Transformada de Fourier

Prévia do material em texto

Transformada de Fourier: definição, propriedades.
A transformada de Fourier é uma técnica matemática fundamental usada para analisar funções periódicas e não periódicas em termos de suas componentes de frequência. Ela é amplamente utilizada em engenharia, física, processamento de sinais e outras áreas para decompor um sinal no domínio do tempo em suas frequências componentes no domínio da frequência. Vamos abordar a definição da transformada de Fourier e algumas de suas propriedades importantes:
### Definição da Transformada de Fourier:
A transformada de Fourier de uma função \( f(t) \) periódica ou não periódica é dada por:
\[ F(\omega) = \mathcal{F} \{ f(t) \} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-i\omega t} \, dt \]
Onde:
- \( F(\omega) \) é a transformada de Fourier de \( f(t) \) em termos da frequência angular \( \omega \).
- \( i \) é a unidade imaginária (\( i^2 = -1 \)).
- \( e^{-i\omega t} \) é a função exponencial complexa que representa a frequência \( \omega \) no domínio da frequência.
### Propriedades da Transformada de Fourier:
1. **Linearidade:** A transformada de Fourier é linear, o que significa que para funções \( f(t) \) e \( g(t) \) e constantes \( a \) e \( b \):
 \[ \mathcal{F} \{ a \cdot f(t) + b \cdot g(t) \} = a \cdot F(\omega) + b \cdot G(\omega) \]
2. **Deslocamento no Tempo:**
 Se \( f(t - t_0) \) representa um deslocamento no tempo de \( t_0 \), então a transformada de Fourier é deslocada no domínio da frequência por \( e^{-i\omega t_0} \).
3. **Deslocamento na Frequência:**
 Se \( f(t) \) tem uma transformada de Fourier \( F(\omega) \), então \( e^{i\omega_0 t} \cdot f(t) \) tem uma transformada de Fourier deslocada em frequência por \( F(\omega - \omega_0) \).
4. **Dualidade:**
 A transformada de Fourier tem a propriedade de dualidade, o que significa que se \( f(t) \) tem uma transformada \( F(\omega) \), então \( F(t) \) tem uma transformada \( 2\pi \) vezes a transformada de \( f(t) \).
5. **Convolução:**
 A convolução de duas funções no domínio do tempo é equivalente à multiplicação de suas transformadas de Fourier no domínio da frequência.
6. **Teorema da Mudança de Escala:**
 Se \( f(at) \) tem uma transformada de Fourier \( F(\frac{\omega}{a}) \), onde \( a \) é uma constante positiva.
Essas são algumas das propriedades básicas da transformada de Fourier. Ela é uma ferramenta poderosa para analisar sinais e sistemas no domínio da frequência, permitindo a decomposição de sinais complexos em suas componentes fundamentais de frequência.