Evitando Cancelamento Catastrófico

Prévia do material em texto

30 Cálculo Numérico
Observe que a primeira raiz apresenta seis dígitos significativos corretos, mas a
segunda não possui nenhum dígito significativo correto.
Observe que isto acontece porque b2 é muito maior que 4ac, ou seja, b ≈√
b2 − 4ac, logo a diferença
− b+
√
b2 − 4ac (2.104)
estará próxima de zero. Uma maneira de evitar o cancelamento catastrófico é
aplicar procedimentos analíticos na expressão para eliminar essa diferença. Um
técnica padrão consiste usar uma expansão em série de Taylor em torno da origem,
tal como: √
1− x = 1− 1
2x+O(x2). (2.105)
Substituindo esta aproximação na fórmula de Bhaskara, temos:
x = −b±
√
b2 − 4ac
2a (2.106)
=
−b± b
√
1− 4ac
b2
2a (2.107)
≈
−b± b
(
1− 4ac
2b2
)
2a (2.108)
(2.109)
Observe que 4ac
b2
é um número pequeno e por isso a expansão faz sentido. Voltamos
no exemplo anterior e calculamos as duas raízes com o nova expressão
x̃1 =
−b− b+ 4ac
2b
2a = − b
a
+ c
b
(2.110)
= −0,300000× 103
0,100000× 101 −
0,140000× 10−1
0,300000× 103 (2.111)
= −0,300000× 103 − 0,466667× 10−4 (2.112)
= −0,300000× 103 (2.113)
x̃2 =
−b+ b− 4ac
2b
2a (2.114)
= −4ac
4ab (2.115)
= −c
b
= −−0,140000× 10−1
0,300000× 103 = 0,466667× 10−4 (2.116)
(2.117)
Observe que o efeito catastrófico foi eliminado.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
2.8. CONDICIONAMENTO DE UM PROBLEMA 31
Observação 2.7.1. O cancelamento catastrófico também poderia ter sido evitado
através do seguinte truque analítico:
x2 = −b+
√
b2 − 4ac
2a = −b+
√
b2 − 4ac
2a · −b−
√
b2 − 4ac
−b−
√
b2 − 4ac
(2.118)
= b2 − (b2 − 4ac)
2a
(
−b−
√
b2 − 4ac
) = 4ac
2a
(
−b−
√
b2 − 4ac
) (2.119)
= − 2c(
b+
√
b2 − 4ac
) (2.120)
2.8 Condicionamento de um problema
Nesta seção, utilizaremos a seguinte descrição abstrata para o conceito de “re-
solver um problema”: dado um conjunto de dados de entrada, encontrar os dados
de saída. Se denotamos pela variável x os dados de entrada e pela variável y os
dados de saída, resolver o problema significa encontrar y dado x. Em termos ma-
temáticos, a resolução de um problema é realizada pelo mapeamento f : x → y,
ou simplesmente y = f(x).
É certo que, na maioria das aplicações, os dados de entrada do problema —
isto é, x — não são conhecidos com total exatidão, devido a diversas fontes de
erros, como incertezas na coleta dos dados e erros de arredondamento. O conceito
de condicionamento está relacionado à forma como os erros nos dados de entrada
influenciam os dados de saída.
Para fins de análise, denotaremos por x, os dados de entrada com precisão
absoluta e por x∗, os dados com erro. Definiremos também a solução y∗, do
problema com dados de entrada x∗, ou seja, y∗ = f(x∗).
Estamos interessados em saber se os erros cometidos na entrada ∆x = x− x∗
influenciaram na saída do problema ∆y = y − y∗. No caso mais simples, temos
que x ∈ R e y ∈ R. Assumindo que f seja diferenciável, a partir da série de Taylor
f(x+ ∆x) ≈ f(x) + f ′(x)∆x (2.121)
obtemos (subtraindo f(x) dos dois lados)
∆y = f(x+ ∆x)− f(x) ≈ f ′(x)∆x (2.122)
Para relacionarmos os erros relativos, dividimos o lado esquerdo por y, o lado
direito por f(x) = y e obtemos
∆y
y
≈ f ′(x)
f(x)
x∆x
x
(2.123)
sugerindo a definição de número de condicionamento de um problema.
Licença CC-BY-SA-3.0. Contato: reamat@ufrgs.br
https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
reamat@ufrgs.br
	Representação de números e aritmética de máquina
	Condicionamento de um problema