Problemas de Contagem

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ATIVIDADE 37: PROBLEMAS DE CONTAGEM. 
 
 
 
OBJETIVO: Desenvolver o raciocínio combinatório através de experimentação e 
 De situações-problemas que envolvem contagens. 
 
 
PARTE 1: SORTE? 
 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Uma moeda para cada aluno. 
 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 
 Divida a classe em pequenos grupos ( máximo de 4 elementos) e 
coloque na lousa ( entregue em uma folha) a seguinte situação para discussão: 
 No lançamento de uma moeda pode dar Cara ( K ) se a face que 
possuir o valor estampado voltada para cima e em caso contrário dizemos que deu 
Coroa ( C ). Suponha que ao lançar 10 vezes uma moeda, ela caia exatamente 9 vezes 
com a face do valor estampado para cima. Dizemos, então, que 90% desses 
lançamentos deu cara, por 9 = 0,9 = 90 = 90%. Se lançássemos esta moeda, 
 10 100 
novamente, 10 vezes você acha provável que esta porcentagem se repita? E se o 
número de lançamentos fosse 1000? E 10.000? Qual porcentagem seria mais provável 
em cada caso? 
 
 
 
 Nas respostas dos alunos às questões, você verifica a intuição do 
aluno a respeito de algumas idéias envolvidas em probabilidade. Estas questões servem 
de estopim para a discussão das primeiras noções favorecendo um trabalho de 
familiarização sobre este tema. 
 Os alunos podem ter intuído que as chances de cada resultado 
possível no lançamento de uma moeda são iguais (50%) devido a simetria da moeda e 
sua homogeneidade. Você poderá sugerir à classe o trabalho experimental descrito a 
seguir: 
 Peças aos alunos que lancem a moeda um mesmo número de vezes ( pelo menos 
30 vezes) Antes das jogadas, eles poderiam “chutar” o resultado vencedor, cara 
ou coroa, e até “prever” a porcentagem de caras e de coroas. 
 Solicite, também, que anotem os resultados de cada elemento do grupo em uma 
tabela, calculando as respectivas porcentagens e determinando os totais de todo o 
grupo, como mostra a tabela: 
GRUPO 1 
ALUNO TOTAL DE 
JOGADAS 
Nº DE 
CARAS 
Nº DE 
COROAS 
PORC. DE 
CARAS 
PORC. DE 
COROAS 
A 40 25 15 62,5% 37,5% 
B 40 18 22 45% 55% 
C 40 20 20 50% 50% 
D 40 19 21 47,5% 52,5% 
TOTAIS 160 82 78 51,25% 48,75% 
 
 
 Coloque na lousa os resultados dos grupos e determine os totais de toda a classe. 
É possível que, dependendo do número de alunos, a classe possa realizar mais de 
1000 experimentos num tempo relativamente curto. 
 
 
Analise com a classe os resultados apresentados, destacando as 
diferenças dos resultados entre os grupos: um grupo pode ter obtido significativamente 
um número maior de Caras enquanto outro mais Coroas. Entretanto, somando os 
resultados de toda a classe, as porcentagens de Cara e de Coroas possivelmente estarão 
próximas de 50%. 
 Intuitivamente acreditamos que, após muitas jogadas, a 
quantidade de Caras seja muito próxima da quantidade de Coroas. Se fizéssemos 
10.000 lançamentos de uma moeda existe uma boa chance de obtermos 
aproximadamente 50% para cada resultado, porém é possível que, por exemplo, 
obtenhamos 10.000 coroas; o que, convenhamos, é dificílimo de ocorrer. Discuta estas 
idéias com a classe. 
 Ainda com a intenção de familiarizar o aluno com este tema 
você poderia propor para análise mais algumas situações: 
 
1. Laura lançou uma moeda três vezes e os resultados foram sempre 
Coroa. No quarto lançamento é mais provável que saia Cara? 
2. No lançamento de um dado comum quantos são os resultados 
possíveis? Como você indicaria a chance de se obter um 4? E de 
se obter 6? 
3. No lançamento de um dado as chances são maiores de se obter um 
número menor que 3 ou um número maior que 3? 
 
PARTE 2: QUAIS SÃO OS RESULTADOS POSSÍVEIS? 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 
 Proponha o seguinte problema à classe: 
 Uma moeda é lançada por 3 vezes consecutivas: 
a) Quais são os resultados possíveis? 
b) Quantos são esses resultados? 
c) Quantos desses resultados têm apenas uma Coroa? 
d) Em quantos têm pelo menos uma coroa? 
 
Para responder a estas questões os alunos poderiam construir o 
“diagrama de árvore”: 
 
 
 
Espera-se que os alunos concluam que para cada lançamento existem 
duas possibilidades, totalizando 2 x 2 x 2 = 8 resultados possíveis nos três lançamentos: 
 KKK, KKC, KCK, KCC, CKK, CKC, CCK, CCC 
 
Outro problema que você poderia propor aos seus alunos: 
 
Um dado é lançado sucessivamente por duas vezes: 
a) Quais são os resultados possíveis? 
b) Quantos são estes resultados? 
c) Quantos dos resultados possíveis têm soma 12? 
 
 
PARTE 3: CONTANDO AS POSSIBILIDADES. 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Divida a classe em grupos e proponha um a um os seguintes 
problemas: 
1. A figura abaixo representa as ruas que Paulinho tem que percorrer 
para ir de sua casa à escola. Quantos caminhos diferentes de 5 quadras Paulinho pode 
escolher para ir de sua casa à escola? E quantos caminhos distintos de 5 quadras há 
para voltar? 
 
 
 2. De quantos modos é possível ler a palavra MÚSICA da esquerda 
para a direita ou de baixo para cima? 
 
 
 3. Paulinho quer se vestir para ir a uma festa mas está em dúvida 
sobre qual camisa deve usar pois ele tem 4 camisas novas: azul, branca, vermelha e 
 
amarela. Ele gosta muito de 3 calças: preta, azul e marrom. Quanto ao calçado ele tem 
Duas opções: tênis ou sapato. Escreva todas as possíveis maneiras que Paulinho pode 
se vestir. Quantas são essas maneiras? 
 
COMENTÁRIO: 
 
 O aluno deverá perceber que para resolver esses problemas ele 
precisará organizar a maneira de registrar os casos possíveis para efetuar as contagens. 
 É interessante que haja uma socialização das várias representações da 
resolução de um problema, elaboradas pelos alunos, para, por meio da análise e crítica 
dos registros apresentados, ele percebam quais os mais descritivos, os mais sucintos e 
econômicos, os que mais informam, enriquecendo suas ferramentas conceituais. É 
interessante que os alunos façam o diagrama de árvore no problema 3 e possam utilizar 
com compreensão o princípio multiplicativo. 
 Após a discussão dos problemas iniciais outros problemas de 
contagem podem ser propostos. 
 Os problemas de contagem, nesta fase, devem ter uma quantidade 
pequena de objetos envolvidos, para dar oportunidade ao aluno de poder formar todos 
os agrupamentos possíveis e contá-los em seguida, diretamente. 
 
 
PARTE 4: MAIS PROBLEMAS. 
 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Nenhum. 
 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 
 Proponha a resolução dos seguintes problemas e depois discuta as 
soluções apresentadas. 
 
 1. O quadrado da figura tem quatro quadradinhos. Em cada 
quadradinho deve ser escrito um dos dois algarismos: 0 ou 1. Quantos quadrados 
diferentes pode-se obter? 
 
 2. Você sabe o que quer dizer um anagrama? É uma senha ( ou 
código) formada com todas as letras de uma palavra ( sem repetição a não ser que a 
palavra tenha letras repetidas), podendo ou não ter significado na língua portuguesa. 
Por exemplo: rotap e tropa são anagramas da palavra PORTA. Descubra alguns outros 
anagramas da palavra Porta. 
 3. Descubra todos os anagramas da palavra ROMA e diga quantos são 
esses anagramas. 
 
 Assim para o problema 1 os alunos devem encontrar as soluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Chamar a atenção do aluno que para cada posição do quadrado 
existem duas possibilidades. Assim o total de possibilidades é: 
2 . 2 . 2 . 2 = 16. 
 Os alunos poderão encontrar os 24 anagramas diferentes para a 
palavra ROMA, construindo o diagrama da árvore, e aplicando o princípio 
multiplicativo determinar este número. Assim:Começando com a letra R obteremos 6 anagramas diferentes, e 
repetindo o mesmo diagrama com as outras letras ( O, M e A ), teremos 4 x 6 =24 
Anagramas distintos. 
 Aplicando o princípio multiplicativo, temos: 
 
 
 
 São 4 possibilidades para escrever a 1ª letra do anagrama, pois a 
palavra ROMA tem quatro letras. Uma vez escolhida a primeira letra do anagrama, 
restam 3 possibilidades para a colocação da 2ª letra. Escritas as duas primeira letras do 
anagrama, sobram, ainda 2 letras para a colocação da 3ª letra. Para a 4ª e última 
posição sobrou, claro, apenas uma letra. 
 
COMENTÁRIO: 
 
 É importante lembrar que esse assunto não se esgota aqui, 
evidentemente, e que não podemos cobrar de nossos alunos o domínio das idéias 
trabalhadas nesta atividade. Em vários outros momentos, ainda no 1º grau, esses 
problemas de contagem poderão ser retomados. Assim, as dificuldades normalmente 
 
encontradas pelas pessoas sobre esse tema possam, talvez, ser superadas. A 
formalização desse assunto só deverá ocorrer no 2º grau. 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADE 38: PROBLEMAS E POTENCIAÇÃO. 
 
OBJETIVO: Proporcionar mais oportunidades para aplicação do conceito de 
potenciação em situações-problemas. 
 
PARTE 1: A CORRENTE DO LEONARDO. 
 
MATERIAL NECESSÁRIO: Folha-tipo I-38. 
 
DESENVOLVIMENTO: 
 
 Dê um tempo suficiente para que os alunos leiam o problema e 
resolvam as questões propostas na folha-tipo I-38. Caso os alunos ainda não conheçam 
o “diagrama de árvore”, você pode introduzi-lo e facilitar-lhes, assim, a compreensão 
do problema. A situação pode ser, então, assim representada: