Problemas de Valor Inicial

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Capítulo 10
Problemas de valor inicial
Neste capítulo, vamos estudar metodologias numéricas para aproximar a so-
lução de problema de valor inicial (problema de valor inicial) para equações dife-
renciais ordinárias. Primeiramente, daremos atenção aos problemas de primeira
ordem e, depois, mostraremos que estas técnicas podem ser estendidas para pro-
blemas e sistemas de ordem superior. Considere um problema de valor inicial de
primeira ordem dado por:
u′(t) = f(t, u(t)), t > t(1) (10.1a)
u(t(1)) = a (condição inicial). (10.1b)
A incógnita de um problema de valor inicial é uma função que satisfaz a equação
diferencial (10.1a) e a condição inicial (10.1b).
Considere os próximos três exemplos:
Exemplo 10.0.1. O seguinte problema é linear não homogêneo:
u′(t) = t
u(0) = 2
(10.2)
Exemplo 10.0.2. O seguinte problema é linear homogêneo:
u′(t) = u(t) (10.3)
u(0) = 1 (10.4)
Exemplo 10.0.3. O seguinte problema é não linear e não homogêneo:
u′(t) = sen (u(t)2 + sen (t)) (10.5)
u(0) = a (10.6)
268
10.1. RUDIMENTOS DA TEORIA DE PROBLEMAS DE VALOR
INICIAL 269
A solução do primeiro exemplo é u(t) = t2/2 + 2 pois satisfaz a equação di-
ferencial e a condição inicial. A solução do segundo também é facilmente obtida:
u(t) = et. Porém como podemos resolver o terceiro problema?
Para muitos problemas de valor inicial da forma (10.1), não é possível encontrar
uma expressão analítica fechada, ou seja, sabe-se que a solução existe e é única,
porém não podemos expressá-la em termos de funções elementares. Por isso é
necessário calcular aproximações numéricas para a solução.
Existem uma enorme família de metodologias para construir soluções numéricas
para problemas de valor inicial. Aqui, vamos nos limitar a estudar métodos que
aproximam u(t) em um conjunto finito de valores de t. Este conjunto de valores
será chamado de malha e será denotado por {t(i)}Ni=1 = {t(1), t(2), t(3), . . . , t(N)}.
Desta forma, aproximamos a solução u(t(i)) por u(i) em cada ponto da malha
usando diferentes esquemas numéricos.
Nos códgos em Python apresentados neste capítulo, assumiremos que as se-
guintes bibliotecas e módulos estão importados:
from __future__ import division
import numpy as np
from numpy import linalg
import matplotlib.pyplot as plt
10.1 Rudimentos da teoria de problemas de valor
inicial
Uma questão fundamental no estudo dos problemas de valor iniciais consiste
em analisar se um dado problema é um problema bem posto. Ou seja,
• Existe uma solução para o problema de valor inicial?
• A solução é única?
• A solução do problema de valor inicial é pouco sensível a pequenas pertur-
bações nas condições iniciais?
A fim de responder tais questões, precisamos definir o conceito de função Lips-
chitz contínua, ou simplesmente, função Lipschitz
Definição 10.1.1. Uma função f(t, u) é Lipschitz contínua em um intervalo I em
u se existe uma constante L, tal que ∀t ∈ [a, b] e u, v ∈ R,
|f(t, u)− f(t, v)| ≤ L|u− v|, ∀t ∈ I. (10.7)
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