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W. J. Maciel - 500 Exerćıcios Resolvidos de Astrof́ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Mostre que neste caso a densidade de energia Uν depende apenas do termo isotró-
pico caracterizado pela função de Planck e que o fluxo depende apenas do termo
anisotrópico, caracterizado pela variação da função de Planck com a profundidade
óptica.
Solução
A densidade de energia é
Uν =
1
c
∫
Iν dω =
1
c
∫ 2π
0
dφ
∫ π
0
Iν senθ dθ
=
2 π
c
∫ π
0
Iν senθ dθ =
2 π
c
∫ −1
+1
Iν (−dµ)
Uν =
2 π
c
∫ +1
−1
Iν dµ
usando a intensidade
Uν =
2 π
c
∫ +1
−1
[
Bν(τν) + µ
dBν
dτν
]
dµ =
2 π
c
[
Bν(τν) × 2 +
dBν
dτν
× 0
]
Uν =
4 π
c
Bν(τν) (termo isotrópico)
para o fluxo temos
Fν =
∫
Iν cos θ dω =
∫ 2π
0
dφ
∫ π
0
Iν cos θ senθ dθ
Fν = 2 π
∫ π
0
Iν cos θ senθ dθ = 2 π
∫ −1
+1
Iν µ (−dµ) = 2 π
∫ +1
−1
Iν µ dµ
Fν = 2 π
∫ +1
−1
[
Bν(τν) + µ
dBν
dτν
]
µ dµ = 2 π
[
Bν(τν) × 0 +
dBν
dτν
× (2/3)
]
Fν =
4 π
3
dBν
dτν
(termo anisotrópico)
⋆ ⋆ ⋆
44. (a) Considere o resultado do exerćıcio anterior e estime a razão entre os ter-
mos anisotrópico e isotrópico. (b) Admita que o resultado obtido seja também
válido para quantidades integradas. Supondo que a atmosfera emita como um
corpo negro à temperatura Tef , como fica a razão entre os termos anisotrópico e
isotrópico?
Solução
(a) A razão é dada por