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Teoria e prática
Matemática
1o Bimestre – Aula 16 – Sequência didática 3
Ensino Médio
3a
SÉRIE
2024_EM_B1_V1
Resolução de problemas envolvendo ângulos centrais e inscritos.
Aplicar a relação de ângulos inscritos e centrais para solucionar uma situação-problema de Geometria;
Resolver uma situação-problema utilizando as relações de ângulos centrais e inscritos na circunferência.
Conteúdo
Objetivos
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Habilidades BNCC:
(EF07MA33) – Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e o seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.
(EF09MA11) – Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
Converse com os seus colegas e façam um resumo dos principais conceitos aprendidos ao longo das últimas aulas a respeito de arcos e ângulos na circunferência. Compartilhe com a turma e preparem-se para aplicar esses conhecimentos na resolução de problemas.
10 MINUTOS
 Virem e conversem
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Para começar
Medidas de ângulos e arcos na circunferência
Vamos relembrar os principais conceitos relacionados a arcos e ângulos na circunferência:
Ângulo inscrito: tem o vértice na circunferência e sua medida é metade da medida do ângulo central, que está sob o mesmo arco, e metade da medida desse arco.
Ângulo central: tem o vértice no centro da circunferência e sua medida é igual a do seu arco correspondente.
Arco: conjunto de pontos que fazem parte de uma circunferência.
Fonte: elaborado para fins didáticos. 
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Foco no conteúdo
Medidas de ângulos e arcos na circunferência
Exemplo
Na circunferência ao lado, temos:
O ângulo BDA é inscrito e tem medida β;
O ângulo BCA é central e tem medida α;
O arco BA tem medida 240º.
Assim, temos que α=240º e β=240º:2=120º.
Além disso, podemos dizer também que a medida do arco BDA é igual a 360º-240º=120º.
Fonte: elaborado para fins didáticos.
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Foco no conteúdo
(IFCE – 2012) Na figura a seguir, R, S e T são pontos sobre a circunferência de centro O. Se x é o número real, tal que a = 5x e b = 3x + 42º são as medidas dos ângulos RTS e ROS, respectivamente, pode-se dizer que:
a = 30º e b = 60º
a = 80º e b = 40º
a = 60º e b = 30º
a = 40º e b = 80º
a = 30º e b = 80º
Questão 1 
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 154).
Fonte: IFCE - 2012.
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Na prática
Pela figura, temos que a é a medida do ângulo inscrito RTS e b a medida do ângulo central ROS, que estão sob o mesmo arco menor RS. Assim, pelas propriedades do ângulo inscrito, podemos afirmar que:
b = 2 · a
3x + 42º = 2 · 5x
3x + 42º = 10x
42º = 7x
x = 6º
Assim, temos que a = 5 · 6º = 30º e b = 3 · 6º + 42º = 60º.
Alternativa a.
Correção
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Na prática
Resolução de problemas
Vamos, agora, resolver problemas envolvendo arcos e ângulos na circunferência.
Resolver um problema não é uma tarefa fácil. Aqui vão alguns passos que você pode seguir para facilitar:
Compreender o problema – Leia com atenção o enunciado e se atente a todos os dados.
Estabelecer um plano para resolução – Utilize aqui as diferentes ferramentas matemáticas de que você dispõe.
Executar o plano – Coloque em prática o que foi traçado e, se for necessário, refaça o plano.
Verificar a resposta – Confira se seu resultado faz sentido em relação aos dados apresentados.
Fonte: Pexels.
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Foco no conteúdo
Ângulos inscritos em um mesmo arco
Uma importante consequência a respeito da medida de ângulos inscritos que pode ser muito útil na resolução de problemas é a seguinte: ângulos inscritos sob um mesmo arco têm a mesma medida.
Repare na figura ao lado que:
med(BDA) = med(BEA) = med(BFA) =
= med(BGA) = β = α/2.
Fonte: elaborado para fins didáticos.
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Foco no conteúdo
Relembrando conceitos importantes da geometria plana
Alguns conceitos importantes da Geometria plana que podem ser ferramentas úteis na resolução de problemas são:
Ângulos suplementares
ângulos cuja soma de suas
medidas resulta em 180º.
Soma dos ângulos internos de um triângulo
a soma das medidas dos ângulos internos de
um triângulo qualquer é sempre 180º.
Fonte: elaborado para fins didáticos.
Fonte: elaborado para fins didáticos.
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Foco no conteúdo
Relembrando conceitos importantes da geometria plana
Teorema do ângulo externo
a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não adjacentes a ele.
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero
a soma das medidas dos ângulos internos de
um quadrilátero qualquer é sempre 360º.
Fonte: elaborado para fins didáticos.
Fonte: elaborado para fins didáticos.
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Foco no conteúdo
Docente: se achar pertinente, comente que esses resultados são decorrentes de a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo ser igual a 180º.
Questão 2 
Determine a medida do ângulo x, em graus, na figura a seguir:
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 153).
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Na prática
Correção
Como os ângulos BAD e BCD são inscritos sob o mesmo arco menor BD, podemos dizer que apresentam a mesma medida, ou seja, temos que:
med(BAD) = med(BCD) = 70º.
No triângulo OCD, pelo teorema do ângulo externo, podemos afirmar que:
x = med(BCD) + med(ADC)
x = 70º + 45º
x = 115º
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Na prática
Fonte: Aprender Sempre (2022, p. 155).
Questão 3 
Considere a figura a seguir.
A medida x do ângulo assinalado é:
90º 
85º	
80º
75º
70º
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Aplicando
Correção
Temos que med(BDA) = med(ECA) = 25º, pois são ângulos inscritos sob o mesmo arco menor BE. 
No triângulo AEC, temos que 40º + 25º + med(AEC) = 180º, ou seja, med(AEC) = 115º. Da mesma forma, no triângulo ABD, podemos afirmar que med(ABD) = 115º.
No quadrilátero de vértices A, B e E, temos que:
40º + 115º + 115º + x = 360º
270º + x = 360º
x = 90º
Alternativa a.
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Aplicando
Medidas dos ângulos central, inscrito e arco de uma circunferência;
Resolução de problemas envolvendo arcos e ângulos em uma circunferência;
Ângulos inscritos sob um mesmo arco;
Ângulos suplementares;
Soma dos ângulos internos de um triângulo;
Teorema do ângulo externo;
Soma dos ângulos internos de um quadrilátero.
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O que aprendemos hoje?
LEMOV, Doug. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto Alegre: Penso, 2023.
POLYA, George. A arte de resolver problemas (Tradução de How to solve it, 1945). Rio de Janeiro, Interciência, 1995.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Aprender Sempre. Ensino Médio. São Paulo, 2022.
 
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista – Ensino Médio. São Paulo, 2020.
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Referências
Lista de imagens
Slide 8 –
Imagem de uma pessoa resolvendo um problema matemático. Disponível em: https://www.pexels.com/pt-br/foto/anonimo-vista-traseira-quadro-negro-lousa-7114190/. Acesso em: 29 dez. 2023.
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Referências
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