Raciocínio Lógico Matemático

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Disciplina: Raciocínio Lógico e Matemático | Unidade 1: Conceitos 
Básicos de Matemática
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Raciocínio Lógico Matemático
Unidade 1: Conceitos básicos de matemática
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RAZÃO E PROPORÇÃO
Seção 1.1
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Razão
• De modo geral, uma razão e apresentada como: , com 𝑦 ≠ 0. Está 
razão se lê como: “𝑥 está para 𝑦”
• Dessa forma, a comparação entre duas grandezas numéricas, 
através de uma divisão, chama-se razão. 
• O quociente é o resultado da sua divisão, e pode ser apresentada 
conforme exemplo:
– Exemplo: três está cinco (ou três quintos) é igual:
3: 5 𝑜𝑢 
3
5
 𝑜𝑢 0,6
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Razão – exemplo 1
• Considerando que 50 alunos prestaram o vestibular de 
meio de ano da Faculdade AA, e destes, 20 alunos 
foram aprovados, pergunta-se: 
a. Qual a razão dos candidatos aprovados no vestibular? 
b. E dos reprovados?
Resolução:
a. = = 0,4 (dois quintos dos candidatos foram aprovados)
b. = = 0,6 (três quintos dos candidatos foram reprovados)
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Razão – exemplo 2
• Em uma loja, para cada pagamento realizado com 
dinheiro, são realizados 6 pagamentos com cartão de 
crédito. Pede-se para escrever a razão entre a 
quantidade de pagamentos efetuados com dinheiro e o 
total de pagamentos:
– Resposta: 
Perceba que de cada 7 pagamentos, temos um efetuado com 
dinheiro e 6 com cartão. O exemplo pede a razão entre a 
quantidade de pagamentos efetuados com dinheiro e o total 
de pagamentos. Sendo assim, a razão pedida é: , onde se lê 
“um está para sete”.
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Razões proporcionais
• Quando o quociente de duas razões é igual, 
podemos considerar que as duas razões são 
iguais, equivalentes, ou chamadas de 
proporcionais.
12
3
= 4 e 
8
2
= 4
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NUMERADOR
DENOMINADOR
QUOCIENTE (ou resultado)
NOTA: Perceba que a 
multiplicação cruzada de 
duas razões equivalente 
sempre apresenta o mesmo 
resultado. No exemplo ao 
lado temos: 3*8=24, e 
12*2=24.
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Razões proporcionais e incógnita 
• Tendo duas equações proporcionais, e não 
sabendo um dos valores (incógnita), podemos 
por regra de três simples determinar o valor 
desconhecido.
• Exemplo 3: 
=  x =
∗
= 50
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Razões proporcionais - exemplo 4
• Exemplo: Determinado fabricante de groselha sugere que 
para o preparo da bebida sejam utilizadas a quantidade de 
produto e água na razão de . Se desejo fazer 4 litros de 
bebida (groselha + água), quais as quantidades de groselha 
e água que devo usar?
– Resposta: Para cada parte de groselha se adiciona sete partes de 
água, o que proporciona um rendimento de bebida de 8 partes. 
Sendo assim temos: =  8𝑥 = 4  𝑥 =  0,5. 
– Dessa forma, estamos usando em 4 litros de bebida 0,5 litro de 
groselha. Subtraindo 4 litros de mistura de 0,5 litro de groselha, 
se descobre que são necessários 3,5 litros de água.
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Exercício 1 - resolvido
• Em um mapa no qual a escala é de 1: 25000, a distância 
em linha reta entre duas cidades é de 9 cm. Qual a 
distância real (em quilômetros) entre essas cidades? 
(Dado: 1 km = 100000 cm).
– Resolução:
 
 
=  𝑥 = 9 ∗ 25000 = 225000 cm
Fazendo a conversão temos:
1 𝑘𝑚
𝑥 𝑘𝑚
=
100000 𝑐𝑚
225000 𝑐𝑚
  𝑥 =
225000
100000
= 2,25 𝑘𝑚
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Exercício 2 – resolvido
• Diego resolveu 20 problemas de matemática e acertou 18. Camila 
resolveu 30 e acertou 27. Quem apresentou melhor desempenho?
– Resposta:
𝐷𝑖𝑒𝑔𝑜: 
18
20
=
9
10
= 0,9 𝑜𝑢 90%
𝐶𝑎𝑚𝑖𝑙𝑎: 
27
30
=
9
10
= 0,9 𝑜𝑢 90%
A proporção de acertos em ambos os casos é igual. Dessa forma, houve 
um empate.
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Exercício 3 - resolvido
• Sempre guardo um quinto do meu salário na 
caderneta de poupança e o restante gasto com 
bens de consumo. Neste mês recebi a quantia de 
R$ 950,00. Dessa forma pergunta-se: Qual a 
quantia gasta e poupada neste mês?
– Resposta:
=  950: 5 ∗ 1 = 𝑅$ 190,00 (valor poupado)
R$ 950,00 – R$ 190,00 = R$ 760,00 (valor gasto)
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PORCENTAGEM
Seção 1.2
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Porcentagem
• Na seção 1.1 aprendemos os conceito e vimos algumas aplicações 
para razões. Na aula de hoje, vamos aprender porcentagem.
• Porcentagem se trata de uma razão centesimal, ou seja, de base 
100. Em porcentagem, se observa uma quantidade em relação a 
sua centena. O símbolo usado para representar porcentagem é %.
• Exemplos: 
78% =
78
100
= 0,78
6 meses do ano  =
%
%
  100: 12 ∗ 6 = 50% dos meses
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Exercício 1 - resolvido
• Determinar 1%, 5%, 10% e 50% dos valores: 
a. 50
b. 200
c. 350
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Valor 1% 5% 10% 50%
50 50: 100 ∗ 1 = 0,5 50: 100 ∗ 5 = 2,5 50: 100 ∗ 10 = 5 50: 100 ∗ 50 = 25
200 200: 100 ∗ 1 = 2 200: 100 ∗ 5 = 10 200: 100 ∗ 10 = 20 200: 100 ∗ 50 =
100
350 350: 100 ∗ 1 = 3,5 350: 100 ∗ 5 = 17,5 350: 100 ∗ 10 = 35 350: 100 ∗ 50
= 175
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Porcentagem
• Em porcentagem, assim como em razão, quando 
temos uma incógnita para duas razões 
centesimais proporcionais, podemos descobrir o 
valor desconhecido por regra de três simples.
• Além da regra de três, ainda se pode determinar 
a quantidade pela fórmula: 𝑥 =
∙
%
 .
15
Legendas:
𝑖 é a taxa procurada, 
𝑇 é a taxa considerada como total, e 
𝑥 é a quantidade procurada
Exemplo resolvido
• Determinada pessoa esqueceu de pagar boleto, e a 
multa correspondente ao atraso é de 3,75% do valor 
do boleto. Sabe-se que o valor do boleto é R$ 335,70. 
Qual o valor a ser pago?
– Resposta:
335,70
𝑥
=
100
3,75
  𝑥 =
335,7 ∗ 3,75
100
= 12,59
O valor da multa éR$ 12,59. Somando a multa ao valor do 
boleto temos: 335,70 + 12,59 = R$ 348,29.
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Exemplo resolvido
• Determinado cliente comprou uma camiseta, e pelo 
fato de ter realizado a transação com pagamento à 
vista, o lojista concedeu um desconto de 5%. Sabe-se 
ainda que o valor pago foi R$ 150,00. Dessa forma 
pergunta-se: Qual o preço da camiseta sem o 
desconto?
– Resolução. Sabemos que o valor R$ 150,00 corresponde ao 
valor cheio menos o desconto concedido. Dessa forma 
temos:
=
% %
%
  95𝑥 = 150 ∗ 100  𝑥 =
∗
= 𝑅$157,89
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Exemplo resolvido
• Tenho 30 brinquedos e quero doar 20% para as 
crianças carentes. Determinar a quantidade a ser 
doada. (fazer pela fórmula)
– Resposta:
𝑥 =
𝑖 ∗ 𝑇
100
 
 𝑥 =
20 ∗ 30
100
= 6
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Exemplo resolvido
• Na compra de um aparelho, obtive desconto de 2% no 
pagamento à vista. Se o valor pago foi de R$ 96,00, 
pede-se para determinar qual era o valor do aparelho 
antes do desconto.
– Resposta:
96
𝑥
=
100 − 2
100
 
𝑥 =
100 ∗ 96
100 − 2
 = 𝑅$ 97,96
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Exercício resolvido
• O custo total (CT) de uma obra de uma empresa de 
engenharia foi de R$ 1.000.000,00, assim divididos: 
Custo de mão de obra = 331.215, custo de gestão = 
62.000, custo variável = 103.000 e custo de insumos = 
503.785. Dessa forma, pede-se para determinar a 
porcentagem de cada categoria de custo em relação ao 
custo total.
– Resolução
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Custo %
CT = 1000000 100
CMO = 331215 (100:1000000)*331215 = 33,12%
CG = 62000 (100:1000000)*62000 = 6,20%
CV = 103000 (100:1000000)*103000 = 10,30%
CI = 503785 (100:1000000)*503785 = 50,38%
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POTENCIAÇÃO
Seção 1.3
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Potência
• Pode ser definida como 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ … ∗ 𝑎
• Exemplo:
2 = 2 ∗ 2 ∗ 2 = 8
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Base
Expoente
Fatores Resultado (potência)
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Casos especiais – expoente = 1
• Potência de base 𝑎 com expoente igual a 1 
O resultado é a própria base, ou seja, 𝑎 = 𝑎
Exemplo: 15 = 15
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Casos especiais – expoente negativo
• Potência de base 𝑎 com expoente negativo 
Fazer o inverso da base e trocar o sinal do 
expoente, ou seja, 𝑎 =
Exemplo: 0,2 =
,
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Casos especiais – expoente = 0
• Potência de base 𝑎 com expoente igual a zero, 
e base 𝑎 ≠ 0 O resultado é sempre igual a 
1, ou seja, 𝑎 = 1, com 𝑎 ≠ 0
Exemplo: 125 = 1
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Propriedades - continuação
Propriedade Comentário Como fica
Produto de potências de 
mesma base
Conserva-se a base e 
soma-se os expoentes
𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎( )
Divisão de potências de 
mesma base
Conserva-se a base e 
subtrai-se os expoentes
= 𝑎( ) , com 𝑎 ≠ 0
Potência de potência Deve-se multiplicar os
expoentes
𝑎 = 𝑎( ∗ )
Potência de um produto O expoente geral é o 
expoente dos fatores
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑏
Multiplicação de potências 
com o mesmo expoente
Conserva-se o expoente e 
multiplica-se as bases
𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑎 ∗ 𝑏)
Potência de uma fração Eleva-se cada um dos 
elementos da fração ao 
expoente
= , com 𝑏 ≠ 0
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Não confundir
−3 ≠ −3
• No primeiro caso temos (-3)*(-3) = 9
• No segundo caso temos –(3*3) = -9
– No primeiro caso, observe ainda que se o 
expoente for par, o resultado será positivo, e se o 
expoente for impar, o resultado será negativo
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Exercícios resolvidos
• Calcular
a. 2 = 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 ∗ 2 = 64
b. −0,5 = 1
c. 2 = = = 0,0625
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Exercícios resolvidos - continuação
• Calcular
d. ∗ 0,75 = ∗ = =
= ≅ 0,422
e. = 5 = 5 = 5 = 125
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Notação científica
• Está notação permite escrever números grandes ou 
pequenos de forma mais simples. Veja exemplo:
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Decomposição em notação científica
20.000 = 2 ∗ 10
5.800 = 5,8 ∗ 10
123 = 1,23 ∗ 10
11,4 = 1,14 ∗ 10
1,26 = 1,26 ∗ 10
0,133 = 1,33 ∗ 10
0,00128 = 1,28 ∗ 10
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Notação científica (prefixos do SI de unidades)
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Fo
nt
e:
 h
tt
p:
//
w
w
w
.e
ba
h.
co
m
.b
r/
co
nt
en
t/
AB
AA
Ag
gQ
EA
F/
au
la
-1
LOGARITMOS
Seção 1.4
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Logaritmo
• Considerando um número 𝒃, positivo e 
diferente de 1, e um número 𝒂 positivo, 
chama-se logaritmo de 𝒂 na base 𝒃 e ao 
expoente 𝒏 que se deve dar à base 𝒃 de modo 
que a potência obtida seja igual a 𝒂.
log 𝑎 = 𝑛 ↔ 𝑏 = 𝑎 (0 < 𝑏 ≠ 1, 𝑎 > 0)
33
Logaritmo
Base Logaritmando ou antilogaritmo
Exemplo
log 𝑎 = 𝑛
log 8 = 𝑛
Na prática, a pergunta que deve ser feita é: O número de 
baixo (base do logaritmo), elevado a quanto, tem como 
resultado o número de cima. 
No nosso exemplo, 2 elevado a que valor da igual a 8
log 8 = 3 … 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 … 2 = 8
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Logaritmo decimais e neperianos
• Logaritmos de base 10. Não é necessário escrever 
a base do logaritmo
log 𝑎 = log 𝑎
• Logaritmo neperiano ou natural. Usa base 𝑒,que 
se trata de um número irracional igual a 
2,7182818...
log 𝑎 = ln 𝑎
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Exemplos
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝒙 = 𝟒
𝑥 = 3
𝑥 = 81
𝐥𝐨𝐠𝒙 𝟏𝟔 = 𝟐
16 = 𝑥
𝑥 = 4
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟏𝟐𝟓 = 𝒙
125 = 5
5 = 5
𝑥 = 3
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Consequências da definição
Consequência Comentário Prova
C1) log 1 = 0 
Exemplo: log 1 = 0
Logaritmo de 1 é zero 7 = 1
C2) log 𝑏 = 1
Exemplo: log 8 = 1
Logaritmo da própria base 
é 1
8 = 8
C3) log 𝑏 = 𝑛
Exemplo: log 3 = 4
Logaritmo de uma 
potência da base é o 
expoente
3 = 81 → log 81 = 𝑥
3 = 81 → 𝑥 = 4
Consequências da definição – cont...
Consequências Comentário Prova
C4) 𝑏 = 𝑎
Exemplo: 8 = 5
Logaritmo de a na base 
b é o expoente que se 
deve dar à base b para 
que a potência obtida 
seja igual a a
Perceba que 
log 5 = log 5
Dessa forma
8 = 5
C5) log 𝑎 = log 𝑐 ⇔ 𝑎 = 𝑐
Exemplo: 
log 𝑥 = log 7 → 𝑥 = 7
Dois logaritmos em
uma mesma base são 
iguais se, e somente 
se, os logaritmandos
também são iguais
log 𝑎 = log 𝑐. 
Pela definição de 
logaritmo temos que 
𝑏 = 𝑏
Pela consequência C4 
temos 𝑐 = 𝑏
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Propriedades
Propriedade Comentário Como fica...
P1) Logaritmo do 
produto
É igual à soma dos 
logaritmos dos fatores
log 𝑎 ∙ 𝑐 = log 𝑎 + log 𝑐
P2) Logaritmo do 
quociente
É igual ao logaritmo do 
dividendo menos o 
logaritmo do divisor
log
𝑎
𝑐
= log 𝑎 − log 𝑐
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Propriedades - continuação
Propriedade Comentário Como fica...
P3) Logaritmo de 
potência
É igual ao produto do 
expoente pelo 
logaritmo da base da 
potência
log (𝑎) = 𝑛 log 𝑎
P4) Mudança de 
base – propriedade 
muito importante
Para se trabalhar 
numa única base 
conveniente
log 𝑎 =
log 𝑎
log 𝑏
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Propriedades – exemplos
Como fica... Exemplo
Logaritmo do produto
log 𝑎 ∙ 𝑐 = log 𝑎 + log 𝑐
log 6 =?
log 6 = log(2 ∗ 3) = log 2 + log 3
log 6 = 0,301 + 0,477 ≅ 0,78
Logaritmo do quociente
log
𝑎
𝑐
= log 𝑎 − log 𝑐
log 5 =?
log 5 = log
10
2
= log 10 − log 2
log 5 = 1 − 0,301 ≅ 0,7
Logaritmo de potência
log (𝑎) = 𝑛 log 𝑎
log 16 =?
log 16 = log 2
log 16 = 4 ∗ 0,301 ≅ 1,2
Mudança de base
log 𝑎 =
log 𝑎
log 𝑏
log 3 =?
log 3 =
log 3
log 2
=
0,477
0,301
≅ 1,6
Considerar como dados: 
log 2  0,301
log 3  0,477