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CÁLCULO NUMÉRICO AULA 1 Profª Fernanda Fonseca 2 CONVERSA INICIAL Iniciaremos nosso estudo compreendendo como se desenvolveu o que constituem os métodos numéricos aplicados e o raciocínio envolvido na resolução de um problema, no qual utilizaremos os métodos numéricos para modelamento e tratamento dos dados. A facilidade de acesso e uso de recursos computacionais proporcionou que os métodos numéricos aplicados na solução de problemas da engenharia tenham crescido muito nas últimas décadas, possibilitando que sejam resolvidos de forma mais eficiente e cada vez mais rápida. O estudo dos métodos numéricos permite trabalhar com grandes sistemas de equações que seriam impossíveis de resolver analiticamente, bem como com grandes conjuntos de dados. O estudo dos métodos numéricos também permite o desenvolvimento de programas de computador que viabilizam o desenvolvimento de processos que continuam impulsionando a evolução tecnológica, que permeia o cotidiano da sociedade como um todo nos dias atuais (Chapra; Canale, 2002). TEMA 1 – O QUE É O CÁLCULO NUMÉRICO? O que denominamos como cálculo numérico, ou métodos numéricos, é um conjunto de técnicas que permitem encontrar soluções para problemas cujos métodos analíticos da matemática básica, do cálculo diferencial e integral e da álgebra linear, por exemplo, não são viáveis devido à extensão do cálculo com número de dígitos muito grande, ou que não apresentam técnicas para resolução do caso em específico (Chapra; Canale, 2002; Jarletti, 2018). Dessa forma, o cálculo numérico permite a resolução dos problemas juntamente com ferramentas computacionais. 1.1 Etapas para resolução de um problema A resolução de problemas utilizando os recursos oferecidos pelos métodos numéricos ocorre em seis etapas: caracterização do problema real; levantamento de dados; modelamento matemático; escolha do método numérico adequado; implementação computacional do modelo matemático; obtenção e análise dos resultados. 3 Figura 1 – Etapas da resolução de problemas A caracterização do problema real consiste em conhecer os fatores (grandezas físicas ou matemáticas) envolvidos na situação-problema e identificar as variáveis relevantes, assim como as condições e as limitações representativas. Esse processo é importante para o planejamento de levantamento de dados, o qual pode exigir a medição e acompanhamento da variação das grandezas relevantes de forma simultânea. Com base nos dados, é preciso encontrar um modelo matemático, ou seja, obter uma equação, ou um Caracterização do problema real Levantamento de dados Modelamento matemático Escolha do método numérico Implementação computacional Obtenção e análise dos resultados 4 conjunto de equações, que descreve o fenômeno em estudo e que relacione as grandezas envolvidas. É com base no modelo matemático e nas condições/limitações impostas pela própria situação-problema que o método numérico é selecionado e implementado utilizando recursos computacionais que viabilizem a implementação do método. Ao adquirir os resultados dessa implementação, eles devem ser avaliados para verificar se atendem às demandas do problema real, propiciando uma interpretação que direciona para a solução do problema. TEMA 2 – APROXIMAÇÕES E ERROS DE PRECISÃO Essa disciplina lida principalmente com aproximações. Por isso, os resultados por aproximação podem carregar desvios de precisão de diversas origens. 2.1 Erros inerentes São imprecisões em valores decorrentes da coleta de dados. Esses erros podem ter origem na calibração do equipamento, na precisão do próprio equipamento de medição, na leitura de medições em equipamentos analógicos, no conjunto de respostas a questionários e censos não verdadeiras (nos quais algumas pessoas mentem ao responder às perguntas do questionário), entre outras fontes de imprecisão. Veja o exemplo da Figura 2, em que o diâmetro do círculo é de aproximadamente 52 mm. Esse valor não é preciso, pois o diâmetro é um pouco menor do que isso, mas próximo desse valor. A adoção do valor de 52 mm acarreta uma imprecisão na medida, ou seja, há um erro de medição que se propagará por todo o cálculo. 5 Figura 2 – Erros de precisão de medição Erros decorrentes de proveniente de transformação entre bases numéricas de dados em máquinas também podem resultar em desvios devido à conversão dos dados para bases diferentes (como números da base decimal que utilizamos para base binária dos computadores). A base binária utilizada por algumas máquinas não permite a representação de todos os valores numéricos representados na base decimal. Essa conversão para armazenamento de dados pode causar uma aproximação e um desvio de medidas nos dados. 2.2 Erros de arredondamento, de truncamento e de discretização Ao trabalharmos com valores com um número infinito de dígitos (como o número π, por exemplo) ou com um número muito grande de dígitos, que inviabiliza o uso de todos eles nos cálculos, esses valores são arredondados ou truncados. O arredondamento de valores numéricos leva a uma aproximação de valores maiores ou menores próximos. Por exemplo, para utilizarmos o número π com 6 casas decimais, esse valor deverá ser arredondado: 𝜋𝜋 = 3,1415926535898 … ⇒ 𝜋𝜋 = 3,141593 6 Veja que o valor de π foi arredondado para um valor maior do que o que ele realmente representa, mas que se mostra mais próximo com o número de casas decimais solicitado. No caso a seguir, veja que o valor fracionário representado no formato decimal exige o uso de muitos dígitos. Ao limitarmos a quatro casas decimais, é realizado um arredondamento para um valor menor do que o valor real: 237 152 = 1,559210526 … ⇒ 237 152 = 1,5592 O processo de truncamento ou de cancelamento consiste no corte do valor com o número de dígitos desejado, sem buscar a melhor aproximação. Veja, por exemplo, o caso do número π ao ser truncado com seis casas decimais: 𝜋𝜋 = 3,1415926535898 … ⇒ 𝜋𝜋 = 3,141592 Veja que agora o número π foi truncado em um número menor do que o que ele realmente representa, sem levar em consideração o valor de melhor aproximação. Nesse processo de truncamento, os dígitos excedentes são desprezados. O processo de discretização consiste em transformar um processo finito em um processo discreto. Dessa forma, um fenômeno contínuo pode ser representado com uma soma de pequenos efeitos, constituindo uma série infinita. Nessa série, pode-se selecionar apenas os valores mais representativos, desprezando aqueles que não contribuem de forma relevante para a soma. Veremos melhor essa situação futuramente, ao discutirmos sobre sequências e séries numéricas (Jarletti, 2018). TEMA 3 – ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO Os erros surgem do uso de aproximações de representações exatas de operações e valores matemáticos, como discutimos anteriormente. Em todos os casos, a relação entre o valor aproximado �̅�𝑥 e o valor exato 𝑥𝑥 pode ser definida pelo módulo da diferença entre esses valores (Equação 1). 𝜀𝜀𝑎𝑎 = |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| (1) Essa diferença é denominada erro absoluto. 7 De forma semelhante, podemos mensurar a magnitude dessa discrepância em relação ao valor real por meio da normalização do erro absoluto, como mostra a Equação 2, a seguir. 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 𝜀𝜀𝑎𝑎 |𝑥𝑥| ⇒ 𝜀𝜀𝑟𝑟 = |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| |𝑥𝑥| (2) Esse desvio recebe o nome de erro relativo. É sempre representado em percentual, por isso podemos multiplicar o resultado da equação apresentada por 100% para encontrarmos esse valor em formato percentual. Exemplo 1 Um engenheiro civil faz a medição de uma ponte e registra o valor de 299,98 m, quando o valor real é de 300 m. Veja que, nesse caso, o erro absoluto entre as medidas dado pela Equação 1 é: 𝜀𝜀𝑎𝑎 = |300 − 299,98|𝜀𝜀𝑎𝑎 = 0,02 𝑚𝑚 Veja que o erro relativo dado pela Equação 2 nesse caso é: 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,02 300 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,000067 ×100 ���� 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,0067% Exemplo 2 Um físico, em seu laboratório, detecta uma partícula subatômica que descreve uma trajetória circular cujo raio aferido tem 2,56 cm. Entretanto, o valor real previsto para o raio da trajetória dessa partícula é de 2,47 cm. Nesse caso, o erro absoluto entre o valor medido e o valor real previsto determinado pela Equação 1 é: 𝜀𝜀𝑎𝑎 = |2,47 − 2,56| 𝜀𝜀𝑎𝑎 = |−0,09| 𝜀𝜀𝑎𝑎 = 0,09 𝑐𝑐𝑚𝑚 Veja que o erro relativo dado pela Equação 2 nesse caso é: 8 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,09 2,47 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,036437 ×100 ���� 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 3,6437% Normalmente, o erro relativo é medido em relação ao valor real, entretanto, há situações em que não possuímos esse valor real. Nesses casos, da mesma forma como o erro absoluto é determinado em relação à aproximação prévia, o processo de normalização para determinarmos o erro relativo também será sobre a aproximação prévia. Essa é uma situação comum na aplicação de métodos numéricos. Em situações como essas, é definido um critério que estipula qual a tolerância de precisão da medida, isto é, define-se a precisão da aproximação (Chapra; Canale, 2002). Exemplo 3 Algumas funções matemáticas podem ser representadas pela soma de infinitos termos, o que caracteriza uma série. Falaremos mais sobre isso futuramente. Esse é o caso desta função exponencial: 𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥² 2 + 𝑥𝑥³ 3! + ⋯+ 𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛! Ao abreviarmos inicialmente a função para 𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 + 𝑥𝑥, podemos estimar o valor aproximado de 𝑒𝑒𝑥𝑥 para determinado valor de 𝑥𝑥. Por exemplo, se adotarmos 𝑥𝑥 = 0,4, o valor estimado será: 𝑒𝑒0,4 = 1 + 0,4 𝑒𝑒0,4 = 1,4 Se abreviarmos a função para 𝑒𝑒𝑥𝑥 = 1 + 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥² 2 , podemos estimar o valor aproximado de 𝑒𝑒𝑥𝑥 para determinado valor de 𝑥𝑥. Por exemplo, se adotarmos 𝑥𝑥 = 0,4, o valor estimado será: 𝑒𝑒0,4 = 1 + 0,4 + 0,4² 2 𝑒𝑒0,4 = 1,48 9 Veja que em relação ao valor inicial estimado para 𝑒𝑒0,4, o erro absoluto é: 𝜀𝜀𝑎𝑎 = |1,48 − 1,4| 𝜀𝜀𝑎𝑎 = 0,08 Veja que o erro relativo pode ser determinado em relação ao último valor adotado. Nesse caso, é: 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,08 1,48 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 0,054054 ×100 ���� 𝜀𝜀𝑟𝑟 = 5,4054% Para casos práticos, não tem como mensurar o erro exato associado ao método numérico aplicado. Conhecemos os erros reais quando as equações matemáticas são resolvidas de forma analítica, o que torna desnecessária a implementação dos métodos numéricos. No entanto, para a maioria dos casos de aplicações na engenharia, devemos definir um erro estimado como critério para nossos cálculos (Chapra; Canale, 2002). Mas há forma de estimar esses erros de forma a reduzir a incerteza que carregam na solução. TEMA 4 – RAÍZES REAIS DE FUNÇÕES REAIS Desde cedo, aprendemos que para determinar as raízes de uma função quadrática, podemos utilizar a Equação 3: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 ⇒ 𝑥𝑥 = −𝑏𝑏 ± √𝑏𝑏2 + 4𝑎𝑎𝑐𝑐 2𝑎𝑎 (3) As raízes de uma função (ou zeros da função) são os valores de x para os quais a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. São os valores de x para os quais a função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) cruza ou toca o eixo x. Veja na Figura 3, a função representada no gráfico é a função real 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 8. Essa função tem os pontos (2; 0) e (4; 0) como pontos para os quais 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0, ou seja, os valores 𝑥𝑥 = 2 e 𝑥𝑥 = 4 são as raízes dessa função. 10 Figura 3 – Gráfico de uma função real 𝒇𝒇(𝒙𝒙) Mas nem todas as funções permite a determinação de suas raízes de forma simples como uma função quadrática, ou linear (𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏). Há problemas cuja equação modeladora é muito complexa, exigindo métodos de determinação das raízes também complicados, ou mesmo desconhecidos. Essas funções são denominadas transcendentes ou transcendentais, e exigem métodos numéricos para determinação dos zeros da função. Contudo, os métodos numéricos apresentam valores aproximados, cuja precisão é definida previamente, buscando atender às necessidades do contexto do problema em questão (Jarletti, 2018). Esses métodos consistem em processos repetitivos (iterativos) para os quais há um aumento da precisão à medida que se aumenta o número de interações. 4.1 Determinação do domínio da função É sempre importante conhecer o domínio da função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para que possamos identificar o intervalo que contém a raiz da função no conjunto dos números reais, ]−∞; +∞[, excluindo os valores das possíveis restrições características de cada função real. “A determinação do domínio da função permitirá a construção de uma tabela de valores de forma ordenada (crescente ou decrescente) para a variável independente (𝑥𝑥) e o cálculo dos correspondentes valores de 𝑦𝑦 ou 𝑓𝑓(𝑥𝑥)” (Jarletti, 2018, p. 33). Com base nessa tabela, poderemos identificar em qual intervalo está a raiz da função que atende 11 aos critérios definidos pelo contexto do problema que gerou a função modeladora em questão. A raiz (ou as raízes) da função encontra-se no intervalo entre os valores de x para os quais há uma mudança de sinal dos valores de y. Esses valores de x formam os extremos do intervalo que contém a raiz da função [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Exemplo 4 Para determinar o domínio da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2 𝑥𝑥−2 − 3, consideramos as seguintes condições: • É preciso que o denominador seja um valor diferente de zero: 𝑥𝑥 − 2 ≠ 0 𝑥𝑥 ≠ 2 • A raiz quadrada deve ser aplicada em um valor positivo ou nulo: 𝑥𝑥 − 2 ≥ 0 𝑥𝑥 ≥ 2 Veja que como a primeira condição exige que 𝑥𝑥 seja deferente de 2, esse valor deve ser excluído do domínio da função. Dessa forma, a partir da segunda condição, adotamos como domínio da função apenas os valores reais de 𝑥𝑥 maiores do que 2. 𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ ℜ|𝑥𝑥 > 2} Exemplo 5 Vamos fazer a mesma análise para a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1). Para determinar o domínio dessa função, consideramos as seguintes condições: • A função logarítmica pode ser aplicada apenas em valores positivos e não nulos, ou seja: 3𝑥𝑥 − 1 > 0 𝑥𝑥 > 1 3 ⇒ 𝑥𝑥 > 0,333334 12 Dessa forma, adotamos como domínio da função apenas os valores reais de 𝑥𝑥 maiores do que 0,333334: 𝐷𝐷 = {𝑥𝑥 ∈ ℜ|𝑥𝑥 > 0,333334} Conhecendo o intervalo que contém a raiz real da função, essa raiz pode ser determinada por diferentes métodos numéricos, de acordo com a precisão desejada. Nesta disciplina, adotaremos seis casas decimais para os valores numéricos, de forma que alguns valores sofrerão arredondamentos decorrentes da limitação do número de casas decimais. A precisão desejada é que definirá o número de iterações realizadas pelos métodos numéricos. O critério de parada pode estar relacionado a |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 𝜀𝜀 ou ao erro absoluto |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 𝜀𝜀, ou a ambos. Quando a condição do critério de parada é atendida, as iterações são finalizadas. 4.2 Métodos de quebra do intervalo Os métodos de quebra de intervalo consistem em métodos que causam uma redução do intervalo que contém a raiz, de forma que esse intervalo se aproxima cada vez mais do valor da raiz da função, a cada iteração realizada. 4.2.1 Método da Bissecção ou Método do Meio Intervalo (MMI) Para um intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz de uma função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) real, a valor de 𝑓𝑓(𝑎𝑎) e 𝑓𝑓(𝑏𝑏) possuirá sinais diferentes (um será positivo e o outro negativo). Assim, o produto entre eles será sempre um valor negativo devido à diferença de sinal (Equação 4). 𝑓𝑓(𝑎𝑎) ∙ 𝑓𝑓(𝑏𝑏) < 0 (4) Esse método consiste em quebrar o intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] ao meio, tomando o ponto médio do intervalo como raiz da função (Equação 5). �̅�𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 2 (5) Essa quebra de intervalo gera dois novosintervalos [𝑎𝑎; �̅�𝑥] e [�̅�𝑥; 𝑏𝑏]. É importante selecionar os limites do novo intervalo de forma que atendam à condição dada na Equação 4. A repetição desse processo de quebra de 13 intervalos permite que haja uma convergência do valor de �̅�𝑥 ao valor da raiz da função até que o critério de parada seja atendido. Figura 4 – Gráficos representando a convergência do Método da Bissecção Veja que a Figura 4 (a) apresenta o intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), e o valor médio 𝑥𝑥1 que está à direita do valor real da raiz. Por esse motivo, adota-se um novo intervalo menor [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] = [𝑎𝑎; 𝑥𝑥1] na Figura 4 (b). O valor médio 𝑥𝑥2 desse intervalo encontra-se a esquerda do valor da raiz da função, por isso adota-se um novo intervalo menor [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] = [𝑥𝑥2; 𝑥𝑥1] na Figura 4 (c), o que permite determinar um valor médio 𝑥𝑥3 ainda mais próximo do valor real da raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Dessa forma, percebe-se graficamente que a quebra de intervalo permite uma convergência para o valor desejado do zero da função. Exemplo 6 Vamos utilizar o Método da Bissecção para determinar a raiz real da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2 𝑥𝑥−2 − 3, para a qual já conhecemos o domínio no Exemplo 4. A partir do domínio, podemos identificar o intervalo que contém a raiz da função, determinando a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para valores de 𝑥𝑥 > 2. x 2,001 2,010 2,500 3,000 f(x) 28,622777 7 -1,585786 -2 Observe que f(x) troca de sinal entre os valores 2,010 e 2,500 para 𝑥𝑥. Isso significa que a função cruza o eixo x entre esses valores, por isso podemos definir que a raiz da função está contida no intervalo [2,010; 2,500]. Sendo 𝑎𝑎 = 2,010 e 𝑏𝑏 = 2,500, temos que 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 7 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 𝑓𝑓(𝑏𝑏) = −1,585786 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0 14 Pelo Método da Bissecção, o valor estimado da raiz da função será dado pela Equação 5. �̅�𝑥 = 2,010 + 2,500 2 �̅�𝑥 = 2,255 A função para esse valor é de: 𝑓𝑓(2,255) = �2,255 − 2 2,255 − 2 − 3 𝑓𝑓(2,255) = −1,0197 Observe que o valor de 𝑓𝑓(�̅�𝑥) é negativo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse caso, 𝑏𝑏 assume o valor de �̅�𝑥. 𝑏𝑏 = 2,255 O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser [2,010; 2,255]. Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada dado por |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) 1 2,01 7 2,5 -1,58579 2,255 -1,0197 2 2,01 7 2,255 -1,0197 2,1325 -0,25279 3 2,01 7 2,1325 -0,25279 2,07125 0,746343 4 2,07125 0,746343 2,1325 -0,25279 2,101875 0,133042 5 2,101875 0,133042 2,1325 -0,25279 2,117188 -0,07881 6 2,101875 0,133042 2,117188 -0,07881 2,109531 0,021558 7 2,109531 0,021558 2,117188 -0,07881 2,113359 -0,0299 8 2,109531 0,021558 2,113359 -0,0299 2,111445 -0,0045 Na oitava iteração, estimamos que a raiz da função é �̅�𝑥 = 2,111445, valor para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que: |𝑓𝑓(�̅�𝑥)| = |−0,0045| |𝑓𝑓(�̅�𝑥)| = 0,0045 < 10−2 15 Por isso, adotamos o valor 2,111445 como a raiz da função. Exemplo 7 Na maioria dos enunciados dos problemas, o critério de parada e o intervalo que contém a raiz da função já são definidos. Por exemplo, para determinar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método da Bissecção, adotaremos o intervalo [0,333334; 1]. Utilizaremos como critério de parada |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. Nesse caso, teremos 𝑎𝑎 = 0,333334 e 𝑏𝑏 = 1, sendo: 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = −13,122363 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0 𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 0,693147 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 Pelo Método da Bissecção, o valor estimado da raiz da função será dado pela Equação 5. �̅�𝑥 = 0,333334 + 1 2 �̅�𝑥 = 0,666667 A função para esse valor é de: 𝑓𝑓(0,666667) = 𝑙𝑙𝑛𝑛 (3(0,666667) − 1) 𝑓𝑓(0,666667) = 0,000001 Observe que o valor de 𝑓𝑓(�̅�𝑥) é positivo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse caso, 𝑏𝑏 assume o valor de �̅�𝑥. 𝑏𝑏 = 0,666667 O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser [0,333334; 0,666667]. Nesse contexto, vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada definido. 16 k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) 1 0,333334 -13,122363 1,000000 0,693147 0,666667 0,000001 2 0,333334 -13,122363 0,666667 0,000001 0,500001 -0,693144 3 0,500001 -0,693144 0,666667 0,000001 0,583334 -0,287680 4 0,583334 -0,287680 0,666667 0,000001 0,625000 -0,133530 5 0,625000 -0,133530 0,666667 0,000001 0,645834 -0,064537 6 0,645834 -0,064537 0,666667 0,000001 0,656250 -0,031748 7 0,656250 -0,031748 0,666667 0,000001 0,661459 -0,015747 8 0,661459 -0,015747 0,666667 0,000001 0,664063 -0,007842 Na oitava iteração, estimamos que a raiz da função é �̅�𝑥 = 0,664063, valor para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que: |𝑓𝑓(�̅�𝑥)| = |−0,007842| |𝑓𝑓(�̅�𝑥)| = 0,007842 < 10−2 Por isso, adotamos o valor 0,664063 como a raiz da função. 4.2.2 Método da Posição Falsa De forma semelhante ao Método da Bissecção, um intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz de uma função 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) real é quebrado, gerando dois novos intervalos [𝑎𝑎; �̅�𝑥] e [�̅�𝑥; 𝑏𝑏]. A diferença entre esses dois métodos é que o Método da Posição Falsa não adota o valor médio do intervalo como raiz da função, mas adota �̅�𝑥 como uma média ponderada dada pela Equação 6. 𝒙𝒙� = 𝑎𝑎 ∙ 𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑏𝑏 ∙ 𝑓𝑓(𝑎𝑎) 𝑓𝑓(𝑏𝑏) − 𝑓𝑓(𝑎𝑎) (6) Os limites do novo intervalo devem atender à condição dada na Equação 4. A repetição desse processo de quebra de intervalos permite que haja uma convergência do valor de �̅�𝑥 ao valor da raiz da função até que o critério de parada seja atendido. Exemplo 8 Vamos utilizar o Método da Posição Falsa para determinar a raiz real da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2 𝑥𝑥−2 − 3. Adotaremos que a raiz está contida no intervalo [2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. 17 Sendo 𝑎𝑎 = 2,010 e 𝑏𝑏 = 2,500, temos que: 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = 7 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 𝑓𝑓(𝑏𝑏) = −1,585786 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0 Pelo Método da Posição Falsa, o valor estimado da raiz da função será dado pela Equação 6. �̅�𝑥 = (2,010) ∙ (−1,585786) − (2,500) ∙ (7) (−1,585786) − (7) �̅�𝑥 = 2,409497 A função para esse valor é de: 𝑓𝑓(2,409497) = √2,409497 − 2 2,409497 − 2 − 3 𝑓𝑓(2,409497) = −1,437304 Observe que o valor de 𝑓𝑓(�̅�𝑥) é negativo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse caso, 𝑏𝑏 assume o valor de �̅�𝑥. 𝑏𝑏 = 2,409497 O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser [2,010; 2,409497]. Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada definido. k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) |𝒙𝒙 − 𝒙𝒙�| 1 2,010 7 2,500 -1,585786 2,409497 -1,437304 - 2 2,010 7 2,409497 -1,437304 2,341443 -1,288641 0,068055 3 2,010 7 2,341443 -1,288641 2,289913 -1,142768 0,051530 4 2,010 7 2,289913 -1,142768 2,250630 -1,002514 0,039283 5 2,010 7 2,250630 -1,002514 2,220485 -0,870338 0,030145 6 2,010 7 2,220485 -0,870338 2,197208 -0,748161 0,023276 7 2,010 7 2,197208 -0,748161 2,179132 -0,637271 0,018077 8 2,010 7 2,179132 -0,637271 2,165019 -0,538311 0,014113 9 2,010 7 2,165019 -0,538311 2,153949 -0,451342 0,011070 18 10 2,010 7 2,153949 -0,451342 2,145230 -0,375949 0,008719 Na décima iteração, estimamos que a raiz da função é �̅�𝑥 = 2,145230, valor para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que: |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = |2,145230 − 2,153949| |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = 0,008719 < 10−2 Por isso, adotamos o valor 2,145230 como a raiz da função. Exemplo 9 Para determinar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método da Posição Falsa, adotaremos que a raiz está contida no intervalo [0,333334; 1]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. Nesse caso, teremos 𝑎𝑎 = 0,333334e 𝑏𝑏 = 1, sendo: 𝑓𝑓(𝑎𝑎) = −13,122363 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) < 0 𝑓𝑓(𝑏𝑏) = 0,693147 → 𝑓𝑓(𝑥𝑥) > 0 Pelo Método da Posição Falsa, o valor estimado da raiz da função será dado pela Equação 6. �̅�𝑥 = (0,333334) ∙ (0,693147) − (1) ∙ (−13,122363) (0,6931471) − (−13,122363) �̅�𝑥 = 0,966552 A função para esse valor é de: 𝑓𝑓(0,966552) = 𝑙𝑙𝑛𝑛 (3(0,966552) − 1) 𝑓𝑓(0,966552) = 0,641673 Observe que o valor de 𝑓𝑓(�̅�𝑥) é positivo da mesma forma que 𝑓𝑓(𝑏𝑏). Nesse caso, 𝑏𝑏 assume o valor de �̅�𝑥. 𝑏𝑏 = 0,966552 19 O intervalo adotado para a próxima iteração passa a ser [0,333334; 0,966552]. Vamos continuar o processo iterativo até atingir o critério de parada definido. k a f(a) b f(b) 𝒙𝒙� 𝒇𝒇(𝒙𝒙�) |𝒙𝒙 − 𝒙𝒙�| 1 0,333334 -13,122363 1 0,693147 0,966552 0,641673 - 2 0,333334 -13,122363 0,966552 0,641673 0,937032 0,593932 0,029520 3 0,333334 -13,122363 0,937032 0,593932 0,910891 0,549665 0,026141 4 0,333334 -13,122363 0,910891 0,549665 0,887671 0,508631 0,023220 5 0,333334 -13,122363 0,887671 0,508631 0,866986 0,470603 0,020685 6 0,333334 -13,122363 0,866986 0,470603 0,848511 0,435369 0,018476 7 0,333334 -13,122363 0,848511 0,435369 0,831967 0,402729 0,016543 8 0,333334 -13,122363 0,831967 0,402729 0,817120 0,372501 0,014848 9 0,333334 -13,122363 0,817120 0,372501 0,803766 0,344509 0,013354 10 0,333334 -13,122363 0,803766 0,344509 0,791731 0,318595 0,012035 11 0,333334 -13,122363 0,791731 0,318595 0,780866 0,294606 0,010866 12 0,333334 -13,122363 0,780866 0,294606 0,771039 0,272404 0,009827 Na décima segunda iteração, estimamos que a raiz da função é �̅�𝑥 = 0,771039, valor para o qual a função atende ao critério de parada imposto, uma vez que: |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = |0,771039 − 0,780866| |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| = 0,009827 < 10−2 Por isso, adotamos o valor 0,771039 como a raiz da função. 4.3 Métodos de Ponto Fixo Os Métodos de Ponto Fixo consistem em procedimentos iterativos que buscam a raiz de uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) quando essa é reescrita como 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥) a partir da definição de que a raiz atende ao critério 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0. Esse tipo de solução dever atender a duas condições: I. 𝜑𝜑(𝑥𝑥) deve ser contínua no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função. II. Deve existir 𝑥𝑥 ∈ [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] de forma que 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥), de maneira que haja pelo menos um ponto fixo no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. 20 4.3.1 Método Iterativo Linear (MIL) Esse método consiste em reescrever 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 como uma equação equivalente 𝑥𝑥 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥). A partir de um valor inicial 𝑥𝑥0 que pode ser conhecido, ou pode ser adotado o valor médio do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função, determinamos o valor de 𝑥𝑥 pela Equação 7, repetindo o processo até que o critério de parada seja atendido. 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘−1) (7) Uma função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) pode permitir a definição de várias funções de iteração 𝜑𝜑(𝑥𝑥), que podem gerar valores de 𝑥𝑥 que convergem ou divergem no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. Assim, se os valores de 𝑥𝑥 determinados pela Equação 7 estão no intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], a função de iteração é convergente; se os valores de 𝑥𝑥 determinados pela Equação 7 estão fora do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏], a função de iteração é divergente. Exemplo 10 Vamos utilizar o Método Iterativo Linear para determinar a raiz real da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2 𝑥𝑥−2 − 3. Adotaremos que a raiz da função está contida no intervalo [2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. Nesse método, definimos inicialmente as possibilidades de funções que derivam de 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 0 ⇒ 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝜑𝜑(𝑥𝑥𝑘𝑘−1). • Primeira possibilidade: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 − 3 = 0 √𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 = 3 √𝑥𝑥 − 2 = 3(𝑥𝑥 − 2) √𝑥𝑥 − 2 3 = (𝑥𝑥 − 2) √𝑥𝑥 − 2 3 + 2 = 𝑥𝑥 21 𝑥𝑥𝑘𝑘 = �𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 2 3 + 2 = 𝜑𝜑1 • Segunda possibilidade: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 − 3 = 0 √𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 = 3 √𝑥𝑥 − 2 = 3(𝑥𝑥 − 2) √𝑥𝑥 − 2 2 = (3𝑥𝑥 − 6)2 𝑥𝑥 − 2 = (3𝑥𝑥 − 6)2 𝑥𝑥 = (3𝑥𝑥 − 6)2 + 2 𝑥𝑥𝑘𝑘 = (3𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 6)2 + 2 = 𝜑𝜑2 Para aplicação do Método Iterativo Linear, adota-se como o primeiro valor estimado 𝑥𝑥0 o valor médio do intervalo. 𝑥𝑥0 = 2,010 + 2,500 2 𝑥𝑥0 = 2,255 Vamos analisar a primeira possibilidade de função de iteração 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝜑𝜑1. Na primeira iteração (𝑘𝑘 = 1), 𝑥𝑥1 = �𝑥𝑥0 − 2 3 + 2 𝑥𝑥1 = �2,255 − 2 3 + 2 𝑥𝑥1 = 2,168325 Veja que o erro absoluto entre o novo valor estimado 𝑥𝑥1 e o valor estimado prévio 𝑥𝑥0 não atendem ao critério de parada definido |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0| ≤ 10−2. 22 |2,168325 − 2,255| > 10−2 0,086675 > 10−2 Por esse motivo, novas iterações devem ser realizadas até que o critério de parada seja atendido. Segunda iteração (𝑘𝑘 = 2): 𝑥𝑥2 = �𝑥𝑥1 − 2 3 + 2 𝑥𝑥2 = �2,168325 − 2 3 + 2 𝑥𝑥2 = 2,136758 O erro absoluto nesse caso é: |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1| = |2,136758 − 2,168325| > 10−2 0,031567 > 10−2 Continuando o processo iterativo: k 𝒙𝒙𝒌𝒌 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒌𝒌) |𝒙𝒙𝒌𝒌 − 𝒙𝒙𝒌𝒌−𝟏𝟏| 0 2,255 -1,019705 - 1 2,168325 -0,562607 0,086675 2 2,136758 -0,295896 0,031567 3 2,123269 -0,151788 0,013489 4 2,117032 -0,076879 0,006237 Na quarta iteração, estimamos que a raiz da função é 𝑥𝑥 = 2,117031, valor para que atende ao critério de parada imposto, uma vez que: |𝑥𝑥4 − 𝑥𝑥3| = |2,117031 − 2,123269| 0,006237 < 10−2 Por isso, adotamos o valor 2,117031 como a raiz da função. 23 Caso o uso da primeira possibilidade de função não possibilite a convergência para o valor da raiz, deve-se repetir o processo iterativo com a segunda possibilidade de função. Exemplo 11 Agora, vamos buscar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método Iterativo Linear. Adotaremos que a raiz está contida no intervalo [0,333334; 1]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. Para determinar a única possibilidade de função de iteração, nesse caso: 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln(3𝑥𝑥 − 1) = 0 𝑒𝑒ln(3𝑥𝑥−1) = 𝑒𝑒0 3𝑥𝑥 − 1 = 1 3𝑥𝑥 = 1 + 1 𝑥𝑥 = 2 3 ⇒ 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 0,666667 Observe que a função é constante, o que não permite a implementação de uma série de iterações. Caso o valor de 𝑥𝑥 esteja contido no intervalo que contém a raiz da função, pode-se adotar esse valor de 𝑥𝑥 como a raiz da função. Por esse motivo, adotaremos 0,666667 como a raiz da função. 4.3.2 Método de Newton-Raphson ou Método das Tangentes Esse método trabalha com uma projeção da tangente da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) no valor de 𝑥𝑥 no eixo x, de forma a assumir valores de x cada vez mais próximos da raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Veja na Figura 5 que a reta tangente da função no ponto 𝑥𝑥0, projetada sobre o eixo x, gera um novo valor de 𝑥𝑥1 mais próximo do valor real da raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥), dentro do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏]. 24 Figura 5 – Método de Newton-Raphson ou Método das Tangentes A partir de um valor inicial 𝑥𝑥0 que pode ser conhecido, ou pode ser adotado o valor médio do intervalo [𝑎𝑎; 𝑏𝑏] que contém a raiz da função, determinamos o valor de 𝑥𝑥 pela Equação 8, repetindo o processo até que o critério de parada seja atendido. 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1) 𝑓𝑓′(𝑥𝑥𝑘𝑘−1) (8) Segundo Jarletti (2018), a dificuldade de utilizar esse método está no cálculo da derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) para determinação da equação que descreve o método (Equação 8). Exemplo 12 Vamos utilizar o Método de Newton-Raphson para determinar a raiz real da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2 𝑥𝑥−2 − 3. Adotaremos que a raiz da função está contida no intervalo [2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. Para aplicação desse método, precisamosdeterminar também a derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥 − 2 𝑥𝑥 − 2 − 3 ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = − 1 2�(𝑥𝑥 − 2)3 25 Reescrevendo a Equação 8 que caracteriza o Método de Newton- Raphson: 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − �� 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 2 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 2 − 3� �− 1 2�(𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 2)3 � Para aplicação do Método de Newton-Raphson, adota-se como o primeiro valor estimado 𝑥𝑥0 o valor médio do intervalo. 𝑥𝑥0 = 2,010 + 2,500 2 𝑥𝑥0 = 2,255 Aplicando no método na primeira iteração (𝑘𝑘 = 1), 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 − �� 𝑥𝑥0 − 2 𝑥𝑥0 − 2 − 3� �− 1 2�(𝑥𝑥0 − 2)3 � 𝑥𝑥1 = 2,255 − ��2,255 − 2 2,255 − 2 − 3� �− 1 2�(2,255 − 2)3 � 𝑥𝑥1 = 2,255 − [−1,019705] [−3,882932] 𝑥𝑥1 = 1,992388 Veja que o valor encontrado para 𝑥𝑥1 = 1,992388 está fora do intervalo [2,010; 2,500] que contém a raiz da função. Nesse caso, diz-se que esse método não converge para a raiz e orienta-se a busca por outro método numérico para determiná-la, uma vez que este não se mostra adequado para tal fim. Exemplo 13 Agora, vamos buscar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método de Newton-Raphson. Adotaremos que a raiz está contida no intervalo [0,333334; 1]. 26 Utilizaremos como critério de parada o erro absoluto entre os valores das estimativas |𝑥𝑥 − �̅�𝑥| ≤ 10−2. Para aplicação desse método, precisamos determinar também a derivada da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑛𝑛(3𝑥𝑥 − 1) ⇒ 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 3 3𝑥𝑥 − 1 Reescrevendo a Equação 8 que caracteriza o Método de Newton- Raphson: 𝑥𝑥𝑘𝑘 = 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − [𝑙𝑙𝑛𝑛(3𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 1)] � 3 3𝑥𝑥𝑘𝑘−1 − 1� Para aplicação do Método de Newton-Raphson, adota-se como o primeiro valor estimado 𝑥𝑥0 o valor médio do intervalo. 𝑥𝑥0 = 0,333334 + 1 2 𝑥𝑥0 = 0,666667 Aplicando no método na primeira iteração (𝑘𝑘 = 1): 𝑥𝑥1 = 𝑥𝑥0 − [𝑙𝑙𝑛𝑛(3𝑥𝑥0 − 1)] � 3 3𝑥𝑥0 − 1� 𝑥𝑥1 = 0,666667 − [𝑙𝑙𝑛𝑛(3(0,666667) − 1)] � 3 3(0,666667) − 1� 𝑥𝑥1 = 0,666667 − [0,000001] [2,999997] 𝑥𝑥1 = 0,666667 Veja que o valor estimado 𝑥𝑥1 = 0,666667 atende ao critério de parada imposto, uma vez que: |𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0| = |0,666667 − 0,666667| 27 0,000000 ≤ 10−2 Por isso, adotamos o valor 0,666667 como a raiz da função. 4.4 Método da Secante Esse método caracteriza-se pela necessidade de ter mais atribuições iniciais para estimar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Ele tem forma similar ao Método de Newton-Raphson, entretanto, substitui a derivada por uma aproximação. Por esse motivo, a partir das estimativas 𝑥𝑥0 e 𝑥𝑥1, estimam-se as novas raízes pela Equação 9. Veja que essas atribuições iniciais são diferentes entre si, podendo ser definidas livremente, desde que estejam contidas dentro do intervalo, que possui a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (Jarletti, 2018; Chapra; Canale, 2002). 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 = 𝑥𝑥𝑘𝑘−1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) − 𝑥𝑥𝑘𝑘 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘−1) (9) Exemplo 14 Vamos utilizar o Método da Secante para determinar a raiz real da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = √𝑥𝑥−2 𝑥𝑥−2 − 3, com valores atribuídos de 𝑥𝑥0 = 2,015 e 𝑥𝑥1 = 2,305, uma vez que a raiz da função está contida no intervalo [2,010; 2,500]. Utilizaremos como critério de parada |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. Para os valores atribuídos, podemos definir que: 𝑥𝑥0 = 2,015 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = 5,164966 𝑥𝑥1 = 2,305 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = −1,189285 Pela Equação 9 que caracteriza o Método da Secante, a primeira iteração (𝑘𝑘 = 1) será dada por: 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥0 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑥𝑥1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑥𝑥2 = (2,015) ∙ (−1,189285) − (2,305) ∙ (5,164966) (−1,189285) − (5,164966) 𝑥𝑥2 = 2,250723 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) = −1,002884 28 Como 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) não atende ao critério de parada, será necessário realizar uma segunda iteração (𝑘𝑘 = 2). |𝑓𝑓(𝑥𝑥2) | = 1,002884 > 10−2 Para a segunda iteração, 𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑥𝑥2 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑥𝑥3 = (2,305) ∙ (−1,002884) − (2,250723) ∙ (−1,189285) (−1,002884) − (−1,189285) 𝑥𝑥3 = 1,958697 Veja que o valor encontrado para 𝑥𝑥3 = 1,958697 está fora do intervalo [2,010; 2,500] que contém a raiz da função. Nesse caso, diz-se que esse método não converge para a raiz e orienta-se a busca por outro método numérico para determiná-la, uma vez que este não se mostra adequado para tal fim. Exemplo 15 Vamos buscar a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ln (3𝑥𝑥 − 1) pelo Método da Secante, com valores atribuídos de 𝑥𝑥0 = 0,35 e 𝑥𝑥1 = 0,8, uma vez que a raiz da função está contida no intervalo [0,333334; 1]. Utilizaremos como critério de parada |𝑓𝑓(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. Para os valores atribuídos, podemos definir que: 𝑥𝑥0 = 𝑐𝑐 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) = −2,995732 𝑥𝑥1 = 0,8 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) = 0,336472 Pela Equação 9 que caracteriza o Método da Secante, a primeira iteração (𝑘𝑘 = 1) será dada por: 𝑥𝑥2 = 𝑥𝑥0 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑥𝑥1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥0) 𝑥𝑥2 = (0,35) ∙ (0,336472) − (0,8) ∙ (−2,995732) (0,336472) − (−2,995732) 𝑥𝑥2 = 0,754561 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) = 0,234030 29 Como 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) não atende ao critério de parada, será necessário realizar uma segunda iteração (𝑘𝑘 = 2). |𝑓𝑓(𝑥𝑥2) | = 0,234030 > 10−2 Para a segunda iteração: 𝑥𝑥3 = 𝑥𝑥1 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑥𝑥2 ∙ 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) − 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑥𝑥3 = (0,8) ∙ (0,234030) − (0,754561) ∙ (0,336472) (0,234030) − (0,336472) 𝑥𝑥3 = 0,650755 Veremos que a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥3) também não tende ao critério de parada. Realizando iterações sucessivas: k 𝒙𝒙𝒌𝒌 𝒇𝒇(𝒙𝒙𝒌𝒌) 0 0,35 -2,995732 1 0,8 0,336472 2 0,754561 0,234030 3 0,650755 -0,048913 4 0,668700 0,006081 Veja que na quarta iteração 𝑥𝑥4 = 0,668700, a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥4) = 0,006081. Essa função atende ao critério de para em 𝑥𝑥4. |𝑓𝑓(𝑥𝑥4) | = 0,006081 < 10−2 Sendo assim, adota-se 0,668700 como a raiz da função. 4.5 Estudo da convergência dos métodos estudados Os métodos de quebra de intervalo estudados convergem quando 𝑓𝑓(𝑥𝑥) é uma função contínua no intervalo [a; b]. Entretanto, processos como o Método Iterativo Linear, possibilitam a definição de funções 𝜑𝜑(𝑥𝑥) que não são obrigatoriamente convergentes. A função não é convergente quando a estimativa encontrada para a raiz da função está fora do intervalo [a; b] que 30 contém a raiz da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥). Nesse caso, busca-se outra possibilidade de função 𝜑𝜑(𝑥𝑥) para aplicação do método. O aumento do número de iterações e de casas decimais das estimativas auxiliam permitem que melhores resultados sejam encontrados. Contudo, esse aperfeiçoamento exige o uso de ferramentas computacionais. TEMA 5 – APLICAÇÕES DOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA DETERMINAÇÃO DE RAÍZES REAIS Os métodos numéricos aplicados para determinação de raízes podem ser aplicados, por exemplo, na otimização de processos. Por exemplo, ao buscar o melhor aproveitamento de volume de uma caixa construída a partir de uma placa de papelão de 50 cm x 30 cm (Figura 6). Figura 6 – Dimensões de uma caixa Ao determinar o volume da caixa, observamos que o maior volume dependerá da altura da caixa x. 𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 ∙ (30 − 2𝑥𝑥) ∙ (50 − 2𝑥𝑥) 𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 1500𝑥𝑥 − 160𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3 (10) Nesse caso, o valor máximo do volume acontece quando a derivada da Equação 10 é nula (𝑉𝑉’(𝑥𝑥) = 0). 𝑉𝑉′(𝑥𝑥) = 1500 − 320𝑥𝑥 + 12𝑥𝑥2 (11) 31 Veja que a função (Equação 11) dada pela derivada 𝑉𝑉’(𝑥𝑥) é uma equação de segundo grau que poderia ser resolvida por métodos matemáticos mais simples, mas também pode ser resolvida por métodos numéricos aplicados. Sabendo que a solução real para 𝑉𝑉’(𝑥𝑥) = 0 é 𝑥𝑥 = 6,068502 𝑐𝑐𝑚𝑚, podemos verificar a solução �̅�𝑥 encontrada pelo Método da Bissecção, adotando como intervalo [6; 7] com precisão de |𝑉𝑉′(𝑥𝑥)| ≤ 10−2. k a V'(a) b V'(b) x V'(x) 1 5 200 7 -152 6 12 2 6 12 7 -152 6,5 -733 6 12 6,5 -73 6,25 -31,25 4 6 12 6,25 -31,25 6,125 -9,8125 5 6 12 6,125 -9,8125 6,0625 1,046875 6 6,0625 1,046875 6,125 -9,8125 6,09375 -4,39453 7 6,0625 1,046875 6,09375 -4,39453 6,078125 -1,67676 8 6,0625 1,046875 6,078125 -1,67676 6,070313 -0,31567 9 6,0625 1,046875 6,070313 -0,31567 6,066406 0,365417 10 6,066406 0,365417 6,070313 -0,31567 6,068359 0,024826 11 6,068359 0,024826 6,070313 -0,31567 6,069336 -0,14544 12 6,068359 0,024826 6,069336 -0,14544 6,068848 -0,06031 13 6,068359 0,024826 6,068848 -0,06031 6,068604 -0,01774 14 6,068359 0,024826 6,068604 -0,01774 6,068481 0,003542 Veja que na 14ª iteração, a solução encontrada é �̅�𝑥 = 6,068481 𝑐𝑐𝑚𝑚. O erro relativo entre o valor real e o valor estimado é de 0,0000039%. Assim, para o valor estimado, o volume máximo da caixa será dado pela substituição do valor de �̅�𝑥 na Equação 10. 𝑉𝑉(6,068481) = 1500(6,068481) − 160(6,068481)2 + 4(6,068481)3 𝑉𝑉(6,068481) = 4104,410368 𝑐𝑐𝑚𝑚³ FINALIZANDO Nesta aula, compreendemos que a raiz de uma função f(x) que não pode ser determinada por meio dos recursos algébricos do cálculo diferencial e integral pode ser estimada por meio de métodos numéricos aplicados. No entanto, essas estimativas podem ser aprimoradas com uso de recursos computacionais que permitem um maior número de iterações. Existem diversos métodos numéricos para o cálculo da raiz de uma função, que podem ser selecionados de acordo com a convergência, por 32 exemplo. Alguns métodos permitem uma convergência mais rápida ao valor da raiz no intervalo determinado. 33 REFERÊNCIAS CHAPRA, S. C.; CANALE, R. P. Numerical methods for engineers: with softwares and programming applications. 4. ed. Nova York: The McGraw-Hill, 2002. JARLETTI, C. Cálculo numérico. Curitiba: InterSaberes, 2018. CONVERSA INICIAL TEMA 1 – O QUE É O CÁLCULO NUMÉRICO? 1.1 Etapas para resolução de um problema TEMA 2 – APROXIMAÇÕES E ERROS DE PRECISÃO 2.1 Erros inerentes 2.2 Erros de arredondamento, de truncamento e de discretização TEMA 3 – ERRO ABSOLUTO E ERRO RELATIVO TEMA 4 – RAÍZES REAIS DE FUNÇÕES REAIS 4.1 Determinação do domínio da função 4.2 Métodos de quebra do intervalo 4.2.1 Método da Bissecção ou Método do Meio Intervalo (MMI) 4.2.2 Método da Posição Falsa 4.3 Métodos de Ponto Fixo 4.3.1 Método Iterativo Linear (MIL) 4.3.2 Método de Newton-Raphson ou Método das Tangentes 4.4 Método da Secante 4.5 Estudo da convergência dos métodos estudados TEMA 5 – APLICAÇÕES DOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA DETERMINAÇÃO DE RAÍZES REAIS FINALIZANDO REFERÊNCIAS
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