Cálculo Numérico

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SUMÁRIO ix
4.9 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5 Solução de sistemas de equações não lineares 143
5.1 Método de Newton para sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.1.1 Código Python: Newton para Sistemas . . . . . . . . . . . . 149
5.2 Linearização de uma função de várias variáveis . . . . . . . . . . . . 157
5.2.1 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2.2 Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6 Interpolação 162
6.1 Interpolação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.2 Diferenças divididas de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.3 Polinômios de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4 Aproximação de funções reais por polinômios interpoladores . . . . 172
6.5 Interpolação linear segmentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6.6 Interpolação cúbica segmentada - spline . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.6.1 Spline natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
6.6.2 Spline fixado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.6.3 Spline not-a-knot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6.6.4 Spline periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7 Ajuste de curvas 185
7.1 Ajuste de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.2 Ajuste linear geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.2.1 Ajuste polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3 Aproximando problemas não lineares por problemas lineares . . . . 200
8 Derivação numérica 206
8.1 Diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.1.1 Diferenças finitas via série de Taylor . . . . . . . . . . . . . 208
8.1.2 Erros de arredondamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.2 Diferença finita para derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . 216
8.3 Obtenção de fórmulas por polinômios interpoladores . . . . . . . . . 218
8.3.1 Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.4 Fórmulas de diferenças finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
8.5 Derivada via ajuste ou interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
8.6 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9 Integração numérica 226
9.1 Somas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.2 Regras de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
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x Cálculo Numérico
9.2.1 Regra do ponto médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.2.2 Regra do trapézio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.2.3 Regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9.3 Obtenção das regras de quadratura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.4 Regras compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.4.1 Método composto dos trapézios . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.4.2 Código Python: trapézio composto . . . . . . . . . . . . . . 243
9.4.3 Método composto de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.4.4 Código em Python: Simpson composto . . . . . . . . . . . . 244
9.5 Método de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
9.6 Ordem de precisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
9.7 Quadratura de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.8 Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
9.8.1 Integrandos com singularidade do tipo 1/(x− a)n . . . . . . 261
9.9 Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
10 Problemas de valor inicial 268
10.1 Rudimentos da teoria de problemas de valor inicial . . . . . . . . . 269
10.2 Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.3 Método de Euler melhorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10.4 Solução de sistemas de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . 280
10.5 Solução de equações e sistemas de ordem superior . . . . . . . . . . 285
10.6 Erro de truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
10.7 Métodos de Runge-Kutta explícitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.7.1 Métodos de Runge-Kutta com dois estágios . . . . . . . . . . 292
10.7.2 Métodos de Runge-Kutta com três estágios . . . . . . . . . . 294
10.7.3 Métodos de Runge-Kutta com quatro estágios . . . . . . . . 295
10.8 Métodos de Runge-Kutta implícitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.8.1 Método de Euler implícito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
10.8.2 O método trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
10.8.3 O método theta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
10.9 O método de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.10Método de Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.11Método de Adams-Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.12Método de Adams-Moulton para sistemas lineares . . . . . . . . . . 316
10.13Estratégia preditor-corretor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
10.13.1Exercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.14Problemas rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
10.15Validação e “Benchmarking” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
10.16Convergência, consistência e estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 323
10.17Exercícios finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
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