Técnicas de integração

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Técnicas de integração – integração por 
partes
Apresentação
Assim como há regras de diferenciação correspondentes a regras de integração, a regra do produto 
para derivadas está associada à integração por partes. Como muitas funções de problemas 
aplicados estão em forma de produto, essa técnica de integração é importante, pois facilita os 
cálculos para determinar a integral. Adotar a combinação ideal para organizar o produto em fatores 
de forma vantajosa se caracteriza como uma estratégia de integração válida para resolver um 
problema aplicado nesse contexto.
Para que você possa acompanhar adequadamente esta Unidade, é necessário que você tenha 
proximidade com as regras de diferenciação de funções de uma variável real, conhecimento sobre 
integrais definidas e indefinidas, regra do produto, regra da cadeia, regra da substituição, domínio, 
contradomínio e imagem de funções reais de uma variável e intepretação geométrica de gráficos no 
plano cartesiano.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai saber a definição da técnica de integração por partes, 
desenvolver a experiência necessária para boas escolhas de u(x) e v'(x) e aplicar a integração por 
partes em conjunto a outros métodos, como o método da substituição.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir a técnica de integração por partes. •
Desenvolver a experiência necessária para boas escolhas de u(x) e v'(x). •
Aplicar a integração por partes em conjunto a outros métodos, como o método da 
substituição. 
•
Desafio
Na instalação de sistemas de refrigeração de obras civis, como supermercados, lojas de 
departamento, centros comerciais, são realizados testes de movimentação de ar para saber se o 
fluxo de ar está seguindo os protocolos de segurança e as normas técnicas preestabelecidas pelos 
órgãos fiscalizadores e padrões internacionais.
Você é o engenheiro químico responsável pelo controle de qualidade do fluxo de ar e coloca 
partículas de isopor tingidas de laranja para verificar se a distância percorrida segue o padrão de 
aproximadamente [1,93; 2,00] metros.
Como o sistema está associado a uma implementação computacional, a função que descreve a 
velocidade, em metros por segundo, é dada pela função v(t) = t2et, onde v representa a velocidade, 
e t o tempo.
Com base nessas informações, responda:
a) Qual a distância p que a partícula de isopor percorrerá durante os primeiros t segundos?
b) Considerando t = 10 segundos, no teste realizado, o padrão de qualidade foi alcançado? 
Justifique sua resposta. Adote: e-10 = 4,5399 ×10-5.
Infográfico
As fórmulas de redução da função seno e cosseno são úteis para facilitar o cálculo de integrais que 
envolvem potências de seno e cosseno com expoentes pares e ímpares que surgem a partir da 
modelagem matemática de problemas físicos.
Veja, no Infográfico a seguir, a demonstração e aplicação dessas fórmulas de redução a partir da 
implementação da técnica de integração por partes.
Aponte a câmera para o 
código e acesse o link do 
conteúdo ou clique no 
código para acessar.
https://statics-marketplace.plataforma.grupoa.education/sagah/a26d942f-0b0c-4715-bba7-3537b356eb5e/764825aa-15be-4d36-99c6-9d45dc49bd7a.png
Conteúdo do livro
A técnica de integração por partes parte da regra do produto para diferenciação. A aplicação 
principal dessa técnica é a de calcular integrais definidas e indefinidas provenientes de funções 
compostas em forma de produto que não podem ser calculadas com o uso de tabelas de 
integração. Nesse sentido, essa ferramenta é indispensável no cálculo de integrais de problemas 
aplicados que, geralmente, apresentam modelos matemáticos com funções compostas por 
produtos.
No capítulo Técnicas de integração – integração por partes, do livro Cálculo: integrais e funções de 
várias variáveis, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, veja como definir a técnica de 
integração para, assim, escolher de forma correta u(x) e v'(x) e aplicar a integração por partes em 
conjunto com outros métodos de integração.
Boa leitura.
CÁLCULO: INTEGRAIS 
E FUNÇÕES DE 
VÁRIAS VARIÁVEIS 
Raphael de Oliveira Freitas 
Técnicas de integração: 
integração por partes
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir a técnica de integração por partes.
 � Desenvolver a experiência necessária para boas escolhas de u(x) e v′(x).
 � Aplicar a integração por partes em conjunto a outros métodos, como 
o da substituição.
Introdução
Problemas aplicados às Ciências Naturais e Sociais são modelados mate-
maticamente por equações diferenciais que, em sua lei de formação, apre-
sentam produtos de funções compostas, sendo o conhecimento dessa 
técnica de integração fundamental para a resolução desses problemas.
Neste capítulo, caracterizado como parte integrante das técnicas de 
integração, você conhecerá a definição da técnica de integração por 
partes, utilizada na integração de funções compostas em forma de pro-
dutos, além de desenvolver a experiência necessária para boas escolhas 
de u(x) e v'(x) para aplicar a integração por partes em conjunto a outros 
métodos, como o da substituição. 
Técnica de integração por partes
Partindo da ideia de que a diferenciação e a integração são procedimentos 
inversos pelo teorema fundamental do cálculo (TFC), as regras de diferen-
ciação apresentam correspondentes às regras de integração. Exemplos dessa 
associação são a regra da cadeia e a regra da substituição, assim como a do 
produto para diferenciação está relacionada à técnica de integração por partes.
Pela regra do produto para diferenciação das funções w e z diferenciáveis, 
temos:
No contexto das integrais definidas, a equação anterior pode ser escrita 
como:
Reescrevendo-a, temos:
E reorganizando-a:
Essa fórmula desenvolvida é denominada de integração por partes. Para 
facilitar a aplicação dessa técnica de integração, podemos utilizar a seguinte 
notação:
u = w(y); v = z(y)
Dessa forma, os diferenciais seriam: du = w'(y)dy; dv = z'(y)dy. Aplicando 
a regra da substituição para a fórmula de integração por partes desenvolvida 
anteriormente, temos:
Essa fórmula define a técnica de integração por partes. No Exemplo 1, a 
seguir, aplicaremos essas duas fórmulas para encontrar o valor da integral 
em forma de produto y ∙ sen y.
Técnicas de integração: integração por partes2
Exemplo 1
Utilizando a fórmula sem a regra da substituição e com a fórmula da substi-
tuição, ambas para a técnica de integração por partes, determine o valor da 
integral indefinida (STEWART, 2014, p. 421–423).
Solução 1:
Fazendo w(y) = y e z’(y) = sen y; w’(y) = 1; z(y) = –cos y, sendo que, para z, 
podemos escolher qualquer antiderivada de z .́ Sendo assim, temos:
Se derivarmos o resultado da integração por partes, encontraremos exa-
tamente y ∙ sen y.
Solução 2:
Fazendo u = y; dv = sen y dy, então, du = dy; v = –cos y. Aplicando na fórmula:
temos:
3Técnicas de integração: integração por partes
Observe que a finalidade principal de utilizar a técnica de integral por 
partes é encontrar a integral mais simples do que a inicial. Percebe-se que, do 
exemplo anterior, transformamos a integral ∫y ∙ sen y dy para ficar em função 
de partes da integral ∫ cos y dy, que é bem mais fácil de ser resolvida.
No vídeo disponível no link a seguir, o Professor Cláudio Possani, da UNIVESP, apresenta 
os principais aspectos da técnica de integração por partes.
https://qrgo.page.link/aAXAv
Boas escolhas de u e vʹ 
Se, no Exemplo 1 da seção anterior, realizássemos a escolha u = sen y; dv = y ∙ dy, 
os diferenciais ficariam du = cos y; v = y2/2. Dessa forma, a integral por partes 
seria descrita como: 
Observe que, apesar de a equação ser verdadeira, a integral ∫y2 cos y dy 
não é simples de se resolver e apresenta-se como mais difícil que a primeira. 
Por isso, é importante escolher de forma eficiente u e vʹ, para que a integral 
que aparecer na técnica de integração porpartes ser sempre a mais simples 
de ser resolvida. Nos Exemplos 2 a 4, a seguir, avaliaremos as integrais para 
realizar boas escolhas na resolução das integrais.
Técnicas de integração: integração por partes4
Exemplo 2
Calcule a integral, a seguir, utilizando a técnica de integral por partes 
(STEWART, 2014, p. 421–423).
Solução:
Nesse caso, não há muitas escolhas para u e dv. Considerando os valores para 
a aplicação da fórmula de integração por partes, temos:
Substituindo os valores indicados:
Lembre-se de que, ao escrevermos ∫db = ∫1 db, a antiderivada é a própria 
variável avaliada. Ao encontrar o resultado da integral, observamos que a 
técnica de integral por partes foi eficiente para as escolhas de u e dv, pois a 
derivada da função w(y) = ln b é mais simples que a função w.
5Técnicas de integração: integração por partes
Exemplo 3
Determine o valor da integral (STEWART, 2014, p. 421–423):
Solução:
Nesse caso, avaliamos que ez não se altera quando a integramos ou deriva-
mos. Já z2 se torna uma função mais simples quando derivada. Dessa forma, 
podemos escolher:
Com isso, a integral por partes fica:
Ao aplicarmos a integração por partes, a integral encontrada é ∫z ez dz — 
que já é mais simples que a integral associada no início do cálculo, porém 
ainda não direta. Da mesma forma, aplicamos novamente a integração por 
partes com as substituições:
Voltando à equação da integral inicial, temos:
na qual C1 = –2C.
Técnicas de integração: integração por partes6
Exemplo 4
Determine o valor da integral (STEWART, 2014, p. 421–423):
Solução:
Observamos que ea e sen a transformam-se em funções mais simples quando 
derivadas. Por tentativa, escolheremos:
Dessa forma, a integração por partes fica:
O resultado da aplicação da técnica de integral por partes não foi eficiente, 
pois a integral encontrada no processo ∫ea cos a da não é mais simples do que a 
inicial. Utilizando a experiência do exemplo anterior, aplicaremos a integração 
por partes novamente. Utilizando as substituições:
Então, temos:
Inicialmente, voltamos ao problema anterior, pois novamente encontramos 
a integral inicial ∫ea sen a da. Porém, se substituirmos a expressão ∫ea cos a 
da na primeira equação na qual aplicamos a integração por partes, temos:
7Técnicas de integração: integração por partes
Considerando essa equação como uma integral que desejamos determinar, 
podemos somar a ambos os lados desta equação e encontramos:
Acrescentamos a constante C para complementar a integral indefinida.
Uma estratégia para a aplicação da integração por partes é o LIATE, ou 
seja, uma ordenação para realizar a integração nem sempre funciona, mas 
facilita o processo para as escolhas de u e dv. 
L I A T E
Logarítmicas
Inversas 
trigonométricas
Algébricas
(ou polinomial)
Trigonométricas Exponenciais
ln x tg-1x= arc tag x, ... xn, ... sen x, cos x, ... ex, ...
Dessa forma, ao observar que há um produto entre as funções logarítmicas 
e uma exponencial, tente inicialmente escolher u(x) = L. Com isso, dv = vʹ(x) 
será o que resta da expressão da integração por partes.
Com a prática, é possível avaliar as integrais sem a necessidade de realizar 
várias tentativas de substituições que não serão eficientes. Ao identificar o 
padrão da técnica de integração por partes, será mais simples escolher u e dv.
No vídeo disponível no link a seguir, você acompanha o Professor Alexandre Lymbero-
poulos, da USP, apresentando os principais aspectos da técnica de integração por partes.
https://qrgo.page.link/QwKjr
Técnicas de integração: integração por partes8
Aplicação da técnica de integração por partes 
combinada a outros métodos de integração
Associando a técnica de integração por partes com o resultado da segunda 
parte do TFC é possível calcular integrais definidas que utilize esse processo 
de integração. A partir de um intervalo [a, b] e considerando as funções wʹ 
e zʹ contínuas. Pelo TFC aplicado a fórmula de integração por partes, temos:
Essa fórmula permite que calculemos integrais definidas pela técnica de 
integração por partes. Os Exemplos 5 e 6 apresentam aplicações dessa fórmula.
Exemplo 5
Calcule a integral definida:
Fazendo a substituição, temos:
Aplicando a fórmula de integração por partes combinada com TFC parte 2:
9Técnicas de integração: integração por partes
Observe que, para continuar com o cálculo de integração, temos que resolver 
a integral . Utilizando a regra da substituição, temos:
onde y = 0, x = 1 e y = 1, x = 2. Dessa forma, temos:
Realizando a substituição do valor da integral calculada na integral inicial:
Observe que, na resolução desse problema, combinamos a técnica de inte-
gração por partes com a TFC parte 2 e com a regra da substituição.
Exemplo 6
Utilize a integração por partes para demonstrar a fórmula de redução:
com n ≠ 1.
Técnicas de integração: integração por partes10
Solução:
Inicialmente, fazemos a substituição u = secn–2a com du = (n – 2)secn–3 a sec 
a tg a da; dv = sec2 a da; v = tg a na fórmula de integração por partes: 
Então:
Para n – 1 ≠ 0, temos:
As fórmulas de redução são uma ferramenta da técnica de integração por 
partes para facilitar os cálculos de integração que envolvem esse procedimento.
Neste capítulo, foi possível perceber que a ideia central da integração por 
partes é encontrar um u e dv de forma que o produto das funções u e v produza 
uma integral mais simples. O desafio essencial de se utilizar a integração por 
partes é obter uma substituição apropriada para resolver o problema do cálculo 
da integral da função apresentada.
No link a seguir, você encontra conteúdo com os principais pontos de forma resumida 
da técnica de integração por partes, elaborado pela professora Aline Paliga, da UFPEL.
https://qrgo.page.link/yzfux
11Técnicas de integração: integração por partes
STEWART, J. Cálculo. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014. v. 1.
Leituras recomendadas
ADAMI, A. M.; DORNELLES FILHO, A. A.; LORANDI, M. M. Pré-cálculo. Porto Alegre: 
Bookman, 2015.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 8. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2006. 
MORETTIN, P. A. et al. Cálculo: função de uma e várias variáveis. 2. ed. São Paulo: Sa-
raiva, 2010.
PALIGA, A. Integração por partes. 2012. Disponível em: https://wp.ufpel.edu.br/nucleoma-
tceng/files/2012/07/Integra%C3%A7%C3%A3o-por-partes.pdf. Acesso em: 20 out. 2019.
SAFIER, F. Pré-cálculo. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2011. (Coleção Schaum).
Técnicas de integração: integração por partes12
Dica do professor
A técnica de integração por partes é interessante para demonstrar fórmulas de redução com 
expoentes, pois é fundamental na resolução de problemas aplicados que utilizam esses resultados 
em modelos matemáticos. 
Nesse sentido, os resultados das fórmulas de redução das equações:
podem ser demonstradas com a técnica de integração por partes. Além disso, as integrais a seguir 
podem ser resolvidas com essas formas de redução:
Veja, na Dica do Professor a seguir, os cálculos para demonstrar as equações 1 e 2 e utilizar os 
resultados para calcular as integrais 3 e 4. 
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/859204203419233408c5683d37d089d3
Exercícios
1) A técnica de integração por partes é uma estratégia para calcular integrais que estão em 
forma de produto. Dessa forma, qual o valor da integral utilizando a integração 
por partes com as escolhas de u = lny, dv = y 2dy?
A) 
B) 
C) 
 
D) 
 
E) 
 
2) Integrais de funções compostas em formas de produto podem ser resolvidas realizando-se 
uma substituição combinada com a técnica de integração por partes. Dessa forma, qual o 
valor da integral abaixo?
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3) Os conhecimentos de integral auxiliam na determinação de áreas sobre curvas. Dessa forma, 
dadas as curvas w = y 2 ln y, w = 4 ln y, qual a área delimitada por essas curvas?A) 
B) 
C) 
 
D) 
E) 
4) A fórmula de redução da função:
Onde n ≥ 2 é um número inteiro. Utilizando essa fórmula de redução, calcule o valor da 
integral abaixo:
A) 
B) 
 
C) 
D) 
E) 
5) As aplicações de integrais são inúmeras para o Cálculo como campo de estudo e pesquisa da 
Matemática. A ideia de encontrar as antiderivadas é um dos princípios básicos. Dessa forma, 
sabendo que w (1) = 2, w (4) = 7, w ' (1) = 5, w ' (4) = 3 e w sendo uma função contínua, 
calcule o valor de 
A) 5.
B) 2.
C) 4.
D) 3.
E) 1.
Na prática
Engenharia aeroespacial é a parte da Engenharia que se apoia em diversas áreas da Física, como a 
termodinâmica, a mecânica dos fluidos, a mecânica clássica, entre outras, para desenvolver projetos 
e a elaboração de aeronaves, espaçonaves e satélites. No laboratório de física experimental, é 
possível simular a aceleração de um foguete e a queima de combustível a bordo em que sua massa 
diminui com o passar do tempo.
Veja, Na Prática, como utilizar os conhecimentos da técnica de integração por partes para calcular a 
altitude de um foguete após um tempo de seu lançamento.
Conteúdo interativo disponível na plataforma de ensino!
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Cálculo I — Aula 22 — Técnicas de integração — Parte 2
Neste vídeo, você irá assistir ao professor Cláudio Possani, da UNIVESP, apresentando os principais 
aspectos da técnica de integração por partes.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Cálculo I — Aula 27 (1/3) Integração por partes
Neste vídeo, você irá acompanhar o professor Alexandre Lymberopoulos, da USP, apresentando os 
principais aspectos da técnica de integração por partes.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
Integração por partes — Exercícios resolvidos
Neste vídeo, o professor Marcos Murakami apresenta exercícios resolvidos a partir do método 
LIATE para calcular integrais por partes.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://www.youtube.com/embed/y5Lmgs9_H4A
https://www.youtube.com/embed/w47sIdDh6rk
https://www.youtube.com/embed/mSDgDw-8F2A
Lista de exercícios
Para aprender técnicas de integração — integração por partes, é importante que você treine 
fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
http://publica.sagah.com.br/publicador/objects/attachment/1152439999/ListadeexercciosTcnicaintegrao.pdf?v=1379901899