função o valor 𝑥 tal 
que 𝑓(𝑥) = 0. 
 
Sendo a função afim da forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
temos que 
𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 ⇒ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
, 𝑎 ≠ 0 
 
Exemplos: 
a) Determinar a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4. 
Solução: 2𝑥 − 4 = 0 ⇒ 𝑥 =
4
2
= 2 
 
b) Determinar a raiz de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1. 
Solução: 𝑎 = 2, 𝑏 = 1 ⇒ 𝑥 = −
1
2
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
01. Determine os coeficientes angular e linear 
e a raiz de cada uma das funções abaixo: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3 c) 𝑓(𝑥) = −
7
2
𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 2 + 4𝑥 d) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 3 
 
Resolução: 
 
a) a = 1, b = 3 
 raiz: x + 3 = 0 ⇒ x = -3 
 
b) a = 2, b = 4 
 raiz: 2 + 4x = 0 ⇒ x = 
−1
2
 
 
c) a = = −
7
2
, b = 0 
 raiz: = −
7
2
𝑥 = 0 ⇒ x = 0 
 
d) a = -4, b = 3 
 raiz: −4𝑥 + 3 = 0 ⇒ x = 
3
4
 
 
 
 
 
2 
 
02. Determine a lei 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 da função 
𝑓 nos seguintes casos: 
a) 𝑓(3) = 5 e 𝑓(−1) = −7 
b) 𝑓(0) = 5 e 𝑓(−4) = −3 
 
Resolução: 
 
a) 𝑓(3) = 5 ⟹ 𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 5 
 𝑓(−1) = −7 ⟹ 𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = −7 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 5 ⟹ 5 = 𝑎. 3 + 𝑏 ⟹ 3𝑎 + 𝑏 = 5 
𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = −7 ⟹ −7 = 𝑎. (−1) + 𝑏 
⟹ −𝑎 + 𝑏 = −7 
 
{
3𝑎 + 𝑏 = 5
−𝑎 + 𝑏 = −7 
⟹ { 3𝑎 + 𝑏 = 5
𝑎 − 𝑏 = 7 
 
 
⟹ 4𝑎 = 12 ⟹ 𝑎 = 3 
 
𝑎 − 𝑏 = 7 ⟹ 3 − 𝑏 = 7 ⟹ 𝑏 = −4 
 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4 
 
b) 𝑓(0) = 5 ⟹ 𝑥 = 0 𝑒 𝑦 = 5 
 𝑓(−4) = −3 ⟹ 𝑥 = −4 𝑒 𝑦 = −3 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
𝑥 = 0 𝑒 𝑦 = 5 ⟹ 5 = 𝑎. 0 + 𝑏 ⟹ 𝑏 = 5 
𝑥 = −4 𝑒 𝑦 = −3 ⟹ −3 = 𝑎. (−4) + 𝑏 
⟹ −4𝑎 + 𝑏 = −3 
 
⟹ −4𝑎 + 5 = −3 ⟹ 𝑎 = 2 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 5 
 
03. (MACK-SP) A função 𝑓 é definida por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Sabe-se que 𝑓(−1) = 3 e 
𝑓(1) = 1. Qual o valor de 𝑓(3). 
 
 
 
Resolução: 
 
 𝑓(−1) = 3 ⟹ 𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = 3 
 𝑓(1) = 1 ⟹ 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 1 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
𝑥 = −1 𝑒 𝑦 = 3 ⟹ 3 = 𝑎. (−1) + 𝑏 
⟹ −𝑎 + 𝑏 = 3 
 
𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 1 ⟹ 1 = 𝑎. 1 + 𝑏 
⟹ 𝑎 + 𝑏 = 1 
 
{
−𝑎 + 𝑏 = 3
 𝑎 + 𝑏 = 1 
⟹ 2𝑏 = 4 ⟹ 𝑏 = 2 
 
𝑎 + 𝑏 = 1 ⟹ 𝑎 + 2 = 1 ⟹ 𝑎 = −1 
 
𝑓(𝑥) = −𝑥 + 2 
 
𝑓(3) = −3 + 2 ⟹ 𝑓(3) = −1 
 
 
04. Determine a função afim cujo gráfico 
contém os pontos 𝐴(1, 7) e 𝐵(−3, −1). 
 
Resolução: 
 
 𝐴(1, 7) ⟹ 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 7 
 𝐵(−3, −1) ⟹ 𝑥 = −3 𝑒 𝑦 = −1 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 7 ⟹ 7 = 𝑎. 1 + 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑏 = 7 
𝑥 = −3 𝑒 𝑦 = −1 ⟹ −1 = 𝑎. (−3) + 𝑏 
⟹ −3𝑎 + 𝑏 = −1 
 
{
𝑎 + 𝑏 = 7
−3𝑎 + 𝑏 = −1 
⟹ { 𝑎 + 𝑏 = 7
3𝑎 − 𝑏 = 1 
 
 
⟹ 4𝑎 = 8 ⟹ 𝑎 = 2 
 
𝑎 + 𝑏 = 7 ⟹ 2 + 𝑏 = 7 ⟹ 𝑏 = 5 
 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚: 𝑦 = 2𝑥 + 5 
 
 
 
3 
 
05. (FGV-SP) Quando o preço por unidade de 
um produto (𝑥) vale 𝑅$ 16,00, então 42 
unidades são vendidas por mês; quando o 
preço por unidade vale 𝑅$ 24,00, são vendidas 
38 unidades por mês. Admitindo que o gráfico 
da quantidade vendida (𝑦) em função de (𝑥) 
seja formado por pontos de uma reta: 
a) Obtenha a expressão de 𝑦 em função de 𝑥. 
b) Se o preço por unidade for 𝑅$ 26,00 qual a 
quantidade vendida? 
 
Resolução: 
 
a) preço do produto (𝑥) 
quantidade vendida (𝑦) 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
𝑥 = 16 𝑒 𝑦 = 42 ⟹ 42 = 𝑎. 16 + 𝑏 
⟹ 16 𝑎 + 𝑏 = 42 
 
𝑥 = 24 𝑒 𝑦 = 38 ⟹ 38 = 𝑎. 24 + 𝑏 
⟹ 24𝑎 + 𝑏 = 38 
 
{
16 𝑎 + 𝑏 = 42
24𝑎 + 𝑏 = 38 
⟹ {
−16 𝑎 − 𝑏 = −42
24𝑎 + 𝑏 = 38 
 
 
⟹ 8𝑎 = −4 ⟹ 𝑎 =
−1
2
 
 
16. (
−1
2
) + 𝑏 = 42 ⟹ −8 + 𝑏 = 42 
⟹ 𝑏 = 50 
 
𝑦 =
−1
2
𝑥 + 50 
 
b) 𝑥 = 26 ⟹ 𝑦 =
−1
2
. 26 + 50 
⟹ 𝑦 = −13 + 50 ⟹ 𝑦 = 37 
 
 
 
 
 Resolver as questões 01 a 10 e 26, da 
parte de Exercícios Propostos. 
 
GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM 
 
O gráfico da função afim é uma reta. 
 
Precisamos só de dois pontos para traçar 
uma reta. 
 
Note que quando x = 0, y = b ⟹ (0, b) é o 
ponto de interseção da reta com o eixo y. 
 
A raiz (y = 0) é o ponto de interseção da reta 
com o eixo x. 
 
Exemplo: Construir os gráficos das funções 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 
 
Resolução: 
 
1º 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, −4) 
 
𝑦 = 0 ⟹ 0 = 2. 𝑥 − 4 ⟹ 𝑥 = 2 ; 
 
2º 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (2, 0) 
 
Agora é só marcar os pontos no sistema de 
coordenadas e traçar a reta 
 
 
 
 
 
4 
 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3 
 
Resolução: 
 
1º 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (0, 3) 
 
𝑦 = 0 ⟹ 0 = −𝑥 + 3 ⟹ 𝑥 = 3 ; 
2º 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 (3, 0) 
 
Agora é só marcar os pontos no sistema de 
coordenadas e traçar a reta 
 
 
 
Observação: Note que 
1) Quando 𝑎 > 0, a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é 
uma função crescente; 
2) Quando 𝑎 < 0, a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 é 
uma função decrescente. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
06. Esboce o gráfico das seguintes funções 
afim: 
a) 𝑦 = 2𝑥 + 2 d) 𝑦 =
2
3
𝑥 +
1
3
 
b) 𝑦 = −3𝑥 + 6 e) 𝑦 = −𝑥 +
1
2
 
c) 𝑦 = 3𝑥 
 
 
 
Resolução: 
 
a) 𝑦 = 2𝑥 + 2 
 
b = 2 
 
raíz: 2𝑥 + 2 = 0 ⟹ 𝑥 = −1 
 
 
 
 
b) 𝑦 = −3𝑥 + 6 
 
b = 6 
 
raíz: −3𝑥 + 6 = 0 ⟹ 𝑥 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
c) 𝑦 = 3𝑥 
 
b = 0 
raíz: x = 0 
 
 
 
d) 𝑦 =
2
3
𝑥 +
1
3
 
 
b = 
1
3
 
 
raíz: 
2
3
𝑥 +
1
3
= 0 ⟹ 𝑥 = 
−1
2
 
 
 
 
e) 𝑦 = −𝑥 +
1
2
 
 
b = 
1
2
 
raíz: x = 2 
 
 
 
 
07. Determine a lei que define a função 
representada em cada um dos seguintes 
gráficos: 
 
a) 
 
 
Resolução: 
 
b = 2, raiz = 3 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⟹ 𝑦 = 𝑎𝑥 + 2 
 
raiz = 3 ⟹ 0 = 𝑎. 3 + 2 ⟹ 𝑎 = 
−2
3
 
 
𝑦 =
−2
3
𝑥 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
b) 
 
 
Resolução: 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
𝑏 = −1 ⟹ 𝑦 = 𝑎𝑥 − 1 
 
 
𝑥 = 6 𝑒 𝑦 = 1 ⟹ 1 = 𝑎. 6 − 1 ⟹ 𝑎 = 
1
3
 
 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚: 𝑦 =
1
3
𝑥 − 1 
 
 
 
 
c) 
 
 
Resolução: 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
 
𝑥 = 3 𝑒 𝑦 = 2 ⟹ 2 = 𝑎. 3 + 𝑏 ⟹ 3𝑎 + 𝑏 = 2 
𝑥 = −2 𝑒 𝑦 = 1 ⟹ 1 = 𝑎. (−2) + 𝑏 
⟹ −2𝑎 + 𝑏 = 1 
 
{
3𝑎 + 𝑏 = 2
−2𝑎 + 𝑏 = 1 
⟹ { 3𝑎 + 𝑏 = 2
 2𝑎 − 𝑏 = −1 
 
⟹ 5𝑎 = 1 ⟹ 𝑎 =
1
5
 
 
3𝑎 + 𝑏 = 2 ⟹ 3.
1
5
+ 𝑏 = 2 ⟹ 𝑏 =
7
5
 
 
𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑎𝑓𝑖𝑚: 𝑦 =
1
5
𝑥 +
7
5
 
 
08. Determine a área do triângulo limitado 
pela reta 𝑦 = 4𝑥 + 1 e pelos eixos 𝑂𝑥 e 𝑂𝑦. 
 
Resolução: 
 
b = 1 raíz: 
−1
4
 
 
 
 
A = 
𝑏.ℎ
2
 ⟹ A = 
1
4
.1
2
 ⟹ A = 
1
8
 
 
 
09. Sejam A e B os pontos de interseção dos 
gráficos das funções 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 e 𝑔(𝑥) =
2𝑥– 3 com o eixo dos 𝑦, respectivamente. 
Sabendo-se que C é o ponto de interseção 
desses gráficos, calcule a área do triângulo 
ABC. 
 
Resolução: 
 
Ponto de interseção: −𝑥 + 1 = 2𝑥 − 3 
 
⟹ 𝑥 = 
4
3
 
𝑦 = −𝑥 + 1 ⟹ 𝑦 = −
4
3
+ 1 ⟹ 𝑦 = −
1
3
 
 
 
 
7A = 
𝑏.ℎ
2
 ⟹ A = 
4.
4
3
2
 ⟹ A = 
8
3
 
 
10. O custo 𝑪 de produção de 𝒙 litros de certa 
substância é dado por uma função afim, com 
𝑥 ≥ 9, cujo gráfico está representado abaixo 
 
Nessas condições, quantos litros devem ser 
produzidos de modo que o custo de produção 
seja igual a 𝑅$ 580,00? 
 
Resolução: 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑏 = 400 
 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 400 
 
𝑥 = 8, 𝑦 = 520 ⇒ 520 = 𝑎. 8 + 400 ⇒ 𝑎 = 15 
 
𝑦 = 15𝑥 + 400 
 
𝐶𝑢𝑠𝑡𝑜 = 580 ⟹ 𝑦 = 580 
 
15𝑥 + 400 = 580 ⟹ 𝑥 = 12 
 
 Resolver as questões 11 a 18, da parte 
de Exercícios Propostos. 
 
 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO 
 
Vamos determinar, na função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 
para quais valores de 𝑥 obtemos: 𝑓(𝑥) > 0, 
𝑓(𝑥) = 0 e 𝑓(𝑥) < 0. 
 
1º caso: a>0 (função crescente) 
𝑓(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
𝑓(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 
𝑓(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
 
 
2º caso: a<0 (função decrescente) 
𝑓(𝑥) = 0 ⇔ 𝑥 = −
𝑏
𝑎
 
𝑓(𝑥) > 0 ⇔ 𝑥 < −
𝑏
𝑎
 
𝑓(𝑥) < 0 ⇔ 𝑥 > −
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
8 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO EM SALA 
 
11. Faça o estudo do sinal das seguintes 
funções: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 8 
b) 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 12 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 
 
Resolução: 
 
a) raíz: 2𝑥 − 8 = 0 ⇒ 𝑥 = 4 
 
 + 
 
 - 4 
 
𝑓(𝑥) > 0 ⇒ 𝑥 > 4 
𝑓(𝑥) < 0 ⇒ 𝑥 < 4 
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = 4 
 
b) raíz: = −4𝑥 + 12 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 
 
 + 
 
 3 - 
 
𝑓(𝑥) > 0 ⇒ 𝑥 < 3 
𝑓(𝑥) < 0 ⇒ 𝑥 > 3 
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = 3 
 
c) raíz: 𝑥 + 1 = 0 ⇒ 𝑥 = −1 
 
 + 
 
 - -1 
 
 
𝑓(𝑥) > 0 ⇒ 𝑥 > −1 
𝑓(𝑥) < 0 ⇒ 𝑥 < −1 
𝑓(𝑥) = 0 ⇒ 𝑥 = −1 
 
 
 
INEQUAÇÕES DO 1º GRAU 
 
Chamamos inequações do 1º grau às 
sentenças: 
𝑎𝑥 + 𝑏 > 0, 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0, 𝑎𝑥 + 𝑏 < 0 e 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤
0 
Onde 𝑎 e 𝑏 são números reais conhecidos com 
𝑎 ≠ 0 e 𝑥 é a incógnita. 
 
Exemplos: 
a) 𝑥 + 2 > 0 
 
Solução: Convém verificarmos para quais 
valores de 𝑥 temos 𝑓(𝑥) > 0. 
𝑥 > −2 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 > −2} 
 
b) 2𝑥 − 3 ≥ 0 
Solução: 2𝑥 ≥ 3 ⇒ 𝑥 ≥
3
2
 
Logo, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≥
3
2
}. 
 
c) −
𝑥
2
− 1 ≤ 0 
 
Solução: Convém verificarmos para quais 
valores de 𝑥 temos 𝑓(𝑥) ≤ 0 
−
𝑥
2
− 1 = 0 ⇒ −
𝑥
2
= 1 ⇒ −𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = −2 
 
Como 𝑎 < 0, 𝑥 ≥ −2. 
Logo, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ −2}. 
 
 
EXERCÍCIO RESOLVIDO EM SALA 
 
 
12. Um provedor de acesso à Internet oferece 
dois planos para seus assinantes: Plano A - 
Assinatura mensal de R$8,00 mais R$0,03 por 
cada minuto de conexão durante o mês. Plano 
B - Assinatura mensal de R$10,00 mais R$0,02 
por cada minuto de conexão durante o mês. 
Acima de quantos minutos de conexão por 
mês é mais econômico optar pelo plano B? 
 
 
 
 
9 
 
Resolução: 
 
x = quantidade de minutos utilizados 
y = preço a pagar 
 
Plano A: y = 8 + 0,03x 
Plano B: y = 10 + 0,02x 
 
Plano B mais econômico se: 
 
10 + 0,02𝑥 < 8 + 0,03𝑥 
−0,01𝑥 < −2 
0,01𝑥 > 2 
𝑥 > 200 
 
O plano B é mais econômico do que o plano A 
à partir de 200 minutos. 
 
 Resolver as questões 19 a), 22, 23, 27 e 
28 da parte de Exercícios Propostos. 
 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES 
 
Exemplo: 
a) {
3𝑥 − 2 ≥ 7
−4𝑥 − 8 < 0
 
 
Solução: {
3𝑥 − 2 ≥ 7
−4𝑥 − 8 < 0
⇒ {
3𝑥 − 9 ≥ 0
−4𝑥 − 8 < 0
 
3𝑥 − 9 ≥ 0 ⇒ 3𝑥 ≥ 9 ⇒ 𝑥 ≥ 3 
−4𝑥 − 8 < 0 ⇒ −4𝑥 < 8 ⇒ −𝑥 < 2 ⇒ 𝑥 > −2 
Logo, fazendo a intersecção das soluções 
acima, 
 
 3 
 -2 
 3 
 
temos 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≥ 3}. 
 
 Resolver as questões 19 b), c), 21, 24 e 
25 da parte de Exercícios Propostos. 
 
 
 
INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO 
QUOCIENTE 
 
 
Exemplo: Resolver as inequações 
 
a) (𝑥 − 3) ∙ (𝑥 + 6) > 0 
 
Solução: Determinando os zeros das funções 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 6, temos: 
𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 e 𝑥 + 6 = 0 ⇒ 𝑥 = −6 
Estudando os sinais das funções, temos: 
 
 
 
Para determinar 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) > 0, estudamos 
os sinais do produto das funções. 
 
 
Logo, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −6 𝑜𝑢 𝑥 > 3}. 
 
 
b) Determinar a solução da inequação 
 
𝑥−2
𝑥−3
≥ 0 
 
Solução: Determinando os zeros das funções 
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3, temos: 
𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 e 𝑥 − 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3 
 
 
 
10 
 
Como o número 3 é raiz da função 𝑔(𝑥) 
denominador da fração, devemos excluí-lo da 
solução. 
 
 
 
 
Para determinar 
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≥ 0, estudamos os sinais 
do quociente das funções. 
 
 
Logo, 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 > 3}. 
 
 
 
 Resolver as questões 19 d), e) e 20 da 
parte de Exercícios Propostos. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. Considerando a função 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1, 
determine: 
a) Os coeficientes angular e linear 
b) 𝑓(2) e 𝑓(−3) 
 
02. Uma função 𝑓 é do 1º grau tal que as 
imagens de −2 e de zero são, 
respectivamente, 11 e 3. Determine a lei de 
formação de 𝑓. 
 
03. Determine a função afim que tem raiz −
2
5
 
e que a imagem de 2 seja 6. 
 
04. Sabendo que as funções 𝑓(𝑥) = 2𝑎𝑥 – 𝑏 e 
𝑔(𝑥) = 
𝑥
2
 + 𝑎 se interceptam no ponto 
𝐴 (1, 5), determine: 
a) os números 𝑎 e 𝑏. 
b) 𝑓 (
5
9
) + 𝑔(−1) 
 
05. Se 𝑥 = 3 é raiz da função 
𝑓(𝑥) = (2 − 𝑘)𝑥 +
𝑘−1
2
, determine o valor de 
𝑘. 
 
06. Sobre os preços dos ingressos para certo 
espetáculo, foi estabelecido que, na compra 
de: 
• até um máximo de 20 ingressos, o preço 
unitário de venda seria 𝑅$ 18,00; 
• mais de 20 unidades, cada ingresso que 
excedesse os 20 seria vendido por 𝑅$ 15,00. 
 
Nessas condições, a expressão que permite 
calcular, em reais, o gasto de uma pessoa que 
comprar 𝑥 ingressos, 𝑥 > 20, é: 
a) 15𝑥 d) 18𝑥 – 60 
b) 15𝑥 + 60 e) 18𝑥 – 90 
c) 15𝑥 + 90 
 
07. O preço de venda de um livro é de 
𝑅$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo 
corresponde a um valor fixo de 𝑅$ 4,00 mais 
𝑅$ 6,00 por unidade, construa uma função 
capaz de determinar o lucro líquido (valor 
descontado das despesas) na venda de 𝑥 
livros, e o lucro obtido na venda de 500 
livros. 
 
 
 
11 
 
 
08. (ENEM-2011) O saldo de contratações no 
mercado formal no setor varejista da região 
metropolitana de São Paulo registrou alta. 
Comparando as contratações deste setor no 
mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, 
houve incremento de 4 300 vagas no setor, 
totalizando 880 605 trabalhadores com 
carteira assinada. Suponha que o incremento 
de trabalhadores no setor varejista seja 
sempre o mesmo nos seis primeiros meses do 
ano. Considerando-se que 𝑦 e 𝑥 representam, 
respectivamente, as quantidades de 
trabalhadores no setor varejista e os meses, 
janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o 
segundo, e assim por diante, a expressão 
algébrica que relaciona essas quantidades 
nesses meses é 
a) 𝑦 = 4300𝑥 
b) 𝑦 = 884905𝑥 
c) 𝑦 = 872005 + 4300𝑥 
d) 𝑦 = 876305 + 4300𝑥 
e) 𝑦 = 880605 + 4300𝑥 
 
09. (CESGRANRIO) O valor de um carro novo é 
de 𝑅$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de 
𝑅$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o 
tempo, segundo uma linha reta, o valor de um 
carro com 1 ano de uso é: 
a) 𝑅$ 8.250,00 d) 𝑅$ 7.500,00 
b) 𝑅$ 8.000,00 e) 𝑅$ 7.000,00 
c) 𝑅$ 7.750,00 
 
10. (ENEM-2009) Um experimento consiste em 
colocar certa quantidade de bolas de vidro 
idênticas em um copo com água até certo 
nível e medir o nível da água, conforme 
ilustrado na figura a seguir. Como resultado 
do experimento, concluiu-se que o nível da 
água é em função do número de bolas de vidro 
que são colocadas dentro do copo. 
 
O quadro a seguir mostra algunsresultados do 
experimento realizado. 
 
Qual a expressão algébrica que permite 
calcular o nível da água 𝑦 em função do 
número de bolas 𝑥? 
a) 𝑦 = 30𝑥 d) 𝑦 = 0,7𝑥 
b) 𝑦 = 25𝑥 + 20,2 e) 𝑦 = 0,07𝑥 + 6 
c) 𝑦 = 1,27𝑥 
 
11. Esboce o gráfico e determine o conjunto 
imagem das seguintes funções afim: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4, 𝐷 = ℝ 
b) 𝑓(𝑥) = −
𝑥
2
+ 2, 𝐷 = ℝ+ 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 7, 𝐷 = [1, 7] 
d) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
3
− 1, 𝐷 = ]3, +∞[ 
e) 𝑦 = 1 −
3
2
𝑥, 𝐷 = [−1, 2[ 
 
 
12. Escreva a lei que representa cada função: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
13. Considere a função afim 
𝑓(𝑥) = (𝑝 − 1)𝑥 +
𝑞+3
2
. 
Sabe-se que o coeficiente angular de f vale a 
metade do linear, e que o gráfico de 𝑓 contém 
o ponto (−1, 1). Determine: 
a) a função 𝑓(𝑥); 
b) o número 𝑥 tal que 𝑓(𝑥) = 3; 
c) o gráfico de 𝑓(𝑥). 
 
14. As retas correspondentes aos gráficos de 
𝑓(𝑥) =
2
3
𝑥 + 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑛 
interceptam-se em 𝑃(6,6). Sabendo que 3 é 
raiz de 𝑔(𝑥), determine: 
a) Os valores de 𝑚 e 𝑛; 
b) A área do triângulo limitado pelo gráfico de 
𝑔 e pelos eixos coordenados. 
 
15. A função 𝑓, do 1º grau, é definida por 
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑘. Determine: 
a) O valor de 𝑘 para que o gráfico de 𝑓 “corte” 
o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5. 
b) O ponto em que o gráfico de 𝑓 “corta” o 
eixo das abscissas. 
c) O gráfico de 𝑓. 
 
16. (UFRJ) O gráfico da função 𝑓 está 
representado na figura: 
 
Sobre a função 𝑓 é falso afirmar que: 
a) 𝑓(1) + 𝑓(2) = 𝑓(3) 
b) 𝑓(2) = 𝑓(7) 
c) 𝑓(3) = 3𝑓(1) 
d) 𝑓(4)– 𝑓(3) = 𝑓(1) 
e) 𝑓(2) + 𝑓(3) = 𝑓(5) 
 
17. (UERJ-modificada) Em uma partida, Bahia 
e Vitória levaram à Arena Fonte Nova 90.000 
torcedores. Três portões foram abertos às 12 
horas e até as 15 horas entrou um número 
constante de pessoas por minuto. A partir 
desse horário, abriram-se mais 3 portões e o 
 
 
 
13 
 
fluxo constante de pessoas aumentou. Os 
pontos que definem o número de pessoas 
dentro da arena em função do horário de 
entrada estão contidos no gráfico abaixo: 
Em que horário o número de torcedores 
atingiu 45.000? 
 
 
18. (ENEM-2010-2) Certo município brasileiro 
cobra a conta de água de seus habitantes de 
acordo com o gráfico. O valor a ser pago 
depende do consumo mensal em 𝑚³. 
 
Se um morador pagar uma conta de 𝑅$ 19,00, 
isso significa que ele consumiu: 
a) 16 𝑚³ de água 
b) 17 𝑚³ de água 
c) 18 𝑚³ de água 
d) 19 𝑚³ de água 
e) 20 𝑚³ de água 
 
 
19. Determine o conjunto solução das 
seguintes inequações: 
a) 2(1 + 2𝑥) − 3(1 − 𝑥) > 0 
b) {
4𝑥 − 12 < 0
3𝑥 + 18 ≥ 0
 
c) −2𝑥 + 6 ≤ 2𝑥 + 2 ≤ 4𝑥 
d) (3𝑥 − 8)(2𝑥 + 4) > 0 
e) 
3𝑥+3
−2𝑥−5
≤ 0 
 
20. (Uern 2012) A soma de todos os números 
inteiros que satisfazem simultaneamente a 
inequação produto (3x – 7)  (x + 4) < 0 e a 
inequação-quociente 
2𝑥+1
5−𝑥
> 0 é 
 
a) 3. b) 5. c) 6. d) 7. 
 
21. (UFSCar) O conjunto solução do sistema 
de inequações {
3𝑥 − 1 > 5𝑥 + 2
4𝑥 + 3 < 7𝑥 − 11
 é: 
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
3
2
 𝑜𝑢 𝑥 >
14
3
} 
b) 𝑆 = ℝ 
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
3
 𝑜𝑢 𝑥 >
1
3
} 
d) 𝑆 = ∅ 
e) {𝑥 ∈ ℝ | −
5
3
< 𝑥 <
1
3
} 
 
22. (UFAL) O conjunto solução da inequação 
5
𝑥−3
≤ 0 é: 
a) ∅ d) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 3} 
b) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 > 5} e) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 8} 
c) {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < 3} 
 
23. (PUC-SP–2009) O prefeito de certa cidade 
solicitou a uma equipe de trabalho que 
obtivesse uma fórmula que lhe permitisse 
estudar a rentabilidade mensal de cada um 
dos ônibus de uma determinada linha. Para 
tal, os membros da equipe consideraram que 
havia dois tipos de gastos –uma quantia 
mensal fixa (de manutenção) e o custo do 
combustível – e que os rendimentos seriam 
calculados multiplicando-se 2 reais por 
quilômetro rodado. A tabela a seguir 
apresenta esses valores para um único ônibus 
de tal linha, relativamente ao mês de outubro 
de 2008. 
 
 
 
14 
 
 
Considerando constantes os gastos e o 
rendimento, a menor quantidade de 
quilômetros que o ônibus deverá percorrer no 
mês para que os gastos não superem o 
rendimento é: 
a) 2775 c) 2875 e) 2925 
b) 2850 d) 2900 
 
 
24. (UFMG) Observe a figura. 
 
O retângulo ABCD representa um terreno, e o 
trapézio sombreado, uma construção a ser 
feita nele. Por exigências legais, essa 
construção deve ter uma área, no mínimo, 
igual a 45% e, no máximo, igual a 60% do 
terreno. Todos os valores possíveis de 𝑥 
pertencem ao intervalo 
a) [17, 26] c) [14, 18] 
b) [13, 18] d) [18, 26] 
 
25. (UNICAMP) Três planos de telefonia 
celular são apresentados na tabela abaixo: 
Plano 
Custo fixo 
mensal (R$) 
Custo adicional 
por minuto 
(R$) 
A 35,00 0,50 
B 20,00 0,80 
C 0 1,20 
 
a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém 
que utilize 25 minutos por mês? 
b) A partir de quantos minutos de uso mensal 
o plano A é mais vantajoso que os outros dois? 
 
26. O preço de venda de um livro é de R$ 
25,00 a unidade. Sabendo que o custo 
corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais 
R$ 6,00 por unidade, construa uma função 
capaz de determinar o lucro líquido (valor 
descontado das despesas) na venda de x 
livros, e o lucro obtido na venda de 500 
livros. 
 
27. (MACK-SP) Uma escola paga, pelo aluguel 
anual do ginásio de esportes de um clube A, 
uma taxa fixa de 𝑅$ 1 000,00 e mais 𝑅$ 50,00 
por aluno. Um clube B cobraria pelo aluguel 
anual de um ginásio o equivalente a 
uma taxa fixa de 𝑅$ 1 900,00, mais 𝑅$ 45,00 
por aluno. Para que o clube B seja mais 
vantajoso economicamente para a escola, o 
menor número 𝑁 de alunos que a escola deve 
ter é: 
a) 100 ≤ 𝑁 < 150 d) 150 ≤ 𝑁 < 190 
b) 75 ≤ 𝑁 < 100 e) 220 ≤ 𝑁 < 250 
c) 190 ≤ 𝑁 < 220 
 
28. (UFG–2009) Para fazer traduções de 
textos para o inglês, um tradutor A cobra um 
valor inicial de 𝑅$ 16,00 mais 𝑅$ 0,78 por 
linha traduzida, e um outro tradutor, B, cobra 
um valor inicial de 𝑅$ 28,00 mais 𝑅$ 0,48 por 
linha traduzida. A quantidade mínima de 
linhas de um texto a ser traduzido para o 
inglês, de modo que o custo seja menor se for 
realizado pelo tradutor B, é: 
a) 16 c) 41 e) 78 
b) 28 d) 48 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
GABARITO 
 
01. a) 𝑎 = 3, 𝑏 = 1 
b) 𝑓(2) = 7 e 𝑓(−3) = −8 
02. 𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 3 
03. 𝑓(𝑥) =
5
2
𝑥 + 1 
04. a) 𝑎 =
9
2
 e 𝑏 = 4 b) 5 
05. 𝑘 =
11
5
 
06. b 
07. 𝐿(𝑥) = 19𝑥 − 4 e 𝐿(500) = 9496,00 
08. c 
09. c 
10. e 
11. a) 
 
 
𝐼𝑚(𝑓) = ℝ 
 
b) 
 
𝐼𝑚(𝑓) = ] − ∞, 2] 
 
c) 
 
𝐼𝑚(𝑓) = [9, 21] 
 
d) 
 
𝐼𝑚(𝑓) = ]0, +∞[ 
 
e) 
 
 
𝐼𝑚(𝑓) = ] − 2,
5
2
] 
 
12. a) 𝑦 = 2𝑥 − 3 b) 𝑦 = 𝑥 + 5 
c) 𝑦 = −
1
2
𝑥 + 1 d) 𝑦 = −2𝑥 + √2 
e) 𝑦 = 4 
 
13. a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 
b) 𝑥 = 1 
 
 
 
 
 
 
16 
 
c) 
 
 
14. a) 𝑚 = 2 e 𝑛 = −6 
b) 9 u.a. 
 
15. a) 𝑘 = 5 
b) (−
5
3
, 0) 
c) 
16. e 
17. 15 h e 30 min 
18. b 
19. 
a) S= {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 >
1
7
} 
b) S= {𝑥 ∈ ℝ | − 6 ≤ 𝑥 < 3} 
c) S= {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 1} 
d) S= {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −2 𝑜𝑢 𝑥 >
8
3
} 
e) S= {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 < −
5
2
 𝑜𝑢 𝑥 ≥ −1} 
20. a 
21. d 
22. c 
23. c 
24. a 
25. a) plano C 
 b) À partir de 50 min 
26. L(x) = 19x – 4 L(50) = 946 
27. d 
28. c 
REFERÊNCIAS: 
 
FILHO, Benigno Barreto; DA SILVA, Cláudio 
Xavier. Matemática aula por aula. Volume 
Único. Editora FTD, 2005. 
 
MACHADO, Antôniodos Santos. Matemática 
Temas e Metas. Conjuntos Numéricos e 
Funções. Vol 1. 2ª Ed. Atual Editora, São 
Paulo, 1988. 
 
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José 
Roberto. Matemática: uma nova abordagem. 
Vol 1. São Paulo: FTD, 2000. 
 
VALENZUELA, Guilherme. Modulo 8, Função 
Afim. Mundo da Matemática. Disponível em 
<https://mundoedu.com.br/uploads/pdf/5972a6659
7ad8.pdf>. Acesso em: 03 de Junho de 2020 às 
16:45. 
PAULO, Luiz; RIBEIRO, Paulo Vinicius. 
Matemática. Volume 2. Editora Bernoulli. 
Disponível em: < 
http://fuvestibular.com.br/downloads/apostilas/Ber
noulli/Colecao-6V/Matematica/Matematica-
Volume-2.pdf>. Acesso em 03 de Junho de 
2020 às 16:57. 
 
Matemática e suas tecnologias. Objetivo. 
Disponível em: < 
http://fuvestibular.com.br/downloads/apostilas/Ob
jetivo/Ensino-Medio/1-ANO-ENSINO-MEDIO/2-
BIMESTRE/LIVROS/matematica.pdf>. Acesso 
em: 03 de Junho de 2020 às 17:03. 
 
https://mundoedu.com.br/uploads/pdf/5972a66597ad8.pdf
https://mundoedu.com.br/uploads/pdf/5972a66597ad8.pdf
http://fuvestibular.com.br/downloads/apostilas/Bernoulli/Colecao-6V/Matematica/Matematica-Volume-2.pdf
http://fuvestibular.com.br/downloads/apostilas/Bernoulli/Colecao-6V/Matematica/Matematica-Volume-2.pdf
http://fuvestibular.com.br/downloads/apostilas/Bernoulli/Colecao-6V/Matematica/Matematica-Volume-2.pdf
http://fuvestibular.com.br/downloads/apostilas/Objetivo/Ensino-Medio/1-ANO-ENSINO-MEDIO/2-BIMESTRE/LIVROS/matematica.pdf
http://fuvestibular.com.br/downloads/apostilas/Objetivo/Ensino-Medio/1-ANO-ENSINO-MEDIO/2-BIMESTRE/LIVROS/matematica.pdf
http://fuvestibular.com.br/downloads/apostilas/Objetivo/Ensino-Medio/1-ANO-ENSINO-MEDIO/2-BIMESTRE/LIVROS/matematica.pdf