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8.2. EQUAÇÕES DO 2º GRAU 85
Todas as equações do 2º grau incompletas podem também ser resolvidas utili-
zando a fórmula da equação do 2º grau. Vamos dar agora dois exemplos em que
as equações estão sendo resolvidas das duas formas possíveis para que você possa
comparar as diferenças entre as resoluções.
Exemplo 8.2.21. Equação do 2º grau incompleta do tipo c = 0 ou ax2 + bx = 0:
x2 − 3x = 0 (8.40)
1ª forma:
a = 1, b = −3 e c = 0 assim usando a fórmula chegamos:
x =
−(−3)±
√
(−3)2 − 4(1)(0)
2(1)
(8.41)
⇒ x =
3±
√
9
2
⇒
{
x′ = 3+3
2
⇒ x′ = 6
2
⇒ x′ = 3
x′′ = 3−3
2
⇒ x′′ = 0
2
⇒ x′′ = 0
2ª forma:
x2 − 3x = 0⇒ x(x− 3) = 0⇒
{
x′′ = 0
x− 3 = 0⇒ x′ = 3
Portanto, S = {0, 3}.
Exemplo 8.2.22. Equação do 2º grau incompleta do tipo b = 0 ou ax2 + c = 0:
2x2 − 128 = 0 (8.42)
1ª forma:
a = 2, b = 0 e c = −128 assim usando a fórmula chegamos:
x =
−(0)±
√
(0)2 − 4(2)(−128)
2(2)
(8.43)
⇒ x =
0±
√
1024
4
⇒
{
x′ = 0+32
4
⇒ x′ = 32
4
⇒ x′ = 8
x′′ = 0−32
4
⇒ x′′ = −32
4
⇒ x′′ = −8
2ª forma:
2x2 − 128 = 0⇒ 2x2 = 128⇒ x2 =
128
2
⇒ x2 = 64⇒ x = ±
√
64⇒ x = ±8 .
(8.44)
Portanto, S = {−8, 8}.
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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
reamat@ufrgs.br
86 Pré-cálculo
8.2.5 Caso (x+ a) · (x+ b) = 0
Neste caso vamos considerar as equações do tipo
(x+ a) · (x+ b) = 0 (8.45)
para a, b ∈ R quaisquer.
Para resolver equações dadas desta forma um dos caminhos é lembrar que,
(x+ a) · (x+ b) = x2 + bx+ ax+ ab = x2 + (a+ b)x+ ab (8.46)
fazendo isso obtemos a equação do 2º grau x2 +(a+b)x+ab = 0 na qual aplicamos
a fórmula de Bhaskara.
Outra forma de resolver equações dadas desta forma, é lembrar que ∀u, v ∈ R
temos que
u · v = 0⇔ u = 0 ou v = 0 . (8.47)
Considerando portanto u = x+ a e v = x+ b com a, b ∈ R dados, obtemos que
u · v = (x+ a) · (x+ b) = 0⇔ x+ a = 0 ou x+ b = 0 (8.48)
assim a resolução deste tipo de equação do 2º grau se torna a resolução de duas
equações do 1º grau.
Exemplo 8.2.23. Resolva a equação (x− π) · (x− e) = 0.
(x− π) · (x− e) = 0⇒
{
x− π = 0⇒ x = π
x− e = 0⇒ x = e .
Portanto, S = {e, π}.
Exemplo 8.2.24. Resolva a equação (x+
√
13) · (2x+ 6) = 0.
(x+
√
13) · (2x+ 6) = 0⇒
x+
√
13 = 0⇒ x = −
√
13
2x+ 6 = 0⇒ 2x = −6⇒ x =
−6
2
= −3 .
Portanto, S =
{
−3,−
√
13
}
.
Exemplo 8.2.25. Resolva a equação
(
5x− 2
3
)2
= 0.
(
5x− 2
3
)2
=
(
5x− 2
3
)
·
(
5x− 2
3
)
= 0⇒

5x− 2
3
= 0
5x− 2
3
= 0
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https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
reamat@ufrgs.br
8.2. EQUAÇÕES DO 2º GRAU 87
5x =
2
3
⇒ x =
2
3
5
1
⇒ x =
2
3
· 1
5
⇒ x =
2
15
(8.49)
Portanto, S =
{
2
15
}
.
Exemplo 8.2.26. Resolva a equação 2x2 + 4x+ 2 = 0.
Observe que
2x2 + 4x+ 2 = (
√
2x)2 + 2
√
2
√
2x+ (
√
2)2 = (
√
2x+
√
2)2 (8.50)
logo,
2x2 + 4x+ 2 = 0⇒ (
√
2x+
√
2)2 = 0 (8.51)
e pelos exemplos acima basta resolver
√
2x+
√
2 = 0. Note que,
√
2x+
√
2 = 0⇒ x = −
√
2√
2
⇒ x = −1 . (8.52)
Portanto, S = {−1}.
Exemplo 8.2.27. Resolva a equação x2 − 2
√
17x+ 17 = 0. Observe que:
x2 − 2
√
17x+ 17 = (x−
√
17)2 , (8.53)
logo basta resolver a equação (x−
√
17)2 = 0 mas,
(x−
√
17)2 = 0⇒ x−
√
17 = 0⇒ x =
√
17 . (8.54)
Portanto, S =
{√
17
}
.
Exemplo 8.2.28. Resolva a equação 4x2 − 13 = 0.
Observe que,
4x2 − 13 = (2x−
√
13) · (2x+
√
13) (8.55)
logo, basta resolver a equação (2x−
√
13) · (2x+
√
13) = 0,
(2x−
√
13) · (2x+
√
13) = 0⇒

2x−
√
13 = 0⇒ x =
√
13
2
2x+
√
13 = 0⇒ x = −
√
13
2
.
Portanto, S =
{
−
√
13,
√
13
}
.
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	I Aritmética Básica
	Equações
	Equações do 2º grau
	Caso (x+a)(x+b) = 0