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Técnicas de integração – integração por partes Apresentação Assim como há regras de diferenciação correspondentes a regras de integração, a regra do produto para derivadas está associada à integração por partes. Como muitas funções de problemas aplicados estão em forma de produto, essa técnica de integração é importante, pois facilita os cálculos para determinar a integral. Adotar a combinação ideal para organizar o produto em fatores de forma vantajosa se caracteriza como uma estratégia de integração válida para resolver um problema aplicado nesse contexto. Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que você tenha proximidade com as regras de diferenciação de funções de uma variável real, conhecimento sobre integrais definidas e indefinidas, regra do produto, regra da cadeia, regra da substituição, domínio, contradomínio e imagem de funções reais de uma variável e intepretação geométrica de gráficos no plano cartesiano. Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai saber a definição da técnica de integração por partes, desenvolver a experiência necessária para boas escolhas de u(x) e v'(x) e aplicar a integração por partes em conjunto a outros métodos, como o método da substituição. Bons estudos. Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados: Definir a técnica de integração por partes. • Desenvolver a experiência necessária para boas escolhas de u(x) e v'(x). • Aplicar a integração por partes em conjunto a outros métodos, como o método da substituição. • Desafio Na instalação de sistemas de refrigeração de obras civis, como supermercados, lojas de departamento, centros comerciais, são realizados testes de movimentação de ar para saber se o fluxo de ar está seguindo os protocolos de segurança e as normas técnicas preestabelecidas pelos órgãos fiscalizadores e padrões internacionais. Você é o engenheiro químico responsável pelo controle de qualidade do fluxo de ar e coloca partículas de isopor tingidas de laranja para verificar se a distância percorrida segue o padrão de aproximadamente [1,93; 2,00] metros. Como o sistema está associado a uma implementação computacional, a função que descreve a velocidade, em metros por segundo, é dada pela função v(t) = t2et, onde v representa a velocidade, e t o tempo. Com base nessas informações, responda: a) Qual a distância p que a partícula de isopor percorrerá durante os primeiros t segundos? b) Considerando t = 10 segundos, no teste realizado, o padrão de qualidade foi alcançado? Justifique sua resposta. Adote: e-10 = 4,5399 ×10-5. Infográfico As fórmulas de redução da função seno e cosseno são úteis para facilitar o cálculo de integrais que envolvem potências de seno e cosseno com expoentes pares e ímpares que surgem a partir da modelagem matemática de problemas físicos. Veja, no Infográfico a seguir, a demonstração e aplicação dessas fórmulas de redução a partir da implementação da técnica de integração por partes. Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar. https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/a26d942f-0b0c-4715-bba7-3537b356eb5e/764825aa-15be-4d36-99c6-9d45dc49bd7a.png Conteúdo do livro A técnica de integração por partes parte da regra do produto para diferenciação. A aplicação principal dessa técnica é a de calcular integrais definidas e indefinidas provenientes de funções compostas em forma de produto que não podem ser calculadas com o uso de tabelas de integração. Nesse sentido, essa ferramenta é indispensável no cálculo de integrais de problemas aplicados que, geralmente, apresentam modelos matemáticos com funções compostas por produtos. No capítulo Técnicas de integração – integração por partes, do livro Cálculo: integrais e funções de várias variáveis, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, veja como definir a técnica de integração para, assim, escolher de forma correta u(x) e v'(x) e aplicar a integração por partes em conjunto com outros métodos de integração. Boa leitura. CÁLCULO: INTEGRAIS E FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Raphael de Oliveira Freitas Técnicas de integração: integração por partes Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados: � Definir a técnica de integração por partes. � Desenvolver a experiência necessária para boas escolhas de u(x) e v′(x). � Aplicar a integração por partes em conjunto a outros métodos, como o da substituição. Introdução Problemas aplicados às Ciências Naturais e Sociais são modelados mate- maticamente por equações diferenciais que, em sua lei de formação, apre- sentam produtos de funções compostas, sendo o conhecimento dessa técnica de integração fundamental para a resolução desses problemas. Neste capítulo, caracterizado como parte integrante das técnicas de integração, você conhecerá a definição da técnica de integração por partes, utilizada na integração de funções compostas em forma de pro- dutos, além de desenvolver a experiência necessária para boas escolhas de u(x) e v'(x) para aplicar a integração por partes em conjunto a outros métodos, como o da substituição. Técnica de integração por partes Partindo da ideia de que a diferenciação e a integração são procedimentos inversos pelo teorema fundamental do cálculo (TFC), as regras de diferen- ciação apresentam correspondentes às regras de integração. Exemplos dessa associação são a regra da cadeia e a regra da substituição, assim como a do produto para diferenciação está relacionada à técnica de integração por partes. Pela regra do produto para diferenciação das funções w e z diferenciáveis, temos: No contexto das integrais definidas, a equação anterior pode ser escrita como: Reescrevendo-a, temos: E reorganizando-a: Essa fórmula desenvolvida é denominada de integração por partes. Para facilitar a aplicação dessa técnica de integração, podemos utilizar a seguinte notação: u = w(y); v = z(y) Dessa forma, os diferenciais seriam: du = w'(y)dy; dv = z'(y)dy. Aplicando a regra da substituição para a fórmula de integração por partes desenvolvida anteriormente, temos: Essa fórmula define a técnica de integração por partes. No Exemplo 1, a seguir, aplicaremos essas duas fórmulas para encontrar o valor da integral em forma de produto y ∙ sen y. Técnicas de integração: integração por partes2 Exemplo 1 Utilizando a fórmula sem a regra da substituição e com a fórmula da substi- tuição, ambas para a técnica de integração por partes, determine o valor da integral indefinida (STEWART, 2014, p. 421–423). Solução 1: Fazendo w(y) = y e z’(y) = sen y; w’(y) = 1; z(y) = –cos y, sendo que, para z, podemos escolher qualquer antiderivada de z .́ Sendo assim, temos: Se derivarmos o resultado da integração por partes, encontraremos exa- tamente y ∙ sen y. Solução 2: Fazendo u = y; dv = sen y dy, então, du = dy; v = –cos y. Aplicando na fórmula: temos: 3Técnicas de integração: integração por partes Observe que a finalidade principal de utilizar a técnica de integral por partes é encontrar a integral mais simples do que a inicial. Percebe-se que, do exemplo anterior, transformamos a integral ∫y ∙ sen y dy para ficar em função de partes da integral ∫ cos y dy, que é bem mais fácil de ser resolvida. No vídeo disponível no link a seguir, o Professor Cláudio Possani, da UNIVESP, apresenta os principais aspectos da técnica de integração por partes. https://qrgo.page.link/aAXAv Boas escolhas de u e vʹ Se, no Exemplo 1 da seção anterior, realizássemos a escolha u = sen y; dv = y ∙ dy, os diferenciais ficariam du = cos y; v = y2/2. Dessa forma, a integral por partes seria descrita como: Observe que, apesar de a equação ser verdadeira, a integral ∫y2 cos y dy não é simples de se resolver e apresenta-se como mais difícil que a primeira. Por isso, é importante escolher de forma eficiente u e vʹ, para que a integral que aparecer na técnica de integração porpartes ser sempre a mais simples de ser resolvida. Nos Exemplos 2 a 4, a seguir, avaliaremos as integrais para realizar boas escolhas na resolução das integrais. Técnicas de integração: integração por partes4 Exemplo 2 Calcule a integral, a seguir, utilizando a técnica de integral por partes (STEWART, 2014, p. 421–423). Solução: Nesse caso, não há muitas escolhas para u e dv. Considerando os valores para a aplicação da fórmula de integração por partes, temos: Substituindo os valores indicados: Lembre-se de que, ao escrevermos ∫db = ∫1 db, a antiderivada é a própria variável avaliada. Ao encontrar o resultado da integral, observamos que a técnica de integral por partes foi eficiente para as escolhas de u e dv, pois a derivada da função w(y) = ln b é mais simples que a função w. 5Técnicas de integração: integração por partes Exemplo 3 Determine o valor da integral (STEWART, 2014, p. 421–423): Solução: Nesse caso, avaliamos que ez não se altera quando a integramos ou deriva- mos. Já z2 se torna uma função mais simples quando derivada. Dessa forma, podemos escolher: Com isso, a integral por partes fica: Ao aplicarmos a integração por partes, a integral encontrada é ∫z ez dz — que já é mais simples que a integral associada no início do cálculo, porém ainda não direta. Da mesma forma, aplicamos novamente a integração por partes com as substituições: Voltando à equação da integral inicial, temos: na qual C1 = –2C. Técnicas de integração: integração por partes6 Exemplo 4 Determine o valor da integral (STEWART, 2014, p. 421–423): Solução: Observamos que ea e sen a transformam-se em funções mais simples quando derivadas. Por tentativa, escolheremos: Dessa forma, a integração por partes fica: O resultado da aplicação da técnica de integral por partes não foi eficiente, pois a integral encontrada no processo ∫ea cos a da não é mais simples do que a inicial. Utilizando a experiência do exemplo anterior, aplicaremos a integração por partes novamente. Utilizando as substituições: Então, temos: Inicialmente, voltamos ao problema anterior, pois novamente encontramos a integral inicial ∫ea sen a da. Porém, se substituirmos a expressão ∫ea cos a da na primeira equação na qual aplicamos a integração por partes, temos: 7Técnicas de integração: integração por partes Considerando essa equação como uma integral que desejamos determinar, podemos somar a ambos os lados desta equação e encontramos: Acrescentamos a constante C para complementar a integral indefinida. Uma estratégia para a aplicação da integração por partes é o LIATE, ou seja, uma ordenação para realizar a integração nem sempre funciona, mas facilita o processo para as escolhas de u e dv. L I A T E Logarítmicas Inversas trigonométricas Algébricas (ou polinomial) Trigonométricas Exponenciais ln x tg-1x= arc tag x, ... xn, ... sen x, cos x, ... ex, ... Dessa forma, ao observar que há um produto entre as funções logarítmicas e uma exponencial, tente inicialmente escolher u(x) = L. Com isso, dv = vʹ(x) será o que resta da expressão da integração por partes. Com a prática, é possível avaliar as integrais sem a necessidade de realizar várias tentativas de substituições que não serão eficientes. Ao identificar o padrão da técnica de integração por partes, será mais simples escolher u e dv. No vídeo disponível no link a seguir, você acompanha o Professor Alexandre Lymbero- poulos, da USP, apresentando os principais aspectos da técnica de integração por partes. https://qrgo.page.link/QwKjr Técnicas de integração: integração por partes8 Aplicação da técnica de integração por partes combinada a outros métodos de integração Associando a técnica de integração por partes com o resultado da segunda parte do TFC é possível calcular integrais definidas que utilize esse processo de integração. A partir de um intervalo [a, b] e considerando as funções wʹ e zʹ contínuas. Pelo TFC aplicado a fórmula de integração por partes, temos: Essa fórmula permite que calculemos integrais definidas pela técnica de integração por partes. Os Exemplos 5 e 6 apresentam aplicações dessa fórmula. Exemplo 5 Calcule a integral definida: Fazendo a substituição, temos: Aplicando a fórmula de integração por partes combinada com TFC parte 2: 9Técnicas de integração: integração por partes Observe que, para continuar com o cálculo de integração, temos que resolver a integral . Utilizando a regra da substituição, temos: onde y = 0, x = 1 e y = 1, x = 2. Dessa forma, temos: Realizando a substituição do valor da integral calculada na integral inicial: Observe que, na resolução desse problema, combinamos a técnica de inte- gração por partes com a TFC parte 2 e com a regra da substituição. Exemplo 6 Utilize a integração por partes para demonstrar a fórmula de redução: com n ≠ 1. Técnicas de integração: integração por partes10 Solução: Inicialmente, fazemos a substituição u = secn–2a com du = (n – 2)secn–3 a sec a tg a da; dv = sec2 a da; v = tg a na fórmula de integração por partes: Então: Para n – 1 ≠ 0, temos: As fórmulas de redução são uma ferramenta da técnica de integração por partes para facilitar os cálculos de integração que envolvem esse procedimento. Neste capítulo, foi possível perceber que a ideia central da integração por partes é encontrar um u e dv de forma que o produto das funções u e v produza uma integral mais simples. O desafio essencial de se utilizar a integração por partes é obter uma substituição apropriada para resolver o problema do cálculo da integral da função apresentada. No link a seguir, você encontra conteúdo com os principais pontos de forma resumida da técnica de integração por partes, elaborado pela professora Aline Paliga, da UFPEL. https://qrgo.page.link/yzfux 11Técnicas de integração: integração por partes STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. v. 1. Leituras recomendadas ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2015. KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. MORETTIN, P. A. et al. Cálculo: função de uma e várias variáveis. 2. ed. São Paulo: Sa- raiva, 2010. PALIGA, A. Integração por partes. 2012. Disponível em: https://wp.ufpel.edu.br/nucleoma- tceng/files/2012/07/Integra%C3%A7%C3%A3o-por-partes.pdf. Acesso em: 20 out. 2019. SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção Schaum). Técnicas de integração: integração por partes12 Dica do professor A técnica de integração por partes é interessante para demonstrar fórmulas de redução com expoentes, pois é fundamental na resolução de problemas aplicados que utilizam esses resultados em modelos matemáticos. Nesse sentido, os resultados das fórmulas de redução das equações: podem ser demonstradas com a técnica de integração por partes. Além disso, as integrais a seguir podem ser resolvidas com essas formas de redução: Veja, na Dica do Professor a seguir, os cálculos para demonstrar as equações 1 e 2 e utilizar os resultados para calcular as integrais 3 e 4. Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar. https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/859204203419233408c5683d37d089d3 Exercícios 1) A técnica de integração por partes é uma estratégia para calcular integrais que estão em forma de produto. Dessa forma, qual o valor da integral utilizando a integração por partes com as escolhas de u = lny, dv = y 2dy? A) B) C) D) E) 2) Integrais de funções compostas em formas de produto podem ser resolvidas realizando-se uma substituição combinada com a técnica de integração por partes. Dessa forma, qual o valor da integral abaixo? A) B) C) D) E) 3) Os conhecimentos de integral auxiliam na determinação de áreas sobre curvas. Dessa forma, dadas as curvas w = y 2 ln y, w = 4 ln y, qual a área delimitada por essas curvas?A) B) C) D) E) 4) A fórmula de redução da função: Onde n ≥ 2 é um número inteiro. Utilizando essa fórmula de redução, calcule o valor da integral abaixo: A) B) C) D) E) 5) As aplicações de integrais são inúmeras para o Cálculo como campo de estudo e pesquisa da Matemática. A ideia de encontrar as antiderivadas é um dos princípios básicos. Dessa forma, sabendo que w (1) = 2, w (4) = 7, w ' (1) = 5, w ' (4) = 3 e w sendo uma função contínua, calcule o valor de A) 5. B) 2. C) 4. D) 3. E) 1. Na prática Engenharia aeroespacial é a parte da Engenharia que se apoia em diversas áreas da Física, como a termodinâmica, a mecânica dos fluidos, a mecânica clássica, entre outras, para desenvolver projetos e a elaboração de aeronaves, espaçonaves e satélites. No laboratório de física experimental, é possível simular a aceleração de um foguete e a queima de combustível a bordo em que sua massa diminui com o passar do tempo. Veja, Na Prática, como utilizar os conhecimentos da técnica de integração por partes para calcular a altitude de um foguete após um tempo de seu lançamento. Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino! Saiba + Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor: Cálculo I — Aula 22 — Técnicas de integração — Parte 2 Neste vídeo, você irá assistir ao professor Cláudio Possani, da UNIVESP, apresentando os principais aspectos da técnica de integração por partes. Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar. Cálculo I — Aula 27 (1/3) Integração por partes Neste vídeo, você irá acompanhar o professor Alexandre Lymberopoulos, da USP, apresentando os principais aspectos da técnica de integração por partes. Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar. Integração por partes — Exercícios resolvidos Neste vídeo, o professor Marcos Murakami apresenta exercícios resolvidos a partir do método LIATE para calcular integrais por partes. Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar. https://www.youtube.com/embed/y5Lmgs9_H4A https://www.youtube.com/embed/w47sIdDh6rk https://www.youtube.com/embed/mSDgDw-8F2A Lista de exercícios Para aprender técnicas de integração — integração por partes, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões. Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar. http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/1152439999/ListadeexercciosTcnicaintegrao.pdf?v=1379901899
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