Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços de Mn,n(R) em seguida: (a) Matrizes simétricas (isto é, matrizes A com At = A). (b)...

(a) Para determinar uma base e a dimensão do subespaço de matrizes simétricas de Mn,n(R), podemos usar o fato de que uma matriz simétrica é completamente determinada por seus elementos na diagonal e acima dela. Portanto, podemos escolher como base as matrizes Eij, onde i ≤ j, que têm 1 na posição (i, j) e 0 em todas as outras posições. É fácil verificar que essas matrizes são simétricas e que qualquer matriz simétrica pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes. Como existem n(n+1)/2 matrizes Eij, a dimensão do subespaço de matrizes simétricas é n(n+1)/2. (b) Para determinar uma base e a dimensão do subespaço de matrizes antissimétricas de Mn,n(R), podemos usar o fato de que uma matriz antissimétrica tem elementos diagonais iguais a zero e elementos acima da diagonal opostos aos elementos abaixo da diagonal. Portanto, podemos escolher como base as matrizes Eij - Eji, onde i < j, que têm 1 na posição (i, j) e -1 na posição (j, i), e as matrizes Eii, que têm 0 em todas as posições, exceto na diagonal, onde têm 1 ou -1, dependendo do valor de i. É fácil verificar que essas matrizes são antissimétricas e que qualquer matriz antissimétrica pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes. Como existem n(n-1)/2 matrizes Eij - Eji e n matrizes Eii, a dimensão do subespaço de matrizes antissimétricas é n(n-1)/2 + n = n(n-1)/2. (c) Para determinar uma base e a dimensão do subespaço de matrizes de traço 0 de Mn,n(R), podemos usar o fato de que o traço de uma matriz é a soma de seus elementos diagonais. Portanto, podemos escolher como base as matrizes Eij - Eji, onde i < j, que têm 1 na posição (i, j) e -1 na posição (j, i), e as matrizes Eii - Ei+1,i+1, que têm 1 na posição (i, i) e -1 na posição (i+1, i+1), para i = 1, 2, ..., n-1. É fácil verificar que essas matrizes têm traço 0 e que qualquer matriz de traço 0 pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes. Como existem n(n-1)/2 matrizes Eij - Eji e n-1 matrizes Eii - Ei+1,i+1, a dimensão do subespaço de matrizes de traço 0 é n(n-1)/2 + n-1 = n(n-1)/2. (d) Para determinar uma base e a dimensão do subespaço de matrizes cuja primeira linha é igual à última coluna de Mn,n(R), podemos escolher como base as matrizes Eij, onde i = 1 e j > 1, que têm 1 na posição (1, j) e 0 em todas as outras posições, e as matrizes Eij, onde i > 1 e j = n, que têm 1 na posição (i, n) e 0 em todas as outras posições. É fácil verificar que essas matrizes têm a propriedade desejada e que qualquer matriz com essa propriedade pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes. Como existem n-1 matrizes E1j e n-1 matrizes Ein, a dimensão do subespaço de matrizes com a primeira linha igual à última coluna é 2(n-1). (e) Para determinar uma base e a dimensão do subespaço de matrizes em que a soma dos elementos da primeira linha é igual à soma dos elementos da última coluna de Mn,n(R), podemos escolher como base as matrizes Eij, onde i = 1 e j > 1, que têm 1 na posição (1, j) e 0 em todas as outras posições, e as matrizes Eij, onde i = n e j < n, que têm -1 na posição (n, j) e 0 em todas as outras posições. É fácil verificar que essas matrizes têm a propriedade desejada e que qualquer matriz com essa propriedade pode ser escrita como uma combinação linear dessas matrizes. Como existem n-1 matrizes E1j e n-1 matrizes Enj, a dimensão do subespaço de matrizes com a soma dos elementos da primeira linha igual à soma dos elementos da última coluna é 2(n-1).