1 2 EQUAÇÃO DO 1 GRAU

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Conjunto dos Números Racionais - Representado pela letra Q, o conjunto 
dos números racionais engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos e 
os números decimais infinitos periódicos (aqueles que repetem uma sequência de 
algarismos da parte decimal infinitamente, também conhecidos como dízimas 
periódicas). 
 
Conjunto dos Números Irracionais - Formado pelos números decimais 
infinitos não-periódicos. 
 
Exemplos: o número PI (= 3,14159265…), resultado da divisão do perímetro 
de uma circunferência pelo seu diâmetro) e todas as raízes não exatas, como a raiz 
quadrada de 2. 
 
Conjunto dos Números Reais - Representado pela letra R, o conjunto dos 
números reais é formado por todos os conjuntos descritos anteriormente, sendo a 
união do conjunto dos racionais com os irracionais. 
 
1.2 EQUAÇÃO DO 1° GRAU 
 
O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, 
ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por 
Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind 
também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de 
problemas relacionados à Matemática. 
 
Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, 
realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas 
na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma 
satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de 
equações. 
 
Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se comentar que 
ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade 
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grega de Atenas. As equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos que 
expressavam o valor desconhecido. 
 
Observe os problemas abaixo: Problema 1: “Aha, seu total, e sua sétima 
parte, resulta 19”. 
Note que a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse 
problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a 
representação do problema utilizando letras: x + x/7 = 19. 
Problema 2: “Qual o valor de Aha, sabendo aha mais um oitavo de aha 
resulta 9?” 
x + x/8 = 9 
 
Na lápide do túmulo de Diofanto foi escrita uma equação que relata sua vida, 
e o seu resultado revela a idade que tinha quando faleceu. "Aqui jaz o matemático 
que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou 
como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos 
após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de 
seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer". De acordo com esse enigma, 
Diofanto teria 84 anos. 
 
Os estudos relacionados às equações estabeleceram métodos resolutivos 
para as equações do 1º grau, 2º grau, 3º grau, 4º grau e nas maiores ou iguais ao 
grau 5. A álgebra é considerada peça fundamental na Matemática moderna, 
contribuindo na elaboração e resolução de cálculos complexos. As inúmeras 
aplicações estão presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao 
desenvolvimento humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitetura, 
Urbanismo, Transportes, Contabilidade, Economia, Administração, Informática entre 
outros. 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de 
igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". 
 
 
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Exemplos: 
2x + 8 = 0 
5x - 4 = 6x + 8 
3a - b - c = 0 
 
Não são equações: 
 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x - 5 < 3 (Não é igualdade) 
 
(Não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
A equação geral do primeiro grau: ax + b = 0 
 
Onde a e b são números conhecidos e, a diferente de 0, se resolve de 
maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos: 
 
ax = -b 
 
Dividindo agora por a (dos dois lados), temos: 
 
Considere a equação: 2x - 8 = 3x -10 
 
A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa 
“desconhecida". 
 
Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade 
denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro. 
 
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Para resolver uma equação, precisamos conhecer algumas técnicas 
matemáticas. Vamos, por meio de resoluções comentadas, demonstrar essas 
técnicas. 
 
Exemplo: 4x + 2 = 8 – 2x 
 
Em uma equação, devemos separar os elementos variáveis dos elementos 
constantes. Para isso, vamos colocar os elementos semelhantes em lados diferentes 
do sinal de igualdade, invertendo o sinal dos termos que mudarem de lado. 
 
Veja: 4x + 2x = 8 – 2 
Agora aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes. ·. 
6x = 6 
 
O coeficiente numérico da letra x do 1º membro deve passar para o outro 
lado, dividindo o elemento pertencente ao 2º membro da equação. Observe: 
x = 6 / 6 
x = 1 
 
 
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Portanto, o valor de x que satisfaz à equação é igual a 1. A verificação pode 
ser feita substituindo o valor de x na equação, observe: 
 
4x + 2 = 8 – 2x 
4 * 1 + 2 = 8 – 2 * 1 
4 + 2 = 8 – 2 
6 = 6 → sentença verdadeira 
 
Todas as equações, de uma forma geral, podem ser resolvidas dessa 
maneira. 
 
Exemplo1: 10x – 9 = 21 + 2x + 3x 
10x – 2x – 3x = 21 + 9 
10x – 5x = 30 
5x = 30 
x = 30/5 
x = 6 
 
Verificando: 10x – 9 = 21 + 2x + 3x 
10 * 6 – 9 = 21 + 2 * 6 + 3 * 6 
60 – 9 = 21 + 12 + 18 
51 = 51 → sentença verdadeira 
 
O valor numérico de x que satisfaz à equação é 6. 
 
Exemplo2 : 3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 
3x – 2x – 5x = 10 – 40 – 10 
3x – 7x = –40 
– 4x = – 40 
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Nos casos em que a parte da variável se encontra negativa, precisamos 
multiplicar os membros por –1. 
 
–4x = – 40 * (–1) 
4x = 40 
x = 40/4 
x = 10 
 
Verificando: 
 
3x – 2x + 10 = 10 + 5x – 40 
3 * 10 – 2 * 10 + 10 = 10 + 5 * 10 – 40 
30 – 20 + 10 = 10 + 50 – 40 
20 = 20 → sentença verdadeira 
 
Exemplo3: 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) → aplicar a propriedade 
distributiva da multiplicação 
 
10 – 8x + 2 = 5x – 8x + 2 
– 8x – 5x + 8x = + 2 – 10 – 2 
– 13x + 8x = – 10 
– 5x = – 10 * (–1) 
5x = 10 
x = 10/5 
x = 2 
 
Verificando: 10 – (8x – 2) = 5x + 2(– 4x + 1) 
10 – (8 * 2 – 2) = 5 * 2 + 2(– 4 * 2 + 1) 
 
 
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10 – (16 – 2) = 10 + 2(–8 + 1) 
10 – (14) = 10 + 2(–7) 
10 – 14 = 10 – 14 
– 4 = – 4 → sentença verdadeira 
 
 
1.2.1 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS INCÓGNITAS 
 
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por 
duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y. Veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
 
A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que 
satisfazem as equações do sistema. A solução de um sistema pode ser feita através 
de dois métodos resolutivos: adição e substituição. 
 
1.2.2 Método da Adição 
 
Consiste em somarmos as variáveis semelhantes das duas equações no 
intuito de obter resultado igual à zero. Veja a resolução do sistema a seguir: 
 
 
 
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1.2.3 Método da Substituição 
 
Consiste em isolar x ou y em qualquer uma das equações do sistema, e 
substituir o valor isolado na outra equação. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos observar através dos exemplos resolvidos que, de acordo com a 
configuração do sistema, podemos resolvê-lo utilizando o método da adição ou o 
método da substituição. 
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A solução de um sistema consiste em um resultado que é chamado de par 
ordenado, o gráfico de uma equação do 1º grau é dado por uma reta. Um sistema de 
duas equações possui duas retas representadas no plano e a intersecção dessas 
retas é a solução geométrica do sistema. Concluímos que a solução de um sistema 
pode ser apresentada de duas formas matemáticas, uma algébrica outra geométrica 
(graficamente).1.3 EQUAÇÃO DO 2° GRAU 
 
São inúmeros os problemas que resolvemos usando uma equação do 
segundo grau. No Brasil, a fórmula de Bhaskara é ensinada como uma técnica de 
resolução para as equações do segundo grau. O uso da fórmula de Bhaskara no 
ensino atual é trabalhado como algo que elimina a problemática da resolução da 
equação do segundo grau. O único problema que resta é quanto a representação do 
problema dado na linguagem natural para linguagem simbólica, ou seja determinar a 
equação que modela a situação problema. Historicamente a equação do segundo 
grau foi objeto de estudo desde a antiguidade e por diferentes povos. 
 
Definição: Uma equação do 2º grau é toda sentença do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝑎 ≠ 0. 
 
Façamos alguns exemplos: 
 
3𝑥 ² − 4𝑥 + 8 = 0 nesse caso temos 𝑎 = 3, 𝑏 = −4, 𝑐 = 8 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 onde 𝑎 = 1, 𝑏 = −5, 𝑐 = 6 
 
 
A solução de uma equação do 2º grau de maneira análoga ao que 
estudamos em equações do 1º grau, dizemos que 𝑥 é uma raiz (solução) de uma 
equação do 2º grau do tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, caso a igualdade anterior seja 
verificada.