Erros em Operações Numéricas

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28 Cálculo Numérico
2.6 Erros nas operações elementares
O erro relativo presente nas operações elementares de adição, subtração, mul-
tiplicação e divisão é da ordem do épsilon de máquina. Se estivermos usando uma
máquina com 64 bits, temos que ε = 2−52 ≈ 2,22E − 16.
Este erro é bem pequeno para a maioria das aplicações! Assumindo que x e y
são representados com todos dígitos corretos, temos aproximadamente 15 dígitos
significativos corretos quando fazemos uma das operações x + y, x − y, x × y ou
x/y.
Mesmo que fizéssemos, por exemplo, 1000 operações elementares sucessivas em
ponto flutuante, teríamos, no pior dos casos, acumulado todos esses erros e perdido
3 casas decimais (1000× 10−15 ≈ 10−12).
Entretanto, quando subtraímos números muito próximos, o erro pode se pro-
pagar de forma catastrófico.
2.7 Cancelamento catastrófico
Quando fazemos subtrações com números muito próximos entre si, ocorre o que
chamamos de “cancelamento catastrófico”, onde podemos perder vários dígitos de
precisão em uma única subtração.
Exemplo 2.7.1. Efetue a operação
0,987624687925− 0,987624 = 0,687925× 10−6 (2.86)
usando arredondamento com seis dígitos significativos e observe a diferença se
comparado com resultado sem arredondamento.
Solução. Os números arredondados com seis dígitos para a mantissa resultam na
seguinte diferença
0,987625− 0,987624 = 0,100000× 10−5 (2.87)
Observe que os erros relativos entre os números exatos e aproximados no lado
esquerdo são bem pequenos,
|0,987624687925− 0,987625|
|0,987624687925| = 0,00003159 (2.88)
e
|0,987624− 0,987624|
|0,987624| = 0%, (2.89)
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2.7. CANCELAMENTO CATASTRÓFICO 29
enquanto no lado direito o erro relativo é enorme:
|0,100000× 10−5 − 0,687925× 10−6|
0,687925× 10−6 = 45,36%. (2.90)
♦
Exemplo 2.7.2. Considere o problema de encontrar as raízes da equação de se-
gundo grau
x2 + 300x− 0,014 = 0, (2.91)
usando seis dígitos significativos.
Aplicando a fórmula de Bhaskara com a = 0,100000× 101, b = 0,300000× 103
e c = 0,140000× 10−1, temos o discriminante:
∆ = b2 − 4 · a · c (2.92)
= 0,300000× 103 × 0,300000× 103 (2.93)
+ 0,400000× 101 × 0,100000× 101 × 0,140000× 10−1 (2.94)
= 0,900000× 105 + 0,560000× 10−1 (2.95)
= 0,900001× 105 (2.96)
e as raízes:
x1,x2 = −0,300000× 103 ±
√
∆
0,200000× 101 (2.97)
= −0,300000× 103 ±
√
0,900001× 105
0,200000× 101 (2.98)
= −0,300000× 103 ± 0,300000× 103
0,200000× 101 (2.99)
(2.100)
Então, as duas raízes obtidas com erros de arredondamento, são:
x̃1 = −0,300000× 103 − 0,300000× 103
0,200000× 101
= −0,600000× 103
0,200000× 101 = −0,300000× 103
(2.101)
e
x̃2 = −0,300000× 103 + 0,300000× 103
0,200000× 101 = 0,000000× 100 (2.102)
No entanto, os valores das raízes com seis dígitos significativos livres de erros de
arredondamento, são:
x1 = −0,300000× 103 e x2 = 0,466667× 10−4. (2.103)
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