matrizes-160607001940

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MATRIZES 
QUALQUER TABELA DE NÚMEROS 
DISPOSTOS RETANGULARMENTE EM 
LINHA E COLUNAS 
 
Professora Rosânia 
• A ideia de matriz se associa com a de 
uma tabela de números 
• O uso das matrizes no dia a dia é 
relativamente frequente em: imagens 
da internet (gif, jpeg), planilhas 
eletrônicas, tabelas de dados. 
• As matrizes terão importância essencial 
no desenvolvimento de sistemas 
lineares. 
 
REPRESENTAÇÃO DE MATRIZES 
1 2
3 4
 𝑜𝑢 
1 2
3 4
 𝑜𝑢 
1 2
3 4
 
PARTES DE UMA MATRIZ 
𝐴 =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
 LINHAS 
COLUNAS 
ELEMENTO 
OBS: FILEIRA: pode ser tanto uma linha ou uma coluna 
• Amxn – matriz A (m linhas e n colunas) 
• 𝑎𝑖𝑗 – Elemento qualquer que está na 
linha i e na coluna j. 
NOMENCLATURA 
A = 
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
 
Elemento da 3ª linha e 2ª coluna 
• Exemplo: 
• Escrever a matriz A = 𝑎𝑖𝑗 2x3, onde 𝑎𝑖𝑗 = 
𝑖 + 𝑗 
 
LEI DE FORMAÇÃO 
A = 𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
 = 2 3 4
3 4 5
 
𝑖 + 𝑗 
 
• QUANTO ÀS FILEIRAS TEMOS: 
TIPOS DE MATRIZ 
𝐴 = (1 2 3) MATRIZ LINHA 
𝐴 =
1
2
3
 MATRIZ COLUNA 
A =
1 2
3 4
 MATRIZ QUADRADA 
Ainda na matriz quadrada temos: 
A = 
1 2 3
2 1 2
3 1 4
 
DIAGONAL SECUNDÁRIA 
DIAGONAL PRINCIPAL 
A = 
1 2 3
0 1 2
0 0 4
 MATRIZ TRIANGULAR 
INFERIOR 
A = 
1 0 0
2 1 0
3 1 4
 
MATRIZ TRIANGULAR 
SUPERIOR 
A = 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 MATRIZ IDENTIDADE 
Todos os elementos da diagonal principal 
valerem 1 e os demais zero. 
A = 
0 0 0
0 0 0
0 0 0
 MATRIZ NULA 
• Duas matrizes são iguais se (e somente se) são 
de mesma ordem. Ou seja, igual o número de 
linhas e colunas e seus elementos 
correspondentes são iguais 
IGUALDADE DE MATRIZES 
𝐴 =
1 2
3 4
 
𝐵 =
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
 
Se A = B, então: 
a = 1 
b = 2 
c = 3 
d = 4 
• Se duas matrizes possuem a mesma ordem, 
basta somarmos os elementos 
correspondentes. 
ADIÇÃO DE MATRIZES 
𝐴 =
1 2 3
4 5 6
 + B=
2 5 4
1 2 9
= 
C =
3 7 7
5 7 15
 
• A + B = B + A comutativa 
• A + (B + C) = (A + B) + C associativa 
• A + O = A elemento neutro 
• A + (-A) = O elemento oposto ou 
 simétrico 
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO 
matriz oposta 
• Se A e B são matrizes de mesma ordem. 
Para se fazer A – B basta subtrair os 
elementos correspondentes de A e B, 
mantendo-se os seus índices. 
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES 
A=
5 6
7 8
 - B 
1 2
3 −4
 = 
4 4
4 12
 
• Basta multiplicar o nº por todos os elementos 
da matriz. 
PRODUTO DE UM Nº REAL POR UMA 
MATRIZ 
2 .
1 2
3 4
= 
2 4
6 8
 
• Ao multiplicarmos ( - 1) por A vamos obter o 
oposto de A. 
OPOSTO DE UMA MATRIZ 
Se A = 
1 2
3 4
, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 
- A = (-1). 
1 2
3 4
=
−1 −2
−3 −4
 
• Dada uma matriz A de tipo mxn, chama-se 
transposta de A e indica-se 𝐴𝑡. Basta trocar 
ordenadamente as linhas pelas colunas de A. 
MATRIZ TRANSPOSTA 
𝐴 = 
2 1
−3 5
4 3
 𝐴𝑡 = 
2 −3 4
1 5 3
 
 
• DETALHES: 
- O produto AB é diferente de BA.(a ordem 
importa). 
- O número de colunas da primeira matriz 
deve ser igual ao número de linhas da 
segunda matriz. 
- O resultado terá o mesmo número de linhas 
da primeira matriz e o mesmo número de 
colunas da segunda. 
 
PRODUTO DE MATRIZES 
𝑆𝑒 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 m x n e 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑛 𝑥 𝑞 
 
 
 
 Então: A . B = (𝐶𝑖𝑗 )𝑚 𝑥 𝑞 
LINHAS COLUNAS = 
PARA QUE HAJA O PRODUTO DAS MATRIZES É 
NECESSÁRIO QUE: número de colunas da 
primeira matriz deve ser igual ao número de 
linhas da segunda matriz. 
 
RESULTADO NESSA ORDEM 
Seja: 𝐴 =
1 2 3
3 1 2
 𝑒 𝐵 = 
2 1
3 2
4 5
 
Exemplo: 
1. Existe produto de AB? Justifique. 
2. Calcule o produto se existir. 
 
1. Existe produto de AB? Justifique 
1. Sim. A ordem de A é (2 x 3) e a ordem de B é (3 x 
2). Como o número de colunas de A é igual ao 
número de linhas de B. O produto existe e terá 
ordem 2 x 2. 
𝐴 =
1 2 3
3 1 2
 𝐵 = 
2 1
3 2
4 5
 
2 x 3 3 x 2 
2. Calcule o produto se existir. 
𝐴 =
1 2 3
3 1 2
 
𝐵 = 
2 1
3 2
4 5
 
𝐴 = 
1.2 + 2.3 + 3.4 1.1 + 2.2 + 3.5
3.2 + 1.3 + 2.4 3.1 + 1.2 + 2.5
= 
 
𝐴 =
20 20
17 15