Fundamentos de Matemática e Estatística_Probabilidade

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Disciplina: Fundamentos
de Matemáca e
Estasca
Edição de unidade 7
Ano 2023
Presidente da República
Luiz Inácio Lula da Silva
Ministro da Educação
Camilo Sobreira de Santana 
Universidade Federal do Amazonas Reitor
Sylvio Mário Puga Ferreira
Vice-Vice-Reitora
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Pró-Reitor de Ensino de Graduação
David Lopes Neto
Pró-Reitor de Extensão e Interiorização
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Pró-Reitora de Pesquisa e Pós-Graduação
Selma Suely BaSelma Suely Baçal de Oliveira
Pró-Reitora de Planejamento e Desenvolvimento Instucional
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Pró-Reitor de Administração e Finanças
Raimundo Nonato Pinheiro de Almeida
Pró-Reitora de Gestão de Pessoas
Maria Vanusa do Socorro de Souza Firmo
DiDiretora da Fundação de Apoio Instucional FAEPI
Luana Marinho Monteiro
Diretor do Centro de Educação a Distância
João Víctor Figueiredo Cardoso Rodrigues
Disciplina: Fundamentos de Matemáca e Estasca
Edição do Reuni Digital
Copyright © 2023 Universidade Federal do Amazonas
Centro de Educação a Distância - CED
 
Editor
(nome)(nome)
Autora
Disney Douglas de Lima Oliveira
Revisora de área
Selma Maria Silva do Nascimento
Revisão de linguagem EaD e Normazação
Eduardo de Castro Gomes
PProjeto Gráfico
Yuri Eduardo Barros Cardoso
Esta obra foi publicada com o apoio do:
Ministério da Educação
Endereço para Correspondência:
Av. Gal. Rodrigo Octávio, n.º 3000 - Coroado I, Campus Universitário,
Setor Sul, Bloco N Manaus - AM, CEP: 69077-000
Universidade Federal do Amazonas
Pró-Reitoria de Ensino de Graduação.
Centro de Educação a Distância.
E-book, para material didáco do
ensino da Graduação do Curso de Tecnologia
em Gestão Ambiental, 2023.
17 p.; 21cm X 29.7cmcm.17 p.; 21cm X 29.7cmcm.
ISSN XXXX-XXX-XXXX
1. Educação a Distância, material didáco.
2. E-book, Disciplina: Fundamentos de
Matemáca e Estasca
CDU XXXX-XXXX
Sumário
Unidade 7 - Probabilidade
7.1 Princípio Básico de Contagem...........................................................3
7.2 Permutações.....................................................................................5
7.3 Combinação......................................................................................7
7.4 Teorema binomial...........................................................................10
7.5 Teorema mulnomial......................................................................12
7.67.6 Coeficientes mulnomiais..............................................................13
7.7 Probabilidade..................................................................................14
Exercícios..............................................................................................24
Respostas dos exercícios.......................................................................27
Unidade 7 Probabilidade
7.1 Princípio Básico de Contagem
O Princípio Básico da Contagem (PBC) é uma ferramenta essencial para o estudo de
probabilidades, sendo uma ideia simples, mas muito importante. E pode ser introduzido da
seguinte forma: imagine que temos um experimento que pode ter m resultados possíveis e, ao
mesmo tempo, temos outro experimento que pode ter n resultados possíveis. Agora, o que o
princípio básico da contagem nos diz é que se combinarmos esses dois experimentos, teremos
um total de m.n resultados possíveis. É como se multiplicássemos o número de resultados de
um experimento pelo número de resultados do outro para encontrar todas as combinações
possíveis. Isso é fundamental para entender como calcular probabilidades e fazer contagens
em problemas de probabilidade e estatística.
Formalizando: PBC
Suponha a realização de dois experimentos. Se o experimento 1 pode gerar qualquer um
de m resultados possíveis e se, para cada um dos resultados do experimento 1, houver n
resultados possíveis para o experimento 2, então os dois experimentos possuem
conjuntamente m.n diferentes resultados possíveis.
Exemplo 1
Uma pequena comunidade é composta por 10 mulheres, cada uma com 3 filhos. Se uma
mulher e um de seus filhos devem ser escolhidos como mãe e filho do ano, quantas escolhas
diferentes são possíveis?
Solução
Primeiro, você escolhe uma das 10 mulheres como a mãe do ano. Há 10 maneiras
diferentes de fazer isso.
Em seguida, para cada mãe escolhida, você deve escolher um dos seus 3 filhos
como o filho do ano. Portanto, para cada uma das 10 mães escolhidas, há 3 maneiras
diferentes de escolher o filho.
Agora, você multiplica o número de maneiras de escolher a mãe pelo número de
maneiras de escolher o filho:
Número de escolhas diferentes = número de maneiras de escolher a mãe × número
de maneiras de escolher o filho
Número de escolhas diferentes = 10 mães × 3 filhos por mãe
3
Número de escolhas diferentes = 10 × 3
Número de escolhas diferentes = 30
Portanto, há 30 escolhas diferentes possíveis para "mãe e filho do ano" nessa
pequena comunidade.
Quando há mais de dois experimentos a serem realizados, pode-se generalizar o
princípio básico.
Generalização do princípio básico da contagem
A generalização do princípio básico da contagem é um conceito matemático que
permite determinar o número total de resultados possíveis em uma série de escolhas ou
etapas independentes. Para isso, multiplica-se o número de opções disponíveis em cada
etapa. Esse princípio é útil em situações em que você precisa considerar diversas escolhas
sequenciais, e as escolhas feitas em uma etapa não afetam as escolhas nas etapas
seguintes, permitindo calcular o número total de resultados possíveis de forma eficiente.
.
Se r experimentos são tais que o primeiro experimento pode levar a qualquer um de n1
resultados possíveis; e se, para cada um desses n1 resultados houver n2 resultados possíveis
para o segundo experimento; e se, para cada um dos possíveis resultados dos dois primeiros
experimentos houver n3 resultados possíveis para o terceiro experimento; e se ... , então
haverá um total de n1. n2. ... nr , resultados possíveis para os r experimentos.
Exemplo 2
O grêmio de uma faculdade é formado por 3 calouros, 4 estudantes do segundo ano, 5
estudantes do terceiro ano e 2 formandos. Um subcomitê de 4 pessoas, formado por uma
pessoa de cada ano, deve ser escolhido. Quantos subcomitês diferentes são possíveis?
Solução
Podemos vislumbrar a escolha de um subcomitê como o resultado combinado
dos quatro experimentos separados de escolha de um único representante de cada
uma das classes. Você tem quatro grupos de estudantes: calouros, estudantes do
segundo ano, estudantes do terceiro ano e formandos. Você precisa escolher uma
pessoa de cada grupo para formar o subcomitê de 4 pessoas.
4
Existem 3 maneiras de escolher um calouro (3 opções).
Existem 4 maneiras de escolher um estudante do segundo ano (4 opções).
Existem 5 maneiras de escolher um estudante do terceiro ano (5 opções).
Existem 2 maneiras de escolher um formando (2 opções).
Agora, você multiplica essas escolhas individuais:
Total de subcomitês diferentes = 3 x 4 x 5 x 2 = 120
Portanto, existem 120 subcomitês diferentes possíveis, formados por uma pessoa
de cada ano.
7.2 Permutações
Em contagem, as permutações desempenham um papel fundamental ao lidar com
arranjos ordenados de elementos. Elas são um conceito importante em matemática e
probabilidade, permitindo calcular o número de maneiras diferentes nas quais um conjunto de
elementos pode ser organizado ou rearranjado. As permutações são amplamente utilizadas em
diversas áreas, desde combinatória e estatística até ciências da computação e engenharia.
Neste contexto, exploraremos o conceito de permutações e sua aplicação na contagem de
arranjos ordenados, fornecendo uma base sólida para entender como calcular e utilizar
permutações em diversos problemas práticos. Para isso, imagine a seguinte situação:
Quantos diferentes arranjos ordenados das letras a, b e c são possíveis?
Por enumeração direta vemos que são 6, ou seja, abc, acb, bac, bca, cab e cba. Cada
combinação é conhecida comouma permutação. Assim, vê-se que um conjunto de 3 objetos
permite 6 permutações possíveis. Esse resultado poderia ser obtido a partir do princípio básico,
já que o primeiro objeto da permutação pode ser qualquer um dos três, o segundo objeto da
permutação pode então ser escolhido a partir dos dois restantes e o terceiro objeto da
permutação é o objeto restante.
Assim, há 3 x 2 x 1 = 6 permutações possíveis.
Suponha agora que tenhamos n objetos. O emprego de um raciocínio similar àquele que
acabamos de utilizar no caso das três letras mostra então que há n(n - 1)(n - 2).3.2.1 = n!
permutações diferentes dos n objetos.
5
Exemplo 3
Quantas diferentes ordens de levantadores são possíveis em um time de voleibol
formado por 9 jogadores?
Solução
Para encontrar o número de diferentes ordens de levantadores em um time de
voleibol com 9 jogadores, você está, na verdade, procurando o número de permutações.
Nesse caso, você quer determinar quantas permutações são possíveis com 9 jogadores.
Para o seu caso, com 9 jogadores, o cálculo é:
9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Calculando isso:
9! = 362.880
Portanto, há 362.880 diferentes ordens de levantadores possíveis em um time de
voleibol com 9 jogadores. Cada ordem representa uma permutação única dos jogadores.
Vamos agora determinar o número de permutações de um conjunto de n objetos
quando não for possível distinguir certos objetos de outros. Para tornar essa situação um
pouco mais clara, considere o exemplo a seguir.
Exemplo 4
Quantos diferentes arranjos de letras podem ser formados a partir das letras ARARAS?
Solução
Primeiro notamos que as letras A1R1A2R2A3S permitem 6! permutações quando os 3A's e
os 2R's são diferentes uns dos outros. Entretanto, considere qualquer uma destas permutações
- por exemplo, A1A2R1A3R2S. Se agora permutarmos os A's e os R's entre si, então o arranjo
resultante continuará a ser AARARS. Isto é, todas as 3!2! permutações
A1A2R1A3R2S A1A2R2A3R1S
A1A3R1A2R2S A1A3R2A2R1S
A2A1R1A3R2S A2A1R2A3R1S
6
A2A3R1A1R2S A2A3R2A1R1S
A3A1R1A2R2S A3A1R2A2R1S
A3A2R1A1R2S A3A2R2A1R1S
são da forma AARARS. Portanto, há 6!/(3! 2!) = 60 arranjos possíveis das letras ARARAS.
Em geral, o mesmo raciocínio usado no Exemplo 4 mostra que há
permutações diferentes de n objetos, dos quais n1 são parecidos, n2 são parecidos, ... , nr, são
parecidos.
7.3 Combinação
Em termos simples, uma combinação é uma seleção de elementos de um conjunto, onde
a ordem dos elementos não é relevante. Em contraste com as permutações, que levam em
consideração a ordem, as combinações se concentram apenas nos elementos escolhidos,
independentemente da sequência em que são selecionados. As combinações são
frequentemente usadas para calcular probabilidades em problemas que envolvem escolhas
aleatórias, como a probabilidade de tirar um certo número de bolas de uma urna. A fórmula
para calcular o número de combinações é amplamente usada e desempenha um papel
importante na análise estatística e em diversas áreas da matemática e ciências aplicadas.
Estamos frequentemente interessados em determinar o número de grupos diferentes de
r objetos que podem ser formados a partir de um total de n objetos. Por exemplo, quantos
diferentes grupos de 3 podem ser selecionados dos 5 itens A, B, C, D e E? Para responder a essa
questão, pense da seguinte forma: como há 5 maneiras diferentes de selecionar o item inicial,
4 maneiras de selecionar o item seguinte e 3 maneiras de selecionar o item final, há portanto 5
· 4 · 3 maneiras de selecionar o grupo de 3 quando a ordem de seleção dos itens for relevante.
Entretanto, como cada grupo de 3 - por exemplo, o grupo formado pelos itens A, B e C- será
contado 6 vezes (isto é, todas as permutações ABC,ACB, BAC, BCA,CAB e CBA serão contadas
quando a ordem da seleção for relevante), tem-se que o número total de grupos que podem
ser formados é igual a
7
Em geral, como n(n -1) · · ·(n - r + l) representa o número de diferentes maneiras pelas
quais um grupo de r itens pode ser selecionado a partir de n itens quando a ordem da seleção
é relevante, e como cada grupo de r itens será contado r! vezes, tem-se que o número de
grupos diferentes de r itens que podem ser formados a partir de um conjunto de n itens é
Notação
Definimos , para r ≤ n, como
E dizemos que representa o número de combinações possíveis de n objetos em
grupos de r elementos de cada vez.1
Assim, representa o número de grupos diferentes com r elementos que podem ser
selecionados de um conjunto de n objetos quando a ordem da seleção não é considerada
relevante.
Exemplo 5
Um comitê de três pessoas deve ser formado a partir de um grupo de 20 pessoas.
Quantos comitês diferentes são possíveis?
Solução
Há comitês possíveis.
1 Por convenção, define-se 0! = 1. Com isso, . Além disso, assume-se que quando i < 0 ou i > n.
8
Exemplo 6
Considere um conjunto de n antenas das quais m apresentam defeito e n – m funcionam,
e suponha que não seja possível distinguir as antenas defeituosas daquelas que funcionam.
Quantos alinhamentos podem ser feitos sem que duas antenas com defeito sejam colocadas
lado a lado?
Solução
Imagine que as n - m antenas que funcionam sejam alinhadas entre si. Agora, se não for
permitido que duas antenas com defeito sejam colocadas lado a lado, então os espaços entre
as antenas que funcionam devem conter no máximo uma antena defeituosa. Isto é, nas n - m +
l posições possíveis – representadas na Figura 7.1 por acentos circunflexos - entre as n - m
antenas que funcionam, devemos selecionar m espaços onde colocar as antenas defeituosas.
Portanto, há, ordenações possíveis nas quais há pelo menos uma antena
que funciona entre duas defeituosas.
A identidade a seguir é útil em análise combinatória:
9
Os valores são frequentemente chamados de coeficientes binomiais por causa de
sua proeminência no teorema binomial.
7.4 Teorema binomial
O Teorema Binomial é um resultado algébrico que descreve a expansão de potências de
um binômio (uma expressão composta por duas parcelas) elevado a uma potência inteira.
Possui várias aplicações em probabilidade, estatísticas, álgebra e cálculo, sendo uma
ferramenta poderosa para a expansão de expressões algébricas e a resolução de problemas
combinatórios e probabilísticos.
O Teorema Binomial é frequentemente representado da seguinte forma:
A equação (2) é amplamente utilizada na expansão de binômios como no exemplo a
seguir:
Exemplo 7
Expanda .
Solução
7.4.1 Coeficientes multinomiais
Podemos generalizar o teorema binomial para uma situação mais geral, como
10
Para chegar ao Teorema multinomial que generaliza o Teorema binomial, considere o
seguinte problema: um conjunto de n itens distintos deve ser dividido em r grupos distintos de
tamanhos n1 , n2 , ... , nr, respectivamente, onde . Quantas divisões diferentes são
possíveis?
Para responder a essa questão, notamos que há escolhas possíveis para o
primeiro grupo; para cada escolha do primeiro grupo, há escolhas possíveis para o
segundo grupo; para cada escolha dos dois primeiros grupos, há escolhas
possíveis para o terceiro grupo, e assim por diante. Daí sucede da versão generalizada do
princípio básico da contagem que existem
divisões possíveis.
O número é chamado coeficiente multinomial.
Notação
Se , definimos como
11
Assim, o coeficiente multinomial representa o número de divisões possíveis de
n objetos distintos em r grupos distintos de tamanhos , respectivamente.
A seguir veja o teorema que generaliza o Teorema Binomial, que utiliza a notação dos
coeficientes multinomiais.
7.5 Teorema multinomial
Exemplo 8
O desenvolvimento do binômio da forma (x + y)n, também conhecido como Binômio de
Newton, pode ser expresso da seguinte forma:
A equação (2) é conhecida como Teorema binomial ou Teorema do Binômio de Newton e
é amplamente utilizada no expansão de binômios, como no exemplo a seguir:
Exemplo 9
Expanda .
Solução
12
7.6 Coeficientes multinomiais
Esses coeficientessão especialmente úteis em experimentos com múltiplas categorias,
como pesquisas de preferência de consumidores, análise de preferências políticas, classificação
de documentos em aprendizado de máquina e muito mais. Nesta seção, consideramos o
seguinte problema: um conjunto de n itens distintos deve ser dividido em r grupos distintos de
tamanhos n1 , n2 , ... , nr, respectivamente, onde . Quantas divisões diferentes são
possíveis?
Para responder a essa questão, notamos que há escolhas possíveis para o primeiro
grupo;
para cada escolha do primeiro grupo, há escolhas possíveis para o segundo grupo;
para cada escolha dos dois primeiros grupos, há escolhas possíveis para o
terceiro grupo, e assim por diante. Daí sucede da versão generalizada do princípio básico da
contagem que existem
divisões possíveis.
13
Notação
Assim, representa o número de divisões possíveis de n objetos distintos
em r grupos distintos de tamanhos , respectivamente.
Exemplo 10
Um dos departamentos de polícia de um vilarejo é formado por 10 policiais. Se a política
do departamento é a de possuir 5 dos policiais patrulhando as ruas, 2 deles trabalhando todo o
tempo na delegacia e 3 deles de reserva, quantas divisões diferentes dos 10 policiais nos três
grupos são possíveis?
Solução
Há divisões possíveis.
7.7 Probabilidade
A probabilidade é uma área da matemática que lida com a quantificação das chances de
diferentes resultados ocorrerem em um experimento aleatório. Ela é usada para analisar
situações em que os resultados não podem ser previstos com certeza, mas onde é possível
determinar a probabilidade relativa de diferentes resultados.
A ideia de que a probabilidade pode ser representada por um número é fundamental.
Ela é expressa como um valor entre 0 e 1, onde 0 representa a impossibilidade do evento
ocorrer, 1 representa a certeza absoluta de que o evento ocorrerá e os valores intermediários
indicam as chances relativas.
No experimento “lançar um dado”, por exemplo, a possibilidade de obter o resultado “1”
é igual à de obter o resultado “6”, desde que o dado seja justo e não envolva trapaça. Cada
número tem uma chance de de ser o resultado do lançamento, o que é uma consequência
14
do fato de haver 6 resultados possíveis e todos serem igualmente prováveis. Cada resultado
individual possível é um ponto amostral.
A probabilidade, portanto, representa a chance de determinado evento ocorrer por meio
de um número, que é obtido pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de
casos possíveis.
É importante ressaltar que a probabilidade é uma abordagem teórica e estatística para
entender e quantificar a incerteza. Ela tem aplicações em uma ampla gama de áreas, incluindo
estatísticas, ciências naturais, finanças, jogos de azar, entre outras. Além disso, a teoria da
probabilidade é fundamental para a compreensão de estatísticas e inferência estatística, que
são ferramentas essenciais em muitas disciplinas acadêmicas e profissionais.
O experimento aleatório é definido como um experimento que, ao ser repetido sob as
mesmas condições, produz resultados diferentes. De modo simples, são experimentos cujos
resultados não podem ser previamente conhecidos. Um exemplo clássico de experimento
aleatório é o lançamento de uma moeda ao ar. Nesse experimento, conhecemos os possíveis
resultados: cara ou coroa. No entanto, não podemos dizer, com toda certeza, qual desses dois
resultados vamos obter.
O que podemos dizer é que há 50% de chance de sair cara e 50% de chance de sair
coroa, ou seja, probabilidade igual a 0,5 para cada um dos resultados.
Um espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento
aleatório. Em geral, o espaço amostral é representado pela letra grega (Ômega ) e número
de elementos o espaço amostral é representado por .
Evento
Um evento, na teoria de probabilidades, é um conjunto de pontos amostrais de
um espaço amostral, ou seja, é um subconjunto do espaço amostral.
Exemplo 11
Qual o Espaço amostral no lançamento de uma moeda?
Solução
Representando cara por k e coroa por c, então, o espaço amostral é:
- Espaço amostral de duas moedas
15
Exemplo 12
Considere que a moeda seja lançada duas vezes seguidas. Qual o espaço amostral?
Solução
Pelo Princípio Básico de Contagem, temos
Exemplo 13
Qual o espaço amostral de um dado lançado?
Solução
No lançamento de um dado, os resultados possíveis são faces de 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
pontos.
Dessa forma, o espaço amostral é dado por:
Qualquer resultado ou subconjunto de um experimento aleatório é chamado de evento
aleatório, sendo representado, comumente, por letras maiúsculas do alfabeto.
Assim, no experimento do dado, por exemplo, podemos ter vários eventos aleatórios:
evento sair face igual a 2
evento sair face menor que 4
evento sair face ímpar
Espaços equiprováveis
Espaços equiprováveis, em probabilidade e estatística, referem-se a situações em
que todos os resultados possíveis de um experimento têm a mesma probabilidade de
ocorrência. Isso implica que não há preferência ou viés em relação a nenhum resultado
específico. Em tais situações, a probabilidade de ocorrência de um evento pode ser
calculada como a razão entre o número de resultados favoráveis para o evento e o
número total de resultados possíveis, pois cada resultado tem a mesma chance de
acontecer. Espaços equiprováveis são frequentemente usados em modelos de
16
probabilidade simples e são uma base importante para o cálculo de probabilidades em
muitos contextos.
Considere um espaço amostral e um experimento aleatório desse espaço.
Dizemos que é um espaço amostral equiprovável se todos os eventos do
experimento possuírem a mesma probabilidade de acontecer.
Como exemplo podemos pensar:
1. Imagine uma urna com apenas duas bolas, uma branca e outra preta. A chance de tirarmos
uma bola branca é a mesma de tirarmos uma bola preta. Esse espaço amostral é equiprovável.
2. O nascimento de um bebê. A chance de ser menino é a mesma de ser menina. Esse espaço
amostral é equiprovável.
Eventos Mutuamente Exclusivos
Eventos mutuamente exclusivos, em probabilidade, são eventos que não podem ocorrer ao
mesmo tempo em um experimento. Isso significa que a ocorrência de um evento exclui
automaticamente a ocorrência do outro. Em outras palavras, se um evento acontece, o
outro evento não pode acontecer simultaneamente. Essa exclusividade entre os eventos
implica que a probabilidade de ambos os eventos ocorrerem juntos é zero. Eventos
mutuamente exclusivos são fundamentais em cálculos de probabilidade, especialmente
quando se deseja calcular a probabilidade de que pelo menos um de vários eventos ocorra,
já que nesse caso a probabilidade é a soma das probabilidades individuais dos eventos
mutuamente exclusivos.
Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente. Sendo
assim, se A e B são mutuamente exclusivos, então . Exemplo:
No experimento:
E : "Jogar um dado e observar o resultado", Temos o seguinte espaço amostral:
17
Se considerarmos os seguintes eventos:
A: "Ocorrer nº par", ou seja,
B: "Ocorrer nº ímpar", ou seja,
Temos que . Assim A e B são dois eventos mutuamente exclusivos.
Cálculo da Probabilidade
O cálculo da probabilidade é uma técnica matemática usada para medir a incerteza
associada a eventos ou resultados em situações aleatórias. A probabilidade de acontecer
determinado evento A, representado por P(A), é a divisão entre o número de casos favoráveis e
o número de casos possíveis. Podemos representar, então, a chance de ocorrer o evento A por:
Observações:
1. A probabilidade pode ser representada como fração, como porcentagem ou como número
decimal.
2. A probabilidade é sempre um número decimal entre 0 e 1, ou uma porcentagem entre 0% e
100%.
3. Se P(A) = 0 então A é um evento impossível.
4. Se P(A) = 1 então A é um evento certo.
Exemplos 12
18
Calcule a probabilidade de sair face ímpar no lançamento de um dado.
Solução
Já vimosque o espaço amostral no lançamento de um dado é:
Chamamos de C o evento sair face ímpar, logo
Dessa forma, calcular a probabilidade de sair face ímpar é o mesmo que calcular a
probabilidade do evento C.
Como temos 6 resultados possíveis no lançamento do dado e 3 resultados favoráveis ao evento
C, então:
Portanto, a probabilidade de sair face ímpar é 0,5 ou 50%.
Distribuição Binomial
A distribuição binomial é um modelo de probabilidade que descreve o número de sucessos
(eventos de interesse) em uma série de tentativas independentes, onde cada tentativa tem
apenas dois resultados possíveis: sucesso ou fracasso.
Para aplicar os conhecimentos vistos na Seção 3, Vamos pensar no seguinte problema:
Qual a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?
19
Já sabemos que a probabilidade de obtermos o número 4, no lançamento de um dado é e
nesse caso, em cada lançamento a probabilidade de sair o número 4 é .
Quando no lançamento do dado, obtemos 4, dizemos que temos sucesso nesse lançamento,
pois é o resultado esperado, do contrário, dizemos que temos fracasso.
Observe que só temos duas possibilidades: Sucesso, quando obtemos o número 4 ou fracasso,
quando obtemos qualquer outro número.
Observe que cada lançamento não interfere na probabilidade de qualquer outro lançamento,
eles são independentes.
Note também que a probabilidade de sucesso ou fracasso é sempre a mesma em cada
lançamento.
Nestas condições a probabilidade de obtermos k sucessos e n - k fracassos em n tentativas, é
obtida pelo termo geral do Binômio de Newton
 representa a probabilidade procurada, o total de tentativas, o número de tentativas
que resultam em sucesso, a probabilidade de obtermos um sucesso e representa a
probabilidade de obtermos um fracasso.
representa o número de tentativas que resultam em fracasso, assim como é igual a 
, ou seja, sendo a probabilidade de sucesso, é a probabilidade de fracasso que a
complementa, uma vez que só podemos obter um sucesso ou um fracasso, não há outra
possibilidade.
Dessa forma, para
Lembrando que se n ≥ k, o número binomial é dado por:
20
Vamos utilizar esta equação para resolver o problema:
Qual a probabilidade de obtermos 4 vezes o número 3 ao lançarmos um dado 7 vezes?
O espaço amostral do lançamento de um dado é:
Como estamos interessados apenas nos resultados iguais a 3, representamos tal evento por:
Em relação ao número de elementos temos que:
 e , portanto
Temos então, , probabilidade de sucesso
, probabilidade de fracasso
, número total lançamentos
, número de sucessos, que é o que desejamos que aconteça.
Antes de substituirmos tudo na fórmula , vamos calcular separadamente o
número binomial
Substutuindo todos os valore na fórmula , obtemos
21
Que ao multiplicar por 100, temos a probabilidade de 1,56%.
Condições exigidas para se aplicar a distribuição binomial
A distribuição binomial é usada quando queremos encontrar a probabilidade de X números de
ocorrências ou sucessos de um evento, que representamos por P(X), em n tentativas do mesmo
experimento quando:
1) existirem somente 2 resultados mutuamente exclusivos,
2) as n tentativas são independentes, e
3) a probabilidade de ocorrência ou sucesso, p, permanece constante em cada tentativa.
Exemplo 13
Qual a probabilidade de obter 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda justa?
Solução
A probabilidade é calculada usando a fórmula da distribuição binomial
- Número de tentativas n = 5
- Probabilidade de sucesso em uma tentativa p = 1/2 (para cara)
- Probabilidade de fracasso em uma tentativa q = 1/2 (para coroa)
- Número de sucessos desejados k = 3
A probabilidade é calculada usando a fórmula da distribuição binomial:
22
23
6. Exercícios
1. Quantas diferentes placas de automóvel com 7 caracteres são possíveis se os três primeiros
campos forem ocupados por letras e os 4 campos finais por números?
2. Quantas funções definidas em n pontos são possíveis se cada valor da função for igual a 0 ou
1?
3. No Exercício 1, quantas placas de automóvel seriam possíveis se a repetição entre letras ou
números fosse proibida?
4. Uma turma de Fundamentos de Matemática e Estatística é formada por 6 homens e 4
mulheres.
Aplica-se uma prova e os estudantes são classificados de acordo com o seu desempenho.
Suponha que nenhum dos estudantes tenha tirado a mesma nota.
a) Quantas diferentes classificações são possíveis?
b) Se os homens forem classificados apenas entre si e as mulheres apenas
entre si, quantas diferentes classificações são possíveis?
5. O professor Jurandir possui dez livros que pretende colocar em sua prateleira. Destes, quatro
são de matemática, três são de química, dois são de história e um é um livro de administração.
O professor deseja arranjá-los de forma que todos os livros que tratam do mesmo assunto
permaneçam juntos na prateleira. Quantos diferentes arranjos são possíveis?
6. Um torneio de xadrez tem dez competidores, dos quais quatro são russos, três são dos
Estados Unidos, dois são da Grã-Bretanha e um é do Brasil. Se o resultado do torneio listar
apenas a nacionalidade dos jogadores em sua ordem de colocação, quantos resultados serão
possíveis?
7. Quantos diferentes sinais, cada um deles formado por nove bandeiras alinhadas, podem ser
feitos a partir de um conjunto de quatro bandeiras brancas, três bandeiras vermelhas e duas
bandeiras azuis se todas as bandeiras de mesma cor forem idênticas?
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8. De um grupo de cinco mulheres e sete homens, quantos comitês diferentes formados por
duas mulheres e três homens podem ser formados? E se dois dos homens estiverem brigados e
se recusarem a trabalhar juntos?
9. Dez crianças devem ser divididas em dois times A e B com 5 crianças cada. O time A joga em
uma liga e o time B em outra. Quantas divisões diferentes são possíveis?
10. Para jogar uma partida de basquete, 10 crianças dividem-se em dois times de 5 cada.
Quantas divisões diferentes são possíveis?
11. Uma urna contém bolas brancas, vermelhas e pretas. Sabendo-se que nela há 12 bolas
brancas, 8 vermelhas e que as 5 restantes são pretas, se uma bola for retirada ao acaso, qual é
a probabilidade de que ela seja:
a) Branca
b) Não branca
12. (ENEM-2015) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas numeradas
de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha ser um
número de 1 a 20.
a) b) c) d) e)
13. (Fundatec – 2019) Ao lançar uma moeda não viciada três vezes consecutivas, a
probabilidade de sair pelo menos duas caras é de:
a) 10% b) 20% c) 30% d) 40% e) 50%
25
14. Se a probabilidade de um jogador de basquete acertar uma cesta de três pontos é de 40%,
qual a probabilidade de acertar 5 cestas em 10 tentativas?
15. Qual a probabilidade de obter exatamente 4 lados "seis" ao lançar um dado justo 8 vezes?
16. Uma máquina produz parafusos defeituosos com uma probabilidade de 10%. Se você
compra 20 parafusos, qual a probabilidade 3 deles serem defeituosos?
17. Em um teste de múltipla escolha com 50 questões, cada uma com 4 opções de resposta,
qual a probabilidade de um estudante acertar 20 questões puramente por adivinhação?
Lembre-se de que, para resolver esses problemas, é preciso aplicar a fórmula as fórmulas
adequadas. Na próxima unidade, você vai aprender a fazer estes e vários outros problemas
abordados em nosso curso com o auxílio de calculadora científica, planilhas eletrônicas e
softwares específicos. Até lá!
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7. Respostas dos Exercícios
1.
Pela versão generalizada do princípio básico, a resposta é 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 =
175.760.000.
2.
Suponha que os pontos sejam 1, 2, ... , n. Como f (i) deve ser igual a 0 ou 1 para cada i = l, 2, ... ,
n, tem-se 2.2. ... .2 = 2n funções possíveis.
3.
Neste caso, seriam 26 · 25 · 24 · 10 · 9 · 8 · 7 = 78.624.000 placas de automóvel possíveis.
4.
a) Como cada classificação corresponde a um arranjo particular das 10 pessoas, a resposta é
10! = 3.628.800.
b) Comohá 6! possíveis classificações dos homens entre si e 4! classificações possíveis das
mulheres entre si, segue do princípio básico que há (6!)(4!)=(720)(24) = 17.280 classificações
possíveis neste caso.
5.
Há 4! 3! 2! 1! arranjos referentes ao alinhamento dos livros de matemática, depois dos livros
de química, história e de línguas. Similarmente, para cada ordem de assuntos possível, há 4! 3!
2! 1! arranjos. Portanto, como há 4! possíveis ordens de assuntos, a resposta desejada é 4! 4!
3! 2! 1! = 6912.
6.
Há resultados possíveis.
7.
Há sinais diferentes.
27
8.
Como há grupos possíveis de duas mulheres e grupos possíveis de três homens, o
princípio básico diz que há comitês possíveis formados por
duas mulheres e três homens.
Suponha agora que dois dos homens se recusem a trabalhar juntos. Como um total de
dos grupos possíveis de três homens contém os dois homens
brigados,em-se 35 - 5 = 30 grupos não contendo ambos os homens brigados. Como há ainda
maneiras de escolher as duas mulheres, há 30 · 10 = 300 comitês possíveis neste
caso.
9.
Há divisões possíveis.
10.
Note que este exemplo difere do Exemplo 17 porque agora a ordem dos dois times é
irrelevante. Isto é, não há times A e B, mas apenas uma divisão que consiste em 2 grupos com
5 crianças cada. Portanto, a resposta desejada é
11.
O evento A é sair uma bola branca. Sabemos que , ou seja, há 12 casos favoráveis.
O espaço amostral possui um total de 12 + 8 + 5 = 25, então .
28
Dessa forma, a probabilidade de o evento A ocorrer pode ser representada por:
O evento B é sair uma bola não branca. Sabemos que .
O espaço amostral continua o mesmo, então .
Dessa forma, a probabilidade de o evento B ocorrer pode ser representada por:
12.
Seja A o evento, sair um número de 1 a 20, então .
Por outro lado, no espaço amostral há 100 bolas, então .
Sendo assim, a probabilidade do evento A ocorrer será:
Alternativa C.
13.
Já sabemos que a cada lançamento da moeda, há duas opções, cara (k) ou coroa (c). Como a
moeda será lançada três vezes, há um total de resultados possíveis:
, logo, .
Analisando os resultados possíveis, queremos os que possuem pelo menos duas caras.
29
Seja A o evento, para sair pelo menos duas caras, temos que:
então
Assim
Alternativa E.
14.
A probabilidade é calculada usando a fórmula da distribuição binomial
- Número de tentativas n = 10
- Probabilidade de sucesso em uma tentativa p = 0,4
- Probabilidade de fracasso em uma tentativa q = 0,6
- Número de sucessos desejados k ≥ 5
15.
30
A probabilidade é calculada usando a fórmula da distribuição binomial
- Número de tentativas n = 8
- Probabilidade de sucesso em uma tentativa p = 1/6 (a probabilidade de obter um "seis")
- Probabilidade de sucesso em uma tentativa q = 5/6 (a probabilidade de não obter um "seis")
- Número de sucessos desejados k = 4
16.
A probabilidade é calculada usando a fórmula da distribuição binomial
- Número de tentativas n = 20
- Probabilidade de sucesso em uma tentativa p = 0,1 (probabilidade de defeituosos)
- Probabilidade de sucesso em uma tentativa p = 0,9 (probabilidade de ser perfeito)
- Número de sucessos desejados k = 3
17.
A probabilidade é calculada usando a fórmula da distribuição binomial
 - Número de tentativas n = 50
31
 - Probabilidade de sucesso em uma tentativa p = 1/4 (probabilidade de acertar por
adivinhação)
 - Probabilidade de fracasso em uma tentativa q = 3/4 (probabilidade de errar por
adivinhação)
 - Número de sucessos desejados k = 20
 
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