REVISÃO SOBRE POTÊNCIA

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 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
 ALUNO(A):___________________________ 
 
REVISÃO SOBRE POTÊNCIA 
 
O estudo de função exponencial requer alguns 
conceitos sobre potenciação. 
Para uma expressão do tipo 𝑎𝑛, 𝑛 > 1, temos: 
 
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎⏟ 𝑎𝑛 expoente 
 n fatores base 
 
Expoente inteiro não-negativo 
Por extensão da definição, fazemos: 
𝑛 = 0 → 𝑎0 = 1 
𝑛 = 1 → 𝑎1 = 𝑎 
 
Expoente inteiro negativo 
 
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
, 𝑎 ∈ 𝑅∗ 𝑒 𝑛 ∈ 𝑁 
 
Exemplos: 
a) 5−2 =
1
52
=
1
25
 
b) (−3)−3 =
1
(−3)3
= −
1
27
 
c) (
2
3
)
−1
=
1
(
2
3
)
1 =
3
2
 
 
Propriedades das potências cujo expoente é 
um número inteiro 
1. 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
2. 
𝑎𝑚
𝑎𝑛
= 𝑎𝑚−𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ≠ 0 
3. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 
4. (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
, 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
5. (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚∙𝑛 
 
Exemplos: 
a) 43 ∙ 4−2 = 43+(−2) = 4 c) (3 ∙ 5)2 = 32 ∙ 52 
b) (23)−2 = 23∙(−2) = 2−6 d) (
7
4
)
3
=
73
43
 
 
Expoente racional 
√𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
São equações em que as incógnitas figuram em 
expoentes. Exemplos: 
 
i) 3𝑥 = 9 
ii) √27
3 3𝑥
= 81 
iii) 1252𝑥−1 = 0.04 
iv) 22𝑥+1. 4(3𝑥+1) = 8𝑥−1 
v) 3𝑥
2+2𝑥 = 243 
 
TÉCNICA PARA REDUÇÃO À BASE COMUM 
 
Uma das técnicas para resolver equações ex-
ponenciais consiste em reduzir, quando possí-
vel, ambos os membros da igualdade a uma 
mesma base e utilizar a seguinte propriedade: 
 
𝑎𝑥 = 𝑎𝑦 ⟺ 𝑥 = 𝑦 ( 𝑎 ∈ 𝑅+
∗ 𝑒 𝑎 ≠ 1) 
 
 
Exemplo - 1: 
 
2x = 64 
2x = 26 
x = 6 
 
 
Exemplo - 2: 
 
32x−1. 93x−4 = 27x+1 
32x−1. 36x−8 = 33x+3 
38x−9 = 33x+3 
8x − 9 = 3x + 3 
x =
12
5
 
 
 
Exemplo - 3: 
 
8
x2−5x+6
x−1 = 1 
8
x2−5x+6
x−1 = 80 
𝑥2 − 5𝑥 + 6
𝑥 − 1
= 0 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 , para 𝑥 ≠ 1 
 
“Aplicando o dispositivo Bhaskara” 
 
 
 
2 
 
 
𝑥 = 2 ou 𝑥 = 3 
 
Exemplo - 4: 
 
(2√3)𝑥
2−3𝑥 = 144 (fatorando 144) 
(2√3)𝑥
2−3𝑥 = 24. 32 
𝑥2 − 3𝑥 = 4 
𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 
 
“Aplicando o dispositivo Bhaskara” 
 
𝑥 = −1 ou 𝑥 = 4 
 
 
Exemplo - 5: 
 
3𝑥+1 + 3𝑥−2 − 3𝑥−3 + 3𝑥−4 = 750 
3𝑥 . 3 + 
3𝑥
32
−
3𝑥
33
+
3𝑥
34
= 750 
 
Dica: “Pondo (𝟑𝒙) em evidência” 
 
3𝑥 (3 +
1
32
−
1
33
+
1
34
) = 750 
 
3𝑥 (
35 + 32 − 3 + 1
34
) = 750 
 
3𝑥 =
34. 750
250
 
 
3𝑥 = 35 
 
𝑥 = 5 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
Resolva as seguintes equações: 
1. 8x = 
1
32
 𝑆 = {−
5
3
} 
2. (√2
3
)x = 8 𝑆 = {9} 
3. 100x = 0,001 𝑆 = {−
3
2
} 
4. 27x
2+1 = 95x 𝑆 = {3,
1
3
} 
5. 4x
2+4x = 412 𝑆 = {−6,2} 
6. 22𝑥+2: 82𝑥−7 = 4𝑥−1 𝑆 = {5} 
7. 
3𝑥+2.9𝑥
2435𝑥+1
=
812𝑥
273−4𝑥
 𝑆 = {
1
7
} 
8. 3𝑥−1 − 3𝑥 + 3𝑥+1 + 3𝑥+2 = 306 𝑆 = {3} 
9. 4𝑥 − 2𝑥 − 2 = 0 𝑆 = {1} 
10. √8𝑥−1. √42𝑥−3
𝑥+1
= √25𝑥+3
6
 𝑆 = {2} 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
 
1. Resolva a equação: 
22x+1 − 17. 2x+1 + 144 = 0 S = {3} 
 
2. Uma epidemia se alastra segundo a função 
𝑝(𝑥) = 2𝑥 + 2𝑥−2 + 2𝑥−4 + 6, em que 𝑝(𝑥) é o 
número de pessoas atingidas (em milhares) 
em 𝑥 dias. Em quantos dias o número de pes-
soas infectadas atingirá 174 mil pessoas? 
 
S = {7 dias} 
 
3. Uma fábrica produz em 𝑡 semanas de tra-
balho 𝑃(𝑡) = 22t produtos horários da ma-
nhã. Para um mesmo número de horas, à 
tarde, em 𝑡 semanas a produção é 𝑄(𝑡) =
 30 ∙ 22t + 64 produtos. Em quantas semanas 
a produção matutina será a mesma que a ves-
pertina? 
 
 
4. Resolva a equação: 
2. √4
𝑥+4
2
𝑥
+ 3. √2
𝑥+4
2
𝑥
− 14 = 0 
 
S = {4} 
 
5. Resolva a equação exponencial: 
 
25√𝑥 − 144.5√𝑥 = 125 S = {9} 
 
 
6. Resolva a equação exponencial: 
 
3
(𝑥2+
1
𝑥2
)
=
81
3(𝑥+
1
𝑥
)
 
S = {
−3 − √5 
2
,
−3 + √5 
2
, 1} 
 
Dica: 𝒙 +
𝟏
𝒙
 = t 
7. Resolva a equação exponencial: 
 
 
 
 
3 
 
4𝑥 + 6𝑥 = 2. 9𝑥 
S = {0} 
 
Dica: dividir toda a equação por 𝟗𝒙 
 
 
8. Para que valores reais de 𝑚 a equação 
4𝑥 − (𝑚 − 2)2𝑥 + 2𝑚 + 1 = 0 admite pelo menos 
uma raiz real? 
 
𝑆 = {𝑚 ∈ ℜ / 𝑚 < −
1
2 
 𝑜𝑢 𝑚 ≥ 12} 
 
Dica:Em caso de obstáculo, consulte o livro de 
Fundamentos de Matemática n° 2, editora Atual 
10° edição 2013, págs. 46 exercícios. 106. 
 
9. Resolvendo os sistemas de equações: 
 
 
(𝑎) {
4𝑥 = 16𝑦
2𝑥+1 = 4𝑦
 
 
𝑆: 𝑎 = {3,4} 
 
(𝑏) {2
2(𝑥2−𝑦) = 100. 52(𝑦−𝑥
2)
𝑥 + 𝑦 = 5
 
 
𝑆: 𝑏 = {(2,3), (−3,8)} 
 
 
(𝑐) { 4
𝑥+𝑦 = 1
2𝑥+2𝑦 = 2
; calcule o valor de 𝑥 + 𝑦. 
 
𝑆: 𝑐 = {(5,3)} → 𝑆 = 𝑥 + 𝑦 = 8 
 
 
(𝑑) {
2𝑥 − 2𝑦 = 24
𝑥 + 𝑦 = 8
 
 
𝑆: d = {(4,+√2), (4,−√2)} 
 
 
INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
 
As inequações exponenciais se resolvem uti-
lizando as propriedades das exponencias. 
Condição: 
 
 Quando 𝒂 > 1: 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐 ⟺ 𝒂𝒙𝟏 > 𝒂𝒙𝟐 
 Quando 𝒂 < 1: 𝒙𝟏 > 𝒙𝟐 ⟺ 𝒂𝒙𝟏 < 𝒂𝒙𝟐 
 
 
Exemplo - 1: 𝒂 > 1 
 
2𝑥+1 > 2
𝑥−7
3 
 
𝑥 + 1 >
𝑥 − 7
3
 
3𝑥 + 3 > 𝑥 − 7 
𝑥 > −5 
 
 
Exemplo - 2: 𝒂 < 1 
 
(
1
3
)
5𝑥
< (
1
9
)
𝑥2+1
 
(
1
3
)
5𝑥
< [(
1
3
)
2
]
𝑥2+1
⇒ (
1
3
)
5𝑥
< (
1
3
)
2𝑥2+2
 
5𝑥 > 2𝑥2 + 2 ⇒ 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 < 0 
Resolvendo a inequação do 2º grau, temos: 
∆= (−5)2 − 4 ∙ 2 ∙ 2 = 9 
𝑥 =
5 ± √9
2 ∙ 2
⇒ 𝑥 =
5 ± 3
4
⇒ 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 =
1
2
 
Fazendo o estudo do sinal, segue 
 
𝑆 = 𝑥 ∈ ]
1
2
, 2[ 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
 
Resolva as seguintes inequações: 
11. 2𝑥 > 128 S = {x ∈ R| x > 7} 
12. (
3
5
)
𝑥
 ≥
125
27
 S = {x ∈ R| x ≤ −3} 
13. (√2
3
)𝑥 < √8
4
 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 <
9
4
} 
14. (
1
2𝑥
)
3𝑥+1
. 41+2𝑥−𝑥
2
≥ (
1
8
)
𝑥−1
 
 
 
 
4 
 
 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 
1
5
≤ 𝑥 ≤ 1} 
15. 7
𝑥+1
𝑥−1: 7
𝑥−1
𝑥+1 < √343 
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −
1
3
 𝑜𝑢 𝑥 > 3 𝑒 𝑥 ≠ −1} 
16. 2𝑥 − 2𝑥+1 − 2𝑥+2 − 2𝑥+3 + 2𝑥+4 <
3
4
 
 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −2} 
17. (3𝑥)2𝑥−7 >
1
27
 
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 <
1 
2
 𝑜𝑢 𝑥 > 3} 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
 
10. Resolva as seguintes inequações: 
 
(a) 4𝑥 − 6. 2𝑥 + 8 < 0 
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|1 < 𝑥 < 2} 
 
(b) 9𝑥 − 4. 3𝑥+1 + 27 > 0 
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|1 < 𝑥 < 2} 
 
(c) 𝑒2𝑥 − 𝑒𝑥+1 − 𝑒𝑥 + 𝑒 < 1 
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|0 < 𝑥 < 1} 
 
(d) 32𝑥 − 3𝑥+1 > 3𝑥 − 3 
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|0 < 𝑥 < 1} 
 
(e) 2𝑥−1 + 2𝑥 + 2𝑥+1 − 2𝑥+2 + 2𝑥+3 > 240 
𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 > 5} 
 
Dica: Convido a todos para uma visita, livro Fun-
damentos de Matemática Elementar, 10° edição 
2013 - Atual Editora, para realizarem exercícios 
(48 ≤ Paginas ≤ 54). 
 
FUNÇÂO EXPONENCIAL 
 
Uma função 𝑓:𝑅 → 𝑅+
∗ é denominada função ex-
ponencial de base a se sua lei, 𝑓(𝑥), puder ser 
escrita como 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, com 𝑎 ∈ 𝑅+
∗ e 𝑎 ≠ 1. 
Comportamento gráfico da função exponen-
cial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características importantes da função: 
 
 Todo o gráfico estará contido acima do 
eixo das abscissas, pois, sendo 𝑎𝑎 > 0, temos 
𝑎𝑎𝑎𝑥 > 0, para todo 𝑎𝑥 ∈ 𝑅𝑎. 
 O gráfico sempre passa pelo ponto (0,1), 
pois 𝑎0 = 1 para todo 𝑥𝑎 ∈ 𝑅+
∗ . 
 Se 𝑎 > 1, então o gráfico será cres-
cente e se 0 < 𝑎 < 1, então o gráfico será 
decrescente. 
 
Alguns gráficos para análise: 
 
 
 
 
Figura -1 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LABORATÓRIO: 
Geogebra: www.geogebra.org 
Winplot:http://math.exeter.edu/rparris 
 
Construa, com o auxílio do Winplot ou geogebra, 
o gráfico das seguintes funções. 
 
(a) 𝑓𝑎: 𝑎ℝ → ℝ𝑎; 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
(b) 𝑔𝑎: ℝ𝑎 → ℝ𝑎; 𝑔(𝑥) = 3 + 2𝑥 
(c) ℎ:ℝ𝑎 → ℝ𝑎; ℎ(𝑥) = −1 + 2𝑥 
 
Observando o gráfico das funções 𝑓(𝑥),
𝑔(𝑥) 𝑒 ℎ(𝑥), comente a experiência. 
 
Caso Geral 
 
Considere a função 𝑎𝑓:ℝ𝑎 → ℝ𝑎; 𝑓(𝑥) =
𝐵𝑎+ 𝐶𝑎𝑘𝑥𝑎𝑎𝑎𝑎, em que 𝑎𝑎, 𝐵𝑎 e 𝐶 são cons-
tantes reais, 𝑎𝑎 > 0 𝑎 e 𝑎𝑎 ≠ 1. Essa função 
pode ser considerada como um caso geral 
para funções queenvolvem exponencial. O 
gráfico dessa função é gerado por translações 
e reflexões do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso Geral 
Considere a função 𝑎𝑓: ℝ𝑎 → ℝ𝑎; 𝑓(𝑥) = 𝐵𝑎+
𝐶𝑎𝑘𝑥, em que 𝑎𝑎, 𝐵𝑎 e 𝐶 são constantes reais, 
𝑎𝑎 > 0 𝑎 e 𝑎𝑎 ≠ 1. Essa função pode ser consi-
derada como um caso geral para funções que 
envolvem exponencial. O gráfico dessa função 
é gerado por translações e reflexões do gráfico 
da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
u 
 
 
Figura -2 
Figura -3 
Figura -4 
http://www.geogebra.org/
http://math.exeter.edu/rparris
 
 
 
6 
 
 
Com auxílio do Winplot ou geogebra, esboce os 
gráficos utilizando translação e reflexão. 
(a) 𝑓:𝑅 → 𝑅; 𝑓(𝑥) = 2 + 3.2𝑥 
(b) 𝑓:𝑅 → 𝑅; 𝑓(𝑥) = −2 + 2𝑥 
(c) 𝑓:𝑅 → 𝑅; 𝑓(𝑥) = −2 − 2𝑥 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EM SALA 
18. Resolva a seguinte inequação. 
2𝑥 − 1 > 21−𝑥 
Dica: Substituir 𝟐𝒙 = 𝒚 
S = {x ∈ R|x > 1} 
19. Resolva a seguinte inequação. 
4𝑥+
1
2 + 5. 2𝑥 + 2 > 0 
S = 𝑅 
20. O conjunto solução da inequação 
(
1
16
)
2𝑥−3
≤ (
1
8
)
2𝑥+2
 
S = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 9} 
 
21. No universo 𝑅, qual o conjunto solução da ine-
quação 5𝑥2. 52𝑥−1. 5−3 ≤ 
1
5
? 
S = {𝑥 ∈ 𝑅| − 3 ≤ 𝑥 ≤ 1} 
 
22. O conjunto solução, em 𝑅, da inequação 
3𝑥−3 > (
1
9
)𝑥+3 é: 
S = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 > −1} 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
 
11. Uma instituição bancária oferece rendimento 
de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa 
modalidade de aplicação financeira. Um cliente 
deste banco deposita 1.000 reais nessa aplicação. 
Ao final de n, o capital que esse cliente terá em 
reais, relativo a este deposito, é: 
 
a) 1.000 + 0,15. 𝑛 
b) 1.000. 0,15. 𝑛 
c) 1.000 + 0,15𝑛 
d) 1.000 + 1,15𝑛 
e) 1.000. 0,15𝑛 
 
Dica: Para resolver a questão acima, pes-
quise sobre o regime de capitalização com-
posta. 
 
12. O gráfico a seguir é uma representa-
ção cartesiana do gráfico da função 𝑓: 𝑅 →
𝑅, em que 𝑓(𝑥) = 𝑏 + 𝑎𝑥, com a, b ∈ 𝑅 e 
𝑎 > 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado que 1 é a raiz de 𝑓 e a reta 𝑦 = −2 é 
uma assíntota de 𝑓, o valor de 𝑎 + 𝑏 é igual 
a: 
 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
13. O gráfico que melhor representa a 
função de 𝑅 em 𝑅 definida por 𝑓(𝑥) =
3𝑥 + (
1
3
)𝑥, é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14. Se a curva da figura abaixo representa o grá-
fico da função 𝑦 = 2𝑥, o valor da área sombreada 
é: 
a) 4 b) 2 c) 8 d) 6 e) 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
15. Conforme dados obtidos pelo IBGE, relativos 
às taxas de analfabetismo da população brasileira 
de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível 
ajustar uma curva de equação 𝑦 = 30𝑘𝑥 + 10, em 
que 𝑘 > 0, representada a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Determine o valor de k. 
b) Obtenha as taxas relativas aos anos 
1960 e 2020 (valor estimulado), usando o 
gráfico e a equação anterior. 
 
16. Em um meio de cultura especial, a 
quantidade de bactérias, em bilhões, é 
dada pela função Q definida, para 𝑡 ≥ 0, 
por 𝑄(𝑡) = 𝑘5𝑘𝑡, sendo t o tempo, em mi-
nutos e 𝑘 uma constante. 
A quantidade de bactérias, cuja contagem 
inicia-se com o cálculo de 𝑄(0), torna -se, 
no quarto minuto, igual a 25.𝑄(0). Assi-
nale a opção que indica quantos bilhões de 
bactérias estão presentes nesse meio de 
cultura no oitavo minuto: 
a) 12,5 d) 62 
b) 25 e) 1000 
c) 312,5 
 
17. O número de indivíduos de um certo 
grupo é dado por 𝑓(𝑥) = (10 −
1
10𝑥
) . 1000, 
sendo x o tempo medido em dias. Desse 
modo, entre o 2° e 3° dia, o número de 
indivíduos do grupo: 
 
a) aumentará em exatamente 10 unidades. 
 
 
 
8 
 
b) aumentará em exatamente 90 unidades. 
c) diminuirá em exatamente 9 unidades. 
d) aumentará em exatamente 9 unidades. 
e) diminuirá em exatamente 90 unidades. 
 
18. A curva abaixo mostra a evolução do número 
de peças montadas em uma linha de produção por 
um operário recém-contratado. Admitindo que a 
curva seja descrita pela função 𝑄(𝑡) = 500 −
𝐴. 2−𝑘.𝑡, determine o número de peças que o ope-
rário montará em sua segunda semana de traba-
lho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. A relação 𝑃 = 32 000 . ( 1 − 2−0.1𝑡) descreve o 
crescimento de uma população 𝑃 de bactérias, 𝑡 
dias após o instante 0. O valor de 𝑃 é superior a 
31.000 se, e somente se, 𝑡 satisfazer a condição: 
 
a) 𝑡 > 50 b) 𝑡 < 30 c) 𝑡 > 16 
d) 2 < 𝑡 < 16 e) 32 < 𝑡 < 64 
 
20. O total de indivíduos, na enésima geração, de 
duas populações P e Q é dada, respectivamente, 
por 𝑃(𝑛) = 4𝑛 e 𝑄(𝑛) = 2𝑛. Sabe-se que, quando 
 
𝑃(𝑛)
𝑄(𝑛)
≥ 1024, a população 𝑄 estará amea-
çada de extinção. Com base nessas infor-
mações, essa ameaça de extinção ocorrerá 
a partir da: 
a) décima geração 
b) nona geração 
c) oitava geração 
d) sétima geração 
e) sexta geração 
 
21. O conjunto de todos os valores de x 
para os quais 1 ≤ 4
𝑥
4 < 82 é: 
a) [0,12[ 
b) [0,8[ 
c) [0,6[ 
d) [0,4[ 
e) [0,3[ 
22. A posição de um objeto A num eixo nu-
merado é descrito pela lei 
1
8
−
7
8
. 2−0.5𝑡, em 
que 𝑡 é o tempo em segundos. No mesmo 
eixo, move-se o objeto B, de acordo com 
a lei 2−0.5𝑡 . Os objetos A e B se encontrarão 
num certo instante 𝑡𝐴𝐵. O valor de 𝑡𝐴𝐵 em 
segundos, é um divisor de: 
a) 28 b) 26 c) 24 d) 22 e) 20 
 
23. O gráfico mostra, em função do 
tempo, a evolução do número de bactérias 
em certa cultura. Dentre as alternativas 
abaixo, decorridos 30 minutos do início 
das observações, o valor mais próximo desse nú-
mero é: 
 
 
 
9 
 
a) 18 000 c) 32 000 e) 40 000 
b) 20 000 d) 14 000 
 
24. Num período prolongado de seca, a variação 
da quantidade de água de certo reservatório é 
dada pela função: 𝑞(𝑡) = 𝑞0. 2
(−0.1)𝑡 
Sendo 𝑞0 a quantidade inicial de água no reserva-
tório e 𝑞(𝑡) a quantidade a quantidade de água no 
reservatório após 𝑡 meses. Em quantos meses a 
quantidade de água do reservatório se reduzirá à 
metade do que era no início? 
a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 
 
25. O processo de resfriamento de um determi-
nado corpo é descrito por: 𝑇(𝑡)=𝑇𝐴 + 𝛼3
𝛽𝑡, onde 
𝑇(𝑡) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, 
no instante 𝑡, dado em minutos, 𝑇𝐴 é a tempera-
tura ambiente, suposta constante, e 𝛼 e 𝛽 são 
constantes. O referido corpo foi colocado em um 
congelador com temperatura de -18°C. Um termô-
metro no corpo indicou que ele atingiu 0°C após 
90 minutos e chegou à -16 °C após 270 minutos. 
a) Encontre os valores numéricos das constantes 
𝛼 e 𝛽. 
b) Determine o valor de 𝑡 para o qual a tempera-
tura do corpo no congelador é apenas (
2
3
) °C supe-
rior à temperatura ambiente. 
 
26. Uma empresa acompanha a produção 
diária de um funcionário recém-admi-
tido, utilizando uma função 𝑓(𝑑), cujo 
valor corresponde ao número mínimo de 
peças que a empresa espera que ele pro-
duza em cada dia (𝑑), a partir da data de 
sua admissão. 
Considere o gráfico auxiliar abaixo, que 
representa a função 
𝑦 = 𝑒𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando 𝑓(𝑑) = 100 − 100 . 𝑒−0.2𝑑 e o 
gráfico acima, a empresa pode prever 
que o funcionário alcançará a produção 
de 87 peças num mesmo dia, quando 𝑑 
for igual a: 
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 
 
27. A produção de uma indústria vem di-
minuindo ano a ano. Num certo ano, ela 
produzia mil unidades de seu principal 
produto. A partir daí, a produção passou 
a seguir a lei y = 1000 (0,9)x, sendo 
y a produção anual e x o número de uni-
dades produzidas. Após quantos anos a 
produção chegou a 810 unidades? 
28. O crescimento de uma certa cultura de bacté-
rias obedece à função N(t) =200.3kt onde n re-
presenta o número de bactérias no instante t em 
 
 
 
10 
 
horas e k é uma constante a ser obtida. A pro-
dução tem início em t = 0. Após 12 horas, há 600 
bactérias. Calcule a constante k. Qual o 
número de bactérias 36 horas depois do início da 
produção? 
 
29. Determine o conjunto S solução de cada equa-
ção abaixo: 
 
a) 2433 12
x 
b) 125,02 822
 xx 
c) 327 x 
d) 1)5,0( 122
xx 
e) 2x.3x = 216 
f) 656132 
x
 
g) 4x + 4x-2 = 68 
h) 3x-1 + 3x+1 – 3x + 3x+2 = 306 
i) 4x – 2x = 2 
j) 9x + 3x+1 = 4 
k) 25 x - 124.5 x =125 
l) 4x + 9x = 2.6x 
 
30. Resolver, em R, as seguintes inequações: 
 
a) 22x-1> 2 x + 1 
b) (0,1)5x-1 (0,1)2x+8 
c) 
6
2
1
2
1
2












xx
 
d) xx 33
2
 
e) 12 3
232

 xx
 
f) 5x-1 25 
g) (0,2)3-4x 5-5 
h) 4x + 2  3.2x 
i) 4x+1 + 8 > 33. (0,5)-x 
j) 25x 5 x+1 
 
 
GABARITO 
11. e 
12. c 
13. e 
14. d 
15. a) √
1
3
30
 b) 
40
3
≈ 13,33 % 
16. c 
17. d 
18. 𝑄(2) = 425 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 
19. a 
20. a 
21. a 
22. c 
23. d 
24. e 
25. a) 𝛼 = 54 𝑒 𝛽 = −
1
90
 
 b) 𝑡 = 360 𝑚𝑖𝑛 
26. b 
27. 2 𝑎𝑛𝑜𝑠 
28. k = ½ ; 5400 bactérias 
29. 
a) {-2,2} g) {3} 
b) }221,221{  h) {3} 
c) {1/6} i) {1} 
d) {-4,3} j) {0} 
e) {3} k) {9} 
f) {3} l) {0} 
30. 
a) [2 , +[ 
b) [3 , +[ 
c) ]-2 , 3[ 
d)]0 , 1[ 
e)]- , 1[  ]2 , +[ 
f)] - , 4]  [6 , +[ 
g) [-1/2, 2] 
h) [0, 1] 
i) ]-, -2[ ]3, +[ 
j) ]- , -1] 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
 
11 
 
 
[1]YOUSSEF, Antonio Nicolau (et al.). Mate-
mática: ensino médio, volume único. – São 
Paulo: Scipione, 2005. 
[2] IEZZI, Gelson (et al.). Matemática: ciência 
e aplicações, 1: ensino médio. – 6. ed. – São 
Paulo: Saraiva, 2010. 
[3] IEZZI, Gelson (et al.). Fundamentos de Ma-
temática Elementar volume 2: Logaritmos. 10. 
Ed. – São Paulo: Atual Editora. 
[4] GIOVANNI, Jose Ruy; CASTRUCCI, Bene-
dito. A conquista da matemática. Ftd, 2002. 
[5]GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; 
GIOVANNI, JUNIOR. José Ruy. A conquista da 
matemática. São Paulo: FTD, v. 2, p. 272, 
1998. 
[6]DANTE, Luis Roberto. Matemática: con-
texto e aplicações. Matemática Ensino Mé-
dio. São Paulo. Ed. Ática, v. 1, 2010. 
[7] LIMA, Elon Lages et al. A matemática do 
ensino médio. SBM, 1997. 
[8]https://www.somatematica.com.br/ 
[9]Geogebra: www.geogebra.org 
[10]Winplot:http://math.exeter.edu/rparris 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.somatematica.com.br/
http://www.geogebra.org/
http://math.exeter.edu/rparris